2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點訓(xùn)練-二次函數(shù)的最值

2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點專題訓(xùn)練一二次函數(shù)的最值

一、綜合題

1.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=-4/+(mT)x+2m與x軸交于A,B(4,0)兩點，與

y軸交于點C,點P是拋物線在第一象限內(nèi)的一個動點.

(1)求拋物線的解析式，并直接寫出點A,C的坐標(biāo)；

(2)如圖甲，點M是直線BC上的一個動點，連接AM,OM,是否存在點M使AM+OM最

小，若存在，請求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

(3)如圖乙，過點P作PFLBC,垂足為F,過點C作CDLBC,交x軸于點D,連接DP交

C

BC于點E,連接CP.設(shè)APEF的面積為△PEC的面積為S2,是否存在點P,使得白最大，若

存在，請求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

2.如圖，直線y=-空x+遮分別與x軸、y軸交于B、C兩點，點A在x軸上，ZACB=90°,

(2)求拋物線的解析式；

(3)點M是直線BC上方拋物線上的一點，過點M作MHLBC于點H,作MD〃y軸交BC于

點D,求△DMH周長的最大值.

2

y)且y——gx+16?

(1)求AD,BC的長和四邊形ABCD的面積.

(2)連接PQ,設(shè)aAPQ的面積為S,在P,Q的運動過程中，S是否存在最大值，若存在，求

出S的最大值；若不存在，請說明理由.

(3)當(dāng)PQ與四邊形ABCD其中一邊垂直時，求所有滿足要求的x的值.

4.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+l經(jīng)過A(-1,0),B(1,1)兩點.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)閱讀理解：

在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線h：y=kix+bi(ki,bi為常數(shù)，且kiWO),直線b：y=k2X+b2(k2,

b2為常數(shù)，且為翔),若1山2,則ki?k2=-l.

解決問題：

①若直線y=3x-1與直線y=mx+2互相垂直，求m的值；

②拋物線上是否存在點P,使得4PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，請求出點P的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)M是拋物線上一動點，且在直線AB的上方(不與A,B重合)，求點M到直線AB的距離

的最大值.

5.新冠肺炎期間，某超市將購進一批口罩進行銷售，已知購進4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，

購進5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元。兩種口罩以相同的售價銷售，甲口罩的銷量為(盒)與

售價x(元)之間的關(guān)系為為=400-8%；當(dāng)售價為40元時，乙口罩可銷售100盒，售價每提

高1元，少銷售5盒.

(1)求甲、乙兩種口罩每盒的進價分別為多少元？

(2)當(dāng)乙口罩的售價為多少元時，乙口罩的銷售總利潤最大？此時兩種口罩的銷售利潤總和為多

少？

(3)已知甲的銷售量不低于乙口罩的銷售量的差，若使兩種口罩的利潤總和最高，此時的定

價應(yīng)為多少？

6.已知二次函數(shù)y=%24-(m—2)x+m—4,其中m>2.

(1)當(dāng)該函數(shù)的圖象經(jīng)過原點0(0,0),求此時函數(shù)圖象的頂點4的坐標(biāo)；

(2)求證：二次函數(shù)y=%2+(m-2)x+m-4的頂點在第三象限；

(3)如圖，在(1)的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖象，使其頂點在直線y=-%-2上運

動，平移后所得函數(shù)的圖象與y軸的負(fù)半軸的交點為B,求AAOB面積的最大值.

7.已知：拋物線y=x2+(2m-l)x+m2-1經(jīng)過坐標(biāo)原點，且當(dāng)％<0時,y隨x的增大而減

小.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如下圖，設(shè)點A是該拋物線上位于x軸下方的一個動點，過點A作x軸的平行線交拋物線

于另一點D,再作AB1x軸于點B,DC1x軸于點C.

②設(shè)動點A的坐標(biāo)為(a,b),將矩形ABCD的周長L表示為a的函數(shù)，并寫出自變量的取值范

圍，判斷周長是否存在最大值，如果存在，求出這個最大值，并求出此時點A的坐標(biāo)；如果不存

在，請說明理由.

8.如圖1,在RtaABC中，ZACB=RtZ,AB=10,AC=6,點D以每秒5個單位長度的速度從點

B處沿射線BC方向運動，點P以相同的速度從點A出發(fā)沿邊AB向點B運動，當(dāng)F運動至點B

時，點DE同時停止運動，設(shè)點D運動時間為1秒。

A

（1）用含t的代數(shù)式分別表示線段BD和BF的長度，則BD=,BF=。

（2）設(shè)小BDF的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式及S的最大值。

（3）如圖2,以DF為對角線作正方形DEFG,在運動過程中，是否存在正方形DEFG的一邊恰

好落在RtAABC的一邊上，若存在，求出所有符合條件的t值；若不存在，請說明理由。

9.某公司銷售一種商品，成本為每件30元，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的日銷售量y（件）與銷售

單價%（元）是一次函數(shù)關(guān)系，其銷售單價、日銷售量的三組對應(yīng)數(shù)值如下表：

銷售單價X（元）406080

日銷售量y（件）806040

（1）求公司銷售該商品獲得的最大日利潤;

（2）銷售一段時間以后，由于某種原因，該商品每件成本增加了10元，若物價部門規(guī)定該商品

銷售單價不能超過a元，在日銷售量y（件）與銷售單價x（元）保持（1）中函數(shù)關(guān)系不變的情況

下，該商品的日銷售最大利潤是1500元，求a的值.

10.在一元二次方程中，根的判別式4=川-4ac通常用來判斷方程實根個數(shù)，在實際應(yīng)用當(dāng)中，

我們亦可用來解決部分函數(shù)的最值問題，例如：已知函數(shù)y=x2-6x+6,當(dāng)％為何值時，y

取最小值，最小值是多少？

解答：已知函數(shù)y=x2—6x+6,

.??x2-6x+（6-y）=0,（把y當(dāng)作參數(shù)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程）

Vb2-4ac>0，即36—4（6—y）20,y>-3,（當(dāng)y為何值時，存在相應(yīng)的x與之對

應(yīng)，即方程有根）

因此y的最小值為-3,此時久2一6%+6=-3,解得打=外=3,符合題意，所以當(dāng)％=3

時,ymin=-3.

B

(1)已知函數(shù)y=-4x2+6%-3,y的最大值是多少？

(2)已知函數(shù)y=弓-2計3,最小值是多少？

/X2-4X+4

(3)如圖，已知Rt△ABC、RtAAED,D是線段BC上一點，zB=/.EAD=90°,

AB=BC,DC=AE=1,當(dāng)BD為何值時，益取最小值，最小值是多少？

11.已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于＞4(-1,0),B(m,0)兩點，與y軸交于點

圖】圖2

(1)求b,c,m的值；

(2)如圖1,點。是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一個動點，且點D在第一象限內(nèi)，過點D

作x軸的平行線交拋物線于點E,作y軸的平行線交x軸于點G,過點E作EFlx軸，垂

足為點F,當(dāng)四邊形DEFG的周長最大時，求點D的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點M是拋物線的頂點，將4MBC沿BC翻折得到△NBC,NB與y軸交

于點Q,在對稱軸上找一點P,使得aPQB是以QB為直角邊的直角三角形，求出所有符合條

件的點P的坐標(biāo).

12.如圖1,折疊矩形紙片ABCD,具體操作：①點E為AD邊上一點(不與點A、D重合)，把

△ABE沿BE所在的直線折疊，A點的對稱點為F點；②過點E對折/DEF,折痕EG所在的直線

交DC于點G、D點的對稱點為H點.

(1)求證：△ABE^ADEG.

(2)若AB=6,BC=10,

①點E在移動的過程中，求DG的最大值；

②如圖2,若點C恰在直線EF上，連接DH,求ADGH的面積.

13.平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(1,2),B(2,3),C(2,1),拋物線y=ax?+bx+l恰好經(jīng)過

A,B,C中的兩點.

(1)求a,b的值；

(2)平移拋物線y=ax2+bx+l,使其頂點在直線y=x+l上，設(shè)平移后拋物線頂點的橫坐標(biāo)為m.

①求平移后拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

②求平移后的拋物線與y軸交點縱坐標(biāo)的最大值.

14.已知拋物線y=-1x2+2ax-4

(1)討論拋物線與x軸的交點個數(shù)，

(2)若a=l,當(dāng)-2SxSm時，該函數(shù)的最大值與最小值之差為4m,求實數(shù)m的值.

鏈接材料：對于解一元二次不等式，常采用數(shù)形結(jié)合的方式.

例：解不等式：x2+x-2>0.

解：不等式x2+x-2>0的解集，

等價于不等式(x-1)(x+2)>0的解集，

等價于函數(shù)y=(x-1)(x+2)的圖象在x軸上方部分對應(yīng)的x的取值范圍.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系(隱去y軸)中，畫出函數(shù)丫=(x-1)(x+2)的大致圖象，由圖象可

知：函數(shù)y=(x-1)(x+2)的圖象在x軸上方時，對應(yīng)的x的取值范圍是xV-2或x>l

不等式x2+x-2>0的解集是x<-2或x>1

15.如圖，已知直線y=-2x+6與y軸交于點A,與x軸交于點B,拋物線y=-2x2+mx+n經(jīng)過

A,B兩點.

(1)求該拋物線的解析式.

(2)若點D是第一象限拋物線上的點，連接0D交直線AB于點C,求累的最大值.

(3)若拋物線上有且僅有三個點Fi,F2,F3,使得AABFI,△ABF2,4ABF3的面積均為定值

S,求定值S及Fl,F2,F3這三個點的坐標(biāo).

16.如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2-8x+6(存0)相交于A(4,6)和B(|,|),點P是線段

AB上異于A、B的動點，過點P作PDLx軸于點E,交拋物線于點D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)D為拋物線頂點的時候，求4ADC的面積；

(3)是否存在這樣的點P,使△ADC的面積有最大值，若存在，求出這個最大值，若不存在,

請說明理由.

答案解析部分

L【答案】(I)解：將B(4,0)代入丫=-2工2+(m-1)x+2m,

?二-8+4(m-1)+2m=0,

解得m=2,

?*.y=-#+x+4；

A(-2,0)；C(0,4)

(2)解：存在點M使AM+OM最小，理由如下：

作O點關(guān)于BC的對稱點o',連接A0‘交BC于點M,連接BO,，

由對稱性可知，OM=o'M,

.?.AM+OM=AM+O'M?AO',

當(dāng)A、M、o'三點共線時，AM+OM有最小值,

VB(4,0),C(0,4),

.*.OB=OC,

，NCBO=45。，

由對稱性可知/O‘BM=45。，

.,.Bo'_LBO,

二0‘(4,4),

設(shè)直線A。'的解析式為y=kx+b,

?(—2k+b=0

4k+b=4'

2

-

=3

得

4

-

=3

24

-

+-3

3X

設(shè)直線BC的解析式為y+4,

.-.4k'+4=0,

k=-1，

；.y=-x+4,

y=-x+4

聯(lián)立方程組_2,4'

y~3x+3

8

X=5

解得

12'

AM(|,韻

c

⑶解：存在點p,使喝最大，理由如下:

連接PB,過P點作PG||y軸交CB于點G,

設(shè)P(t,-4t2+t+4),則G(t,-t+4),

.*.PG=-1t2+2t,

：0B=0C=4,

:.BC=4VL

2

,,.SABCP=^X4X(-if2+2t)=-t+4t=1x4V2><PF,

:.PF=-^t2+V2t,

7CD±BC,PF_LBC,

:.PF||CD,

.EF_PF

"CE~CD'

，.Si_EF

.底一西

.S-PF

，

'S2~CD

：B、D兩點關(guān)于y軸對稱，

.\CD=4V2,

得=喂(產(chǎn)一爾)=噎(t-2)2+l，

?；P點在第一象限內(nèi)，

.,.0<t<4,

.?.當(dāng)t=2時，裳有最大值?

、24

此時P(2,4).

2.【答案】⑴解：?.?直線y=-x+V3分別與x軸、y軸交于B、C兩點,

AB(3,0),C(0,V3),

AOB=3,OC=V3,

/.tanZBCO=再二百，

AZBCO=60o,

VZACB=90°,

.\ZACO=30°,

.嚼=tan30°=停，即矍=字，解得AO=1,

AA(-1,0)；

(2)解：?拋物線y=ax?+bx+V3經(jīng)過A,B兩點，

心——西

"”七°,解得j-3；

19a+3b+V3=01_2、

Vb=~

.?.拋物線解析式為y=-亭x2+竽x+V5；

(3)解：：MD〃y軸，MH±BC,

.?.NMDH=NBCO=60°,貝1JNDMH=3O°,

；.DH=|DM,MH=坐DM,

4z

，△DMH的周長=DM+DH+MH=DM+iDM+*DM=3dDM,

乙NZ

.?.當(dāng)DM有最大值時，其周長有最大值，

???點M是直線BC上方拋物線上的一點，

二可設(shè)M(t,-孚t2+季t+V3),則D(t,-字t+次)，

ADM=-孚t2+竽t+—,則D(t,-亭t+V5)，

；.DM=-4t2+醇t+V3-(-宜t+通)=-t2+V3t=-0(t-)2+這，

33333幺4

.?.當(dāng)t=|時，DM有最大值，最大值為季，

24

此時3+/DM=3+/x也=96+9

2248

即小DMH周長的最大值為亞|母?

O

3.【答案】(1)解：由題意：：P,Q兩點同時到達(dá)終點，

所以，當(dāng)x=0時，y=16,即AD=16；當(dāng)y=0時，x=24,所以BC=14

過點B作BMJ_AD,過點D作DNLBC,如下圖:

又：AD〃BC,可知四邊形BMDN為矩形

設(shè)AM=m,MD=16—m,即BN=16—m,

.*.CN=m-2,

根據(jù)BM=DN,可得：IO?—m2=(4石，一(m—2)2,

解得m=6.即BM=8,CN=4

，四邊形ABCD的面積為：(16+14)x8+2=120

(2)解：當(dāng)點P在線段AB上時，0<xW10，作PE14。，如下圖,

貝I」PE//BM,.?.△APEABM

.AP__PE_AE,即PE=9,AE=|x

Si9QXPE4（等+】6）哈=-L2+醇

對稱軸為x=12,a<0

又<xW10

?"?x—10時，SAAPQ最大，為"2

當(dāng)P在BC上時，10WxW24,SBAPQ=之4QXBM=—+64

k<0,SAAPQ隨x的增大而減小，

綜上所述，SAAPQ的最大值為半

(3)解：當(dāng)PQ1AB時，如下圖:

；.△APQSAAMB

.AP_AQ，即尹奉解得什竽

??麗=而

當(dāng)PQ1BC時，可得BP=MQ即%-10=-^x+16-6

解得x=12

當(dāng)PQ1CD時，如下圖:

又,：乙H="ND=乙PEQ=90°,乙PQE=乙DQH

:.APEQ?△DHQS^CND

.PE_CN

^EQ~DN

由（1）⑵得PE=9,AE=1x,CN=4,DN=8

23

??EQ=-W%+16一耳％

綜上所得x=鬻或x=竿或x=12

4.【答案】(1)解：將A,B點坐標(biāo)代入，得

(a—b+1=0①

(a+b+1=1(?)

_1

解得

1

2

拋物線的解析式為y=-1x2+|x+1；

(2)解：①由直線y=3x-1與直線y=mx+2互相垂直，得

3m=-1,

即m=-g；

②AB的解析式為y=1x+1,

當(dāng)PA±AB時，PA的解析式為y=-2x-2,

聯(lián)立PA與拋物線，得

_12,1「

y——2產(chǎn)+1

y=—2x—2

解得「二力(舍)，，即P6-⑷；

當(dāng)PBLAB時，PB的解析式為y=-2x+3,

聯(lián)立PB與拋物線，得y=~2x+2X+1,

y=-2x+3

解得(舍)]:二即P(4,-5),

綜上所述：APAB是以AB為直角邊的直角三角形，點P的坐標(biāo)(6,-14)(4,-5)；

(3)解:如圖

由勾股定理，得

AB=J(1+l)2+l2=V5,

設(shè)M到AB的距離為h,由三角形的面積，得

h1=V5

點M到直線AB的距離的最大值是喀.

5.【答案】(1)解：設(shè)甲、乙兩種口罩每盒的進價分別為x元、y元，

由題意得:償:案鬻

整理，解得：｛JZ30-

答：甲、乙兩種口罩每盒的進價分別為20元、30元.

(2)解：設(shè)乙口罩的銷售利潤為w元，

由題意得：w=(x-30)[100-5(x-40)]=-5x2+450x-9000=-5(x-45)2+1125,

.?.當(dāng)x=45時，乙口罩的銷售總利潤最大，最大利潤為1125元，

yi=400-8x=400-8x45=40,

.?.甲口罩的銷售利潤=(45-20)x40=1000元,

二兩種口罩的銷售利潤總和=1125+1000=2125元.

答：當(dāng)乙口罩的售價為45元時，乙口罩的銷售總利潤最大，此時兩種口難的銷售利潤總和為2125

元.

(3)解：由題意得：400-8x>[100-5(x-40)],

整理，解得：x<36,

?.?兩種口罩的利潤總和WA(400-8x)(x-20)+(-5x2+450x-9000)=-13x2+1010x-17000,

V-13<0,對稱軸x=要>36,

.?.當(dāng)x=36時，兩種口罩的利潤總和最高.

答：若使兩種口罩的利潤總和最高，此時的定價應(yīng)為36元.

6.【答案】(1)解：???二次函數(shù)圖象過O(0,0),

：?m-4=0,

m=4,

Ay=x2+2x=(x+1)2-1,

二頂點A坐標(biāo)為(-1,-1).

(2)證明：?.?拋物線頂點坐標(biāo)為(2/，f2+胃-20),m>2,

A2^m<0；

又?.?一92+8m_20=W(m-4)2-1,

44

?一62+8加-20<.y0

4.

???二次函數(shù)y==x2+(m-2)x+m-4的頂點在第三象限.

(3)解：設(shè)平移后的二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2+bx+c,

???頂點坐標(biāo)為(_?,

當(dāng)x=0時，B(0,c)

22

把(_?,號_)代入y=-x-2中，得c=b+J-8,

VB點在y軸的負(fù)半軸上，

r.c<o,

，OB=-c=-b2+2b-8,

4

如圖，過點A作AHJ_OB于點H,

由(1)可知：A(-1,-1)

.\AH=1,

???S“OB=班?AH=品(_"+f-8)*i=-1b2-i&+l=-1(b+l)2+1,

中。，

.?.當(dāng)b=-l時，此時cVO,AAOB的面積最大，最大值為需

o

7.【答案】(1)解：把(0,0)代入y=x?+(2m-1)x+m2-1,/.0=m2-1,/.m=±l,;?當(dāng)xVO

時，y隨x的增大而減小，.?.對稱軸x=—筆3>0,.,.m<1.?.拋物線的解析式為

y=x2-3x

(2)解：①YADax軸，；.A與D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，?.?拋物線的對稱軸為x=方，BC=1

.?.點B的橫坐標(biāo)為1，，把x=l代入y=x2-3x,...y=-2,.28=2,.?.矩形ABCD的周長為：

2x2+2xl=6；

②把A(a,b)代入y=x2-3x,Ab=a2-3a,AA(a,a2-3a),令y=0代入y=x?-3x,?力=0或

x=3,?二由題意知：0VaV3,/.AB=3a-a2,由①可知：A與D關(guān)于x=9對稱，1.D的坐標(biāo)為(3

-a,a2-3a),AD=|3-a-a|=|3-2a|,分兩種情況討論：

當(dāng)0<a/|時，；.AD=3-2a,：.L=2(AB+AD)=-2a2+2a+6=-2(a-1)2+,當(dāng)a=.

時，L的最大值為竽，此時A的坐標(biāo)為I：,-1)；

當(dāng)!<a<3時，.*.AD=2a-3,，L=2(AB+AD)=-2a2+10a-6=-2(a-|)2+,當(dāng)

a=&時，L的最大值為學(xué)，此時A的坐標(biāo)為(趣，-).

ZZ，4

3

—2Q2+2a+6(0<@工幻1匚匚匚

綜上所述：L={2,當(dāng)人的坐標(biāo)為(另一”或(「一”，

—2a2+10?！?(]<a<3)-

的最大值為竽.

8.【答案】(1)5t；1()-5t

(2)解：如圖1,作FM_LBC于M,

BDMC

圖1

，F(xiàn)M〃AC,

/.△BFMs/xBAC,

.FM_BF

-，AC=AB,

.FM_10-5t

?,_6_=_T0-，

/.FM=6-3t,

.S=1BDFM=l-5t-(6-3t)=-^t2+15t=-竽(t-1)2+苧,

.S的最大值為竽;

(3)解：如圖2中，當(dāng)DE在BC邊上時，作FMJ_AC于M,

A

M

BDE

圖2

AFM//AC,

.*.△AFM^AABC,

.FM_AM_AF

??豌=武=宿

.FM_AM_5t

??百="§"=而

AFM=EC=4t,AM=3t,

/.CM=EF=DE=6-3t,

???BD+DE+EO8,

A5t+6-3t+4t=8,

如圖3,當(dāng)FG在AB邊上時,

圖3

BDG^ABAC,

.BG_DG_BD

??阮=衣=殖

?BG_DG_St

,?-8-="6"=10，

ADG=FG=3t,BG=4t,

〈BG+FG+AF=AB,

A4t+3t+5t=10,

如圖4中，當(dāng)DG在BC邊上時,

圖4

，△BFG^ABAC,

.BG__FG_BF

^BC=AC=AB9

.BG_FG_10-5t

?,萬=T=^-，

AFG=DG=6-3t,BG=8-4t,

VBD=BG+DG,

A8-4t+6-3t=5t,

如圖5中，當(dāng)EF在邊AB上時,

/.△BED^ABCA,

.BEBD

"BC=AC=AB9

?BE_DE_5t

?方=T=TU'

ABE=4t,DE=EF=3t,

VBE-EF=BF,

A4t-3t=10-5t,

綜上，t=g或得s或或|s時，正方形DEFG的一邊恰好落在RtAABC的一邊上.

9.【答案】（1）解：設(shè)商品的日銷售量y（件）與銷售單價x（元）是丫=卜％+6,

.（40k+匕=80

**l60fc+b=60'

解得：售=戲，

3=120

所以商品的日銷售量y（件）與銷售單價x（元）是y=—x+120,

設(shè)公司銷售該商品獲得的日利潤為w元，

w=（%-30）y=-x2+150%—3600=—（x-75）2+2025,

?**x—30之0,—x+120Z0,

A30<%<120,

?，1<0,

拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，

...當(dāng)x=75時，W最大=2025,

答：當(dāng)銷售單價是75元時，最大日利潤是2025元.

(2)解：w=(%-30-10)(-%+120)=-X2+160%-4800=-(x-80)2+1600,

當(dāng)W成大=1500時，一(％-80)2+1600=1500,

解得％1=70,%2=90,

V40<x<a,

...有兩種情況，

①a<80時，在對稱軸左側(cè)，w隨x的增大而增大,

.?.當(dāng)％=a=70時，w康大=1500,

②a280時，在40WxWa范圍內(nèi)w康大=1600#1500,

???這種情況不成立,

Aa=70.

10.【答案】(1)解：V-4x2+6x-3=y,即-4x2+6x-3-y=0,4=36-16(3+fc)>

0,

解得y<~l>即y的最大值是一..

(2)解：?.?=-2X+3,

>%2-4x+4

即(1—y)x24-(4y—2)%+3—4y=0,A=(4y—2)2—4(1—y)(3—4y)>0,

解得y21,即y的最小值是|.

(3)解：設(shè)BO=x,則DE_J2X2+2X+2,設(shè)y=(空/，即2^+2x+2

BC~一殲I—BC7X2+2X+1

(2-y)x2+(2-2y)x+2-y=0,4=(2-2y)2-4(2-y)(2-y)>0

解得y?|,所以(器哈丁兄=坐，將ymin=I代入方程得#—x+?0，解得X=

1.

IL【答案】(1)解：把71(-1,0),C(0,5)代入y=-x2+bx+c,

得廠1一+5=。

Ic=5

解得(6=4

c=5?

這個拋物線的解析式為：y=-產(chǎn)+4%+5，

2

令y=0,貝ij-%+4%+5=0，解得%1=5,x2=-1

???B(5,0)

m=5；

(2)解：?拋物線的解析式為：y=-%2+4%+5=-(%-2)2+9,

???對稱軸為x=2,

設(shè)0(%,—%2+4%+5),

???DE//X軸，

E(4-x)—+4%+5)?

???過點。作》軸的平行線交拋物線于點E,作y軸的平行線交x軸于點G,過點E作

EF1x軸，

???四邊形DEFG是矩形，

???四邊形DEFG的周長=2(-x2+4x+5)+2(x-4+x)=-2x2+12x+2=-2(%-3)2+

20,

.?.當(dāng)x=3時，四邊形DEFG的周長最大，

???當(dāng)四邊形DEFG的周長最大時，點D的坐標(biāo)為(3,8):

(3)解：過點C作CHJ.對稱軸于H,過點N作NKly軸于K,

乙NKC=乙MHC=90°,

由翻折得CN=CM,Z.BCN=乙BCM,

:B(5,0),C(0,5)?

.??OB=OC,

???乙OCB=乙OBC=45°,

VCH1對稱軸于H,

CH//x軸,

???乙BCH=45°,

???乙BCH=乙OCB,

???乙NCK=乙MCH,

/.△MCH名△NCK(A4S),

:.NK=MH,CK=CH,

???拋物線的解析式為：y=—/+4%+5=-2)2+9,

???對稱軸為%=2,M(2,9),

???MH=9—5=4,CH=29

NK=MH=4,CK=CH=2,

???N(—4,3),

設(shè)直線BN的解析式為y=mx+n,

???晨4皿”=3,解得j,

I5m+n=0s_5

ln~3

直線BN的解析式為y=-1%+|

???<2(0)f),

設(shè)P(2,p)，

I/5、2?1。?61

?1?PQ=22+(p-3)2=p2-^-p+4，

BP2=(5-2)2p2=9+p2,

BQ2=52+(|；=25+獸，

分兩種情況：

①當(dāng)乙BQP=90°時，BP2=PQ2+BQ2,

.??9+p2=p2一學(xué)p+萼+25+獸，加軍得p=苧，

二點P的坐標(biāo)為(2,第；

②當(dāng)乙QBP=90°時，P'Q2=BP'2+BQ2>

p2-學(xué)p+等=9+p?+25+期，解得p=-9，

???點P'的坐標(biāo)為（2,-9）.

綜上，所有符合條件的點P的坐標(biāo)為（2,孕），（2,-9）.

12.【答案】（1）證明：?.?把△ABE沿BE所在的直線折疊，A點的對稱點為F點；②過點E對折

ZDEF,折痕EG所在的直線交DC于點G、D點的對稱點為H點，

AZAEB=ZBEF,NDEG二NHEG,

ZAEB+ZBEF+ZDEG+ZHEG=180°,

A2ZBEF+2ZHEG=180°

.\ZBEG=90°,

???NAEB+NDEG=90。，ZEGD+ZDEG=90°,

AZBEA=ZEGD,

VZA=ZD=90°

/.△ABE^ADEG

(2)解：①設(shè)AE=x,DG=y,則ED=10?x,

?.,△ABE^ADEG

.AB_AE.6_x

??前一DG^lO^x-y

y=一金2+|x(0<x<10)

o3

當(dāng)x=5時,y最大=

②由AB=BF=6,BC=10

NBFO90。得FC=8,

??,折疊，

AZAEB=ZBEF,

VAD/7BC,

AZAEB=ZCBE,

AZCBE=ZBEC

???EC=BC=10,

???EF=AE=2

ED=EH=8

由△ABEs^DEG,得DG=I

o

作HQ_LDC由HC=2,

：HQ〃DE,

HQC^AEDC,

.HQCHtinHQ2

解之：HQ=|

△DGH的面積為4xH(?DG=|x|x|=^

13?【答案】(1)解：:B、C兩點的橫坐標(biāo)相同，

二拋物線y=ax?+bx+l只能經(jīng)過A,C兩點或A、B兩點，

把A(1,2),C(2,1),代入y=ax2+bx+l,得好：?：？

14。+ZD4-1=1

解得亡;

把A(1,2),B(2,3),代入y=ax?+bx+l,得\

解得￡=?(不合題意，舍去)；

3=1

.\a=-1,b=2；

(2)解：①；a=-1,b=2,

二拋物線的解析式為y=-x2+2x+l,

?.?平移后拋物線的頂點在直線y=x+l上，頂點的橫坐標(biāo)為m,

二平移后拋物線的頂點坐標(biāo)為(m,m+1),

平移后的拋物線解析式為y=-(x-m)2+m+l；

②令x=0,得y=-m2+m+l=-(m-)2+,

L4

.?.當(dāng)m=1時，平移后的拋物線與y軸交點縱坐標(biāo)的最大值為1.

14.【答案】(1)解：A=(2a)2-4x(-1)x(-4)=4a2-8,

①當(dāng)拋物線和x軸沒有交點時，則A<0,

即4a2-8V0,解得-V2<a<V2；

②當(dāng)拋物線和X軸有一個交點時，貝3=0,

即4a2-8=0,解得a=±或；

③當(dāng)拋物線和x軸有兩個交點時，則A>0,

即4a2-8>0,解得a>在或a<-V2;

綜上，當(dāng)拋物線和x軸沒有交點時，-V2<a<V2,當(dāng)拋物線和x軸有一個交點時，a=±72,

當(dāng)拋物線和x軸有兩個交點時，a>魚或a<-V2；

(2)解：當(dāng)a=l時，由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為直線x=2,

①當(dāng)-2<m<2時，

2

則拋物線在x=m時取得最大值，此時y=-|m+2m-4,拋物線在x=-2時，取得最小值，y

=-1x(-2)2+2X(-2)-4=-10,

則-m2+2m-4-(-10)=4m,解得m=-6(舍去)或2；

②：對稱軸為直線x=2,...與橫坐標(biāo)對稱點的橫坐標(biāo)為2+4=6,

當(dāng)2VmM6時，

y圾大=~*X22+2X2-4=-2,y破小=-x(-2)2+2x(-2)-4=-10,

則-2-(-10)=4m,解得m=2(舍去)；

③當(dāng)m>6時，

y最大=-④X22+2X2-4=-2,y最小=-m2+2m-4,

則-2-(-|m2+2m-4)=4m,解得m=6-4V2(舍去)或6+4V2,

綜上，實數(shù)m的值為2或6+4魚.

15.【答案】(1