中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《三角板問題》專項(xiàng)檢測卷(附帶答案)

第頁中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《三角板問題》專項(xiàng)檢測卷(附帶答案)學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________三角板是學(xué)生最常用的學(xué)習(xí)工具,以三角板為道具,以學(xué)生常見、熟悉的幾何圖形為載體,并輔之以平移、旋轉(zhuǎn)等變換手段的問題,能為學(xué)生提供動(dòng)手實(shí)踐操作設(shè)計(jì)的空間,較好地考查了學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、聯(lián)想、類比、歸納的能力以及運(yùn)動(dòng)變化、分類討論思想等的綜合運(yùn)用能力.這類操作性的題目格調(diào)清新,立意新穎,充分體現(xiàn)了課標(biāo)中提出的“培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦、實(shí)踐探索的能力”的要求,既注重基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)又具有很強(qiáng)的綜合性,因此受到了各地中考命題專家的青睞.由一副三角板產(chǎn)生的問題（一）.由一副三角板的疊放1、一副三角板如圖1所示疊放在一起，則圖中∠a的度數(shù)是。解析：本題利用學(xué)生熟知的三角板的度數(shù)和三角形的內(nèi)角和易知∠a的度數(shù)為750。圖1.2.一幅三角板按圖2所示疊放在一起,若固定△AOB,將△ACD繞著公共頂點(diǎn)A,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度(0<α<180),當(dāng)△ACD的一邊與△AOB的某一邊平行時(shí),相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α的值是.（二）.由一副三角板的拼接3、一副三角板按如圖3所示的方式擺放，且∠1的度數(shù)比∠2的度數(shù)大500，若設(shè)∠1=x0,∠2=y0，則可得到方程組為（）。EQA、B、EQEQC、D、圖3（三）．由一副三角板的旋轉(zhuǎn)4取一副三角板圖6（1）拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點(diǎn)A依順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)大小為α的角（0°<α≤45°）等到△ABC′，如圖6（2）所示。試問（1）當(dāng)α為多少度時(shí)，能使得圖6（2）中的AB∥DC?（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖6（3）位置時(shí)，此時(shí)α又為多少度？圖中你能找出哪幾對相似三角形，并求出其中一對的相似比；（3）連接BD，當(dāng)0°<α≤45°時(shí)，探尋∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的證明。5.一副三角板按圖5所示疊放在一起，若固定△AOB，將△ACD繞著公共頂點(diǎn)A，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（0°<α<180°），當(dāng)△ACD的一邊與△AOB的某一邊平行時(shí)，相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α的值是______________________________________。7、已知：將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖6擺放，點(diǎn)E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點(diǎn)，將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°＜α＜90°)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DE、AC相交于點(diǎn)M，直線DF、BC相交于點(diǎn)N，分別過點(diǎn)M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H.(1)當(dāng)α=30°時(shí)(如圖7)，求證：AG=DH；(2)當(dāng)α=60°時(shí)(如圖8)，(1)中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并說明理由；(3)當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并根據(jù)圖9說明理由.二．由兩塊形狀大小都相同的三角板產(chǎn)生的問題（一）.兩塊形狀大小都相同三角板的平移8、如圖4，兩個(gè)相同的直角三角尺重疊后，沿斜邊推動(dòng)其中一塊，使它平移到某一位置。四邊形ABOA/的面積與四邊形B/C/CO的面積有什么關(guān)系？已知BO=3，OB/=2，BC=a。用含a的整式表示四邊形ABOA/的面積。圖49、把兩塊含有300的相同的直角尺按如圖所示擺放，使點(diǎn)C、B、E在同一條直線上，連結(jié)CD，若AC=6cm，則ΔBCD的面積是。（二）.兩塊形狀大小都相同三角板的旋轉(zhuǎn)10、把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4。把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交與點(diǎn)Q。

（1）如圖17（1），當(dāng)射線DF經(jīng)過點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，

易證△APD∽△CDQ。此時(shí)，AP·CQ=____。

（2）將三角板DEF由圖17（1）所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，其中0°<α<90°，問AP·CQ的值是否改變？說明你的理由。

（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式。11、將兩塊全等的含30°的三角尺如圖15擺放在一起,它們的較短直角邊長為3.(1)將△ECD沿直線l向左平移到圖16的位置,使E點(diǎn)落在AB上,則CC′為多少？(2)將△ECD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖17的位置,使點(diǎn)E落在AB上,則△ECD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為多少？(3)將△ECD沿直線AC翻折到圖18的位置,ED′與AB相交于點(diǎn)F,求證:AF=FD′.12、把兩塊全等的直角三角板和疊放在一起，使三角板的銳角頂點(diǎn)與三角板的斜邊中點(diǎn)重合，其中，，，把三角板固定不動(dòng)，讓三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線與射線相交于點(diǎn)，射線與線段相交于點(diǎn)．（1）如圖5，當(dāng)射線經(jīng)過點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，易證．此時(shí)，________．（2）將三角板由圖5所示的位置繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖6，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．其中，問的值是否改變？說明你的理由．（3）在（2）的條件下，設(shè)，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（三）.兩塊形狀大小都相同三角板的疊放13、如圖4，兩個(gè)全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖4所示放置，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME、MC.試判斷△EMC的形狀，并說明理由.14、（1）把兩個(gè)含有45°角的直角三角板如

圖18（1）放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE，AD，AD的延長線交BE于點(diǎn)F。

求證:AF⊥BE。

（2）把兩個(gè)含有30°角的直角三角板如圖18（2）放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE,AD,AD的延長線交BE于點(diǎn)F。問AF與BE是否垂直？并說明理由。三．由兩塊形狀相同但大小不等的三角板產(chǎn)生的問題15、如圖,腰長為1和2的兩個(gè)等腰直角三角形,其一腰在同一水平線上,小等腰直角三角形沿該水平線自左向右勻速穿過大等腰直角三角形,設(shè)穿過的時(shí)間為x,大等腰三角形內(nèi)減去小等腰直角三角形部分的面積為y(各個(gè)圖中的陰影部分),則y與x的大致圖象為（）16、(1)把兩個(gè)含有45°角的直角三角板如圖19放置,點(diǎn)D在BC上,連結(jié)BE,AD,AD的延長線交BE于點(diǎn)F.求證:AF⊥BE.(2)把兩個(gè)含有30°角的直角三角板如圖20放置,點(diǎn)D在BC上,連結(jié)BE,AD,AD的延長線交BE于點(diǎn)F.問AF與BE是否垂直?說明理由.17、兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板圖1圖1圖2DCEAB如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結(jié)．（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明：．四．由一塊三角板產(chǎn)生的問題（一）.由一塊三角板產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)18、如圖2，一塊含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到A′B′C′的位置，若BC的長為15cm，那么頂點(diǎn)A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為().A.10πcmB.10πcmC.15πcmD.20πcm19、如圖5，斜邊長為6cm，∠A=30°的直角三角板ABC，繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使點(diǎn)B′落在原三角板ABC的斜邊AB上，則三角板向左平移的距離為____cm.EBMACN20、含角的直角三角板（）繞直角頂點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（），再沿的對邊翻折得到，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．EBMACN（1）求證：．（2）當(dāng)時(shí)，找出與的數(shù)量關(guān)系，并加以說明．21、如圖5，已知等腰直角三角板ABC中，AB=AC=1，ABC=900，把一塊含300角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N。證明DM=DN。在這一旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角板DEF與等腰直角三角板ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積？繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖6所示的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖7的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？請寫出結(jié)論，不用證明。圖5圖6圖722、孔明是一個(gè)喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線的性質(zhì)時(shí)，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，兩直角邊與該拋物線交于、兩點(diǎn)，請解答以下問題：

⑴若測得（如圖7），求的值；

⑵對同一條拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖8所示位置時(shí)，過作軸于點(diǎn)，測得，寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

⑶對該拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點(diǎn)、的連線段總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)，試說明理由并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)。

（二）.由一塊三角板產(chǎn)生平移23.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)G，一等腰直角三角尺按如圖13（1）所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊也恰好經(jīng)過點(diǎn)B。（1）在圖13(1)中請你通過觀察，測量BF與CG的長度，猜想并寫出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；

（2）當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖13（2）所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BA于點(diǎn)E。此時(shí)請你再通過觀察測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE+DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；

（3）當(dāng)三角尺在圖13（2）的基礎(chǔ)上沿AC方向平移到圖13（3）所示位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合)時(shí)，圖13（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）五．一塊三角板相對運(yùn)動(dòng)問題24、如圖(1)，將斜邊長為6cm的直角三角板放置在直角坐標(biāo)系中，直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，直角邊分別與x軸、y軸重合，且∠MNO=60°。將長和寬分別為6cm、2cm的直尺ABCD的長邊與直線MN重合，其中C點(diǎn)與N點(diǎn)重合（如圖(2)）。三角板固定不動(dòng)，直尺以1cm/s的速度沿著直線MN向左上方滑動(dòng)（如圖(3)），直到C點(diǎn)與M點(diǎn)重合為止。設(shè)移動(dòng)ts后，直尺和三角板重疊部分的面積為Scm2。求：（1）直線MN的函數(shù)關(guān)系式；（2）S與t

之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值。答案部分一．由一副三角板產(chǎn)生的問題（一）.由一副三角板的疊放1、一副三角板如圖1所示疊放在一起，則圖中∠a的度數(shù)是。解析：本題利用學(xué)生熟知的三角板的度數(shù)和三角形的內(nèi)角和易知∠a的度數(shù)為750。圖1.2.一幅三角板按圖2所示疊放在一起,若固定△AOB,將△ACD繞著公共頂點(diǎn)A,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度(0<α<180),當(dāng)△ACD的一邊與△AOB的某一邊平行時(shí),相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α的值是.解析當(dāng)CD∥AB時(shí),α=30°;當(dāng)AC∥OB時(shí),α=45°;當(dāng)CD∥OA時(shí),α=75°;當(dāng)AD∥OB時(shí),α=135°;當(dāng)CD∥OB時(shí),α=165°.（二）.由一副三角板的拼接3、一副三角板按如圖3所示的方式擺放，且∠1的度數(shù)比∠2的度數(shù)大500，若設(shè)∠1=x0,∠2=y0，則可得到方程組為（）。EQA、B、EQEQC、D、圖3解析：本題是以三角板的拼接為背景，巧妙的利用∠1和∠2互余和∠1比∠2的度數(shù)500兩個(gè)數(shù)量關(guān)系列出方程。故選擇D。（三）．由一副三角板的旋轉(zhuǎn)4取一副三角板圖6（1）拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點(diǎn)A依順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)大小為α的角（0°<α≤45°）等到△ABC′，如圖6（2）所示。試問（1）當(dāng)α為多少度時(shí)，能使得圖6（2）中的AB∥DC?（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖6（3）位置時(shí)，此時(shí)α又為多少度？圖中你能找出哪幾對相似三角形，并求出其中一對的相似比；（3）連接BD，當(dāng)0°<α≤45°時(shí)，探尋∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的證明。5.一副三角板按圖5所示疊放在一起，若固定△AOB，將△ACD繞著公共頂點(diǎn)A，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（0°<α<180°），當(dāng)△ACD的一邊與△AOB的某一邊平行時(shí)，相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α的值是______________________________________。7、已知：將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖6擺放，點(diǎn)E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點(diǎn)，將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°＜α＜90°)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DE、AC相交于點(diǎn)M，直線DF、BC相交于點(diǎn)N，分別過點(diǎn)M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H.(1)當(dāng)α=30°時(shí)(如圖7)，求證：AG=DH；(2)當(dāng)α=60°時(shí)(如圖8)，(1)中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并說明理由；(3)當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并根據(jù)圖9說明理由.(1)證明如圖7，∵∠A=∠ADM=30°，∴MA=MD.又MG⊥AD于點(diǎn)G，∴AG=AD.∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，∴CB=CD.∴C與N重疊.又NH⊥DB于點(diǎn)H，∴DH=DB.∵AD=DB，∴AG=DH.(2)解當(dāng)α=60°時(shí)，(1)中的結(jié)論成立.如圖8，∵∠ADM=60°，∴∠NDB=90°-60°=30°.∴∠MAD=∠NDB.又AD=DB，∠ADM=∠B=60°，∴△MAD≌△NDB.∴MA=ND.∵M(jìn)G，NH分別是△MAD，△NDB的對應(yīng)高，∴Rt△MAG≌Rt△NDH.∴AG=DH.(3)解當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，(1)中的結(jié)論成立.如圖9，在Rt△AMG中，∠A=30°，∴∠AMG＝60°＝∠B.又∠AGM=∠NHB=90°，∴△AGM∽△NHB.∴.①∵∠MDG=α，∴∠DMG=90°-α=∠NDH.又∠MGD=∠DHN=90°，∴Rt△MGD∽R(shí)t△DHN.∴.②①×②，得.由比例的性質(zhì)，得，即.∵AD=DB，∴AG=DH二．由兩塊形狀大小都相同的三角板產(chǎn)生的問題（一）.兩塊形狀大小都相同三角板的平移8、如圖4，兩個(gè)相同的直角三角尺重疊后，沿斜邊推動(dòng)其中一塊，使它平移到某一位置。四邊形ABOA/的面積與四邊形B/C/CO的面積有什么關(guān)系？已知BO=3，OB/=2，BC=a。用含a的整式表示四邊形ABOA/的面積。圖4解析：（1）因?yàn)閮蓚€(gè)三角尺的面積相等，平移后重疊部分的面積相等，所以未重疊部分的面積也相等。（2）由圖知，四邊形B/C/CO是直角梯形，底邊B/C/=BC=a，底邊OC=BC-BO=a-3，高OB/=2，所以它的面積為。即四邊形ABOA/的面積也為2a-3。9、把兩塊含有300的相同的直角尺按如圖所示擺放，使點(diǎn)C、B、E在同一條直線上，連結(jié)CD，若AC=6cm，則ΔBCD的面積是。（二）.兩塊形狀大小都相同三角板的旋轉(zhuǎn)10、把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4。把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交與點(diǎn)Q。

（1）如圖17（1），當(dāng)射線DF經(jīng)過點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，

易證△APD∽△CDQ。此時(shí)，AP·CQ=____。

（2）將三角板DEF由圖17（1）所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，其中0°<α<90°，問AP·CQ的值是否改變？說明你的理由。

（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式。解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，

∴△APD∽△CDQ．

∴AP：CD=AD：CQ．

∴即AP×CQ=AD×CD，

∵AB=BC=6，

∴AD=CD=3

2

，

∴AP×CQ=AD×CD=18；

故答案為：18．

（2）當(dāng)時(shí)，如圖2

過點(diǎn)D作于M，

于N

則

∵，則

∴

∴

當(dāng)時(shí)，如圖3

過點(diǎn)D作

于G，

∵

∴

∴

∵

即

∴

∴（）

（3）在圖（2）的情況下，

時(shí)

則

∴則

當(dāng)，11、將兩塊全等的含30°的三角尺如圖15擺放在一起,它們的較短直角邊長為3.(1)將△ECD沿直線l向左平移到圖16的位置,使E點(diǎn)落在AB上,則CC′為多少？(2)將△ECD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖17的位置,使點(diǎn)E落在AB上,則△ECD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為多少？(3)將△ECD沿直線AC翻折到圖18的位置,ED′與AB相交于點(diǎn)F,求證:AF=FD′.12、把兩塊全等的直角三角板和疊放在一起，使三角板的銳角頂點(diǎn)與三角板的斜邊中點(diǎn)重合，其中，，，把三角板固定不動(dòng)，讓三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線與射線相交于點(diǎn)，射線與線段相交于點(diǎn)．（1）如圖5，當(dāng)射線經(jīng)過點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，易證．此時(shí)，________．（2）將三角板由圖5所示的位置繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至圖6，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．其中，問的值是否改變？說明你的理由．（3）在（2）的條件下，設(shè)，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．分析：本題綜合考查函數(shù)、相似三角形、動(dòng)點(diǎn)問題，第三問通過分析不同情況下兩個(gè)三角板的位置，確定函數(shù)解析式．解：（1）8；（2）的值不會(huì)改變．理由如下：在與中，，，，∴，∴，∴，∴．（3）情形1：當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)兩三角板重疊部分為四邊形，過作于，于，∴，由（2）知：，得．于是．情形2：當(dāng)時(shí)，時(shí)，即，此時(shí)兩三角板重疊部分為，由于，，易證：，∴即解得，∴，于是．綜上所述，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．（三）.兩塊形狀大小都相同三角板的疊放13、如圖4，兩個(gè)全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖4所示放置，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)ME、MC.試判斷△EMC的形狀，并說明理由.14、（1）把兩個(gè)含有45°角的直角三角板如

圖18（1）放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE，AD，AD的延長線交BE于點(diǎn)F。

求證:AF⊥BE。

（2）把兩個(gè)含有30°角的直角三角板如圖18（2）放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE,AD,AD的延長線交BE于點(diǎn)F。問AF與BE是否垂直？并說明理由。證明：（1）證明：方法一：在△ACD和△BCE中，AFBCEAFBCED∠DCA＝∠ECB＝90°，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE（SAS）．………………2分∴∠DAC＝∠EBC．………3分∵∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴∠BFD=90°．∴AF⊥BE．…………………5分方法二：∵AC＝BC，DC＝EC，ABDCEF∴．即tan∠DAC＝ABDCEF∴∠DAC＝∠EBC．（下略）…3分（2）AF⊥BE．…………………6分∵∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴＝tan60°．……7分∴△DCA∽△ECB．…………8分∴∠DAC＝∠EBC．…………9分∵∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴∠BFD=90°．∴AF⊥BE．…………三．由兩塊形狀相同但大小不等的三角板產(chǎn)生的問題15、如圖,腰長為1和2的兩個(gè)等腰直角三角形,其一腰在同一水平線上,小等腰直角三角形沿該水平線自左向右勻速穿過大等腰直角三角形,設(shè)穿過的時(shí)間為x,大等腰三角形內(nèi)減去小等腰直角三角形部分的面積為y(各個(gè)圖中的陰影部分),則y與x的大致圖象為（）16、(1)把兩個(gè)含有45°角的直角三角板如圖19放置,點(diǎn)D在BC上,連結(jié)BE,AD,AD的延長線交BE于點(diǎn)F.求證:AF⊥BE.(2)把兩個(gè)含有30°角的直角三角板如圖20放置,點(diǎn)D在BC上,連結(jié)BE,AD,AD的延長線交BE于點(diǎn)F.問AF與BE是否垂直?說明理由.證明：（1）證明：方法一：在△ACD和△BCE中，AFBCEAFBCED∠DCA＝∠ECB＝90°，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE（SAS）．………………2分∴∠DAC＝∠EBC．………3分∵∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴∠BFD=90°．∴AF⊥BE．…………………5分方法二：∵AC＝BC，DC＝EC，ABDCEF∴．即tan∠DAC＝ABDCEF∴∠DAC＝∠EBC．（下略）…3分（2）AF⊥BE．…………………6分∵∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴＝tan60°．……7分∴△DCA∽△ECB．…………8分∴∠DAC＝∠EBC．…………9分∵∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴∠BFD=90°．∴AF⊥BE．…………17、兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板圖1圖1圖2DCEAB（第22題）如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結(jié)．（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明：．解：圖2中證明如下：與均為等腰直角三角形，，即證明：由（1）知又5方法二：∵AC＝BC，DC＝EC，∴．即tan∠DAC＝tan∠EBC．∴∠DAC＝∠EBC．（下略（2）AF⊥BE．…∵∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴＝tan60∴△DCA∽△ECB．∴∠DAC＝∠EBC．∵∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴∠BFD=90°．∴AF⊥BE．四．由一塊三角板產(chǎn)生的問題（一）.由一塊三角板產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)18、如圖2，一塊含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到A′B′C′的位置，若BC的長為15cm，那么頂點(diǎn)A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為().A.10πcmB.10πcmC.15πcmD.20πcm19、如圖5，斜邊長為6cm，∠A=30°的直角三角板ABC，繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使點(diǎn)B′落在原三角板ABC的斜邊AB上，則三角板向左平移的距離為____cm.EBMACN20、含角的直角三角板（）繞直角頂點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（），再沿的對邊翻折得到，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．EBMACN（1）求證：．（2）當(dāng)時(shí)，找出與的數(shù)量關(guān)系，并加以說明．21、如圖5，已知等腰直角三角板ABC中，AB=AC=1，ABC=900，把一塊含300角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N。證明DM=DN。在這一旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角板DEF與等腰直角三角板ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積？繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖6所示的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖7的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？請寫出結(jié)論，不用證明。圖5圖6圖7解析：（1）①證明：連結(jié)DB。在Rt△ABC中，因?yàn)锳B=AC，AD=DC，所以DB=DC=AD，BDC=900所以∠ABD=∠C=450因?yàn)椤螹DB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=900所以∠MDB=∠NDC所以△BMD≌△CND。所以DM=DN。四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化。由①知△BMD≌△CND。所以S△BMD=S△CND所以S四邊形DMBN=S△DBN+S△DMB=S△DBN+S△DNC=S△DBC=S△ABC=。（2）DM=DN仍然成立。證明：連結(jié)DB在Rt△ABC中，因?yàn)锳B=AC，AD=DC，所以DB=DC，∠BDC=900所以∠DCB=∠DBC=450所以∠DBM=∠DCM=1350因?yàn)椤螻DC+∠CDN=∠BDM+∠BDN=900所以∠CDN=∠BDM所以△CDN≌△BDM所以DM=DNDM=DN。22、孔明是一個(gè)喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線的性質(zhì)時(shí)，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，兩直角邊與該拋物線交于、兩點(diǎn)，請解答以下問題：

⑴若測得（如圖7），求的值；

⑵對同一條拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖8所示位置時(shí)，過作軸于點(diǎn)，測得，寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

⑶對該拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點(diǎn)、的連線段總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)，試說明理由并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)。

解析：⑴設(shè)線段與軸的交點(diǎn)為，由拋物線的對稱性可得為中點(diǎn)，又由三角板的特殊性可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為：(，)，將(，)代入拋物線得，。

⑵此問解法較多，現(xiàn)舉例如下：

如圖8，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

解法一：證△∽△和拋物線的有關(guān)知識(shí)可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

解法二：由解直角三角形和拋物線的有關(guān)知識(shí)可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

解法三：利用勾股定理和拋物線的有關(guān)知識(shí)可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

⑶解法一：設(shè)（，）（），（，）（），

設(shè)直線的解析式為：，得，解得，又易知△∽△，，，，.由此可知不論為何值，直線恒過點(diǎn)（，）

解法二：設(shè)（，）（），（，）（），直線與軸的交點(diǎn)為，根據(jù)，可得

，

化簡，得.又易知△∽△，∴，

∴，∴，∴為固定值。故直線恒過其與軸的交點(diǎn)（,）。

解法三：的值也可以通過以下方法求得：

由前可知，，，由，得：，化簡，得。（二）.由一塊三角板產(chǎn)生平移23.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)G，一等腰直角三角尺按如圖13（1）所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊也恰好經(jīng)過點(diǎn)B。（1）在圖1