四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟高三下學期第二次聯(lián)考試題數(shù)學（文）

2024屆高三第二次聯(lián)考文科數(shù)學考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1．答題前，考生務必在答題卡上將自己的姓名、座位號和考籍號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”。2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效。3．考試結束后由監(jiān)考老師將答題卡收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則A．（－1，1]B．[－1，3]C．（1，3]D．[3，＋∞）2．某圓錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形，則該圓錐的側面積為A．πB．C．D．2π3．若復數(shù)z滿足，則z＝A．B．C．D．4．若角α的終邊位于第二象限，且，則A．B．C．D．5．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為A．－2B．1C．2D．36．同位素測年法最早由美國學者WillardFrankLibby在1940年提出并試驗成功，它是利用宇宙射線在大氣中產(chǎn)生的放射性和衰變原理來檢測埋在地下的動植物的死亡年代，當動植物被埋地下后，體內(nèi)的碳循環(huán)就會停止，只進行放射性衰變．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，動植物死亡后的時間n（單位：年）與死亡n年后的含量滿足關系式（其中動植物體內(nèi)初始的含量為）．現(xiàn)在某古代祭祀坑中檢測出一樣本中的含量為原來的70％，可以推測該樣本距今約（參考數(shù)據(jù)：，）A．2750年B．2865年C．3050年D．3125年7．在△ABC中，“”是“∠ACB是鈍角”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8．若函數(shù)是偶函數(shù)，則a＝A．－1B．C．1D．9．函數(shù)在區(qū)間[0，m]上的最小值為，則m的最大值為A．B．C．D．π10．已知一樣本數(shù)據(jù)（如莖葉圖所示）的中位數(shù)為12，若x，y均小于4，則該樣本的方差最小時，x，y的值分別為A．1，3B．11，13C．2，2D．12，1211．已知，是雙曲線的左，右焦點，點是雙曲線E上的點，點C是內(nèi)切圓的圓心，若，則雙曲線E的漸近線為A．B．C．D．12．已知函數(shù)若存在m使得關于x的方程有兩不同的根，則t的取值范圍為A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若拋物線過點（－1，2），則該拋物線的焦點為________．14．函數(shù)在點處的切線方程為________．15．在△ABC中，，，，則BC邊上的高為________．16．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，且EF交AC于點G，現(xiàn)沿折痕AC將△ADC折起，直至滿足條件，此時EF的長度為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）2023世界科幻大會在成都舉辦，為了讓同學們更好地了解科幻，某學校舉行了以“科幻成都，遇見未來”為主題的科幻知識通關賽，并隨機抽取了該校50名同學的通關時間（單位：分鐘）作為樣本，發(fā)現(xiàn)這些同學的通關時間均位于區(qū)間[40，100]，然后把樣本數(shù)據(jù)分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六組，經(jīng)過整理繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）．（1）計算a的值，并估算該校同學通關時間低于60分鐘的概率；（2）擬在通關時間低于60分鐘的樣本數(shù)據(jù)對應的同學中隨機選取2位同學贈送科幻大會入場券，求此2人的通關時間均位于區(qū)間[50，60）的概率．18．（12分）已知數(shù)列的前n項和，且的最大值為．（1）確定常數(shù)k，并求；（2）求數(shù)列的前15項和．19．（12分）如圖，在三棱柱中，，，，點E，F(xiàn)分別為BC，的中點．（1）求證：；（2）若底面ABC是邊長為2的正三角形，且，求點到平面的距離．20．（12分）在平面直角坐標系中，若點A，B是橢圓的左，右頂點，橢圓上一點與點A連線的斜率為．（1）求橢圓E的方程；（2）經(jīng)過點A的直線分別交橢圓E與直線于P，Q兩點，線段QB的中點為M，若點F的坐標為F（1，0），證明：點B關于直線FM的對稱點在PF上．21．（12分）已知函數(shù)的導函數(shù)為f′（x）．（1）當時，求f′（x）的最小值；（2）若f（x）存在兩個極值點，求a的取值范圍．（二）選考題：共10分。請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。22．[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，點M是曲線上的一動點．（1）若直線l過點A（2，0），求直線l的斜率；（2）設直線l恒過定點N，若，求點M的極徑．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）當時，解不等式；（2）若函數(shù)f（x）的最小值為m，且，求m的最小值．2024屆高三第二次聯(lián)考文科數(shù)學參考答案及評分標準一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C解：由解得，由，解得，所以，選C．2．B解：由題可知該圓錐的底面半徑為1，母線長為，所以側面積為，選B．3．B解：設，選B．4．D解：因為角α的終邊位于第二象限，則，所以，選D．5．D解：滿足線性約束條件的可行域如圖陰影部分所示，取最大值即直線截距最大，所以在A處取得，解，得，此時，選D．6．B解：經(jīng)過n年后含量為，所以有，代入關系式得，所以，所以，選B．7．C解：“”等價于“”，平方可化為，顯然A，B，C不共線，原條件等價于∠ACB是鈍角，選C．8．D解：因為，所以，又，所以，，選D．9．C解：當，，，解，得或，根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象可知：m的最大值為，選C．10．C解：因為x，y均小于4，由莖葉圖可知，中位數(shù)為，所以，樣本的平均值為，要使樣本的方差最小，即使最小，又，當且僅當“”時，等號成立，所以x，y均為2，選C．11．A解：設內(nèi)切圓的半徑為r，則有，所以，由雙曲線的定義可知，繼而，E的漸近線為，化簡為，選A．12．B解：由冪函數(shù)的性質可知函數(shù)在（－∞，t），[t，＋∞）上為增函數(shù)，當時，，當時，，若存在m使得關于x的方程有兩不同的根，只需即可，解得或，所以t的取值范圍為，選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（－1，0）解：將（－1，2）代入拋物線方程得，所以拋物線的焦點為（－1，0）．14．解：因為，又，有，所以在點處的切線方程為，化簡為．15．解：因為，由正弦定理得，設BC邊上的高為h，則．16．解：由題意可知，所以，折起后如圖所示，因為，易得，繼而得到，分別過點E，F(xiàn)作AC的垂線EM，F(xiàn)N，垂足分別為點M，N，又，即有，，同時易證得，，，所以．三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）解：（1）因為，所以，由所給頻率分布直方圖可知，50名同學通關時間低于60分鐘的頻率為，據(jù)此估計該校同學通關時間低于60分鐘的概率為0.1；（2）入樣同學通關時間位于區(qū)間[50，60）的有：（位），即為，入樣同學通關時間位于區(qū)間[40，50）的有：（位），即為，從這5名入樣同學中隨機抽取2人，所有可能的結果共有10種，它們是，，，，，，，，，，又因為所抽取2人的通關時間均位于區(qū)間[50，60）的結果有3種，即，，，故此2人的通關時間均位于區(qū)間[50，60）的概率為．18．（12分）解：（1）當時，取得最大值，即，，所以，當時，，當時，（符合上式），所以；（2）．19．（12分）解：（1）作的中點D，連接DF，DB，因為點D，F(xiàn)分別為，的中點，所以，且，又由三棱柱的定義，結合點E為BC的中點可知：，且，所以四邊形DFEB是平行四邊形，所以，又，，所以；（2）作AC的中點G，連接，，，GB，因為，，所以是正三角形，又點G為AC的中點，所以，由，有，因為，所以，又，所以，所以是三棱錐的高，所以，又因為，點到平面的距離即為點C到平面的距離，又，，設點C到平面得距離為d，則，解得．20．（12分）解：（1）設點A的坐標為（－a，0），因為點與點A連線的斜率為，由，解得，將代入，解得，所以橢圓E的方程為；（2）“點B關于直線FM的對稱點在PF上”等價于“FM平分∠PFB”．設直線AP的方程為，則Q（2，4k），M（2，2k），設點，由，得，得且，①當時，，此時，所以，Q（2，±2），M（2，±1），此時，點M在∠PFB的角平分線所在的直線或上，F(xiàn)M平分∠PFB，②當時，PF的斜率為，所以PF的方程為，所以點M到直線PF的距離，點B關于直線FM的對稱點在PF上．21．（12分）解：（1）當時，，，，令函數(shù)，，則有，當時，，h（x）為減函數(shù)；當時，，h（x）為增函數(shù)，所以，即f′（x）的最小值為2；（2）因為，有，令，有，①當時，因為，所以，即f′（x）在（0，＋∞）上為增函數(shù)，所以至多存在一個，使得，故f（x）不存在兩個極值點，②當時，解，得，故當時，，f′（x）為減函數(shù)，當時，，f′（x）為增函數(shù)，所以，?。?，即時，，f（x）在（0，＋∞）上為增函數(shù)，故f（x）不存在極值點，ⅱ．當，即時，又因為，所以，又由第（1）問知：，，又因為，，所以存在，使得，且f（x）在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，分別是的極大值點和極小值點，綜上所述，a的取值范圍為．22．（10分）解：（