專題05 五大類圓錐曲線題型-2024年高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項(xiàng)訓(xùn)練（新高考新題型專用）含解析

專題05五類圓錐曲線題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）【題型1圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題】【題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問(wèn)題】【題型3圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題】【題型4圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題】【題型5圓錐曲線中的極點(diǎn)與極線】題型1圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題曲線方程的定義一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個(gè)關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；②以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．此時(shí)，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（如果已給出，本步驟省略）；（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件寫(xiě)出等式；（4）用坐標(biāo)表示這個(gè)等式，并化簡(jiǎn)；（5）確定化簡(jiǎn)后的式子中點(diǎn)的范圍．上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍．求軌跡方程的方法：定義法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。直接法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)的坐標(biāo)表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。點(diǎn)差法：圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點(diǎn)的軌跡方程.已知雙曲線與直線：有唯一的公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸，軸于，兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線.已知，直線相交于，且直線的斜率之積為2.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)是點(diǎn)軌跡上不同的兩點(diǎn)且都在軸的右側(cè)，直線在軸上的截距之比為，求證：直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在直線上，為的左右頂點(diǎn)，直線交于點(diǎn)（異于），直線交于點(diǎn)（異于），交于，過(guò)作軸的垂線分別交?于，問(wèn)是否存在常數(shù)，使得.1．M是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，且．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程E；(2)設(shè)，，過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線E交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），P為直線，的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為時(shí)，求直線l的方程．2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為上一動(dòng)點(diǎn)，且異于兩點(diǎn).(1)求的離心率；(2)若△的重心為，點(diǎn)，求的最小值；(3)若△的垂心為，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.3．已知長(zhǎng)為的線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)且與直線相切，圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且互相垂直的直線分別與曲線交于點(diǎn)和點(diǎn)，且，四邊形的面積為，求實(shí)數(shù)的值.4．已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，是其左、右頂點(diǎn)，是其右焦點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，的角平分線與直線交于點(diǎn)．①求點(diǎn)的軌跡方程；②若面積為，求．5．已知點(diǎn)和直線，點(diǎn)到的距離.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)不經(jīng)過(guò)圓點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn).設(shè)直線，的斜率分別為，，記，是否存在值使得的面積為定值，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.6．已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且截軸所得的弦長(zhǎng)為4.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；(2)若點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交的軌跡于兩點(diǎn)，求的最小值.7．在中，已知，，設(shè)分別是的重心、垂心、外心，且存在使.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)求的外心的縱坐標(biāo)的取值范圍；(3)設(shè)直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，記與的面積分別為，是否存在實(shí)數(shù)使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.8．已知，，為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).設(shè)直線的斜率分別為，，且滿足.記的軌跡為曲線.(1)求的軌跡方程；(2)直線，分別交動(dòng)直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn).是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說(shuō)明理由.題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問(wèn)題：已知點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)定點(diǎn)，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。若直線，則直線過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，為定值；證明:重新建系將橢圓上的成為新的坐標(biāo)原點(diǎn)按得橢圓又點(diǎn)在橢圓上，所以，代入上式可得①橢圓上的定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)橢圓上的定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，代入①得。當(dāng)時(shí)，兩邊除以得．，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程，所以是這個(gè)關(guān)于的方程的兩個(gè)根．若，由平移斜率不變可知，故，當(dāng)時(shí)，所以，由此得。所以的斜率為定值，為定值；即，由此知點(diǎn)在直線上，從而直線過(guò)定點(diǎn)．：已知點(diǎn)是平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，橢圓：上有兩動(dòng)點(diǎn)若直線，則直線過(guò)定點(diǎn)．證明：重新建系將橢圓上的成為新的坐標(biāo)原點(diǎn)按橢圓：，展開(kāi)得：．平面內(nèi)的定點(diǎn)和橢圓上的動(dòng)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)橢圓上的定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，代入展開(kāi)式得（構(gòu)造齊次式），當(dāng)時(shí)，兩邊同時(shí)除以整理得，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程，所以和是關(guān)于的方程的兩根．若，由平移斜率不變可知所以整理可得到和的關(guān)系，從而可知直線過(guò)定點(diǎn)，由平移規(guī)律可得直線過(guò)定點(diǎn)．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（3）過(guò)點(diǎn)分別作直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，探究：直線是否過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在橢圓上，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)且不過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求證：直線與的斜率之和為定值．如圖，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值．1．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，下頂點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)均在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，（?。┣笞C：直線過(guò)定點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程．2．已知橢圓：（）中，點(diǎn)，分別是的左、上頂點(diǎn)，，且的焦距為．(1)求的方程和離心率；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，若，求的值．3．已知橢圓E：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，A，B分別為橢圓E的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過(guò)且斜率存在的直線l與橢圓E交于C、D兩點(diǎn)，直線BD與直線AC的斜率分別為k1和k2，求的值.4．在平面直角坐標(biāo)系中，重新定義兩點(diǎn)之間的“距離”為，我們把到兩定點(diǎn)的“距離”之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”．(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對(duì)稱性，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點(diǎn)為，過(guò)作直線交于兩點(diǎn)，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．5．焦點(diǎn)在軸上的橢圓的左頂點(diǎn)為，，，為橢圓上不同三點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，直線和直線的斜率之積為．(1)求的值；(2)若的面積為1，求和的值；(3)在（2）的條件下，設(shè)的中點(diǎn)為，求的最大值．6．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，左頂點(diǎn)為A，則上頂點(diǎn)為，且的方程為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的兩條不同直線分別交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，且，求證：直線的斜率與直線的斜率之和為定值.7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，的面積為，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率大于的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若，求直線與直線的斜率之積的最小值.8．已知P為圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，M為PQ的中點(diǎn).M的軌跡曲線E.(1)求曲線E的軌跡方程；(2)曲線E交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B.直線與曲線E交于C，D兩點(diǎn)，若直線直線AB，設(shè)直線AC，BD的斜率分別為.證明：為定值．題型3圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題弦長(zhǎng)公式（最常用公式，使用頻率最高）三角形面積問(wèn)題直線方程：焦點(diǎn)三角形的面積直線過(guò)焦點(diǎn)的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).范圍問(wèn)題應(yīng)用均值不等式求解最值時(shí)，應(yīng)注意“一正二定三相等”圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：（1）（注意分三種情況討論）（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立（3）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（4）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立(5)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.雙曲線，最早由門奈赫莫斯發(fā)現(xiàn)，后來(lái)阿波羅尼茲進(jìn)行了總結(jié)和完善.在他的著作中，雙曲線也被稱作“超曲線”.已知雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為2，左?右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與的右支分別交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方.(1)若軸時(shí)，，設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.設(shè)拋物線方程為，過(guò)點(diǎn)的直線分別與拋物線相切于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸下方，點(diǎn)在軸上方.(1)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求；(2)點(diǎn)在拋物線上，且在軸下方，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，且.若的重心在軸上，求的最大值.（注：表示三角形的面積）已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)A（2，），且C的離心率為.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l交C于不同于點(diǎn)A的M，N兩點(diǎn)，直線AM，AN的傾斜角分別為，，若，求面積的最大值.1．設(shè)點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為．(1)求橢圓的方程；(2)求橢圓的外切矩形的面積的最大值．2．在橢圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足，點(diǎn)在線段上，且滿足.(1)當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若曲線與，軸的正半軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)是上第三象限內(nèi)一點(diǎn)，線段與軸交于點(diǎn)，線段與軸交于點(diǎn)，求四邊形的面積.3．在橢圓(雙曲線)中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，該圓的圓心是橢圓(雙曲線)的中心，半徑等于橢圓(雙曲線)長(zhǎng)半軸(實(shí)半軸)與短半軸(虛半軸)平方和(差)的算術(shù)平方根，則這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A.已知橢圓的蒙日?qǐng)A的面積為，該橢圓的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為，且，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合）且直線.(1)證明：，的交點(diǎn)在直線上;(2)求直線圍成的三角形面積的最小值.4．已知橢圓的方程，右焦點(diǎn)為，且離心率為(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），求與的面積之比的取值范圍.5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為．點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且直線的斜率與直線的斜率之商為2．(1)求的方程；(2)若點(diǎn)A、B在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最小值．6．已知橢圓的下、上頂點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，四邊形的面積為，若橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值和最小值之和為6.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于（異于兩點(diǎn)，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，探究三角形的面積是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.7．已知橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．(1)求的方程；(2)若圓的兩條相互垂直的切線均不與坐標(biāo)軸垂直，且直線分別與相交于點(diǎn)A，C和B，D，求四邊形面積的最小值．8．已知橢圓的方程為，由其個(gè)頂點(diǎn)確定的三角形的面積為，點(diǎn)在上，為直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；(3)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.題型4圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題定點(diǎn)問(wèn)題1.求解(或證明)直線和曲線過(guò)定點(diǎn)的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量，視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過(guò)定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就是對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于，的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn)．2.常用方法：一是引進(jìn)參數(shù)法，引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn)；二是特殊到一般法，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).定值問(wèn)題1.解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值．常見(jiàn)定值問(wèn)題的處理方法：（1）確定一個(gè)（或兩個(gè)）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示（2）將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，看能否得到一個(gè)常數(shù).2.定值問(wèn)題的處理技巧：（1）對(duì)于較為復(fù)雜的問(wèn)題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進(jìn)而給后面一般情況的處理提供一個(gè)方向.（2）在運(yùn)算過(guò)程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡(jiǎn)化運(yùn)算定直線問(wèn)題定直線問(wèn)題是證明動(dòng)點(diǎn)在定直線上，其實(shí)質(zhì)是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．已知拋物線C：y2=2px（p>0），M是其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，y0）時(shí)，有．(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P，證明：直線BP過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．已知斜率為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．(1)求線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；(2)已知點(diǎn)，直線分別與拋物線相交于兩點(diǎn)（異于）．求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．已知雙曲線，點(diǎn)是雙曲線的左頂點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)過(guò)點(diǎn)作的兩條漸近線的平行線分別交雙曲線于，兩點(diǎn).求直線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)，，直線，與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)，.試問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.1．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為過(guò)點(diǎn)，且的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8.(1)求的方程.(2)設(shè)的右頂點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（異于），直線與軸分別交于點(diǎn)，試問(wèn)線段的中點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.2．已知橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，四邊形的面積為，若橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值和最小值之和為6.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于（異于）兩點(diǎn)，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上.3．如圖，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合.點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進(jìn)行解答)極點(diǎn)與極線是法國(guó)數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)（不是原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為，且若極點(diǎn)在軸上，則過(guò)點(diǎn)作橢圓的割線交于點(diǎn)，則對(duì)于上任意一點(diǎn)，均有（當(dāng)斜率均存在時(shí)）.已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.連接交軸于點(diǎn).連接分別交橢圓于兩點(diǎn).①設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，證明：點(diǎn)為、的中點(diǎn)；②證明直線：恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).4．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)，且.(1)求的方程.(2)設(shè)的右頂點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（異于），直線與軸分別交于點(diǎn)，試問(wèn)線段的中點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.5．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，求證：直線與的交點(diǎn)在某條定直線上，并求該定直線的方程.6．已知橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)B，焦距為，直線l交橢圓L于C，D（不同于橢圓的頂點(diǎn)）兩點(diǎn)，直線AD交y軸于M，直線BC交x軸于N，且直線MN交l于P.(1)求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線AD，BC的斜率相等，證明：點(diǎn)P在一條定直線上運(yùn)動(dòng).7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為．(1)求動(dòng)點(diǎn)M軌跡W的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的兩條直線分別交W于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，線段AB，CD的中點(diǎn)分別為P，Q．設(shè)直線AB，CD的斜率分別為，，且，試判斷直線PQ是否過(guò)定點(diǎn)．若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與圓：內(nèi)切.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡與軸從左到右的交點(diǎn)為，，點(diǎn)為軌跡上異于，的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)交直線于點(diǎn)，連接交軌跡于點(diǎn)，直線，的斜率分別為，.①求證：為定值；②證明：直線經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).題型5圓錐曲線中的極點(diǎn)與極線圓錐曲線的極點(diǎn)與極線已知橢圓（a＞b＞0），則稱點(diǎn)和直線為橢圓的一對(duì)極點(diǎn)和極線．極點(diǎn)和極線是成對(duì)出現(xiàn)的．我們先從幾何的角度來(lái)研究圓錐曲線的極點(diǎn)與極線．從幾何角度看極點(diǎn)與極線如圖，設(shè)是不在圓錐曲線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)，，，，連接，交于，連接，交于，則直線為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線．若為圓錐曲線上的點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的切線即為極線．由圖同理可知，為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線，為點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極線．因而將稱為自極三點(diǎn)形．設(shè)直線交圓錐曲線于點(diǎn)，兩點(diǎn)，則，恰為圓錐曲線的兩條切線．定理：（1）當(dāng)在圓錐曲線上時(shí)，則點(diǎn)的極線是曲線在點(diǎn)處的切線；（2）當(dāng)在外時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，設(shè)其切點(diǎn)分別為，，則點(diǎn)的極線是直線（即切點(diǎn)弦所在的直線）；（3）當(dāng)在內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)任作一割線交于，，設(shè)在，處的切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的極線是動(dòng)點(diǎn)的軌跡．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上的點(diǎn)的距離的最小值4．(1)求；(2)若點(diǎn)在圓上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．已知F為拋物線的焦點(diǎn)，直線與C交于A，B兩點(diǎn)且.（1）求C的方程.（2）若直線與C交于M，N兩點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)T，證明：點(diǎn)T在定直線上.若雙曲線與橢圓共頂點(diǎn)，且它們的離心率之積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為，，直線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)直線與的斜率分別為，，且．試問(wèn)，直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．設(shè)分別是橢圓的左?右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn).（1）若，求橢圓的方程；（2）設(shè)，是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓第二象限部分上一點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在軸上，求的面積.（3）設(shè)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)和是橢圓上異于左右頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，分別在直線和上，求證：直線恒過(guò)一定點(diǎn).2．已知，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，直線（不與坐標(biāo)軸垂直）過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線交于，兩點(diǎn).（1）若，求直線的方程；（2）若直線與相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.3．已知橢圓與軸的交點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)的上方），為左焦點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，求證：直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.4．已知橢圓的離心率，長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)分別為(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問(wèn)：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)是否恒在一條直線上？若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條直線的方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.5．已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓C的方程：(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C相交于D，E兩點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為F，直線DF與x軸相交于點(diǎn)G，求的面積的取值范圍.6．已知橢圓的焦距為分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上的兩點(diǎn)(異于)，連結(jié)，且斜率是斜率的倍.（1）求橢圓的方程；（2）證明:直線恒過(guò)定點(diǎn).7．橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)，線的傾斜角為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)且斜率存在的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線與交于，求證：在定直線上.8．已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N是橢圓上異于A，B的不同兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．專題05五類圓錐曲線題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）【題型1圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題】【題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問(wèn)題】【題型3圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題】【題型4圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題】【題型5圓錐曲線中的極點(diǎn)與極線】題型1圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題曲線方程的定義一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個(gè)關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；②以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．此時(shí)，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（如果已給出，本步驟省略）；（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件寫(xiě)出等式；（4）用坐標(biāo)表示這個(gè)等式，并化簡(jiǎn)；（5）確定化簡(jiǎn)后的式子中點(diǎn)的范圍．上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍．求軌跡方程的方法：定義法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。直接法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)的坐標(biāo)表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。點(diǎn)差法：圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點(diǎn)的軌跡方程.已知雙曲線與直線：有唯一的公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸，軸于，兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線.破解：（1）第一步：設(shè)點(diǎn)設(shè)線聯(lián)立化解韋達(dá)判別由題設(shè)，，令，則，令，則，所以，，故，所以，可得，即且過(guò)，則，所以，代入并整理得，第二步：判別式等于0則，即，又，所以，，故.（2）第一步：設(shè)點(diǎn)設(shè)線聯(lián)立化解韋達(dá)判別由（1）聯(lián)立雙曲線與直線，則，所以，則，整理得，第二步：多元合一元故，，而，令，則，令，則，所以，顯然，故點(diǎn)的軌跡方程為，即且（注意：的斜率存在），所以軌跡是去掉頂點(diǎn)的雙曲線.已知，直線相交于，且直線的斜率之積為2.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)是點(diǎn)軌跡上不同的兩點(diǎn)且都在軸的右側(cè)，直線在軸上的截距之比為，求證：直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).破解：（1）直接法設(shè)，則直線的斜率是，直線的斜率是，所以，化簡(jiǎn)整理得：，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.（2）第一步：設(shè)點(diǎn)設(shè)線聯(lián)立化解韋達(dá)判別設(shè)直線在軸上的截距為，則直線在軸上的截距為，顯然，直線的方程為，即，直線的方程為，即，又雙曲線的漸近線方程為，顯然直線與雙曲線兩支各交于一點(diǎn)，直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，則有，且，于是，由消去化簡(jiǎn)整理得：，設(shè)點(diǎn)，則，解得，有，由消去化簡(jiǎn)整理得：，設(shè)點(diǎn)，則，解得，有，第二步：含參點(diǎn)表示向量，，于是，設(shè)直線上任意一點(diǎn)，則，顯然，因此，即，整理得，顯然直線恒過(guò)定點(diǎn)，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在直線上，為的左右頂點(diǎn)，直線交于點(diǎn)（異于），直線交于點(diǎn)（異于），交于，過(guò)作軸的垂線分別交?于，問(wèn)是否存在常數(shù)，使得.破解：（1）定義法因?yàn)?、，，所以點(diǎn)的軌跡以為焦點(diǎn)的橢圓，這里，，，所以，所以橢圓的方程為.（2）第一步：設(shè)點(diǎn)設(shè)線聯(lián)立化解韋達(dá)判別設(shè)，代入，得，即，得：，設(shè)，代入，得，即，得：，第二步：含參點(diǎn)表示向量，由得，得，得.代入，得，代入，得，因?yàn)?，所?所以存在常數(shù)，使得.1．M是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，且．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程E；(2)設(shè)，，過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線E交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），P為直線，的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為時(shí)，求直線l的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，直線的傾斜角為，則為鈍角，，所以由于位于第一象限，位于第四象限，所以的軌跡方程（2）設(shè)聯(lián)立：，化簡(jiǎn)得：則，直線，直線聯(lián)立消去得：又故點(diǎn)，直線的斜率為：聯(lián)立，消去化簡(jiǎn)得：故，故,直線的方程為2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為上一動(dòng)點(diǎn)，且異于兩點(diǎn).(1)求的離心率；(2)若△的重心為，點(diǎn)，求的最小值；(3)若△的垂心為，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)(3)（去除點(diǎn)）.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以的離心率，（2）易知.設(shè).因?yàn)椤鞯闹匦臑?，所?解得,因?yàn)椋?，?因?yàn)椴还簿€，所以且，所以的軌跡不含兩點(diǎn).故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為.（3）因?yàn)闉椤鞯拇剐?，所以，設(shè)，當(dāng)直線或的斜率為0時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，不合題意，舍.當(dāng)直線或的斜率不為0時(shí)，直線與的斜率存在，則，由（2）知，則，則.因?yàn)?，所以，，則，得，則，因?yàn)闃?gòu)成三角形，故不能在軌跡上，綜上，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（去除點(diǎn)）.3．已知長(zhǎng)為的線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)且與直線相切，圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且互相垂直的直線分別與曲線交于點(diǎn)和點(diǎn)，且，四邊形的面積為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知圓心在線段的垂直平分線上，則,設(shè)，圓的半徑為，則，又圓與直線相切，故，于是，化簡(jiǎn)得，所以曲線的方程為.（2）設(shè)，根據(jù)可得為的中點(diǎn)，則，得，即，所以直線.聯(lián)立方程，得，得，由，得，所以，所以.設(shè)，因?yàn)榛ハ啻怪?，易知直線，聯(lián)立方程，得，得，由，得，所以，所以.則四邊形的面積為.令，化簡(jiǎn)得，解得（舍）或，符合，所以.4．已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，是其左、右頂點(diǎn)，是其右焦點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，的角平分線與直線交于點(diǎn)．①求點(diǎn)的軌跡方程；②若面積為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①：由（1）知，，設(shè)，則，易知當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，由，解得，即；當(dāng)時(shí)，，，設(shè)直線的斜率為，則，所以直線方程為，又直線方程為，由，得，即，解得，將代入直線方程，得，即，又，所以，故點(diǎn)的軌跡方程為；②：由，得，又，所以，得，整理得，又，所以，整理得，即，由，解得.5．已知點(diǎn)和直線，點(diǎn)到的距離.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)不經(jīng)過(guò)圓點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn).設(shè)直線，的斜率分別為，，記，是否存在值使得的面積為定值，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由，當(dāng)時(shí)，，不成立，所以，則，即；（2）設(shè)，，則，，又點(diǎn)在橢圓上，則，則，同理，設(shè)直線與的傾斜角分別為，，則，則，則，所以當(dāng)時(shí)，為定值，即面積為定值.

6．已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且截軸所得的弦長(zhǎng)為4.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；(2)若點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交的軌跡于兩點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為，到軸距離為，動(dòng)圓截軸所得半弦長(zhǎng)為2，則，化簡(jiǎn)得；所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.（2）

設(shè)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，由題易知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，與的軌跡方程聯(lián)立得消去得，由在拋物線內(nèi)部，故，所以.由（1）知，為軌跡的焦點(diǎn)，由拋物線定義得，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，.由拋物線定義知.綜上，的最小值為.7．在中，已知，，設(shè)分別是的重心、垂心、外心，且存在使.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)求的外心的縱坐標(biāo)的取值范圍；(3)設(shè)直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，記與的面積分別為，是否存在實(shí)數(shù)使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【詳解】（1）設(shè)，則的重心.，，則，為垂心，故因?yàn)榇嬖谑梗?，所以，，而，由垂心定義得，即，整理得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）

由外心的定義知點(diǎn)在軸上，則，的中點(diǎn)，，所以，整理得.與的方程為聯(lián)立，得.因?yàn)椋?（3）由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)，，直線：，聯(lián)立方程得，，整理得；，又，所以.由條件知，，，所以三點(diǎn)共線且所在直線平行于軸，由，知，所以.令，解得（舍去）.又點(diǎn)在直線：上，所以，即，所以.又，聯(lián)立得，所以.又，所以，即，所以.所以，當(dāng)點(diǎn)在第一、四象限時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在第二、三象限時(shí)，.故存在實(shí)數(shù)使.8．已知，，為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).設(shè)直線的斜率分別為，，且滿足.記的軌跡為曲線.(1)求的軌跡方程；(2)直線，分別交動(dòng)直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn).是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，12【詳解】（1）由題意設(shè)點(diǎn)，由于，故，整理得，即的軌跡方程為；（2）由題意知直線的斜率分別為，，且滿足，設(shè)直線的方程為，令，則可得，即，直線，同理求得，又直線的方程為，令，得，即，故，當(dāng)時(shí)，取到最大值12，即存在最大值，最大值為12.題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問(wèn)題：已知點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)定點(diǎn)，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。若直線，則直線過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，為定值；證明:重新建系將橢圓上的成為新的坐標(biāo)原點(diǎn)按得橢圓又點(diǎn)在橢圓上，所以，代入上式可得①橢圓上的定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)橢圓上的定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，代入①得。當(dāng)時(shí)，兩邊除以得．，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程，所以是這個(gè)關(guān)于的方程的兩個(gè)根．若，由平移斜率不變可知，故，當(dāng)時(shí)，所以，由此得。所以的斜率為定值，為定值；即，由此知點(diǎn)在直線上，從而直線過(guò)定點(diǎn)．：已知點(diǎn)是平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，橢圓：上有兩動(dòng)點(diǎn)若直線，則直線過(guò)定點(diǎn)．證明：重新建系將橢圓上的成為新的坐標(biāo)原點(diǎn)按橢圓：，展開(kāi)得：．平面內(nèi)的定點(diǎn)和橢圓上的動(dòng)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)橢圓上的定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，代入展開(kāi)式得（構(gòu)造齊次式），當(dāng)時(shí)，兩邊同時(shí)除以整理得，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程，所以和是關(guān)于的方程的兩根．若，由平移斜率不變可知所以整理可得到和的關(guān)系，從而可知直線過(guò)定點(diǎn)，由平移規(guī)律可得直線過(guò)定點(diǎn)．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（3）過(guò)點(diǎn)分別作直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，探究：直線是否過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由.解：（1）由點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，可知，又是等腰直角三角形，可得，即，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，可得，即又點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，所以，整理得所以線段的中點(diǎn)的軌跡方程是：齊次化方法第一步：明確定點(diǎn)第二步：重新建系第三步：聯(lián)立齊次式設(shè)直線方程為，故第四步：同時(shí)除以得故故定點(diǎn)為第五步：還原成原直角坐標(biāo)系的定點(diǎn)故定點(diǎn)為已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在橢圓上，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)且不過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求證：直線與的斜率之和為定值．解：（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，得．由，得．因?yàn)椋?，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．齊次化方法第一步：明確定點(diǎn)第二步：重新建系第三步：聯(lián)立齊次式設(shè)直線方程為，故第四步：同時(shí)除以得過(guò)故如圖，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值．解：（1）由題意知，，結(jié)合，解得，橢圓的方程為；齊次化方法第一步：明確定點(diǎn)第二步：重新建系第三步：聯(lián)立齊次式設(shè)直線方程為，故第四步：同時(shí)除以得過(guò)故1．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，下頂點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)均在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，（ⅰ）求證：直線過(guò)定點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程．【答案】(1)(2)（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，所以橢圓的下頂點(diǎn)，則，又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓方程為；（2）（?。┊?dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，所以，則，與矛盾，所以直線的斜率存在，由已知直線斜率同號(hào)，因此直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由得，由，可得，所以，，則，，所以，即，所以，解得或，當(dāng)時(shí)直線方程為，令，可得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)直線方程為，令，可得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，符合題意．綜上可得直線恒過(guò)定點(diǎn).（ⅱ）設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn)為，此時(shí)，解得，由，可得，又，，所以，，所以，解得，滿足，所以，所以直線方程為.

2．已知橢圓：（）中，點(diǎn)，分別是的左、上頂點(diǎn)，，且的焦距為．(1)求的方程和離心率；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，若，求的值．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題意可得，，可得，，可得，可得，，解得，，所以離心率，所以橢圓的方程為，離心率；（2）由（1）可得，由題意設(shè)直線的方程為，則，設(shè)，，聯(lián)立，整理可得，顯然，且，，直線，的斜率，，則，因?yàn)?，即，解得，所以直線的斜率．即的值為3．

3．已知橢圓E：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，A，B分別為橢圓E的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過(guò)且斜率存在的直線l與橢圓E交于C、D兩點(diǎn)，直線BD與直線AC的斜率分別為k1和k2，求的值.【答案】(1)(2)．【詳解】（1）由，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線：，聯(lián)立直線和橢圓方程，，，記，，則，由題意知和．則，，則，所以．

4．在平面直角坐標(biāo)系中，重新定義兩點(diǎn)之間的“距離”為，我們把到兩定點(diǎn)的“距離”之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”．(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對(duì)稱性，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點(diǎn)為，過(guò)作直線交于兩點(diǎn)，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)“橢圓”上任意一點(diǎn)為，則，即，即，所以“橢圓”的方程為；（2）由方程，得，因?yàn)?，所以，即，所以或或，解得，由方程，得，即，所以，所以，所以“橢圓”的范圍為，，將點(diǎn)代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對(duì)稱，將點(diǎn)代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對(duì)稱，將點(diǎn)代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以“橢圓”關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)對(duì)稱；

（3）由題意可設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以橢圓的方程為，，由題意可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，恒成立，則，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以直線的中垂線的方程為，同理直線的中垂線的方程為，設(shè)，則是方程的兩根，即是方程的兩根，所以，又因，所以，兩式相比得，所以，所以，所以直線與的斜率之積為定值．

5．焦點(diǎn)在軸上的橢圓的左頂點(diǎn)為，，，為橢圓上不同三點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，直線和直線的斜率之積為．(1)求的值；(2)若的面積為1，求和的值；(3)在（2）的條件下，設(shè)的中點(diǎn)為，求的最大值．【答案】(1)(2)，；(3)【詳解】（1）因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，則必有點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，設(shè)直線和直線的斜率分別為，，因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，即；（2）設(shè)過(guò)兩點(diǎn)的直線為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以，，因?yàn)樵跈E圓上，所以，又，所以，即，結(jié)合可得，此時(shí)，，所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，消去得，其中①，所以，所以因?yàn)榈街本€的距離，所以，所以，整理的，符合①式，此時(shí)，；（3）因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)為直角三角形且為直角，故，解得，從而，此時(shí)等號(hào)可成立.所以的最大值為.

6．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，左頂點(diǎn)為A，則上頂點(diǎn)為，且的方程為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的兩條不同直線分別交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，且，求證：直線的斜率與直線的斜率之和為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)榈姆匠虨?，可知，可知，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由可得，

因?yàn)辄c(diǎn)P在直線上，可設(shè)點(diǎn)，由題可知：直線DE的斜率與直線MN的斜率都存在．所以直線DE的方程為：，即，直線MN的方程為：，即，設(shè)，，，，所以，消去y可得，整理可得，且，則，，又因?yàn)?，，則，同理可得，又因?yàn)椋瑒t，可知，則，整理可得，又因?yàn)?，則，所以直線DE的斜率與直線MN的斜率之和為0．7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，的面積為，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率大于的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若，求直線與直線的斜率之積的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)?，則，所以，因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，解得（負(fù)值舍去），所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立整理得，顯然，所以．從而，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)椋裕驗(yàn)橹本€的斜率，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即直線與直線斜率之積的最小值為．

8．已知P為圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，M為PQ的中點(diǎn).M的軌跡曲線E.(1)求曲線E的軌跡方程；(2)曲線E交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B.直線與曲線E交于C，D兩點(diǎn)，若直線直線AB，設(shè)直線AC，BD的斜率分別為.證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意可知，作出圖形如圖所示

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以.把代入中，得，即.所以曲線E的軌跡方程為.（2）由題意可知，,,直線AB的斜率為,作出圖形如圖所示

設(shè)直線的方程為，則，消去化簡(jiǎn)整理，得，，解得，所以.所以所以.故為定值.題型3圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題弦長(zhǎng)公式（最常用公式，使用頻率最高）三角形面積問(wèn)題直線方程：焦點(diǎn)三角形的面積直線過(guò)焦點(diǎn)的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).范圍問(wèn)題應(yīng)用均值不等式求解最值時(shí)，應(yīng)注意“一正二定三相等”圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：（1）（注意分三種情況討論）（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立（3）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（4）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立(5)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.雙曲線，最早由門奈赫莫斯發(fā)現(xiàn)，后來(lái)阿波羅尼茲進(jìn)行了總結(jié)和完善.在他的著作中，雙曲線也被稱作“超曲線”.已知雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為2，左?右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與的右支分別交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方.(1)若軸時(shí)，，設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.破解：（1）如圖所示，：因?yàn)椋裕畹?，所以，解得，所以的方程為，顯然直線與軸不垂直，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線與的方程，消去得，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則.因?yàn)椋?：由題意得，解得，雙曲線的方程為.設(shè)方程為，聯(lián)立，可得，，，，.（2）：因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋裕?，將代入得，因?yàn)樵谳S上方，所以，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或（舍），所以，代入，得，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或，所以的面積為.：設(shè)，由，可得，，解得，方程，聯(lián)立，可得，解得，同理聯(lián)立，解得，.設(shè)拋物線方程為，過(guò)點(diǎn)的直線分別與拋物線相切于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸下方，點(diǎn)在軸上方.(1)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求；(2)點(diǎn)在拋物線上，且在軸下方，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，且.若的重心在軸上，求的最大值.（注：表示三角形的面積）破解：（1）：設(shè)，，，由，可得，當(dāng)，當(dāng)，所以，直線的斜率，直線：，又∵在上，，所以，又，所以，同理可得，∴，∴；：設(shè)，，，由，可得，所以，直線的斜率，直線：，又∵在上，故，即，因?yàn)?，所以，同理可得，故直線的方程為，聯(lián)立消去，得，故，故（2）設(shè)，由條件知，∴，∵

∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值.已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)A（2，），且C的離心率為.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l交C于不同于點(diǎn)A的M，N兩點(diǎn)，直線AM，AN的傾斜角分別為，，若，求面積的最大值.破解：（1）因?yàn)镃過(guò)點(diǎn)A（2，），所以設(shè)C的焦距為2c，由得，所以，.代入上式，解得，所以C的方程為.（2）設(shè)，易知直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為，由得，則，，由得，，又，所以，則，由題意知直線AM，AN的斜率存在，所以，則0，..所以，則即，整理得，又知l不過(guò)點(diǎn)A（2，），則，所以，所以直線l的方程為，則，所以則點(diǎn)A（2，）到直線l的距離為|則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故面積的最大值為2.1．設(shè)點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為．(1)求橢圓的方程；(2)求橢圓的外切矩形的面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)，則，其中，，，所以，，故當(dāng)時(shí)，取最小值，可得，因此，橢圓的方程為.（2）解：設(shè)點(diǎn)，當(dāng)直線、的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線、的斜率分別為、，設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線的方程為，即，聯(lián)立可得，則，整理可得，即，則、是關(guān)于的方程的兩根，因?yàn)?，則，整理可得；當(dāng)、分別與兩坐標(biāo)軸垂直時(shí)，則，滿足.所以，點(diǎn)的軌跡方程為，由對(duì)稱性可知，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在圓，該圓的半徑為，由勾股定理可得，由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即矩形的面積的最大值為.2．在橢圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足，點(diǎn)在線段上，且滿足.(1)當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若曲線與，軸的正半軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)是上第三象限內(nèi)一點(diǎn)，線段與軸交于點(diǎn)，線段與軸交于點(diǎn)，求四邊形的面積.【答案】(1)(2)2【詳解】（1）由得，設(shè)，，則所以，∵，得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）由題知，，設(shè)，則，所以，

令，解得，同理，，所以

又因?yàn)樗运运倪呅蔚拿娣e為23．在橢圓(雙曲線)中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，該圓的圓心是橢圓(雙曲線)的中心，半徑等于橢圓(雙曲線)長(zhǎng)半軸(實(shí)半軸)與短半軸(虛半軸)平方和(差)的算術(shù)平方根，則這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A.已知橢圓的蒙日?qǐng)A的面積為，該橢圓的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為，且，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合）且直線.(1)證明：，的交點(diǎn)在直線上;(2)求直線圍成的三角形面積的最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）根據(jù)題意，蒙日?qǐng)A的半徑為，所以.因?yàn)椋芍?，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，可知直線的斜率存在，且直線與橢圓必相交，可設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：因?yàn)?，可得直線，直線，所以即，解得，所以直線的交點(diǎn)在直線上.（2）設(shè)直線與直線的交點(diǎn)分別為，則由（1）可知：直線，直線.聯(lián)立方程和，解得因?yàn)?，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，可得，只需求的最小值.由弦長(zhǎng)公式可得令，則.可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.即的最小值為，可得面積的最小值為.故直線圍成的三角形面積的最小值為.

4．已知橢圓的方程，右焦點(diǎn)為，且離心率為(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），求與的面積之比的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)橢圓焦距為，由題意可得，故橢圓方程為（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，易知；②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，,，,，由，得，顯然，所以，，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，又，設(shè)，則，，解得且，所以，綜上可得的取值范圍為．

5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為．點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且直線的斜率與直線的斜率之商為2．(1)求的方程；(2)若點(diǎn)A、B在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，所以，由直線的斜率與直線的斜率之商為2，可得，所以，又離心率，所以，則，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）

當(dāng)直線，直線其中一條直線斜率不存在時(shí)，不妨令，此時(shí)面積為；

當(dāng)直線，直線的斜率均存在時(shí)，不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程可得，所以，聯(lián)立方程可得，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，又，所以面積的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.6．已知橢圓的下、上頂點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，四邊形的面積為，若橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值和最小值之和為6.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于（異于兩點(diǎn)，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，探究三角形的面積是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)三角形的面積是定值，理由見(jiàn)詳解【詳解】（1）由題意可知：，解得，所以橢圓的方程為.（2）三角形的面積是定值，理由如下：由（1）可知：，因?yàn)樵跈E圓的內(nèi)部，可知直線與橢圓必相交，由題意可設(shè)：直線，聯(lián)立方程，消去x得，，則，可知，又因?yàn)橹本€，直線，聯(lián)立方程，解得，即點(diǎn)在直線上，所以三角形的面積為.7．已知橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．(1)求的方程；(2)若圓的兩條相互垂直的切線均不與坐標(biāo)軸垂直，且直線分別與相交于點(diǎn)A，C和B，D，求四邊形面積的最小值．【答案】(1)．(2)．【詳解】（1）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，，所以解得故的方程為．（2）由題知的斜率存在且不為0．設(shè)．因?yàn)榕c圓相切，所以，得．聯(lián)立與的方程，可得，設(shè)，，則，．所以，將代入，可得．用替換，可得．四邊形的面積．令，則，可得，再令，，則，可得，即四邊形面積的最小值為．8．已知橢圓的方程為，由其個(gè)頂點(diǎn)確定的三角形的面積為，點(diǎn)在上，為直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；(3)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)最大值為【詳解】（1）由題意知，結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系，解得，所以橢圓的方程為.（2）直線的斜率必存在，設(shè)其方程為.消去得，由得.設(shè)，則，（*）直線的方程為，令，得，同理，由，又，代入整理得，將（*）式代入并整理得.因?yàn)橹本€不過(guò)，故不成立，所以，此時(shí)直線的方程為，經(jīng)過(guò)定點(diǎn).（3）由，，所以又點(diǎn)到直線的距離為，所以令，則，當(dāng)，即時(shí)取等，所以的面積的最大值為.題型4圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題定點(diǎn)問(wèn)題1.求解(或證明)直線和曲線過(guò)定點(diǎn)的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量，視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過(guò)定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就是對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于，的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn)．2.常用方法：一是引進(jìn)參數(shù)法，引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn)；二是特殊到一般法，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).定值問(wèn)題1.解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值．常見(jiàn)定值問(wèn)題的處理方法：（1）確定一個(gè)（或兩個(gè)）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示（2）將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，看能否得到一個(gè)常數(shù).2.定值問(wèn)題的處理技巧：（1）對(duì)于較為復(fù)雜的問(wèn)題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進(jìn)而給后面一般情況的處理提供一個(gè)方向.（2）在運(yùn)算過(guò)程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡(jiǎn)化運(yùn)算定直線問(wèn)題定直線問(wèn)題是證明動(dòng)點(diǎn)在定直線上，其實(shí)質(zhì)是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．已知拋物線C：y2=2px（p>0），M是其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，y0）時(shí)，有．(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P，證明：直線BP過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．破解：（1）如圖，設(shè)，由，得B為線段MA的中點(diǎn)．因?yàn)椋?，所以，即，把代入中，得，把代入中，得，所以．又p>0，所以p=4，所以拋物線C的方程為.（2）由題意，知直線l的斜率存在且不為0，因?yàn)镸（-2，0），所以可設(shè)直線l的方程為x=my-2．設(shè)，，則點(diǎn)．由，消去x，得，所以，,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得，．直線BP的斜率，所以直線BP的方程為，所以，即直線BP的方程可表示為．所以直線BP過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．已知斜率為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．(1)求線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；(2)已知點(diǎn)，直線分別與拋物線相交于兩點(diǎn)（異于）．求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．破解：（1）設(shè)，其中，由，得，化簡(jiǎn)得，，即，線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值為；（2）證明：設(shè)，，直線的方程為，化簡(jiǎn)可得，在直線上，解得，同理，可得，，，又直線的方程為，即，直線恒過(guò)定點(diǎn)．已知雙曲線，點(diǎn)是雙曲線的左頂點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)過(guò)點(diǎn)作的兩條漸近線的平行線分別交雙曲線于，兩點(diǎn).求直線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)，，直線，與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)，.試問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.破解：（1）由題意，得雙曲線的漸近線方程為，過(guò)與平行的直線方程為，由，解得，過(guò)與平行的直線方程為，由，解得，∴直線的方程為.（2）直線過(guò)定點(diǎn).由已知，易知過(guò)的直線斜率存在且不為，直線，斜率存在且不為，設(shè)直線，的直線方程分別為和，.由，得，解得，則.同理，則.又，，三點(diǎn)共線，而，故，解得.設(shè)，，則，，∴，即化簡(jiǎn)整理，得（*），易知直線斜率存在，設(shè)直線的方程，由，消去整理，得，∴當(dāng)且時(shí)，有，，代入（*）化簡(jiǎn)，解得，即，故或.當(dāng)時(shí)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，滿足題意.因此直線過(guò)定點(diǎn).1．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為過(guò)點(diǎn)，且的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8.(1)求的方程.(2)設(shè)的右頂點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（異于），直線與軸分別交于點(diǎn)，試問(wèn)線段的中點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【詳解】（1）因?yàn)榈拈L(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，所以，所以.又，所以，所以的方程為.（2）易知，則直線的斜率存在，設(shè)其方程為.聯(lián)立得，，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，，直線，令，得，直線，令，得，，所以線段的中點(diǎn)為，為定點(diǎn).2．已知橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，四邊形的面積為，若橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值和最小值之和為6.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于（異于）兩點(diǎn)，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓上的一點(diǎn)，則，故，即，則到右焦點(diǎn)的距離，因?yàn)?，所以，，故，即橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為，故，解得，又四邊形的面積為，故，所以，橢圓方程為；（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)且斜率不存在時(shí)，直線方程為，中，令得，，不妨設(shè)，直線，即，同理可得，聯(lián)立得，，故點(diǎn)在直線上，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程設(shè)為，聯(lián)立得，設(shè)，則，兩式相除得，直線，直線，聯(lián)立得，，故，解得，將代入上式中，得，要想恒成立，則，故點(diǎn)在定直線上，綜上，點(diǎn)在定直線上.3．如圖，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合.點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進(jìn)行解答)極點(diǎn)與極線是法國(guó)數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)（不是原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為，且若極點(diǎn)在軸上，則過(guò)點(diǎn)作橢圓的割線交于點(diǎn)，則對(duì)于上任意一點(diǎn)，均有（當(dāng)斜率均存在時(shí)）.已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.連接交軸于點(diǎn).連接分別交橢圓于兩點(diǎn).①設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，證明：點(diǎn)為、的中點(diǎn)；②證明直線：恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)，(2)①證明過(guò)程見(jiàn)解析②證明過(guò)程見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【詳解】（1）由題意焦點(diǎn)在軸上，所以，解得，即的范圍為，且，解得，所以橢圓方程為.（2）我們首先給出題目給出的引理的證明：設(shè)，則Q在P的極線上，現(xiàn)在如果經(jīng)過(guò)P的直線交橢圓于：那么，代入橢圓就得到，所以，由韋達(dá)定理有，此時(shí)要證明的是：，也就是，也就是，也就是，

也就是，也就是，

也就是，也就是，也就是，也就是，也就是，這顯然成立，所以結(jié)論得證.接下來(lái)我們回到原題，

①首先由于Q在P的極線上，故由引理有，，而，所以，這表明Q是和的交點(diǎn)，又由于，故，設(shè)，而，，，所以，也就是E是的中點(diǎn)；②設(shè)，那么，所以，這表明的方程是，即，所以恒過(guò)點(diǎn).4．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)，且.(1)求的方程.(2)設(shè)的右頂點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（異于），直線與軸分別交于點(diǎn)，試問(wèn)線段的中點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是定點(diǎn)，定點(diǎn)為【詳解】（1），，整理可得：，，，，解得：，，橢圓的方程為：.（2）由（1）可得：，則直線的斜率存在，可設(shè)，，由得：，，，，直線過(guò)點(diǎn)，，直線方程為：，令得：，即；同理可得：；，線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).5．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，求證：直線與的交點(diǎn)在某條定直線上，并求該定直線的方程.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析，定直線為.【詳解】（1）由題可得：，，又；解得；故橢圓的方程為：.（2）設(shè)直線與的交點(diǎn)為，根據(jù)題意，作圖如下：由題可知，直線的斜率存在，又過(guò)點(diǎn)，故設(shè)其方程為，聯(lián)立，可得，顯然其，設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)為，則；因?yàn)槎即怪庇谳S，故，則方程為：，方程為：，聯(lián)立方程可得：，故，也即直線與的交點(diǎn)在定直線上.6．已知橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)B，焦距為，直線l交橢圓L于C，D（不同于橢圓的頂點(diǎn)）兩點(diǎn)，直線AD交y軸于M，直線BC交x軸于N，且直線MN交l于P.(1)求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線AD，BC的斜率相等，證明：點(diǎn)P在一條定直線上運(yùn)動(dòng).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由已知得：，所以，所以橢圓（2）設(shè)直線的斜率為.則直線，直線，得聯(lián)立得，易知.由，得，于是.同理：由于，所以，即，得①，同理②，由①②得，故點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng).7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為．(1)求動(dòng)點(diǎn)M軌跡W的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的兩條直線分別交W于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，線段AB，CD的中點(diǎn)分別為P，Q．設(shè)直線AB，CD的斜率分別為，，且，試判斷直線PQ是否過(guò)定點(diǎn)．若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)直線PQ過(guò)定點(diǎn)．【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意可知，，化簡(jiǎn)整理得，W的方程為．（2）由題意知，設(shè)直線AB的方程為，與W的方程聯(lián)立可得，，設(shè)，，由韋達(dá)定理得，，則，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．同理可得，Q的坐標(biāo)為．所以，直線PQ的斜率為，所以，直線PQ的方程為，即，又，則，所以直線PQ的方程即為，所以，直線PQ過(guò)定點(diǎn)．8．已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與圓：內(nèi)切.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡與軸從左到右的交點(diǎn)為，，點(diǎn)為軌跡上異于，的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)交直線于點(diǎn)，連接交軌跡于點(diǎn)，直線，的斜率分別為，.①求證：為定值；②證明：直線經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題意得圓的圓心為，半徑，所以，，則，所以動(dòng)圓圓心的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.因此動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為.（2）①設(shè)，，.由（1）可知，，如圖所示，所以，，又因?yàn)椋?，于是，所以，又，則，因此為定值.②設(shè)直線的方程為，由①中知，，由得，，由根與系數(shù)的關(guān)系得由①可知，，即，代入化簡(jiǎn)得，解得或(舍去)，所以直線的方程為，所以直線經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.題型5圓錐曲線中的極點(diǎn)與極線圓錐曲線的極點(diǎn)與極線已知橢圓（a＞b＞0），則稱點(diǎn)和直線為橢圓的一對(duì)極點(diǎn)和極線．極點(diǎn)和極線是成對(duì)出現(xiàn)的．我們先從幾何的角度來(lái)研究圓錐曲線的極點(diǎn)與極線．從幾何角度看極點(diǎn)與極線如圖，設(shè)是不在圓錐曲線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)，，，，連接，交于，連接，交于，則直線為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線．若為圓錐曲線上的點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的切線即為極線．由圖同理可知，為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線，為點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極線．因而將稱為自極三點(diǎn)形．設(shè)直線交圓錐曲線于點(diǎn)，兩點(diǎn)，則，恰為圓錐曲線的兩條切線．定理：（1）當(dāng)在圓錐曲線上時(shí)，則點(diǎn)的極線是曲線在點(diǎn)處的切線；（2）當(dāng)在外時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，設(shè)其切點(diǎn)分別為，，則點(diǎn)的極線是直線（即切點(diǎn)弦所在的直線）；（3）當(dāng)在內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)任作一割線交于，，設(shè)在，處的切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的極線是動(dòng)點(diǎn)的軌跡．已知拋物線的焦點(diǎn)為，