天津市南開區(qū)南開中學(xué)2024屆高三年級上冊統(tǒng)練6數(shù)學(xué)試題

天津市南開區(qū)南開中學(xué)2024屆高三上學(xué)期統(tǒng)練6數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.己知集合/=卜卜--2<0},3={x|lgx<l},/巾=（）

A-(-2,10)B.(0,1)

0HRD-(-oo,10)

2.設(shè)xe'則“住一口<!”是“/<1”的

22

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)〃力=4的部分圖象是

已知a=log0.5,6=0.5°2,。=log]0.4

4.02則Q,b,。的大小關(guān)系為（）

2

試卷第11頁，共33頁

AR「i~)

*a<b<c*a<c<b,b<c<a*c<a<b

5.將函數(shù)〃x)=2sin］2x-3的圖像上所有點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變,

得到函數(shù)g(x)的圖像，有下述四個結(jié)論：

①g(x)=2sin(x-j

②函數(shù)g(x)在(0,鼻上單調(diào)遞增

③點［F，o］是函數(shù)g(x)圖像的一個對稱中心

④當(dāng)x/-私斗時，函數(shù)且口)的最大值為2

_2.

其中所有正確結(jié)論的編號是()

A.①②③B.②③C.①③④D.②④

6.如圖，在一'0中，/24。=岸而=§刀，尸為8上一點，且滿足

刀=加叫加若小2,皿5,則網(wǎng)的值為()

A.叵B.叵C.叵D.史

4224

7.“Be是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角

試卷第21頁，共33頁

形，若萬'=3痂，冏=3,且力=方+〃就，則％+"=()

159

A.B.-C.D.4719

19191919

o+AABC.AB=3AC=9T-->/點"是A/'C所在平面內(nèi)一點，則當(dāng)

8.在中,ACAB=AC，

.2.2.2

尸/+尸3+PC取得最小值時，PABC=()

A.24B.60C.2D.

2

9.己知函數(shù)"無)」("1)/+(。+2卜-1,X€(-1,1)有且只有3個零點，則實數(shù)。的取

(Q-l)%2+辦+國,％任(-1,1)

值范圍是()

A-(0,1)B-(-?,-8)U(O,l)

C[0,1)D-(-?,-8]U[0,1)

二、填空題

10.復(fù)數(shù)J：。一1(1為虛數(shù)單位)，則目=—.

-1+i

11.在(9一j)6的二項展開式中，/的系數(shù)為.

試卷第31頁，共33頁

12.若正a數(shù)，h。滿足1_1L+_L=i,則，1Q+二的最小值

aba-\p-1

13.若==則期儂+與的值等于.

三、雙空題

14.已知平行四邊形"'8的兩條對角線相交于點"，|"q=2,|/。卜1,

/DAB—60°甘尾上尸五合4r幾MD匚口毋0—rr25Ir)p|—把工N曰隹

，其中點在線段上且滿足4PCP=——，〃卜一一，右點是線

16

段45上的動點，則知.標(biāo)的最小值為一.

四、填空題

①wRg(x)=?x/(x)(上)

2sincox+—,x>0,

I6j.若在〔"J

15.設(shè)函數(shù)/(、)=<上單調(diào)

32/1

—X+A-COXH—,X<0n,

122

遞增，且函數(shù)與g(x)的圖象有三個交點，則。的取值范圍是

五、解答題

16.已知△48c的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,滿足2c=Ga+26cos出

CD求角DR；

(2)若cos/=L求sin(2/+8)的值；

4

(3)右c=7,bsinA=6，求6的值，

試卷第41頁，共33頁

17.已知向量￡=(cos|x,sinqx],向量6=(cosgx,—sin少￡

0,-?求：

2j

⑴。力及；

(2)/(x)=°)-2/卜+4的最小值為一1,求t的值.

18.已知底面/BCD是正方形，P/_L平面/BCD，PAHDQ-PA=AD=3DQ=3，點

E、尸分別為線段尸8、。。的中點.

⑴求證：〃平面P/OQ;

(2)求平面PCQ與平面CDQ夾角的余弦值；

(3)線段℃上是否存在點新,使得直線""與平面0,。所成角的正弦值是運，若

存在求出C巴的值，若不存在，說明理由.

MC

19.如圖，已知橢圓E：￡_+「_=1(0>6>0)的離心率為斗，過左焦點尸卜6，°)且

斜率為左的直線交橢圓￡于48兩點，線段45的中點為直線/：x+4到=0交橢

圓E于C,。兩點?

試卷第51頁，共33頁

(1)求橢圓￡的方程；

(2)求證：點M在直線/上；

(3)是否存在實數(shù)左，使得5幼儂=3$叔3?若存在，求出土的值，若不存在，說明理

由.

2

20.已知函數(shù)/(x)=(x_2”i-gx2+x+；,g(x)=?x-x+4?cosx+ln(x+l))其

中aeR-

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并求不等式f(x)>0的解集；

(2)用max卜％"｝表示加,〃的最大值，記尸(x)=max｛/(x),g(x)｝，討論函數(shù)尸(無)的

零點個數(shù).

試卷第61頁，共33頁

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)解一元二次不等式的解法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、集合交集的定義進行求

解即可.

【詳解】因為“=卜—+》-2<()}=(-2,1),8=卜|臉<1}=(0,10),

所以108=(0,1),

故選：B

2.A

【詳解】分析：首先求解絕對值不等式，然后求解三次不等式即可確定兩者之間的關(guān)系.

詳解:絕對值不等式/。…

由d<1OX<1.

據(jù)此可知<1是/<1的充分而不必要條件.

22

本題選擇/選項.

點睛：本題主要考查絕對值不等式的解法，充分不必要條件的判斷等知識，意在考查學(xué)生

的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

3.A

【分析】根據(jù)奇偶性排除B,當(dāng)x>l時，/5)=曾>0,排除CD,得到答案.

【詳解】〃x)=4，〃-x)=^=-4x)，〃無)為奇函數(shù)，排除B

當(dāng)X>1時，/@)=曾>0恒成立，排除CD

故答案選A

【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷，通過奇偶性，特殊值法排除選項是解題的關(guān)鍵.

答案第11頁，共22頁

4.A

【分析】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可

【詳解】因為a=log020.5=log02V025<log02Vol=1，

nv10?嚴(yán)<1

而6=0.5°2=/>-,且,

所以”萬

又c=logj0.4=log2—>log22>1,

22

所以〃<b<c9

故選：A.

5.B

【分析】根據(jù)圖象變換可得g(x)=2sinx~~71,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項分析判斷.

【詳解】由題意可得：g(x)=2sin［x-故①錯誤；

因為xe］。,］，則x-蜀-且『Mx在［/j上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)g(x)在(0,?上單調(diào)遞增，故②正確；

4兀，

因為g=2sin2sin7iO=

33

所以點(牛,0是函數(shù)g(x)圖像的一個對稱中心，故③正確;

答案第21頁，共22頁

因為-71,—，貝—---，

_2」336」

所以當(dāng)答—5,即、二—兀時，函數(shù)8⑴的最大值為g(—3n,與故④

錯誤；

故選：B.

6.C

【分析】根據(jù)題意，利用平面向量的共線定理求得機=工，再結(jié)合向量的數(shù)量積和向量模

4

的運算公式，即可求解.

【詳解】在中，由=而=2麗，尸為8上一點，

_________k1__k.o__k

且滿足后=加就+—益，貝IJ萬=用衣+_而，

24

又由尸三點共線，則機+之=1,即加=1,

44

因為|就|二2,|森|=5，

則|J-/。?+—AC-AB+—AB2=—x4+—x2x5x—+—x25=—,

11644164244

則I萬I的值為叵.

2

故選：C.

7.A

【分析】由向量加減、數(shù)乘幾何意義用在，就表示出Q，即可得結(jié)果.

答案第31頁，共22頁

______?__?___2__?__?2__.__?__?2__?2__-

【詳解】由題設(shè)方=存+而=礪+]前=礪+§(團+函)=四+§(而+§區(qū))

=AB+-BC+-(CA+AE)=AB+-BC+-U+^AF

393927

—?2——?—?4——?8——?1—?2—?8——?

=AB+-(AC-AB)——AC+-AF=-AB+-AC+—AF,

39273927

所以‘力/二上4臺+士力。，BPAF=—AB+—AC,

27391919

^AF=AAB+JLIAC故…二”

故選：A

8.A

【分析】由條件可得cos/=,，所以可得8c=6正，進而判斷/。=工，以0點為坐標(biāo)原

32

點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(x,y)，利用坐標(biāo)計算強2+麗2+斤2,整理得

PA+PB+PC=3[(x-l)2+(y-2V2)2]+54>則可得當(dāng)尸Q"應(yīng))時，PA+PB2+PC

得最小值，再計算二：即可得答案.

PA-BC

—__>_>2->―>—>

【詳解】由=可得：|NC||N8|cosN=|NC『，

->->=qi

則|48|cos/=|/C|,又一,所以cosN=§,

由余弦定理得8c=6近，所以有3c?+"2=/笈，即/。=工，

2

答案第41頁，共22頁

以C點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則/(3,0)，5(0,6揚，設(shè)P(x,?)，貝I：

PA+PB2+PC2=(x-3)2+y2+x2+^y-642^+x2+y2

=3x2-6x+3/-12V2y+81=3[(x-l)2+(y-2V2)2]+54

當(dāng)x=1j=2收，即P(1,2V2)時~PA+~PB+PC2取得最小值，

此時強.瑟=(2,-2也).(0,-6/)=24.

故選：A

【點睛】本題考查向量數(shù)量積的計算.求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向

量的坐標(biāo)運算；利用數(shù)量積的幾何意義.具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時

要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用.

9.B

【分析】先求a=l時函數(shù)“X)的零點，再考慮awl時,函數(shù)/⑺在(_8,i]U[l,+oo)的零

點，由此確定函數(shù)/(x)在(-1,1)上的零點個數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求。的取值范圍?

a=13x-l,xG(-1,1)

【詳解】當(dāng)時,/(x)=<X+X,XG[1,+00)*

0,XG

答案第51頁，共22頁

所以區(qū)間(Y°，T］內(nèi)的任意實數(shù)和g都為函數(shù)/(X)的零點，不滿足要求;

若工￡(-00,-1卜貝U/(X)=((2-1)X2+6ZX-X?

令/(x)=0，可得x=0(舍去)，或％=-1,

所以尸―1為函數(shù)/(X)的一個零點;

若XG[1,4-00)?則/(x)=(d!-l)x2+QX+X，

令/(x)=0，貝品”1*+QX+X=0,

所以x=5,

a—1

若"Ul,BP°-a<1,則函數(shù)〃x)在[l，+8)上有一個零點;

若a>l或a<0時，則函數(shù)/(x)在［1,+00)上沒有零點；

當(dāng)04a<1時，函數(shù)/(x)在(-oo,_l］31,+oo)上有兩個零點;

因為當(dāng)0Wa<l時，函數(shù)/(x)在(-oo,-l］口［1,+8)上有兩個零點;

又函數(shù)在R上有3個零點,

即方程(a-l)x?+(a+2)x-l=0在(-1,1)上有個根，

答案第61頁，共22頁

當(dāng)a=0時，方程(”1)/+(0+2)口一1=0的根為4=1(舍去)，

故a=0時，方程(a_l*+(a+2)x-l=0在(一1,1)上沒有根，矛盾

當(dāng)0<。<1時，A>0)

設(shè)g(x)=(a-lW+(a+2)x-l,xe[-1,1]，

函數(shù)g(x)=("lW+(a+2)xT的對稱軸為/2包>1,

2-2a

函數(shù)g(x)的圖象為開口向下的拋物線，

由方程"lW+(a+2)x7=0在上有一個根可得g⑴>O,g(-l)<。，

所以(a-l)+(a+2)-l>0,(a-l)-(a+2)-l<0，

所以0<a<r

當(dāng)a>l時，則函數(shù)[(x)在(-00,-1][[1,+8)上有一個零點；

又函數(shù)”X)在R上有3個零點，

所以函數(shù)/(力在(7,1)上有且只有兩個零點，

即方程(._1)尤2+(4+2)尤_]=0在(_],1)上有兩個根，

由g(x)=("l)x2+(a+2)x_l,xe[Tl]可得函數(shù)g(x)的圖象為開口向上的拋物線，

函數(shù)g(x)=(aT*+(a+2)x-l的對稱軸為x=±2,

答案第71頁，共22頁

貝l]A=(a+2)2+4(a-l)=a(a+8)>0,_]<"+2<],g(l)>O,g(-1)>。,

2—2Q

所以0>4，(?-1)+(0+2)-1>0,(0-1)-(?+2)-1>0'

滿足條件的°不存在,

當(dāng)a<0時，則函數(shù)/(力在(fOLUuM+oo)上有一個零點;

又函數(shù)/(x)在R上有3個零點，

即方程(°_1*+(a+2);<:-1=0在(-1,1)上有兩個根，

由83=("1)/+伍+2)》-1,》€(wěn)卜1,1]可得函數(shù)8(目的圖象為開口向下的拋物線，

函數(shù)g(x)=("l)x2+(a+2)x-l的對稱軸為x=￡±l

2—2。

則A=(Q+2/+4(Q-1)=Q(Q+8)>0,_1<^+2<1,g(l)<0,g(-l)<0,

、2—2a

所以〃<-8，a<0，++<0,(Q_1)_(Q+2)_]<0，

所以〃<T

故實數(shù)a的取值范圍是(_oo,_8)U(0,l>

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點睛：含絕對值函數(shù)的相關(guān)問題的解決的關(guān)鍵在于去絕對值，將其轉(zhuǎn)化為不

含絕對值的函數(shù)，分段函數(shù)的性質(zhì)的研究可以分段研究.

。41

【分析】先利用復(fù)數(shù)的運算化簡復(fù)數(shù)，再利用模長的公式求解模長.

答案第81頁，共22頁

【詳解】z="￡)=「，)=_]-

l+i1+i(l+i)(l-i)17

所以歸=J(-1)2+(_1)2=后.

故答案為：6

［詳解］試題分析：因為晨亭?（子）22f-，，所以由3f=2得

r=1,因此產(chǎn)的系數(shù)為《（一1）2T=-|

考點：二項式定理

【方法點睛】1.求特定項系數(shù)問題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件（特定

項）和通項公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，

即n,r均為非負(fù)整數(shù)，且n匕）；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項的系數(shù).

2.有理項是字母指數(shù)為整數(shù)的項.解此類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)

具體要求，令其為整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解.

12.6

■八工匚▼-r於0b、廿口11?-曰。>16>16z-l>0Z?-l>0,

【分析】正數(shù)，滿足一+―=1,可得，且n；n即n，且n；由

ab

1+L=1變形為°-1=L；化J_+_2_為-1T+9（a-1）應(yīng)用基本不等式可求最小值.

abb-\a-1b-1a~1

???ah11-Z7>1A>1

【詳解】解：正數(shù)，"滿足_1+二1,且"1；

ab

答案第91頁，共22頁

11.,a+b:.ab=a+b:.ab-a-b=O(a-1)(Z)-1)=1

一+-=1變形為----=1，，，

abab

+言=M+9("D"N4"1)=6'

當(dāng)且僅當(dāng)一^=9(a-l),即a=l±1時取"一"(由于"'I故取。=3,

a-\3J

io

,+2的最小值為6；

a-1b-1

故答案為：6。

13.--/-0.5

2

【分析】由已知條件求出〃"的值，即可求解

【詳解】因為％夕￡0微

￡

2

解…三，

所以cos(a+P)=cos^L——,

答案第101頁，共22頁

故答案為：-！

2

14且受

V256

【解析】根據(jù)題意，利用余弦定理求出0，/c=J7,根據(jù)平面向量的線性運算即

->->(T-?、->/->-?、->2->2

可得出NP=_PN=_[JW+A?J，CP=-^PM-MA\,得出NP.CP=PA/

即可求出由于點"是線段"'上的動點，可設(shè)/N=X(O4X42),則

->y->—>0y->___>y->—>

AN=-AB,NB=一一AB,由平面向量的三角形加法法則得出ND=--AB+AD,

222

NPJL_AAB+-AD,結(jié)合條件且根據(jù)向量的數(shù)量積運算，求得

(42)4

而擊--04寸。崇℃力最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出

法>A加的最小值.

.、法則,六禮一皿5皿ABCD4f-ZDAB=60°

【詳解】解：在平行四邊形1中1，48=2，40=1，，

則在△22。中，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cosZDAB>

答案第111頁，共22頁

BP5Z>2=22+l2-2x2xlxi=3,

2

ABDA=90°,NABD=30°,則ZABC=120°，

在“BC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosAABC'

^AC2=22+l2-2x2xlx^-1^|=7，--AC=^,

,*>->->f->-?、ff(Tf->T、

AP=-PA=-\PM+MA,CP=-PC=-\PM+MC\=-\PM-MA

(f->AA->->2->225

:.AP-CP=\PM+MAt\PM-MA\=PM-MA=-—

^MA=-AC=—

22

T

:.PM-MA=PM—2=_竺，解得:PM

4164

DP=DMPM近_近=近;

244

由于點N是線段上的動點，

可設(shè)/N=x(OK2),則仁欣正?必

—>—>—>—>—>y—>—>

...ND=NA+AD=-AN+AD=——AB+AD

2

———2—rt3f2—rt3，3t

:.NP=NB+BP=-----AB+-BD=——AB+-\AD-AB

24241

答案第121頁，共22頁

即宓=仕一AB+-AD，

U2)4

ND-NP=^-^AB+AD^-Q-|^+|^b

iif3.'

——x+-x2\AB+------x\ABAD+-AD

84JU8J4

112Q7)“3

—xH—x「x4+----xx一2x1xcos60H—

84JU8J4

—x2---x+1,(OWxV

8l

即而近4-%+1=

i+熱。52)，

所以當(dāng)x=11i■時，NfDNfP取得最小值，最小值為”115.

16256

故答案為：—.

4256

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平面向量的線性運算和數(shù)量積運算的實際應(yīng)用，解題的關(guān)

鍵在于利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力.

15.2.

3

答案第131頁，共22頁

【分析】利用/(X)在IK上單調(diào)遞增可得工4o42,函數(shù)〃x)與g(x)的圖象有三個

3,243

交點，可轉(zhuǎn)化為方程3/+6°x+1=0在xe(-oo,0)上有兩個不同的實數(shù)根可得答案?

【詳解】當(dāng)小和,3法母j

因為“X)在上單調(diào)遞增,

兀兀,12

H----?一

6243

所以一題《二，解得

33

所以在xe(-oo,0)上函數(shù)〃x)與g(x)的圖象有兩個交點，

即方程3/+4a)x+—=tax在**(°0,°)上有兩個不同的實數(shù)根,

22

即方程3/+68+1=0在》4-00,0)上有兩個不同的實數(shù)根，

A36療120>垂>

CD>——

所以-0<0,解得3

—xO2+6①xO+1>0

[2

當(dāng)GO時，令/⑴_g(x)=2sin］力工+弓’8，

由x=0時，f(%)—g(x)=1>0,

答案第141頁，共22頁

當(dāng)…譽不時，s=g

77r

此時，/(x)-g(x)=2--—<0,

結(jié)合圖象,所以x20時，函數(shù)與g")的圖象只有一個交點,

綜上所述,732

G)€T53

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是轉(zhuǎn)化為方程3/+6。、+1=0在xe(-oo,0)上有兩個

不同的實數(shù)根.

16.(1)(2)34)-7.(3)曬

616

【解析】(1)由正弦定理化邊為角后，由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式化簡后可求得B；

(2)由二倍角公式求得sin24cos24后再由兩角和的正弦公式可求值;

(3)由正弦定理求得°,再由余弦定理求得人

【詳解】(1)-2c=>/3a+2bcosA,

由正弦7E.理得，2sinC=A/3sin^4+2sinBcosA

答案第151頁，共22頁

??2(sinAcosB+cos4sin8)=sin4+2sinBcosA

即2sinAcosB=出sinA,

sin4w0

,?cosB=——

2

又0<5<小

(2)由已知得，sinZ=V1-COS2A=

?,sin24=2sinAcosA=---

8

2

cos24=2cosA-l=——

8

?7171c,?兀一/

?,sin(2Z+B)=sin(2Z+—)=sm2Acos—+cos2Asin—=--------

66616

(3)由正弦定理，_得。=史二

sinAsinBsinB

TC

由(1)知，B=N,

,,a=2A/3

由余弦定理得，＞2=a2+c2-2accosB=19,

：?b=M

答案第161頁，共22頁

【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、考查兩角和的正弦公式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式,

同角間的三角函數(shù)關(guān)系，考查公式較多，解題關(guān)鍵是正確選擇應(yīng)用公式的順序.在三角形

中出現(xiàn)邊角關(guān)系時，常常用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換.

17.(l)cos2x,2cosx

⑵工

2

【分析】(1)根據(jù)向量的坐標(biāo)運算結(jié)合三角恒等變換運算求解；

(2)由(1)整理得=cos2x-4/cosx=2cos2x-4?cosx-l，換兀令m=cosxG[0,1]>

原題意等價于g(M=2/-4加-1在[0,1]上的最小值為_3,

2

分類討論，結(jié)合二次函數(shù)最值運算求解.

【詳解】(1)由題意可得：a-b=cos-xcos—x-sin—xsin—x=cos|—x+—x'l=cos2x>

2222(22J

iriI_^3-3,i[i|T"i_r.iY,,

=Jcos—x+sin—x=l,|p|=Jcos—x+l-sm—xI=1

~~r'Tr__1V/---------------/-----丁

所以卜+H=+b)=+2a-b+b=Vl+2cos2x+l=V4cosx，

又因為xe0,4則c°sx",可得B++2COSX,

所以Q.B=COS2X；,+q=2cosx

(2)由(1)可得：f^x)=cos2x-4tcosx=2cos2x-4lcosx-lf

因為xe[o,],令機=cosxe[0,l],

答案第171頁，共22頁

原題意等價于g(")=2/-4桃-1在［0,1］上的最小值為-3,

2

注意到函數(shù)g(加)開口向上，對稱軸為機=￡,則有：

若￡之1,則g(加)在［0川上單調(diào)遞減,

可得當(dāng)機=1時，函數(shù)8⑺取到最小值g(l)=l-4t=-|,

解得不合題意，舍去；

若則g(⑹在［0川上單調(diào)遞減，在&1］上單調(diào)遞增，

可得當(dāng)機=’時，函數(shù)g(M取到最小值g0=-2/2_l=_|,

解得/=1或/=-工(舍去)；

22

若￡40,則g(M在［0,1］上單調(diào)遞增，

可得當(dāng)機二°時，函數(shù)g(")取到最小值g⑼不合題意，舍去;

綜上所述：t的值為

18.(1)證明見解析

⑵巫

7

PM,—PM1

⑶存在;標(biāo)=1或指盤

答案第181頁，共22頁

【分析】（1）法一,：分別取4g、CD的中點G、H,連接EG、GH、FH,證明出平面

EGHFH平面ADQP,利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

法二：以點人為坐標(biāo)原點，以、、/尸所在直線分別為、、軸建立空間直角坐

42ADxyz

標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；

（2）利用空間向量法可求得平面PCQ與平面CDQ夾角的余弦值；

（3）假設(shè)存在點使得兩=義定，其中;Le[O,l]，求出向量而的坐標(biāo)，利用空間向

量法可得出關(guān)于力的方程，解之即可.

【詳解】（1）證明：法一,：分別取/§、CD的中點G、H,連接EG、GH、FH'

由題意可知點E、尸分別為線段尸3、CQ的中點.所以EG//P4,FHHQD.

因為尸47DQ，所以EG//FH，所以點￡、G、H、尸四點共面，

因為G、H分別為48、CD的中點，所以GH//4D'

因為4Du平面4DQP,G//O平面400尸，所以GH〃平面4DQP，

又因為FH/IQD，0。＜=平面/。0尸，尸〃0平面/。。尸，所以〃平面NDQP,

又因為尸〃^6〃=〃，F(xiàn)H、G/7陵平面EG/7F,所以平面EG//F〃平面ND0P,

因為既u平面EG￡?F,所以斯〃平面400尸；

答案第191頁，共22頁

Q

法二：因為4gc￡）為正方形，且尸/_L平面48CD，所以/尸、AB＞么。兩兩互相垂直,

以點A為坐標(biāo)原點，以Ng、.所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，

則P（0,0,3）、C（3,3,0）、0（0,3,1）、*3,0,0）、后戶,。上）F^,3,^

所以詼=（0,3,-1），易知平面PADQ的一個法向量0=（i,o,o），

所以〉礪=0，所以礪,小

又因為EFU平面尸，所以斯〃平面NDQP.

⑵解：設(shè)平面PC。的法向量注=（x,%z），正=（3,3,-3），詼=（-3,0,1），

m-PC=3x+3y-3z^0X=1m=(1,2,3)

則m-CQ=-3x+z=Q，取，可得

答案第201頁，共22頁

所以平面PCQ的一個法向量為碗=0,2,3），

易知平面。0。的一個法向量J=（o,i,o），設(shè)平面PC0與平面CQJ夾角為0,

nln_|_22_V14

貝ljcos6一|cos（w）|=I-I|一|----1.—I——=——

I'm.?lxVl+4+9V147

所以平面PC。與平面夾角余弦值為恒；

7

（3）解：假設(shè)存在點"，使得同7=4定=（343；1,-3；1），其中;le[0,l]，

則商=不+由=（0,0,3）+（3九34,-34）=（34,32,3-32），

由（2）得平面PC0的一個法向量為碗=0,2,3），

I/—.-\|\AM-m\I3A+6A+9-9AI屈

由題意可得卜os6此"=',.J,=」?2=?，

?'/I卜必?網(wǎng)714^922+9^2+（3-3^）7

整理可得12萬-82+1=0,gp（2A-l）（6A-l）=0,

因為I解得；I」其，所以，叫」或也=1.

6MC5MC

19.（1）0+4=1（2）詳見解析（3）存在，且七=±1

41-4

【分析】（1）根據(jù)離心率和焦點坐標(biāo)列方程組，解方程組求得出6的值，進而求得橢圓E

的方程.（2）寫出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，求得中點"的坐標(biāo)，

將坐標(biāo)代入直線/的方程，滿足方程，由此證得點〃在直線/上.（3）由（2）知43至卜的

答案第211頁，共22頁

距離相等，根據(jù)兩個三角形面積的關(guān)系，得到M是0C的中點，設(shè)出c點的坐標(biāo)，聯(lián)立直

線/的方程和橢圓的方程，求得c點的坐標(biāo)，并由此求得上的值?

c百a=2b=l

【詳解】解：⑴解:由aW,解得，

c=6

22

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1

41

⑵設(shè)/（芭,M），B（x2,y2）'M（x0,y0）>

X

y=k（x+y/3\（4左2+1）、2_8Ak2%+12左2_4=0

消律

_玉+%_-4?2

解得『021+4〃

,,一切+二2.瓜

y°~2-1+4公

將M（Xo，%）代入到x+4?=0中，滿足方程

所以點川在直線/上.

（3）由（2）知45至卜的距離相等，

若A5DA/的面積是ZUCM面積的3倍，得QM=3|CM，

有|。。|=卬,

??M是QQ的中點，

設(shè)C（X3，%）,則為=5,

答案第221頁，共22頁

x+4ky=0

聯(lián)立解得％=±

x2+4y2=4

干是1J網(wǎng)

2，1+431+4公

解得如=；,所以仁土亨

【點睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查根與系

數(shù)關(guān)系，考查方程的思想，屬于中檔題.要證明一個點在某條直線上，那么先求得這個點的

坐標(biāo)，然后將點的坐標(biāo)代入直線方程，如