河北省衡水市武邑中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級上冊第一次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

河北武邑中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考

數(shù)學(xué)試題

命題人白露

注意事項：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和H卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前請仔細閱讀答題卡(紙)上的“注意事項”，按照“注意事項”的規(guī)定答題.

3.選擇題答案涂在答題卡上，非選擇題答案寫在答題卡上相應(yīng)位置，在試卷和草稿紙上作答

無效.

第I卷選擇題(共60分)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求.

1已知5(2,0,-1),C(-1,3,-2),則A3+8c=()

A.(4,-4,0)B.(-4,4,0)C.(-2,2,0)D.(-2,2,-2)

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量的坐標運算即可求解.

【詳解】因為A(l,l,0),8(2,0,-1),C(-l,3,-2),

所以AB=(1,—1,—1),BC-(―3,3,—1),

所以A8+BC=(1+(-3),-l+3,(-1)+(-l))=(-2,2,-2).

故選：D.

2.直線3x+2y—1=0的一個方向向量是()

A.(2,-3)B,(2,3)C.(-3,2)D.(3,2)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)直線的斜率先得到直線的一個方向向量，然后根據(jù)方向向量均共線，求解出結(jié)果.

【詳解】因為直線3x+2y-1=0的斜率為-1,所以直線的一個方向向量為卜，一g),

又因為（2,-3）與。，-共線，所以3x+2y-1=0的一個方向向量可以是（2,-3）,

故選：A.

3.已知向量。=（6,-2,6）,。=（一3,1,幻，則使?！ā３闪⒌摹窞椋ǎ?/p>

A.-2B.3C.-3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】由向量共線的充要條件結(jié)合向量的坐標運算即可求解.

【詳解】當a〃b時，則存在唯一的實數(shù)/I使得。=4a，

-3=62

2=--

即《1=-22,解得?2,

x=6Ax=-3

所以使a〃人成立的x為一3.

故選：C.

4.如圖，空間四邊形OABC中，OA=a,OB=A,OC=c,點M在OA上，且滿足OM=2MA，點N為8C

的中點，則MN=（）

221

A.B.—ClH—b—C

232332

11,1211

C.—ciH—h—cD.——d+—fb+—c

222322

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.

【詳解】由于N為8c的中點，OM=2MA，所以CW=：（OB+OC）,0M='。4,

MN=ON-OM=-(0B+0C]--0A=--0A+-0B+-0C=--a+-b+-c,

2、>3322322

故選：D

5.兩條平行直線3x+4y-12=0與依-8y-11=0之間的距離()

23237

A.—B.—C.—D.7

5102

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)兩條直線平行求參，再根據(jù)平行線間距離公式計算求解.

34

【詳解】由已知兩條直線平行，得之=—,所以。=-6,

a-8

1-24-1117

所以直線3x+4y-12=0可化為6x+8y-24=0,則兩平行線間的距離。=~

<62+822

故選：C.

6.如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABC。-AAGA中，A4,=2AB=2,則異面直線

48與AR所成角的余弦值為()

【答案】D

【解析】

【分析】以點。為坐標原點，D4、DC、。，所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，利用空

間向量法可求得異面直線A3與AD,所成角的余弦值.

【詳解】在直四棱柱A6CD—AAG2中，四邊形ABCO為正方形,

以點。為坐標原點，D4、DC、所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則A（1,O,O）、8（1,1,0）、4（1，0,2）、。（0,0,2）,

所以，4月=（0,1，-2）,AD,=（-1,0,2）,

/..八\A。-44

所以，C0^B,DADt）=^^=-^=--,

4

因此，異面直線A3與A2所成角的余弦值為二.

故選：D.

7.若第一象限內(nèi)的點（〃?,〃）關(guān)于直線x+y-2=0的對稱點在直線2x+y+3=0上，則—+?的最小值

mn

是（）

2517

A.25B.一C.17D.—

99

【答案】B

【解析】

【分析】首先利用對稱點的求法，表示出對稱點坐標，再代入2x+y+3=0中，得到2〃+加=9,再利用

基本不等式中的乘“1”法，即可求得.

【詳解】設(shè)（〃?,〃）關(guān)于直線%+了-2=0的對稱點為（為，匕），依據(jù)題意可得：

但+顯,°，解方程組得｛普二〉又對稱點在直線2x+y+3=0上，代入可得

[2+-2—-

2n+m=9,且（〃?,"）在第一象限，則加>0,〃>0,則

/8、,2〃〃八2n8〃？116、。僅1725出口內(nèi)由2〃8m.an918

（-+-）（一+—）=—+—+-+—>2.一+—=一，當且僅當一=——時，即機=一，n=—

mn999m9/199V81999m9n55

時，等號成立.

故選：B

8.閱讀材料：空間直角坐標系O一型中，過點。(%,為/。)且一個法向量為〃的平面。的方程

為a(x—%))+/?(y-%)+c(z-Zo)=()；過點。(%),M)*(1)且一個方向向量為1=(〃,匕卬)(〃丫孫芳0)的

直線/的方程為二二殳="&=三二2■.利用上面的材料，解決下面的問題：已知平面〃的方程為

UVW

3x-5y+z—7=0,直線/的方向向量為〃z=(3,l,—2),則直線/與平面。所成角的正弦值為()

A曬Bec出D

3551555

【答案】A

【解析】

【分析】利用給定信息，求出平面的法向量，再利用線面角的向量求法求解即得.

【詳解】因為平面。的方程為3x—5y+z—7=0,則平面。的法向量可取3=(3,—5,1),

而直線/的方向向量為m=(3,1,-2),

所以直線/與平面。所成角的正弦值為

.八?.一\m'n\|3x3-5xl-lx2|V10

sin0=1cosQ%,n)\=------=/——/==----

l^llnl心+12+(—2)2x732+(-5)2+1235

故選：A

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列命題中正確的是()

A.若是空間任意四點，則有A8+8C+C￡)+D4=0

B.忖一忖=,+。|是共線的充要條件

C.若AB,CD共線，則AB//CD

D.對空間任意一點。與不共線的三點A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC(其中x,y,zeR,且

x+y+z=l),則P,A,B,C四點共面

【答案】AD

【解析】

【分析】由空間向量的概念與運算對選項逐一判斷.

【詳解】對于A,AB+BC+CO+D4=0，故A正確，

對于B,當同向時，卜d-卜卜=,一〃卜當a,b反向時，卜。卜卜卜=卜+囚，故B錯誤，

對于C,若共線，則A8〃CD或A5,C。四點共線，故C錯誤，

對于D,由空間向量基本定理得若OP=xO4+yO8+zOC,

則OP=(x+y+z)OA+y{OB-QA)+z(OC-OA),化簡得AP=yAB+zAC,

故P,A,B,。四點共面，故D正確，

故選：AD

10.已知直線4：ax-y+2=0,直線“：x-ay+2-O,則()

A.當a=0時，兩直線的交點為(一2,2)B.直線《恒過點(0,2)

C.若4-L12,則a=0D.若“〃2，貝！la=l或。=一1

【答案】ABC

【解析】

【分析】求出兩直線的交點判斷A,求出直線4過定點坐標即可判斷B,根據(jù)兩直線垂直、平行求出參數(shù),

即可判斷C、D.

—y+2=0

【詳解】對于A：當Q=()時直線4：-y+2=0,直線二x+2=0,由《，八，

x+2=0

解得J_2，所以兩直線的交點為(一2,2),故A正確；

x=0x—0

對于B：直線4：ax-y+2=0,令《°八，解得4，即直線4恒過點(0，2),故B正確；

—y+2-O[>=2

對于C：若/j,則axl+(-l)x(-a)=0,解得a=0,故C正確；

對于D：若“〃2,貝i」ax(-a)—lx(-l)=0,解得a=l或a=—1,

當a=l時直線4：x—y+2=(),直線4：%-丁+2=0兩直線重合，故舍去，

當。=一1時直線4：x+y-2=0,直線4：x+y+2=(),兩直線平行，

所以。=一1,故D錯誤;

故選：ABC

II.下列說法正確的是（）

兀兀、/兀3兀

A.直線/的方程為x-ysin6+2=0,則直線/的傾斜角&的范圍是u

B.直線3x-y-l=0在y軸上的截距為1

C.如果AB<0,8C<0,那么直線Ar-8），-C=0不經(jīng)過第三象限

D.經(jīng)過平面內(nèi)任意相異兩點（為，%）,（々，〃2）的直線都可以用方程

（%一百）（3一乂）=（%—。）（%—石）表示?

【答案】CD

【解析】

【分析】對A,利用直線方程互化及斜率公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可，對B,利用截距的定義即可求解;

對C,直線方程互化及已知條件即可求解；對D,利用直線的兩點式方程即可求解.

【詳解】對A：直線/的方程為x-ysin8+2=0,

TT

當sin6=（）時直線方程為x=—2,傾斜角a=—,

2

171

當sin。，。時，直線方程化為y=——x+——，斜率女=——，

sin0sin0sin0

因為sinOe[-1,0）（0,1],所以《n（-oo,—1][1,-Ko）,即tana?（?,1][1,+?）,

兀37r

又因為ae[0,兀），所以aw,綜上可得aG，故A錯誤；

_44_

對于B,將x=0代入直線方程3x一丁一1=0,可得一y-1=0,解得丁=一1,故B錯誤；

對于C,因AB<0,BC<0,所以8/0,

ArAr

所以Ax—協(xié)—C=0可化為y=—x--,所以直線的斜率一<0,縱截距——>0,

BBBB

所以該直線經(jīng)過一、二、四象限，故C正確；

對對D：經(jīng)過任意兩個不同的點尸（3，y）,。（％2，%）的直線：

當斜率等于o時，%=%，方程為）'=y，能用方程（w_xj?（y_y）=（y2_y>（x_xj表

示；

當斜率不存在時，%=Z，X#%，方程為％=玉，能用方程（9一百>（丁一乂）=（%一乂>（工一玉）表

示；

當斜率不為0且斜率存在時，直線方程為之二二=忙五也能用此方程表示，故D正確.

故選：CD.

12.如圖所示的八面體的表面是由2個全等的等邊三角形和6個全等的等腰梯形組成，設(shè)

4A=44=1,A5=2,有以下四個結(jié)論：其中正確的結(jié)論是()

A.8c上平面例4；

B.明〃平面8層。2。；

C.直線與CC2成角的余弦值為f

6

D.直線4G與平面A4,81所成角的正弦值為Y5.

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】證明8。，械得到A正確，建立如圖所示的空間直角坐標系，確定各點的坐標，平

c五、

面8&GC的法向量為〃?=V3J,--，根據(jù)加?朋/0得到B錯誤，利用向量的夾角公式計算得到

<2)

CD正確，得到答案.

【詳解】對選項A：如圖所示，連接A4,取BC中點。，取BG中點E.連接AE,AD，DE.

由等邊三角形的性質(zhì)得BC1AD,由等腰梯形的性質(zhì)得BC1DE.

又ADcDE=D，AO,OEu平面ADE4,所以平面AOE4).

44<=平面4。￡41,故8C_LA4，同理BCJ.",

又A4tA4,=A,懼，械u平面例&,所以5C1平面"出，正確;

取AB中點。，建立如圖所示的空間直角坐標系,

設(shè)Oi是△AgG的中心，O?是_ABC的中心.過A作AG,AO,過￡作EHJ_AD.

nncnCH上16也即『后⑻戈

DH=O^D-O^H=--------x——=——，HE=J——-——=——?

2233262J6J3

所以幾何體ABC-ABC1的高為".

3、

所以A(-1,0,0),A,5(1,0,0),C(0,V3,0),B2

263

7

2走叵,BC=(-1,73,0),QV3

所以44,BB=「不'一

263J25’

設(shè)平面BB2C2C的法向量為〃?=（玉,y,zJ,

m-BC=一玉+百%=0

則《，取彳=百得到m=6』，一

皿1an

‘〃.叫=-5芯+不弘一7寸。

+近xl+"x]—也，苴H0,

所以〃

26323

所以A4與平面B4GC不平行，錯誤;

_

6（用6_

----X-------——_

613^9_5

確

_正

所以直線與成角的余弦值為-=-

AA,CC266

9-

2

對選項D：C,0,-73,,AG=冬0,Afi=（2,0,0）,

3

ri73V6

BB

2「了丁一彳

n-AB=2X9=0

設(shè)平面械層8的法向量為“=（/，當，Z2），＜

RR_I,6瓜_（、

nBB2=--x2+—y2---z2=0

取Z2=l得到〃=（0,2夜,1）,

2x6、號

逅.正確.

所以直線4G與平面AA.B.B所成角的正弦值為

3

故選：ACD

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了空間中的線面位關(guān)系及夾角，意在考查學(xué)生的計算能力，空間想象能力和

綜合應(yīng)用能力，其中建立空間直角坐標系，將線面關(guān)系和夾角轉(zhuǎn)化為向量的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

第II卷非選擇題（共90分）

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在答題卡上相應(yīng)位置.

13.已知直線/的一個方向向量為d=(1,-2,()),平面a的一個法向量為〃=(m,3,6),且〃/e,則機=

【答案】6

【解析】

【分析】依題意可得即可得到［.〃=(),根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標表示得到方程，解之即可.

【詳解】IIIa,且直線/的一個方向向量為d=(l,-2,0),平面。的一個法向量為"=(m,3,6),

二.dJ_〃，

d-n-0,即lx〃?+(—2)x3+°x6=°，解得機=6.

故答案為：6

14.已知直線/過定點A(3,2,1),且〃=(1,0,1)為其一個方向向量，則點P(3,3,2)到直線/的距離為

【答案】2^##176

22

【解析】

【分析】利用空間中點到直線的距離公式求解即可.

......n

【詳解】設(shè)〃=AP=(OJ1),^=—=

1〃1

則點P到直線I的距離(1=

故答案為：立.

2

15.點P(-2,-l)到直線/：(l+3A)x+(l+2)y-2-42=0(丸為任意實數(shù))的距離的最大值為

【答案】713.

【解析】

【分析】將直線方程變形為(x+y—2)+(3x+y-4)4=0,得直線系恒過點A(l』)，由此得到尸到直線

/的最遠距離為|P4|,再利用兩點間的距離公式計算可得.

【詳解】?.?直線/:(l+3/l)x+(l+/l)y—2-44=0,

可將直線方程變形（x+y—2）+（3x+y—4）2=0,

y-2=0fx=l

???C,4八，解得《」

3x+y_4=0[y=l

由此可得直線系恒過點A（U）,

P到直線/的最遠距離為|尸山，此時直線垂直于以，

?"a=|PA|=7（-2-1）2+（-1-1）2=V13.

故答案為：y[l3■

16.如圖所示，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊員C3上有1。個不同的點6,

UUUUUU1

鳥，…，《0,記例,=45二4月（i=l,2,L,10）,則叫+用2++Mo=.

【答案】180

【解析】

【分析】以A為坐標原點，AG所在直線為x軸建立直角坐標系，可得4（3,6）,8式5,6）,C/6,0）,

求出直線員G的方程，可設(shè)《5，?），可得行匕+乃=66，運用向量的數(shù)量積的坐標表示，計算即可

得到所求和.

【詳解】解：以A為坐標原點，AG所在直線為工軸建立平面直角坐標系，

可得4（1,6）,層（3,6）,4（5,6），G（6,0）,

直線B3c3的方程為＞?=-V3U-6），

可設(shè)匕(七,)7),(z=l,2,L,10),可得6玉+%=6>/5,所以ABZ=(3,G),A《=(Xj,y),

即有M：=AB-,-AP:=3七+\!?>yi=-V3(>/3xl+^.)=18,

則M+%++Mlo=18xlO=18O.

故答案為：180.

當B2By

五、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知等腰三角形ABC,底邊上兩頂點坐標為6（1,4）,C（3,8）,頂點A在直線上x+y-6=0,

（1）求BC邊垂直平分線的方程；

（2）求點A的坐標.

【答案】（1）x+2y-14=0

（2）A（-2,8）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)中垂線過線段的中點且與線段垂直求解；

（2）聯(lián)立點A所在的兩條直線方程可求解.

【小問1詳解】

限=?工=2,且BC的中點M（2,6）,

3—1

所以BC邊的垂直平分線的斜率為-1，

2

且經(jīng)過點M（2,6）,所求方程為y—6=—2）,

整理得x+2y—14=0.

【小問2詳解】

由題可得，等腰三角形A2C的頂點在3c邊的垂直平分線x+2），-14=0上,

且在直線x+y-6=0上，聯(lián)立得x=-2,y=8,即A（-2,8）

18.如圖，在底面為菱形的四棱錐E-ABCD中，底面ABC。，F(xiàn)為CD的中點，且

AB=BE=2,ZABC=\20°,以3為坐標原點，朋的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角

坐標系.

（1）寫出4民。,￡四點的坐標；

（2）求cos〈AB,函.

【答案】⑴A（2,0,0）,6（0,0,0）,D（l,V3,0）,E（0,0,2）

（2）顯

4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)△BCD為正三角形，由A5=2,結(jié)合空間直角坐標系中坐標的寫法，即可求解;

（2）利用空間向量的夾角公式，即可求解.

【小問1詳解】

解：由題意，可得△BCD為正三角形，因為A3=2,所以8尸=百，

以8為坐標原點，所在的直線分別為的方向為x軸、V軸和z軸建立的空間直角坐標系，可得

A（2,0,0）,fi（0,0,0）,D（l,V3,0）,￡（0,0,2）.

【小問2詳解】

解：由（1）可得48=（-2,0,0）,0石=（一1,一6,2b

ABDE_2

所以cos〈A8,￡)E〉=

網(wǎng)。2x2忘-4-

19.已知空間三點4（0,2,3）,8（—2,1,6）,C（l,-1,5）.

（1）求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積；

（2）若向量〃分別與AB，AC垂直，且何=3,求向量°的坐標.

【答案】（1）773

（2）4=（百,6,6）或a=卜6,一6,_6）

【解析】

【分析】（1）利用向量的坐標運算及夾角公式，結(jié)合向量的模公式及平行四邊形的面積公式即可求解;

（2）利用向量垂直的條件及向量的模公式即可求解.

【小問1詳解】

因為A（0,2,3）,3（—2,1,6）,C（l,-1,5）,

所以鉆=(一2,-1,3),AC=(l,-3,2),

ABAC-2+3+671

所以cosABAC=

MMV4+1+9-V1+9+4-14-2

因為0°WN84CW18()°,

所以/R4C=60。,

所以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積為

AB||AC|sinABAC=44+1+9-Jl+9+4sin60°=14x=7收

【小問2詳解】

設(shè)a=（x,y,z）,因為向量a分別與A8，AC垂直,

a-AB=Q-2x-y+3z=0

所以《，即《

a-AC=0x—3y+2z-0

所以消去X得：-7y+7z=0,

不妨令y=,"，則z=?7,x=m

因為忖=3,

所以f+y2+z2=9,得3m2=9，

m—±百，解得x=y=z=y/3或x=y=z=—V3>

所以a=(G,6,6)或a=卜內(nèi),—G,—G).

20.如圖，在直三棱柱ABC-中，AB=BBi=2,BC=3,三棱柱ABC-45G的側(cè)面積為

10+2V13.

（1）求證：平面AfCJ.平面AB與4；

（2）求直線Cq與平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明詳見解析

【解析】

【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面ABC平面AB44；

（2）利用向量法求得直線C4與平面4BC所成角的正弦值.

【小問1詳解】

依題意，（2+3+AC）x2=10+2舊,AC=V5,

所以AB2+BC2=AC2,所以AB15C,

根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知BB1，平面ABC,

而AB,BCu平面A8C,所以_L6C,

由此以5為原點建立如圖所示空間直角坐標系,

則A（2,0,2）,C（0,3,0）,設(shè)平面A.BC的法向量為n=（x,y,z）,

n-BA=2x+2z=0

則〈故可得〃=(l,O,—l).

〃?8C=3y=0

平面的一個法向量是加=（O/,O）,

由于=所以

所以平面AtBC±平面.

【小問2詳解】

由（1）得平面ABC的法向量〃=（1,0,—1）,

4（0,0,2）,C（0,3,0），4C=（0,3,-2）,

設(shè)直線C4與平面AfC所成角為。，

B[C?〃2726

則sin0=

MHV13xV2-13

21.在平面直角坐標系中，已知射線。4：瓜一y=0（xN0）,射線OB：JIr+3y=0（x20）,過點

P（l,0）作直線分別交射線。4、。3于A、B點.

（1）當A6的中點為P時.，求直線A8的一般式方程；

（2）當線段AB的中點在直線）=立*上時，求直線AB的一般式方程.

一3

【答案】（1）&+y-百=0

（2）x=l

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件設(shè)坐標，利用中點坐標公式計算可得A坐標，再利用點斜式求直線方程即可;

（2）根據(jù)條件設(shè)A3坐標，利用中點坐標公式計算可得%=4，結(jié)合過點P（1,O）得直線方程.

【小問1詳解】

設(shè)A（尤］,Bx2,——x2-

<>

...線段A8的中點為P（1,O）時，內(nèi)=1，&?_0,

--0

，直線AB的方程為y-0=W——（x-1），化為也x+y-后=0.

--1

2

【小問2詳解】

設(shè)Bx2,——x2-

y/3xf---X2rr

線段AB的中點為M三上,-----在直線y=上，

223

RA/3

"罰一"6%+/，化為

2-VX2

又直線AB過點P（l,0），

?*（X]=%2=1?

.??直線AB方程為x=l.

22.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，底面是邊長為2的等邊三角形，Cq=2,D,E分別是線段

AC,CG的中點，C在平面A8C內(nèi)的射影為O.

（1）求證：ACJ■平面比）E；

（2）若點/為棱SG的中點，求點F到平面8DE的距離；

（3）若點F為線段8。上的動點（不包括端點），求銳二面角口一6D—E的余弦值的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析

（2）—

4

（1⑸

（3）”2；

【解析】

【分析】（1）法一：利用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理與判定定理可證；

法二：建立空間直角坐標系，利用數(shù)量積為0,可證BD_LAC,DE_LA。，從而得證；

法三：如法二建立空間直角坐標系，求出平面8DE的一個法向量，證明其與AC平行，從而得證;

（2）利用空間向量法求點到面的距離；

（3）利用空間向量求出二面角的余弦值，再借助函數(shù)性質(zhì)求值域.

【小問1詳解】

法一：連結(jié)AC-因為j