概率與統(tǒng)計(3學分)

《概率與統(tǒng)計》(3學分),《概率與統(tǒng)計》(4學分),《概率與過程》(4.5學分)課程模擬試卷第23頁共23頁《概率與統(tǒng)計》(3學分),《概率與統(tǒng)計》(4學分),《概率與過程》(4.5學分)課程模擬試卷南京理工大學統(tǒng)計與金融數(shù)學系編

2003年5月

注：(1)以下是3學分、4學分、4.5學分考試的參考內容，不作為實際考試范圍，考試內容以教學大綱和實施計劃為準；(2)四學分包含所有3學分內容；(3)4.5學分包含所有4學分內容；(3)注明“了解”的內容一般不考。1、能很好地掌握寫樣本空間與事件方法，會事件關系的運算，了解概率的古典定義2、能較熟練地求解古典概率；了解概率的公理化定義3、掌握概率的基本性質和應用這些性質進行概率計算；理解條件概率的概念；掌握加法公式與乘法公式4、能準確地選擇和運用全概率公式與貝葉斯公式解題；掌握事件獨立性的概念及性質。5、理解隨機變量的概念，能熟練寫出(0—1)分布、二項分布、泊松分布的概率分布。6、理解分布函數(shù)的概念及性質，理解連續(xù)型隨機變量的概率密度及性質。7、掌握指數(shù)分布(參數(shù))、均勻分布、正態(tài)分布，特別是正態(tài)分布概率計算8、會求一維隨機變量函數(shù)分布的一般方法，求一維隨機變量的概率分布或概率密度。9、會求分布中的待定參數(shù)。10、會求邊沿分布函數(shù)、邊沿概率分布、邊沿密度函數(shù)，會判別隨機變量的獨立性。11、掌握連續(xù)型隨機變量的條件概率密度的概念及計算。(四學分)12、理解二維隨機變量的概念，理解二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)及其性質，理解二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律及其性質，理解二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度及其性質，并會用它們計算有關事件的概率。13、了解求二維隨機變量函數(shù)的分布的一般方法。(四學分)14、會熟練地求隨機變量及其函數(shù)的數(shù)學期望和方差。會熟練地默寫出幾種重要隨機變量的數(shù)學期望及方差。15、較熟練地求協(xié)方差與相關系數(shù).16、了解矩與協(xié)方差矩陣概念。會用獨立正態(tài)隨機變量線性組合性質解題。17、了解大數(shù)定理結論，會用中心極限定理解題。18、掌握總體、樣本、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量及抽樣分布概念，掌握樣本均值與樣本方差及樣本矩概念，掌握2分布(及性質)、t分布、F分布及其上百分位點及雙側百分點概念。19、理解正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的抽樣分布定理（不要求背，考試時定理內容可列在試卷上）；會用矩估計方法來估計未知參數(shù)。20、掌握極大似然估計法，無偏性與有效性的判斷方法。21、會求單正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間。會求雙正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間。23、明確假設檢驗的基本步驟，會U檢驗法、t檢驗、檢驗法、F檢驗法解題。(三學分只考兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗法)。24、掌握兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗法。(四學分)(以下內容僅僅針對4.5學分考試，3、4學分不作要求)25、掌握隨機過程的概念，掌握隨機過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征。26、掌握獨立增量過程、正態(tài)過程、維納過程的判斷方法。27、了解嚴平穩(wěn)過程，掌握寬平穩(wěn)過程的判斷和基本性質。28、了解圴方極限與圴方積分、時間均值與時間相關函數(shù)的概念，了解各態(tài)歷經(jīng)性的判定定理。29、了解時間函數(shù)的功率譜密度，掌握平穩(wěn)過程的功率譜密度概念，掌握功率譜密度的基本性質，了解互譜密度及其性質。

南京理工大學理學院統(tǒng)計與金融數(shù)學系E-mail:stat@辦公室:理學院118室電話:4315586理學院科技處理學院科技處二號路二號路轉盤招待所時間招待所時間廣場[模擬試卷1]一、（15分）玻璃杯成箱出售，每箱20只。已知任取一箱，箱中0、1、2只殘次品的概率相應為0.8、0.1和0.1，某顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機地察看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回。試求：（1）顧客買下該箱的概率；（2）在顧客買下的該箱中，沒有殘次品的概率。二、（12分）設隨機變量X的分布列為求：（1）參數(shù)；（2）；（3）的分布列。。三、（10分）設二維隨機變量在矩形上服從均勻分布，（1）求的聯(lián)合概率密度（2）求關于、的邊緣概率密度（3）判斷與的獨立性。四、（12分）設,，且與相互獨立，試求和的相關系數(shù)（其中、是不全為零的常數(shù)）。五、（12分）設從大批發(fā)芽率為0.9的種子中隨意抽取1000粒，試求這1000粒種子中至少有880粒發(fā)芽的概率。六、（12分）設總體的概率密度為是取自總體的簡單隨機樣本。求：（1）的矩估計量；（2）的方差。七、（12分）設服從，是來自總體的樣本，＋。試求常數(shù)，使得服從分布。八、（15分）從一批木材中抽取100根，測量其小頭直徑，得到樣本平均數(shù)為，已知這批木材小頭直徑的標準差，問該批木材的平均小頭直徑能否認為是在以上？（取顯著性水平＝0.05）附表一：,,,,[模擬試卷2]一、(14分)已知50只鉚釘中有3只是次品，將這50只鉚釘隨機地用在10個部件上。若每個部件用3只鉚釘，問3只次品鉚釘恰好用在同一部件上的概率是多少？二、(14分)已知隨機變量的概率密度為，求：（1）參數(shù)；（2）；（3）。三、（14分）設隨機變量和的聯(lián)合分布以點(0,1),(1,0),(1,1)為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布,試求隨機變量的方差。四、(12分）已知的概率密度函數(shù)為．（1）求與的相關系數(shù)；（2）試判斷與的獨立性。五、（10分）設供電站供應某地區(qū)1000戶居民用電，各戶用電情況相互獨立。已知每戶每天用電量（單位：度）在[0，20]上服從均勻分布。現(xiàn)要以0.99的概率滿足該地區(qū)居民供應電量的需求，問供電站每天至少需向該地區(qū)供應多少度電？六、（8分）在總體，從中隨機抽取容量為6的樣本.求樣本均值與總體均值之差的決對值大于2的概率。七、（14分）設總體的密度函數(shù)為 其中是未知參數(shù)，且。試求的最大似然估計量。八、（14分）已知在正常生產(chǎn)的情況下某種汽車零件的重量（克）服從正態(tài)分布，在某日生產(chǎn)的零件中抽取10件，測得重量如下：55.153.854.252.154.255.055.855.155.3如果標準差不變，該日生產(chǎn)的零件的平均重量是否有顯著差異（?。扛奖硪唬?,,,,,，.[模擬試卷3]填空（16分）1、設A、B為隨機事件，P（A）=0.92，P(B)=0.93，=0.85，則___________.P（）=___________.2、袋中有50個乒乓球，其中20個是黃球，30個是白球，今有兩人依次隨機地從袋中各取一球，取后不放回，則第二個人取得黃球的概率是___________.3、設隨機變量X的密度函數(shù)為用Y表示對X的三次獨立重復觀察中事件{X}出現(xiàn)的次數(shù)，則P{Y=2}___________.4、設X~N（1，4），Y~N（0，16），Z~N（4，9），X、Y、Z相互獨立，則U=4X+3Y-Z的概率密度是___________.E（2U-3）=___________.D（4U-7）=___________.5、設…是來自正態(tài)分布N（）的樣本，且已知，是樣本均值，總體均值的置信度為的置信區(qū)間是___________.二、（12分）設有甲乙兩袋，甲袋中裝有m只白球，n只紅球，乙袋中裝有M只白球,N只紅球。今從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，問該球為白球的概率是多少？三、（12分）某信息服務臺在一分鐘內接到的問訊次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，已知任一分鐘內無問訊的概率為，求在指定的一分鐘內至少有2次問訊的概率。四、（12分）設（X、Y）具有概率密度1）求常數(shù)c；2）求P{Y2X}；3）求F（0.5，0.5）五、（12分）設隨機變量（X，Y）具有密度函數(shù)求E（X），E（Y），COV（X、Y）。六、（12）一個復雜的系統(tǒng)由100個相互獨立起作用的部件所組成。在運行期間，每個部件損壞的概率為0.1，而為了使整個系統(tǒng)正常工作，至少必需有85個部件工作，求整個系統(tǒng)工作的概率。七、（12分）設總體的密度函數(shù)為 其中是未知參數(shù)，且。試求的最大似然估計量。八、（12分）某工廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力測試（斤）服從正態(tài)分布N（576，64），某日抽取10根銅絲進行折斷力試驗，測得結果如下：578572570568572570572596584570是否可以認為該日生產(chǎn)的銅絲折斷力的標準差是8斤（）[模擬試卷4]一、（12分）（1）已知,證明：（2）證明：若則二、（14分）設X~N（），。求（1）（2）Y=1-2X的概率密度三、（12分）設X與Y是具有相同分布的隨機變量，X的概率密度為已知事件和相互獨立，且求（1）常數(shù)a（2）四、（14分）設（X、Y的概率密度為求：（1）相關系數(shù)（2）五、（12分）設供電站供應某電去1000戶居民用電，各戶用電情況相互獨立，已知每戶日用電（單位：度）在[0，20]上服從均勻分布，現(xiàn)要以0.99的概率保證該地區(qū)居民供應電量的需要，問供電站每天至少向該地區(qū)供應多少度電？六、（12分）設總體X~N（），，假設我們要以0.997的概率保證偏差，試問在時，樣本容量n應為多少？七、（12分）設為來自總體概率密度為的一個樣本，求的矩估計量。八、（12分）電工器材廠生產(chǎn)一批保險絲，取10根測得其熔化時間（min）為42，65，75，78，59，57，68，54，55，71。問是否可以認為整批保險絲的平均熔化時間為70（min）？（，熔化時間為正態(tài)變量）[模擬試卷5]一、（12分）從5雙尺碼不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率：（1）所取的4只中沒有兩只成對；（2）所取的4只中只有兩只成對（3）所取的4只都成對二、（12分）甲袋中有兩個白球四個黑球，已袋中有四個白球兩個黑球?，F(xiàn)在擲一枚均勻的硬幣，若得到正面就從甲袋中連續(xù)摸球n次（有返回），若得反面就從乙袋中連續(xù)摸球n次（有返回）。若已知摸到的n個球均為白球，求這些球是從甲袋中取出的概率。三、（12分）（1）設某商店中每月銷售某種商品的數(shù)量（件）服從參數(shù)為7的泊松分布，求一個月內至少售出2件的概率（2）設隨機變量X的分布函數(shù)求常數(shù)A及X的數(shù)學期望和方差四、（14分）某種電池的壽命X服從正態(tài)分布，a=300（小時），=35（小時），（1）求電池壽命在250小時以上的概率（2）求x，使壽命在a-x與a+x之間的概率不小于0.9（3）任取1000個這種電池，求其中最多有50個壽命在250小時以下的概率。五、（12分）設隨機變量（X，Y）具有密度函數(shù)（1）求X與Y的相關系數(shù)（2）問X與Y是否不相關（3）X與Y是否獨立，為什么？六（12分）（1）在總體N（52，）中隨機抽一容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到54.8之間的概率。（2）設總體，假如我們要以0.997的概率保證偏差，則樣本容量n應為多少？七、（12分）設總體X服從指數(shù)分布，它的密度函數(shù)為（1）求參數(shù)的最大似然估計（2）驗證所得的估計量的無偏性八、（14分）化肥廠用自動打包機裝化肥，某日測得8包化肥的重量（斤）如下：98.7100.5101.298.399.799.5101.4100.5已知各包重量服從正態(tài)分布N（）（1）是否可以認為每包平均重量為100斤（?。?？（2）求參數(shù)的90%置信區(qū)間。[模擬試卷6]一、(12分)一袋中有十個質地、形狀相同且編號分別為1、2、…、10的球。今從此袋中任意取出三個球并記錄球上的號碼，求（1）最小號碼為5的概率；（2）最大號碼為5的概率；（3）一個號碼為5，另外兩個號碼一個大于5，一個小于5的概率。12分)設隨機變量,求的分布函數(shù)與概率密度。10分)設某昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)X服從參數(shù)為50的泊松分布，又設一個蟲卵能孵化成蟲的概率為0.8,且各卵的孵化是相互獨立的，求此昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)X與孵化為成蟲數(shù)Y的聯(lián)合分布律。(14分)設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為,確定常數(shù)的值;是否相互獨立?為什么?是否不相關?為什么?(10分)一批種子中良種占1/6，從中任取6000粒，問能以0.99的概率保證其中良種的比例與1/6相差多少？這時相應的良種粒數(shù)落在哪個范圍？(12分)設總體服從二項分布，它的概率分布為,,，求未知參數(shù)的極大似然估計.(12分)某種儀器間接測量硬度，重復測量5次，所得數(shù)據(jù)是175，173，178，174，176，而用別的精確方法測量硬度為179（可看作硬度的真值），設測量硬度服從正態(tài)分布，問此種儀器測量的硬度是否顯著降低（）？(10分)已知隨機過程的均值，協(xié)方差函數(shù)，試求的均值和協(xié)方差函數(shù).(8分)設是平穩(wěn)過程，且=0，，（|τ|≤1），Y=，求和.附：,,,[模擬試卷1答案]一、解：設事件表示“顧客買下該箱”，表示“箱中恰好有件次品”，。則，，，，，。由全概率公式得；由貝葉斯公式。二、解：(1)由，得=1；（2）；（3）。三、解：（1）區(qū)域G的面積為（X、Y）的聯(lián)合概率密度為（2）X的邊緣概率密度為=Y的邊緣概率密度為=（3）顯然，所以X與Y不獨立。四、解：，，則解：設這批種子發(fā)芽數(shù)為，則，由中心極限定理得所求概率為 。六、解：（1）。 從而，則用代替得的矩估計量為。（2）由于 則。七、解：根據(jù)正態(tài)分布的性質知，，則，，從而，，又由于，相互獨立及分布的可加性知＋，則當時，服從分布。解：檢驗假設，檢驗統(tǒng)計量為，的拒絕域為。由于顯著性水平＝0.05，查表得＝1.645。因為>1.645則拒絕原假設，即在顯著性水平＝0.05下，認為該批木材的平均小頭直徑在12以上。[模擬試卷2答案]一、解：假設每個鉚釘都已編號，則樣本空間S中的樣本點總數(shù)[S]=…。設Ai=“3個次品鉚釘恰好用在第i個部件上”，i=1，2，…，10A=“3個次品鉚釘恰好用于同一部件”Ai中的樣本點個數(shù)[Ai]=…，P(Ai)=[Ai]/[S]=1/19600。P(A)==1/1960。解：(1)由歸一性，得三、解：由題意，的聯(lián)合密度函數(shù)為 則 得則 同理，。 則。 則。四、解：（1） 故（2） X與Y不獨立。五、解：設第K戶居民每天用電量為度，1000戶居民每天用電量為度，10，=。再設供應站需供應L度電才能滿足條件，則 即 ，則L=10425度。六、解：設總體由題意：，則，所求概率為 ＝＝=七、解：設是的子樣觀察值，那么樣本的似然函數(shù)為 ，就有 ，于是，似然方程為 ，從而，可得 八、解：按題意，要檢驗的假設是 ，檢驗統(tǒng)計量為，的拒絕域為。由，查正態(tài)表得臨界值，由樣本值算得 因為，故接受假設，即在時，即可以認為該日生產(chǎn)的零件的平均重量與正常生產(chǎn)時無顯著差異。[模擬試卷3答案]一、（每空2分）0.829；0.9882、2/53、9/64；-3；34725、二、解：設事件A=“從甲袋中取出一白球”，事件B=“從乙袋中取出一白球”。解：，且即≈0.9826四、解：1）由歸一性2）3）五、解：，解：系統(tǒng)中能夠正常工作的部件數(shù)X服從二項分布：X~B(100,0.9)。于是≈七、解：設是的子樣觀察值，那么樣本的似然函數(shù)為 ，就有 ，于是，似然方程為 ，從而，可得 解：需要檢驗的假設檢驗統(tǒng)計量為，拒絕域為:計算可得=575.2，s=，從而=10.65對，自由度=9，查表得因為，所以接受假設，即可以認為該日生產(chǎn)的銅絲折斷力的標準差是8斤。[模擬試卷4答案]證明（1）（2）二、（1）所以≈進而X~N（72，）所以Y~N（-143，）三、（1）因為X與Y同分布，所以P（A）=P（B），又A與B獨立所以，（舍去）又所以=進而（2）四、因為，所以所以所以，，所以，=五、解：設第K戶居民每天用電量為度，1000戶居民每天用電量為度，10，=。再設供應站需供應L度電才能滿足條件，則 即 ，則L=10425度。六、~，所以進而七、所以故需要檢驗的假設檢驗統(tǒng)計量為，的拒絕域為計算得：=62.4s=11.04所以所以故接受原假設[模擬試卷5答案]一、（1）（2）1-（3）二、設事件A表示擲得正面，事件B表示所摸到的球為n個白球，由題意AB表示從甲袋中摸到n個白球，所以，表示從甲袋中摸到n個白球，所以=三、（1）設商店每月銷售某種商品的數(shù)量為，則（2），所以A=1，四、（1），所以（2），x=57.58（3）設任一此種電池壽命在250小時以下的概率為p，則則1000個電池中，壽命在250小時以下的電池數(shù)X服從二項分布五、（1）解：，，所以（2）不相關（3）不獨立，