高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考達(dá)標(biāo)檢測 圓錐曲線的綜合問題-直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 文試題

高考達(dá)標(biāo)檢測（三十八）圓錐曲線的綜合問題一一直線與圓錐曲線

的位置關(guān)系

一、選擇題

1.已知過拋物線/=4x的焦點(diǎn)廠的直線/交拋物線于46兩點(diǎn)，且點(diǎn)4在第一象限,

若14內(nèi)=3,則直線/的斜率為（）

A.1B.y/2

C.小D.272

解析：選D由題意可知焦點(diǎn)尸（1,0）,設(shè)力（心，力），

由|/尸|=3=%+1,得升=2,又點(diǎn)/在第一象限，

故/（2,2啦），故直線/的斜率為

2.若直線y=4x+2與拋物線/=矛有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)在的值為（）

1

-O

8B.

C.4或0D.8或0

o

y=kx~\~2,

解析：選C由?2得4y+2=0,

y=x,

若k=0,直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，則尸2,

若上產(chǎn)0,則4=1—84=0,.?.4=4，

O

綜上可知4=0或

O

22

3.已知雙曲線G5一方=130,力0）,過點(diǎn)〃⑶6）的直線/與。相交于兒8兩點(diǎn),

且的中點(diǎn)為M12,15）,則雙曲線C的離心率為（）

3

A.2B.-

cRlD更

「52

解析：選B設(shè)/（小，/J,夕（矛2,現(xiàn)），

由48的中點(diǎn)為M12,15）,得汨+用=24,y+角=30,

(xxy{

——N=1,

由ut兩式相減得：=…JC

/父ab

[-a2-7b2=1，

rJ1一加b為+及4b2

人xI一生/yi+j25c72'

16—6

由直線小的斜率A=—=l，

4〃F5

..必=1,則n]=『

c/7}3

?,?雙曲線的離心率8=-=\/1+-?=不

a\]a2

4.已知拋物線C：/=8不與點(diǎn)加一2,2）,過。的焦點(diǎn)且斜率為4的直線與。交于4B

兩點(diǎn).若MA?MB=O,則k=()

1J2

A.-B.--

C.^/2D.2

解析：選D如圖所示，設(shè)廠為焦點(diǎn)，取的中點(diǎn)只過46G1已私

分別作準(zhǔn)線/的垂線，垂足分別為C,H,連接MF,MP,K//

由正?礪=0,知例L監(jiān)，貝1」|朋=仙8|=3（|46|+的），

所以屈0為直角梯形倒函的中位線，V\

所以MP//AG//BH,所以NGAM=NAMP=AMAP,

又|/G|=|朋，AM為公共邊,所以的0△兒（/',

所以/加部=/"/仁90°,則物」四，所以4=一；=2.

KMF

5.已知Q是雙曲線r—￡=l（a>0,6>0）的右焦點(diǎn)，A,8分別為其左、右頂點(diǎn).0為

ab

坐標(biāo)原點(diǎn)，〃為其上一點(diǎn)，加Ux軸.過點(diǎn)力的直線/與線段站交于點(diǎn)反與y軸交于點(diǎn)機(jī)

直線應(yīng)與y軸交于點(diǎn)M若31aM=2|〃M，則雙曲線的離心率為（）

A.3B.4

C.5D.6

解析：選C如圖,設(shè)/(一a,0),6(a,0),"(0,24，MO,一34.

則直線4"的方程為y=—x+2m,直線m的方程為y=-x—3加

d.3.

??,直線?曲」的交點(diǎn)〃（C,為），

.2me,3

+2/=-3m,則(=5,

a-------a

雙曲線的離心率為5.

6.斜率為1的直線/與橢圓1+/=1相交于46兩點(diǎn)，則1/引的最大值為（）

A.2B.羋

5

C迺D.辿

O0

解析：選C設(shè)48兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（乂，必），（%,%）,直線，的方程為尸x+3

[x+4y=4,、

由《消去力得5x+8Zx+4（f—1）=0.

[y=x+t

.84J

則ml汨+至=一三￡,X\X2=---------.

2

/.|力用=[1+，\x\—x2\=yji+Jc?yj_X]+x2一"—

=哈廣

故當(dāng)t=o時(shí)，I儂=斗近.

二、填空題

9

7.焦點(diǎn)是尸（0,5蛆），并截直線y=2x—1所得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

22

解析：設(shè)所求的橢圓方程為4+備=13力0）,直線被橢圓所截弦的端點(diǎn)為4（小，力）,

3.u

B〈xz,y2）.

由題意，可得弦16的中點(diǎn)坐標(biāo)為（笠上空2

+2+3

小

B-2-yl27-

7,

22

將出8兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中，得，

A

_6

兩式相減并化簡，得得=一匕二更?上誓=-2X一=3,

bX\—x2X\~vXz

7

所以才=3反又（?=才一Z?2=50,所以#=75,I）=25.

22

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為長+費(fèi)=1.

（0Zb

答案：7i+25=1

22

8.經(jīng)過雙曲線當(dāng)一￡=l（a>0,6>0）的右焦點(diǎn)，傾斜角為60°的直線與雙曲線有且只

ab

有一個(gè)交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為.

22

解析：：經(jīng)過雙曲線當(dāng)一￡=l（a>0,6>0）的右焦點(diǎn)，

傾斜角為60°的直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

???根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)知所給直線應(yīng)與雙曲線的一條漸近線平行，

a

/.■^=tan60°=小,即

/.c=y]a+l}=2a,故e=^=2.

答案：2

9.拋物線f=4y與直線x—2y+2=0交于兒8兩點(diǎn)，且48關(guān)于直線y=—2X+R

對稱，則/的值為.

解析：設(shè)力（小，%）,B（X2,鹿），

f/=4y,

聯(lián)立，c-八消去必得x—2x—4=0.

[x~2y+2=0

?,,Xi+及

則X1+怒=2,---=1.

1V\~\~y-i3

「?力+度=5（X1+至）+2=3,.2=]?

VJ,8關(guān)于直線p=-2x+%對稱,

???AB的中點(diǎn)在直線y=—21+加上,

37

即引=—2義1+/〃，解得〃=].

7

答案：]

三、解答題

10.橢圓G5+/=l(a>6>0)的離心率為平，過右焦點(diǎn)K(c,0)垂直于x軸的直線

與橢圓交于A。兩點(diǎn)且1。0=乎，又過左焦點(diǎn)月(一c,0)作直線/交橢圓于兩點(diǎn).

(1)求橢圓。的方程；

(2)若橢圓C上兩點(diǎn)46關(guān)于直線/對稱，求△?)仍面積的最大值.

9A2AR

解：(1)由題意可知I戶。|=2=子y.①

3o

又橢圓的離心率e=*="1-&=嘩,則與②

3\lQo3o

由①②解得a?=3,4=2,

22

橢圓的方程為*+5=1.

OLi

(2)由(1)可知左焦點(diǎn)￡(—1,0),

依題意，直線/不垂直x軸，當(dāng)直線/的斜率在W0時(shí)，可設(shè)直線/的方程為y=〃(x+

l)(AW0),則直線46的方程可設(shè)為y=—%+R，力(小，力)，6(如先)，

整理得(2尸+3)e一6kmx+3出簾一6六=3

4—(一Gk/n)'—4X(22+3)—6片)>0,

則m/(-2/(-3<0,③

6km3—蘇一6六

為+也=丁不?小熱=2如+3?

設(shè)四的中點(diǎn)為C(xc,3，

.X]+x23kni2片m

則n超=5?不？7f=27+3-

2^3+1}

?.?點(diǎn)。在直線1上，

乙KIJ

3

則/z?=-2A—1（4）

此時(shí)m—2—j2=M{+^+10>0與③矛盾，故4W0時(shí)不成立.

當(dāng)直線/的斜率4=0時(shí)，力（照，㈤，6（照，一㈤（照>0,外>0）,

仍的面積S=；?2yo?Ab=AbJb.

..xo1^?b_^6.v近

.勺十萬一132■?萬一亍崗加??施乂）￡亍.

當(dāng)且僅當(dāng)守苦=3時(shí)取等號.

.../XAOB的面積的最大值為竽.

11.已知拋物線區(qū)/=2px（p>0）的焦點(diǎn)T7,6上一點(diǎn)（3,而）到焦點(diǎn)的距離為4.

（1）求拋物線夕的方程；

（2）過尸作直線],交拋物線￡于46兩點(diǎn)，若直線中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一1,求直線/

的方程.

解：（1）拋物線￡：/=2叱3>0）的準(zhǔn)線方程為x=一梟

由拋物線的定義可知3—1一啰=4,

解得0=2,.?.拋物線￡的方程為/=4x.

⑵法一:由（1）得拋物線6的方程為/=4x,焦點(diǎn)/（1,0由

設(shè)/,，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4（汨，力），〃（入2,現(xiàn)），

悌=4汨，

%=4如

兩式相減，整理得匚匕=~^（小/也）.

X2-X\72+yi

???線段4?中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一1,

44

???直線1的斜率3—r-=——:-^^=一2,

現(xiàn)十刃—1X2

?,?直線/的方程為p-0=-2(x-l),即2x+y-2=0.

法"由(1)得拋物線后的方程為y=4x,焦點(diǎn)廠(1,0),

設(shè)直線/的方程為x=〃少+1,

由彳,消去x,得/—4〃》一4=0.

[x=my+l

設(shè)48兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為力(汨，y),B(xz,先)，

???線段47中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一1,

.必+%4r_1

??2一2一—L解痔m一—之，

J直線/的方程為x=一?+L即2x+y—2=0.

22

12.(2018??？谡{(diào)研)已知橢圓C：鼻+￡=l(a>6>0)的左，右頂點(diǎn)分別為4B,其離

ab

心率e=；，點(diǎn)M為橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，△始占面積的最大值是2m.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過橢圓C右頂點(diǎn)6的直線/與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為。，線段故的垂直平分線與y

軸交于點(diǎn)P,當(dāng)下?商=0時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

1

解：(D由題意可知<X2他2

2一=

==爐+乙

解得a=2,b=小,所以橢圓方程為!+m=1.

AO

(2)由⑴知8(2,0),設(shè)直線劃的方程為尸以十-2),D(x\,%),

把尸內(nèi)x—2)代入橢圓方程1+4=1,

TLO

整理得（3+4始）x2-16爐x+16a2—12=0,

1648〃一6“一6一126

所以2+用=3+41^^=3+4垢,則3+4戶3+4A2

(8妙一6左、

所以劭中點(diǎn)的坐標(biāo)為13+4,3+4/J'

則直線物的垂直平分線方程為

一6A

L3+44

又r一如?―PD=O,即/（2,一巾2k7、上<（訐8^-稻6正—1司4公=°，

644+28爐一36

化簡得-3+4如*=0=>64A'+28/-36=0,

解得4=±*故（o,才或（o,—

［能力自選題|

22歷

1.已知橢圓C：芻+S=l（a>6>0）的短軸長為2,離心率為手，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線/與

3.DZ

橢圓C交于不同的兩點(diǎn)4B,過力，6作直線x=2的垂線力只BQ,垂足分別為巴。記乂

=」“'f、若直線/的斜率則A的取值范圍為

22歷

解析：...橢圓G了+方=15力。）的短軸長為2,離心率哈,

2=2,

.?.<￡=*,解得名=也，Z?=c=l,

azv

、才=F+cf

2

.?.橢圓c的方程為/+/=i.

?.?過右焦點(diǎn)的直線/與橢圓,交于不同的兩點(diǎn)4B,

二設(shè)直線/的方程為尸內(nèi)x—l),

(2

；+/=1,

聯(lián)立<2得(22+1)丁―442才+242—2=0,

、y=kx—\

設(shè)4(xi,a),8(x2,72),y1>%,

nil4*2左一2

川小+生=2^+1'汨型=21+1'

.」一■+502—小+2一及

-=~[PQ\~~y-yi-

___________4—小+題___________4—小+用______

kM—1-kx2—\/c\]~汨+題一'~2-4XIX2

4-

=―,4一兩屋

\(4A2\聲與k\l^k-

A\l27+Tj-4X^+T

,:k%B

.?.當(dāng)衣=/時(shí)，兒皿=2+三當(dāng)*f+8時(shí)，/lnin-^2,

二A的取值范圍是卜作，平].

答案：(隹乎]

2.已知?jiǎng)狱c(diǎn)材到定點(diǎn)尸(1,0)的距離比材到定直線才=-2的距離小1.

(1)求點(diǎn)M的軌跡。的方程；

(2)過點(diǎn)/任意作互相垂直的