2024年1月10日九省聯(lián)考高三數(shù)學(xué)真題及答案解析-1708340595.8692493

2024年1月10日九省聯(lián)考高三數(shù)學(xué)真題及答案解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為（

）A.14

B.16

C.18

D.202.橢圓

x2a2

y2離心率為

12

，則a（

）A.

233

B.2

C.3

D.2a的

）A.120

B.140

C.160

D.1804.設(shè)，是兩個(gè)平面，m,l是兩條直線，則下列命題為真命題的是（A.若，m∥，l∥，則mlB.若m，l，m∥l，則∥C.若m，l∥，l∥，則m∥lD.若m，l，m∥l，則

）5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（

）A.20種

B.16種

C.12種

D.8種6.已知Q為直線l:x2y0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足QP3記P的軌跡為E，則（

）A.E是一個(gè)半徑為5的圓C.E上的點(diǎn)到l的距離均為5

B.E是一條與l相交的直線C.E是兩條平行直線7.已知1

3

3

12sin23

（

）A.

4

B.

4

C.1

D.

211a1的3.記等差數(shù)列n前n項(xiàng)和為Sn，a3a76，a1a1的3.記等差數(shù)列n前n項(xiàng)和為Sn，a3a76，a1217，則S16（11，，，，tan24tan，則442cos2sin28.設(shè)雙曲線

x2y2C：a2b2

0，b0左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直12F

）A.2

B.2

C.5

D.7二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)

x，則（

44

）4x在10.已知復(fù)數(shù)z,w均不為0，則（

）

B.曲線yfx的對(duì)稱軸為xk，kZD.f最小值為2A.z2z

2

B.

zz

z2z2C.zwzw

D.

zw

zw11.已知函數(shù)f定義域?yàn)镽，且f0，若fyf4xy，則（2

）1A.f01C.函數(shù)

1B.D.函數(shù)fx是減函數(shù)2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合A2,0,2,4Bxx3m，

的最小值為

.13.已知軸截面為正三角形的圓錐MM高與球O的直徑相等，則圓錐MM體積與球O的體積的比值是

，圓錐MM的表面積與球O的表面積的比值是

.

21a的線與C交于A,B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B2F1A，F(xiàn)2A2B4a2，則C的離心率為（fsin2xcos2x33A.函數(shù)fx為偶函數(shù)C.1a的線與C交于A,B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B2F1A，F(xiàn)2A2B4a2，則C的離心率為（fsin2xcos2x33A.函數(shù)fx為偶函數(shù)C.f區(qū)間，單調(diào)遞增32x的1xxfyx的2f22fx是偶函數(shù)21若ABA，則m，的的14.以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).設(shè)0abc1，已知b2a或ab1，則maxa,cb,c最小值為

.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知函數(shù)flnxx2ax2在點(diǎn)f的切線與直線2x3y0垂直.（1）求a；（2）求f單調(diào)區(qū)間和極值.16.（15分）盒中有標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球.（1）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；（2）記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E17.（15分）如圖，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，AA2，CCBCCD，CCO45.1111（1）證明：C1O⊥平面ABCD；（2）求二面角BAA1D的正弦值.3b1的2，2b1的2，2x處x的X18.（17分）已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過F的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，其中B,D在x軸上方，M,N分別為AB,DE的中點(diǎn).（1）證明：直線MN過定點(diǎn)；（2）設(shè)G為直線AE與直線BD的交點(diǎn)，求GMN

面積的最小值.19.（17分）離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)p是素?cái)?shù)，集合X,p若u,vX,mN，記uv為uv除以p的余數(shù)，um,為um除以p的余數(shù)；設(shè)aX，1,a,a2,,,ap,兩兩不同，若an,b（n,,p2，則稱n是以a為底b的離散對(duì)數(shù)，記為nlog.a（1）若p11，a2，求ap,；0，

2能被p1整除時(shí)，m1m

2

0）.證明：logcloglog，aaa其中b,cX；pa,41,21，20,11,21，20,1）pb1（2）對(duì)m1,m2,1,,p2記m1m2為m1m2除以p1的余數(shù)（當(dāng)m1mbcpbpp（3）已知nlogb.對(duì)xX，k1,2,,p2，令y1ak,，y2xbk,.證明：xy2y1np2.答案解析一、選擇題,1.B

解析：將數(shù)據(jù)從小到大排列10,12,14,14,16,20,24,30,40，共9個(gè)數(shù)，第5個(gè)數(shù)16為中位數(shù).2.A

解析：

cea

a21a

12，a23

3.3.C

解析：由等差數(shù)列性質(zhì)可得a3a72a56，∴a53，S

16

a116

8a817160.5124.C

解析：A：舉反例，p，若m∥p，l∥p，m∥，l∥，得m∥l，故A錯(cuò)；B：僅有一組平行直線得不出兩個(gè)平面平行，故B錯(cuò)；D：垂直于同一條直線（一組平行直線）的兩個(gè)平面平行，給D錯(cuò).5.B

解析：分兩種情況：乙丙站1,4號(hào)位或者站2,5號(hào)位，先排乙丙，再排甲（去掉一端C6.C

解析：設(shè)PyQ,yQP00

3x0

,yy

0

yy7.A

44

∴

2tan1tan2

tan1

，∴

12∴8.D

12sin2sincos22sincostan22tan1.解析：F1B2F1A2k，則F1BF2B2ak.

2cos2sin22cos22sincos22tan4122222邊形AF2BF1為平行四邊形，故有）.58aa3僅有兩個(gè)選擇），故共有2A2221A2216.故0x，0y3,xx8aa3僅有兩個(gè)選擇），故共有2A2221A2216.故0x，0y3,xx，，1，x由x02y010，故x12310，即x2y60.解析：∵，，∴1tan0，∵tan24tan，41tan2tan或tan2（舍），21FAFB4a22a4acosAFB,cosAFB，（∵對(duì)角線互相平分，可知四cosFBF，解得c27a2，e7.12二、選擇題9.AC解析：fsin2xcos

44

cos2xsincos2xcos

44

sin2xsin

22

sin2x

22

cos2x

22

cos2x

22

sin2x2sin2x，42B：

k

23D：f最小值為2，故D錯(cuò).10.BCD

解析：令zabi，wcdi，a,b,c,dR，2B：

zz

abiabi

biz2aC：zwcd故zwcd又zabi，wcdi，故zwbidicdaw，故C正確；D：

zw

abicdi

c2d2c2d2

22

a2c2b2d2b2c2a2d2c2d2

a2b2c2d2c2d2

a2b2c2d2

zw

，故D正確.11.ABD

12

11

0f

1

0②令

22

111

1f0，故A正確；1112612aa23333xA：fx2sin2x2cos2x為偶函數(shù)，故A對(duì)；f2sin2k0，故B錯(cuò)；C：x，時(shí)，2x，，故C對(duì)；3x的A：z2a2b22abi12aa23333xA：fx2sin2x2cos2x為偶函數(shù)，故A對(duì)；f2sin2k0，故B錯(cuò)；C：x，時(shí)，2x，，故C對(duì)；3x的A：z2a2b22abi，za2b2z2，故A錯(cuò)誤；biabiz2，故B正確；aabiabi，abi，acabibdadbdad解析：①令x0，y得ff0，f0，f1,22210x，y，得fff1，2221412222③令y，則ffxx，即fx，故C錯(cuò)誤；1④令x1，則⑤令

2

x，三、填空題12.5解析：∵ABA，則AB，故x323m，故m5.13.2:3；1

解析：設(shè)圓錐底半徑為r，則母線長l2r，高h(yuǎn)3r圓錐體積113

33

r3，表面積Sr2rl3r2，1球O的直徑2R3r，即R

32

423

32

r2，球的表面積S4232，故V:V2：，S:S：.2121214.

15

a1mnp

，①令b2a，即1np22m2n2p，∴2mnp1，令mmaxa,cb,cmax,n,p2M2m∴p

14②若ab，即2m2n2p，∴m2n2p，令Mmax,n,pMm151當(dāng)m2n2p時(shí)可取等號(hào)，故Mmin5.四、解答題15.解：（1）設(shè)函數(shù)flnxx2ax2在點(diǎn)f的切線的斜率為k，7f2，故B正確；2xx1，則fx21故D正確.1Vf2，故B正確；2xx1，則fx21故D正確.1Vr2hr，球的體積VR3Rr311解析：令bam，cbn，1cp，m,n,p0，則b1npb1m，n，即4M2mnp1，∴M；M2M∴2n，即5Mm2n2p，∴M，2M2p111m，2，2x處由題可得

x22

9232（2）由（1）可得flnxx23x2，x0令

x

1x2令f

2

1.上令f0得

12

x，∴f，上單調(diào)遞減，2故fx1處有極大值f3ln2，在x處有極小值f0.216.解：（1）法一：設(shè)事件A為取出的3個(gè)小球的數(shù)字兩兩不同，故PC43C38

4;7法二：有兩個(gè)相同的概率：

4C124P6

C356

3,則兩兩不同的概率為7

341.778（2）X的取值可取1,2,3最小數(shù)是一個(gè)1或兩個(gè)1，另外的數(shù)任選，則PC2C6C6C38

3656

914最小數(shù)是一個(gè)2或兩個(gè)2，另外的數(shù)從3或4中選，則

X4

8

C356

27最小數(shù)是一個(gè)3或兩個(gè)3，另外的數(shù)是4，則P3C2C2C3

456

114

.8則X的分布列為：XP

1914

227

3114從而

9X14

212714

1037

.17.解：（1）在C1CO中，由余弦定理易求得C1O2，811fx2xa，則kf24aa，3∵切線與直線2x3y0垂直，∴k，解得k，∴a.x11fx2xa，則kf24aa，3∵切線與直線2x3y0垂直，∴k，解得k，∴a.x12fxx110，得x或1，x0得x1或0x，∴f0，，單調(diào)遞增；x在112x111x在24111x在A32X1121P224C1C2C116X11X的分布列及數(shù)學(xué)期望E∴C1O

2

CO

2

CC2，則COCO；11CCBCCD，CBCD，則BCD為等腰三角形，11111則C1OBD，C1O平面ABCD.（2）以O(shè)B，OC，OC為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，1則B0，2,02,0，22,21在平面BAA中，AA0，，BA2,2,0,11在平面AA1D中，AD2,2,0，AA10，2,2，設(shè)二面角BAA1D的平面角為，則

11112233

.18.解：（1）由題意可得焦點(diǎn)F1，設(shè)lAB

：xty1，t0，

1DEtx，分別聯(lián)立方程組可得y24x

12

，y24x1

t

34

44y∵x1x2

ty24t22，x123

14y4t34t2

2，∴

M2t2，t，N，，則可求l的直線方程為：MN92,2則可求得平面BAA1的法向量m1,1,1，則可求得平面AA1D的法向量n,11,1，2,0AD0A0，0，，，，，cos2,2則可求得平面BAA1的法向量m1,1,1，則可求得平面AA1D的法向量n,11,1，2,0AD0A0，0，，，，，cos，則sin33l：xy1，0，設(shè)A1,y1Bx2,y2，Dx3,y3，Ex4,y4.xty1yy24ty24ty401yy4xy1ty4y2y403t，yy4xy2y222t12122t22t2t2

1t

1t

x2t21，（2）GMN

面積，由極點(diǎn)極線知G在x上，MN過定點(diǎn)S

GMN

122∴GMN

面積的