2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)串講（北師大版）：因式分解（解析版）

專題04因式分解

翁后考點(diǎn)速覽

因式分解的意義（共2小題）二.公因式（共2小題）

≡.因式分解-提公因式法（共7小題）四.因式分解-運(yùn)用公式法（共4小題）

五.提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用（共3小題）六.因式分解-分組分解法（共6小題）

七.因式分解-十字相乘法等（共4小題）八.實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式（共3小題）

九.因式分解的應(yīng)用（共7小題）

?知識(shí)梳理

L因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式.

2.因式分解的方法：

'公因式：一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有的因式.

提取公因式：把公因式提取出來作多項(xiàng)式的一個(gè)因式，提出

①提取公因式法:公因式后的式子放在括號(hào)里，作為另一個(gè)因式.

最大公因式：系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)，字母取各項(xiàng)

都含有的相同字母且各個(gè)相同字母的指數(shù)取最低次累.

②公式法：：二二;公式中0項(xiàng)以是單項(xiàng)式'也可以是多項(xiàng)式.

'利用十字交叉來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法;

③十字相乘法:<

表達(dá)式：X2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）

原則：分組后能提取公因式或能用公式法或十字相乘法;

④分組分解法:規(guī)律四項(xiàng)多項(xiàng)式y(tǒng)+3分組一般用完全平方公式'然后用平方差公式;

2+2分組：一般用提取公因式.

要點(diǎn)詮釋：落實(shí)好方法的綜合運(yùn)用:

首先提取公因式，然后考慮用公式;

兩項(xiàng)平方或立方，三項(xiàng)完全或十字;

四項(xiàng)以上想分組，分組分得要合適;

幾種方法反復(fù)試，最后須是連乘式;

因式分解要徹底，一次一次又一次.

供考點(diǎn)精講

一.因式分解的意義（共2小題）

1.（2022春?深圳期中）下列從左邊到右邊的變形，其中是因式分解的是（）

A.（3-x）（3+無）=9-X2B.X1-2x+?=x（尤-2）+1

C.2χ-8=2（4-χ）D.-8X2+8X-2=-2（2x-1）2

【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判

斷即可.

【解答】解：4、右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、不合因式分解的定義，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、左邊去右邊，不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

符合因式分解的定義，是因式分解，故本選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的意義.正確把握因式分解的定義是解題關(guān)鍵.

2.（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如果X-2是多項(xiàng)式/-4X+A的一個(gè)因式.則我的值為（）

A.-4B.1C.4D.8

【分析】設(shè)另一個(gè)因式是x+m根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則求出（χ-2）（x+α）=/+（α-2）χ-24,根據(jù)因

式分解得出4-2=-4,k=-2a,再求出答案即可.

【解答】解：設(shè)另一個(gè)因式是x+m

則（X-2）（x+α）

=x2+ax-Ix-2a

=x2+Ca-2）X-2a,

,：x-2是多項(xiàng)式x2-4x+k的一個(gè)因式，

2=-4,

解得:CI=-2,

：?k=-2。=4,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的定義和整式的乘法，能靈活運(yùn)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算是解此題

的關(guān)鍵.

二.公因式（共2小題）

3.（2022春?清城區(qū)校級(jí)期中）多項(xiàng)式12∕c+8∕/,的公因式是（）

A.4α2B.4abcC.2α2D.Aab

【分析】根據(jù)公因式定義，對(duì)各選項(xiàng)整理然后即可選出有公因式的項(xiàng)?

【解答】解：?2ab2c+Sa3b=4ab（3?c+2α2）,

4"是公因式，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是公因式的定義，找公因式的要點(diǎn)是：（1）公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公

約數(shù)；（2）字母取各項(xiàng)都含有的相同字母；（3）相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的.在提公因式時(shí)千萬別忘了

4.（2022春?樂安縣期中）多項(xiàng)式4x（〃?-〃）+2y（，"-"）2的公因式是2（"?-〃）.

【分析】找出系數(shù)的最大公約數(shù)，相同字母的最低指數(shù)次基，即可確定公因式.

【解答】解：4xCm-n）+2y（π-m）2的公因式是2（.m-n）.

故答案為：2（m-n）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查公因式的確定，熟練掌握公因式的定義及確定方法是解題的關(guān)健.

≡.因式分解-提公因式法（共7小題）

5.（2022春?金牛區(qū)校級(jí)期中）分解因式：（α-2）+（2-a）=春（W-I）.

【分析】直接提取公因式（4-2）,進(jìn)而分解因式得出答案.

【解答】解：原式（?-2）-（〃-2）

=（a-2）Cm-1）.

故答案為：（4-2）Cm-

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵.

6.（2022春?歷城區(qū)期中）把多項(xiàng)式2/-4X分解因式，應(yīng)提取的公因式是（）

A.XB.2C.X2D.Ix

【分析】根據(jù)公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取

次數(shù)最低的，即可確定公因式.

【解答】解：2?-4x=2x（X-2）,

公因式是2x,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提取公因式法進(jìn)行因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

7.(2022春?三元區(qū)期中)分解因式：6￡b-3ab=3元(24-1).

【分析】提取公因式3α進(jìn)行因式分解即可.

【解答】解：6a1b-3ab=3ab(2a-1),

故答案為：3ab(2α-1).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了因式分解一提公因式法：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提

出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

8.(2022春?源城區(qū)校級(jí)期中)分解因式：2XV-4,V=2χ2y(xy-2).

【分析】直接提取公因式2∕y,進(jìn)而分解因式即可.

2

【解答】解：2%V-4xy=2√y(Ay-2).

故答案為：2x2y(Xy-2).

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵.

9.(2022春?青羊區(qū)校級(jí)期中)分解因式：4tΛ>2-26?=2a1b(2ab-1).

【分析】直接提取公因式2/匕，進(jìn)而分解因式得出答案.

【解答】解：原式=12匕(2a?-1).

故答案為:2ɑ2?(2α?-1).

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵.

10.(2022春?龍華區(qū)期中)如圖，邊長(zhǎng)為a、6的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為20,面積為16,則/匕+出^的值為()

PF

b

________Y

■A

Q

A.160B.180C.320D.480

【分析】由題意可得：16,葉力=10,然后把所求的式子利用提公因式法進(jìn)行分解，即可解答.

【解答】解：由題意得：

2(a+?)=20,ab=↑6f

Λa+?=10,

Λa1b+ab2=ab(〃+%)

=16X10

=160,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解-提公因式法，熟練掌握因式分解-提公因式法是解題的關(guān)鍵.

11.(2022春?武侯區(qū)校級(jí)期中)已知“=1,x+2y-3,則2α?+4αy=6.

【分析】先進(jìn)行因式分解，然后再代入求值即可解答.

【解答】解：?.Z=1,x+2y=3,

Λ2ax+4ay=2a(X+2y)

=2X1X3

=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解-提公因式法，代數(shù)式求值，熟練掌握因式分解-提公因式法是解題的關(guān)鍵.

四.因式分解?運(yùn)用公式法(共4小題)

12.(2022春?順德區(qū)校級(jí)期中)把7-9分解因式，結(jié)果正確的是()

A.X(X-9)B.(X+9)(X-9)C.(x+3)(x-3)D.(?-3)2

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.

【解答】解：√-9=G+3)(χ-3).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，正確運(yùn)用平方差公式分解因式是解題關(guān)鍵.

13.(2022春?皇姑區(qū)校級(jí)期中)下列各式：①/-6x+9；(2)25α2+10α-1；③/-4χ-4;(4)4x2-x+—,其

4

中不能用完全平方公式因式分解的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)逐個(gè)分析得結(jié)論.

【解答】解：/-6x+9=(x-3)2,故①能用完全平方公式因式分解；

能利用完全平方公式因式分解的整式需滿足：整式是“兩數(shù)平方和與這兩個(gè)數(shù)積的2倍”.

整式25a2+Wa-1與f-4x-4不滿足兩數(shù)平方和，故②③不能用完全平方公式因式分解；

整式47-χ+上的中間項(xiàng)X不是2x與工積的2倍，故④不能用完全平方公式因式分解.

42

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的因式分解，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

14.(2022春?濟(jì)南期中)下列多項(xiàng)式中，能用完全平方公式分解因式的是()

A.X2-x+1B.1-2xy+x1yiC.a2-o÷-D.a2+2ab-b2

【分析】根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu)/+2而+廿或2岫+后的形式，即可作出判斷.

【解答】解：W-2x+l=(X-I)2,故A錯(cuò)誤，不符合題意；

I-2xy+x2y1=(1-Λ>?)2,故B正確，符合題意；

”2"+工=(α-l)2,故C錯(cuò)誤，不符合題意；

42

a1+2ab+b2=(.a+b)2,故。錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方式的結(jié)構(gòu)，正確理解結(jié)構(gòu)是判斷的關(guān)鍵.

15.(2022春?高州市期中)下列多項(xiàng)式能使用平方差公式進(jìn)行因式分解的是()

A.4X2+1B.-∕n2+lC.-a2-b2D.2x2-y2

【分析】根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A.4Λ2+1,不能使用平方差公式進(jìn)行因式分解，故A不符合題意；

B.-m2+?-(l+m)(1-〃?)，能使用平方差公式進(jìn)行因式分解，故B符合題意；

C.-a2-h2,不能使用平方差公式進(jìn)行因式分解，故C不符合題意；

D.2x2-y1,不能使用平方差公式進(jìn)行因式分解，故。不符合題意；

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵.

五.提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用(共3小題)

16.(2022春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中)下列分解因式正確的是()

A.-X2+4X=-X(Λ+4)B.xi+xy+x-x(x+y)

C.-x1+y2-(X+y)(y-x)D.x2-4x+4=(X+2)(χ-2)

【分析】利用提公因式法，公式法進(jìn)行分解逐一判斷即可.

【解答】解：A.-Λ2+4Λ=-X(X-4),故A不符合題意；

B.Λ2+D+X=X(X+y+1)，故B不符合題意；

C.-Λ2+>,2=(x+y)(y-χ),故C符合題意；

D.X2-4x+4=(x-2)2,故。不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式是各項(xiàng)含有公因式，必須先

提公因式.

17.(2009春?龍川縣校級(jí)期中)分解因式：87-18=2(2χ-3)(2x+3).

【分析】先提公因式2,再運(yùn)用平方差公式繼續(xù)分解.

【解答】解：87-18,

=2(4X2-9),

=2(2χ-3)(2x+3).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，難點(diǎn)在于提取公因式后利用平方差公式進(jìn)行二次因式

分解，分解因式要徹底.

18.(2022春?通遼期中)因式分解：

(1)ma2-mb2

(2)(a+b)-2aCa+h)+a2(a+h)

【分析】(1)首先提取公因式加，再利用平方差公式分解因式即可；

(2)首先提取公因式(a+b),再利用完全平方公式分解因式即可.

【解答】解：(1)ma2-mb2

m(02-?2)

=∕n(a+h)Ca-b)；

(2)(a+h)-2〃(a+h)+tz2(a+b)

=(a+h)(1-24+/)

=(a+b)(a-1)2.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法即公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵.

六.因式分解?分組分解法(共6小題)

19.(2021春?福田區(qū)校級(jí)期中)因式分解f-2bc+c1-I=(b-c+1)(匕-c-1).

【分析】直接將前三項(xiàng)運(yùn)用完全平方公式分解因式，進(jìn)而利用平方差公式分解因式即可.

【解答】解：b2-2bc+cλ-I

=(?-c)2-I

=(?-c+1)(?-c-1).

故答案為：(?-c+l)Cb-c-1).

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分組分解法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵.

20.(2021秋?萊陽(yáng)市期中)分解因式：

(1)X2(〃?-〃)+)2(n-∕n);

(2)37-18孫+27P

【分析】(1)首先提取公因式(，〃-〃)，然后利用平方差公式繼續(xù)進(jìn)行因式分解；

(2)先提取公因式，再利用完全平方公式把原式進(jìn)行因式分解即可.

【解答】解：(1)X2Cm-n)+y2(?-w)

=(.m-n~)(x2-)2)

=(〃？-〃)(x+y)(X-y)；

(2)3/-18Xy+27y

=3(x2-6xy+9y2)

=3(x-3y)2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，分組分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式.

21.(2022春?南山區(qū)期中)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多

項(xiàng)式只用上述方法就無法分解，如/-4)2-2x+4y,我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公

式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個(gè)式

子的分解因式了.過程為：Λ2-4y2-2x+4y-(.x+2y)(x-2y)-2(x-2y)—(x-2y)(x+2y-2).

這種分解因式的方法叫分組分解法?

請(qǐng)利用這種方法分解因式/-2孫+)?-16.

【分析】把前三項(xiàng)分為一組，最后一項(xiàng)單獨(dú)作為一組，然后進(jìn)行分解即可解答.

【解答】解：/-2xy+yi-16

=(x-y)2-16

=(x-y+4)(X-y-4).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解-分組分解法，公因式，因式分解-運(yùn)用公式法，合理進(jìn)行分組是解題的關(guān)

鍵.

22.(2021春?城關(guān)區(qū)校級(jí)期中)常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法但有的多項(xiàng)式只用上述一

種方法無法分解，例如/-4),2-2x+4.y,我們細(xì)心觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以分解，后兩項(xiàng)也可以分解，分

別分解后會(huì)產(chǎn)生公因式就可以完整的分解了.

過程為：X2-4y2-2x+4y-(x2-4y2)-2(x-2y)—(X-2y)(X+2y)-2(X-2y)=(χ-2y)(X+2y-2)

這種方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問題：

(1)分解因式X2-2xy+y2-16；

(2)Xy2-2xy+2y-4.

【分析】(1)直接將前三項(xiàng)分組，再利用乘法公式分解因式進(jìn)而得出答案；

(2)直接將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)分組利用提取公因式法分解因式即可.

【解答】解：(1)原式=(χ-y)2-16

=(X-y+4)(x-y-4)；

(2)xy2-2xy+2y-4

=xy(y-2)+2(y-2)

=(y-2)(.xy+2).

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分組分解法分解因式，正確分許是解題關(guān)鍵.

23.(2022春?武侯區(qū)校級(jí)期中)已知x4+mxi+nx-16有因式(X-I)和(X-2),則m=-5.n=20.

【分析】設(shè)f+mP+nx_16=A(X-I)(X-2),對(duì)X進(jìn)行兩次賦值，可得出兩個(gè)關(guān)于"?、〃的方程，聯(lián)立求

解可得出〃八n的值.

【解答】解：設(shè)x4+nvci+nχ-16=A(X-I)(X-2)(Λ為整式)，

MXX=1,得l+nz+"-16=0①，

取x=2,得16+8w+2"-16=0②，

由①、②解得切=-5,"=20.

故答案為：-5、20.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解與求多項(xiàng)式中的字母系數(shù)的值的問題，能夠運(yùn)用待定系數(shù)法以及特殊值法進(jìn)

行求解.

24.(2022春?槐蔭區(qū)期中)觀察下列式子的因式分解做法：

①X2-1=(X-I)(X+1)；

②X3-1=X3-x+x-1—x(x2-1)+(Λ-1)=(X-I)(x2+x+l)；

(3)X4-1-X4-x+x-1=X(x3-I)+(?-1)=(X-I)(X3+Λ2+X+1)；

(1)模仿以上做法，嘗試對(duì)金-1進(jìn)行因式分解；

(2)觀察以上結(jié)果，猜根4-I=(X-I)Ctnr+√r2+"3+…+KD；(〃為正整數(shù)，直接寫結(jié)果，不

用驗(yàn)證)

(3)根據(jù)以上結(jié)論,試求75+7,73+72+7+1的值.

【分析】(1)按照給定例題的步驟因式分解即可；

(2)依據(jù)(1)中的結(jié)果即可確定；

(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論可得76-1=(7-1)(V5+74+73+?2+7+1),進(jìn)一步計(jì)算即可.

【解答】解：(1)%5-1

=X5-x+x-1

=x(x4-1)+(x-1)

=(X-I)(Λ4+X3+Λ2+X+1)；

(2)根據(jù)以上結(jié)果，可得B-I=(X-I)(xπ-1+Z-W3+...+x+l),

故答案為：(χ-l)(√,1+√l-2+xπ-3+...+x+l);

(3)V76-1=(7-1)(V5+74+73+?2+7+!),

*761

/.75+74+73+72+7+l=7T.

6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分組法進(jìn)行因式分解與規(guī)律的綜合，找出因式分解的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

七.因式分解-十字相乘法等(共4小題)

25.(2022春?本溪期中)把多項(xiàng)式7+5χ+nj因式分解得(x+〃)(%-2),則常數(shù)〃?，"的值分別為()

A.m=-14,〃=7B.∕H=14,n=-7C.nι=l4fn=lD.m=-14,n=-7

【分析】先計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：由題意得：

X2+5X+∕Π=(x+n)(X-2),

22

.*.X+5X+∕71=Λ+∕TV-2x-2n1

ΛΛ2+5Λ+∕M=X2+(n-2)x-2/i,

，2=5,m--2〃，

??〃=7,"z=-14,

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解-十字相乘法，先計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵.

26.(2022春?歷城區(qū)校級(jí)期中)下列多項(xiàng)式中，能用完全平方公式分解因式的是()

2122

A.X-x+1B.1-2xy+xyC.a2_a+iD.<Γ+2ab-b

【分析】運(yùn)用公式法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：Λ.Λ2-x+1不能利用公式法分解因式，所以A選項(xiàng)不符合題意；

B.1-ZvyMy2用完全平方公式分解為(I-孫)2,所以B選項(xiàng)符合題意；

C./-α+L不能利用公式法分解因式，所以C選項(xiàng)不符合題意；

2

D.“2+2"-必不能利用完全平方公式分解因式，所以A選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解：熟練掌握因式分解的幾種方法是解決問題的關(guān)鍵.

27.(2022春?三水區(qū)校級(jí)期中)若二次三項(xiàng)式/+,質(zhì)-8可分解為(X-4)(x+2),則,〃的值為()

A.1B.-1C.-2D.2

【分析】根據(jù)題意得到f+α-8=(χ-4)(x+2),再根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則化簡(jiǎn)，進(jìn)而求得九

【解答】解：由題意得，/+3-8=(χ-4)(x+2).

ΛX2+∕MΛ-8=Λ2-Zr-8.

.?."2=-2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵.

28.(2022春?祁江區(qū)期中)閱讀并解決問題.

對(duì)于形如W+2辦+。2這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成(x+α)2的形式,但對(duì)于二次三項(xiàng)式/+2分

-3/,就不能直接運(yùn)用公式了.此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式/+20x-3/中先加上一項(xiàng)次，使它與7+2以

的和成為一個(gè)完全平方式，再減去整個(gè)式子的值不變，于是有：

x1+2ax-3a2—(x2+2αx+α2)-a2-3a2—(X+α)2-(2α)2-(x+3α)(X-α).

像這樣，先添-適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱為“配方

法”.

(1)利用“配方法”分解因式：a2-6a+8.

(2)若a+b=5,ab=6,求：①d+/：②/+/的值.

(3)已知X是實(shí)數(shù)，試比較Λ2-4X+5與-/+4尤一4的大小，說明理由.

【分析】(1)加1再減1,可以組成完全平方式；

(2)①加2z?再減2必可以組成完全平方式；②在①得基礎(chǔ)上，加2//再減2/射，可以組成完全平方式；

(3)把所給的代數(shù)式進(jìn)行配方，然后比較即可.

【解答】解：⑴α2-6a+8,

=a2-6<r∕+9-I,

=(a-3)2-1,

=(a-3-1)(α-3+1),

=(a-2)(a-4)；

(2)a1+h2,

—(.a+b)2-2ab,

=52-2×6,

=13；

<r∕4+?4=(a2+?2)2-2a2b2

=I32-2×62

=169-2×36

=169-72

=97；

(3)?.?∕-4x+5,

=W-4X+4+1,

-(X-2)2+l>l>0

-/+4x-4,

=-(X2-4X+4),

=-(χ-2)2≤0

.?.x2-4x+5>-X2+4X-4.

(若用"作差法”相應(yīng)給分)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查十字相乘法分解因式，三道題都是圍繞配方法作答，配方法是數(shù)學(xué)習(xí)題里經(jīng)常出現(xiàn)的方

法，應(yīng)熟練掌握，(1)實(shí)質(zhì)上是十字相乘法分解因式.

八.實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式(共3小題)

29.(2022春?鐵鋒區(qū)期中)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：crb-8?=?(<<+2√2)(α-2√2)_

【分析】首先提取公因式人再利用平方差公式分解即可求得答案.

2

【解答】解：原式=匕(α-8)=b(β+2√2)(67-2√2).

故答案是：b(Λ+2√2)(α-2√2)?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解，掌握因式分解的步驟是關(guān)鍵.

30.(2022春?武昌區(qū)校級(jí)期中)多項(xiàng)式2?-3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，則2x2-3=(√Ξx+√^)(√Ξx

二.

【分析】根據(jù)平方差公式分解因式即可.

【解答】解：原式=(√2x)2-(√3)2

=(√2χ+√3)(√2χ-√3).

故答案為：(我χ+√ξ)(√2^-√3).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，掌握后=(fl+?)QLb)是解題的關(guān)鍵.

31.(2022春?深圳期中)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：4X3V-4ΛV=4Q?G+l)(x-1).

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式.

【解答】解：4√y-4xy

=4Xy(x2-1)

=4xy(x+l)(x-1).

故答案為：4xy(x+l)(x-1).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的因式分解，掌握提取公因式法和平方差公式是解決本題的關(guān)鍵.

九.因式分解的應(yīng)用(共7小題)

32.(2022春?順平縣期中)三角形的三邊長(zhǎng)滿足(a+b)2^c2+2ab,則這個(gè)三角形是()

A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形

【分析】對(duì)等式進(jìn)行整理，再判斷其形狀.

【解答】解：化簡(jiǎn)(α+?)1=cλ+2ah,得J+∕>2=c2,所以三角形是直角三角形，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定.

33.(2022春?巴東縣期中)已知a,b,C為AABC三邊，且滿足(次-廬)(?2-c2)=0,則它的形狀

為()

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【分析】由(a2-?2)(a1+b2-c2)=0,可得：er-b2-0,或/+廿-。2=。，進(jìn)而可得∕=匕2或

進(jìn)而判斷aABC的形狀為等腰三角形或直角三角形.

【解答】解：Y(a2-層)(?2-c2)=0,

.,.a2-?2=0,或a2+h2-c2=0,

即J=/或β2+?2-c,2j

.?.ZiABC的形狀為等腰三角形或直角三角形.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用邊判斷三角形的形狀，有兩邊相等的三角形是等腰三角形，滿足J+∕>2=c2的三角

形是直角三角形.

34.(2022春?大渡口區(qū)校級(jí)期中)己知縱b是AABC的兩邊，且滿足/-貶=m-她則△力BC的形狀是

)

A.等腰三角形B.等邊三角形C.銳角三角形D.不確定

【分析】先把等式變形，再分解，最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求解.

【解答】解:Va2-?2=(a+b)(α→),

ac-hc=(α-b)C9

'.'d-序=ClC-be,

.φ.(q+b)(a-b)=Ca-b)c,

，(Q-b)(a+b-c)=0,

:。、b是aABC的兩邊，

??a+b>cf

二。-b=0,

:?a=b,

???ΔABC的形狀是等腰三角形，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考出來因式分解的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

35.(2022春?和平區(qū)校級(jí)期中)小軍是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊(cè)中，有這樣一條信息：χ-y,

22222

a-brc,x-y9Chx+y,分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：抗,勝,必，利，我,疫.現(xiàn)將ac(x-y)-be(x

-y2)因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是()

A.抗疫勝利B.抗疫必勝C.我必勝利D.我必抗疫

【分析】根據(jù)提公因式法與公式法因式分解即可求解.

【解答】解：原式=(%2-y2)(ac-be)

=c(〃-b)(x+y)(x-?)

22

?.?χ-y,a-b9Cfx-y9a9x+y9分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：抗，勝，必,利，我，疫.

，尤-y對(duì)應(yīng)抗，x+y對(duì)應(yīng)疫，C對(duì)應(yīng)必，4-〃對(duì)應(yīng)勝，

故結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是為：抗疫必勝.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

36.(2021春?云巖區(qū)校級(jí)期中)下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式(/-4"2)(?-4x+6)+4進(jìn)行因式分解的過程

解：設(shè)x2-4x=y

原式=(y+2)(γ+6)+4(第一步)

=y2+8y+16(第二步)

=(尹4)2(第三步)

=(X2-4X+4)2(第四步)

(I)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的C.

A.提取公因式

B.平方差公式

C.兩數(shù)和的完全平方公式

D.兩數(shù)差的完全平方公式

(2)該同學(xué)在第四步將y用所設(shè)中的X的代數(shù)式代換，這個(gè)結(jié)果是否分解到最后？否.(填“是”或“否”)

如果否，直接寫出最后的結(jié)果92)4.

(3)請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式(/-2x)(√-2x+2)+1進(jìn)行因式分解.

【分析】(1)分析第二步到第三步，可以得出直接應(yīng)用完全平方公式的結(jié)論；

(2)明確最后的結(jié)果括號(hào)中的式子仍然可用完全平方公式因式分解，即可判斷是否徹底；

(3)首先設(shè)f-2χ=y,對(duì)原式換元并利用乘法分配律化簡(jiǎn)，再根據(jù)完全平方公式變換；接下來，只需將

所設(shè)/-2x=y換回上述所得式子中，就能得到因式分解的結(jié)果.

【解答】解：(1)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的兩數(shù)和的完全平方公式.

故選：C；

(2)否，最終結(jié)果為(χ-2)4.

故答案為：否，(x-2)4:

(3)設(shè)/-2x-y,

則原式=y(>,+2)+1

=f+2y+l

=(}H-1)2

=(X2-2x+l)2

=(X-I)￡

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的方法.

37.(2021春?云陽(yáng)縣期中)若一個(gè)正整數(shù)?？梢员硎緸椤?(?+l)(?-2),其中6為大于2的正整數(shù)，則

稱”為“十字?jǐn)?shù)”，b為。的“十字點(diǎn)”.例如：28=(6+1)(6-2)=7X4.

(1)“十字點(diǎn)”為7的“十字?jǐn)?shù)”為40:130的“十字點(diǎn)”為12；

(2)機(jī)的“十字點(diǎn)”為p,"的"十字點(diǎn)”為q,當(dāng)m-"=18時(shí)，求p+q的值.

【分析】(1)根據(jù)“十字點(diǎn)”的定義計(jì)算可得；

(2)根據(jù)已知可得%=(p+1)(p-2)(p為大于2的正整數(shù))，〃=(q+l)E-2)(q為大于2的正整數(shù)),

再根據(jù)m-“=18,分來討論即可解答.

【解答】解：⑴“十字點(diǎn)”為7的“十字?jǐn)?shù)”為a=(7+1)(7-2)=8×5=40,

V130=(12+1)(12-2)=13×10,

.?.130的“十字點(diǎn)”為12,

故答案為：40,12；

(2)的"十字點(diǎn)”為p,”的“十字點(diǎn)”為g,

.?.m=(p+1)(p-2)(P為大于2的正整數(shù))，〃=(q+l)(q-2)(q為大于2的正整數(shù))，

Vm-n=18,

/.(P+1)(p-2)-(q+l)(√-2)=18,

整理得,(p+q-1)(p-q)=18,

?.?"L"=18>0,P為大于2的正整數(shù)，q為大于2的正整數(shù)，

：.p>q,p+q>4;

：.p+q-1>3,

V18=l×18=2X9=3×6,

∕p