冪級數(shù)及其收斂性

關于冪級數(shù)及其收斂性121.定義如下形式的函數(shù)項級數(shù)稱為的冪級數(shù),的冪級數(shù).定義稱為冪級數(shù)第2頁,共44頁，2024年2月25日，星期天32.收斂半徑和收斂域級數(shù)冪級數(shù)級數(shù)的收斂域第3頁,共44頁，2024年2月25日，星期天4證阿貝爾(Abel)(挪威)1802–1829定理1（阿貝爾第一定理）則它在滿足不等式絕對收斂;發(fā)散.收斂,發(fā)散,如果級數(shù)則它在滿足不等式的一切x處如果級數(shù)的一切x處從而數(shù)列有界,即有常數(shù)M>0,使得第4頁,共44頁，2024年2月25日，星期天5冪級數(shù)由(1)結論,這與所設矛盾.使級數(shù)收斂,則級數(shù)時應收斂,但有一點x1適合第5頁,共44頁，2024年2月25日，星期天6推論也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確冪級數(shù)絕對收斂;冪級數(shù)發(fā)散.冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.冪級數(shù)幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域如果冪級數(shù)不是僅在

x=0一點收斂,定的正數(shù)R存在,它具有下列性質:第6頁,共44頁，2024年2月25日，星期天7正數(shù)R稱為冪級數(shù)的規(guī)定問:如何求冪級數(shù)的收斂半徑?定義收斂半徑.收斂區(qū)間.冪級數(shù)(1)冪級數(shù)只在

x=0處收斂,收斂區(qū)間(2)冪級數(shù)對一切x都收斂,收斂區(qū)間收斂區(qū)間連同收斂端點稱為冪級數(shù)的收斂域.第7頁,共44頁，2024年2月25日，星期天8證且定理2設冪級數(shù)的所有系數(shù)冪級數(shù)由正項級數(shù)的比值判別法,第8頁,共44頁，2024年2月25日，星期天9收斂半徑冪級數(shù)絕對收斂;發(fā)散,從而發(fā)散.

比值判別法則第9頁,共44頁，2024年2月25日，星期天10冪級數(shù)收斂,從而級數(shù)絕對收斂.收斂半徑發(fā)散.收斂半徑則第10頁,共44頁，2024年2月25日，星期天11例求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域:解冪級數(shù)第11頁,共44頁，2024年2月25日，星期天12收斂.

調和級數(shù),發(fā)散.收斂域為解冪級數(shù)收斂域收斂半徑第12頁,共44頁，2024年2月25日，星期天13解冪級數(shù)第13頁,共44頁，2024年2月25日，星期天14級數(shù)為正項級數(shù)因為所以對應的數(shù)項級數(shù)也發(fā)散.當x=4時,故收斂域為冪級數(shù)第14頁,共44頁，2024年2月25日，星期天15發(fā)散;收斂.故收斂域為解還有別的方法嗎?(0,1].即亦即時原級數(shù)收斂.冪級數(shù)第15頁,共44頁，2024年2月25日，星期天16解是缺偶次冪的冪級數(shù).例求函數(shù)項級數(shù)的收斂域.去掉第一項,所以,去掉第一項,級數(shù)處處收斂.定義域為因為第一項lnx的所以,原級數(shù)的收斂域是冪級數(shù)比值判別法第16頁,共44頁，2024年2月25日，星期天17例設冪級數(shù)的收斂半徑分別為則冪級數(shù)的收斂半徑為()分析冪級數(shù)第17頁,共44頁，2024年2月25日，星期天18討論冪級數(shù)的收斂域.解此級數(shù)是缺項的冪級數(shù),作變換,令級數(shù)變?yōu)樗氖諗堪霃疆攜=3時,級數(shù)為發(fā)散.不滿足定理2的條件.冪級數(shù)第18頁,共44頁，2024年2月25日，星期天19故y(≥0)的冪級數(shù)收斂域為因此,原冪級數(shù)收斂域為收斂半徑即冪級數(shù)第19頁,共44頁，2024年2月25日，星期天20思考確定函數(shù)項級數(shù)的收斂域.解對任意固定的x,即用比較審斂法的極限形式:而級數(shù)是p=x的p–級數(shù),所以,當n充分大時,有發(fā)散.故級數(shù)的收斂域為冪級數(shù)收斂.第20頁,共44頁，2024年2月25日，星期天21

解冪級數(shù)練習第21頁,共44頁，2024年2月25日，星期天22冪級數(shù)處處收斂.收斂發(fā)散第22頁,共44頁，2024年2月25日，星期天231.代數(shù)運算性質(1)加減法冪級數(shù)冪級數(shù)的性質的收斂半徑各為R1和R2,第23頁,共44頁，2024年2月25日，星期天24(2)乘法(其中(3)除法(相除后的收斂區(qū)間可能比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)冪級數(shù)第24頁,共44頁，2024年2月25日，星期天252.和函數(shù)的分析運算性質冪級數(shù)定理3（阿貝爾第二定理）內閉一致收斂證第25頁,共44頁，2024年2月25日，星期天26則其和函數(shù)的端點處收斂,則其和函數(shù)在該端點單側連續(xù).冪級數(shù)如果冪級數(shù)在收斂區(qū)間證第26頁,共44頁，2024年2月25日，星期天27則其和函數(shù)冪級數(shù)第27頁,共44頁，2024年2月25日，星期天28冪級數(shù)則其和函數(shù)第28頁,共44頁，2024年2月25日，星期天29解(1)求收斂域發(fā)散;收斂.故級數(shù)的求收斂域為例冪級數(shù)收斂半徑第29頁,共44頁，2024年2月25日，星期天30(2)求和函數(shù)冪級數(shù)第30頁,共44頁，2024年2月25日，星期天31或者冪級數(shù)第31頁,共44頁，2024年2月25日，星期天32例求冪級數(shù)的和函數(shù).解容易知道級數(shù)的收斂域冪級數(shù)設和函數(shù)為s(x),即則有第32頁,共44頁，2024年2月25日，星期天33因此,此外,顯然有綜上,冪級數(shù)第33頁,共44頁，2024年2月25日，星期天34解例冪級數(shù)第34頁,共44頁，2024年2月25日，星期天35逐項求導積分得冪級數(shù)第35頁,共44頁，2024年2月25日，星期天36冪級數(shù)第36頁,共44頁，2024年2月25日，星期天37解容易知道,例冪級數(shù)第37頁,共44頁，2024年2月25日，星期天38練習求的收斂域與和函數(shù).提示解令收斂域為當時,收斂,當時,收斂,冪級數(shù)第38頁,共44頁，2024年2月25日，星期天39又設(逐項求導即可得)和函數(shù)為(逐項求導即可得)設設冪級數(shù)第39頁,共44頁，2024年2月25日，星期天40

小結再對和函數(shù)積分(求導),求出原級數(shù)的和函數(shù).求和函數(shù)的一般過程是:首先找收斂半徑,再利用在收斂區(qū)間上冪級數(shù)和函數(shù)的性質可逐項求導(積分),求得新的冪級數(shù)和函數(shù);最后冪級數(shù)第40頁,共44頁，2024年2月25日，星期天41冪級數(shù)常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)第41頁,共44頁，2024年2月25日，星期天42冪級數(shù)及其收斂性收斂半徑R冪級數(shù)的運算代數(shù)、分析運算性質

函數(shù)項級數(shù)的概念冪級數(shù)四、小結收斂點、收斂域、和函數(shù)

一般求三種類型