中考壓軸題《弦圖模型》

《弦圖模型》破解策略.內(nèi)弦圖如圖，在正方形ABCD中，BF±CG,CG±DH,DH±AE,AE±BF,則△ABE/^BCF/^CDG/^DAH.證明因為NABC=NBFC=90°所以NABE+NFBC=NFBC+NFCB—90°.所以NABE=NFCB.又因為AB=BC.所以△ABE/^BCF,同理可得△ABE/^BCF/^CDG/^DAH..外弦圈如圖，在正方形ABCD中，點M,N,P,Q在正方形ABCD邊上，且四邊形MUPQ為正方形，則△QBM04MCN04NDP04PAQ.證明因為NB=NQMN=NC=90°,所以NBQM+NQMB=NQMB+NNMC=90°,所以NBQM=NNMC.又因為QM=MN,所以△QBM/^MCN.同理可得△QHM04MCN04NDP04PAQ..括展(1)如圖，在Rt^ABH中.NABH=90°,BE^AH于點E.所以△ABE^^BHE^^AHB.(2)如圖，在Rt^QBM和Rt^BLK中，QB=BL,QM^BK,所以△QBM^^BLK.證明因為NBLK=90°,QM±BK,所以NKBL+NQMB=NKBI十NK=90所以NQMB=NK,又因為QB=BL.所以△QBM/^BLK.例題講解例1四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E在邊AD所在的直線上，連結(jié)CE,以CE連結(jié)BF.當點E在線段AD上時，AE為邊，作正方形CEFG（點D,F連結(jié)BF.當點E在線段AD上時，AE解如圖，過點F作FH，AD交AD的延長線于點H延長FH交BC的延長線于點K.因為四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，根據(jù)“弦圖模型”可得^ECD/△FEH,所以FH=ED=AD-AE=3,EH=CD=4.因為CDHK為矩形，所以HK=CD=4,CK=DH=EH-ED=1.所以FK=FH十HK=7,BK=BC+CK=.5.所以BF=FKK2+BK2=<74例2如圖，4BCD為等腰直角三角形，NCBD=90°,NBAC=45°,若S,d=4.5,求AC的長．解如圖，過點B作BELAC于點E,過點D作DFLBF交EB的延長線于點F.由“外弦圖模型”可得△BFD04CEB,所以BF=CE.易證AE=BE,所以AC=EF,所以S=1AC?EF=1AC2=4.5,△ACD2 2 ． ,從而AC=3.例3某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進行探究,提出下列問題,請你給出證明．GH分別交AD,BC(1)如圖1,在矩形ABCD中，EF±CH,EF分別交AB,CD于點F,GH分別交AD,BC于點G.H于點G.H求證:EF_ADGH-AB(2)如圖(2)如圖2,在滿足(1)的條件下，又AM^BN,點M,N分別在邊BC,EFCD上，若——=GH1115,BN則=AM1115,BN則=AM(3)如圖3,在四邊形ABCD中，ZABC=90°,AB=AD=10,BC=CD-5,AM±DN,DN點耽N分別在邊BC，AB上，求AM的值.解（1））如圖4.過點A作AP〃EF.交CD于點P,過點B作BQ〃GH,交AD于點Q.因為四邊形ABCD是矩形.所以AB〃DC,AD〃BC.所以四邊形AEFP,四邊形BHGQ都是平行四邊形，所以AP=EF,GH=BQ.又因為CH±EF.所以AP^BQ.所以NQAT+NAQT=90°因為四邊形ABCD是矩形，所以NDAB=ND=90°,所以NDAP+NDPA=90°,所以NAQT=NDPA.所以△PDAs^QAB.所以BQ二ADAB所以BQ二ADAB所以EFGHAD

AB(2)因為EF^GH,AMXBN.所以由(1)中的結(jié)論可得gh=所以由(1)中的結(jié)論可得gh=—,EFADBNADAMAB所以空=EF=11.AMGH15(3)如圖5.過點D作平行于AB的直線交過點A且平行于(3)如圖5.過點D作平行于AB的直線則四邊形ABSR是平行四邊形.因為NABC=90°,所以四邊形ABSR是矩形.所以NR=NS=90°,RS=AB=10,AR=BS.因為AM^DN.所以由(1)中的結(jié)論可得DN=AR.AMAB設(shè)SC=x,DS=y，則AR=BS=5+x.RD=10—y,所以在Rt^CSD中，X2+y2=25.在^^慶區(qū)0中.(5+x)2+(10—y)2=100.聯(lián)立方程組1 12+y2=25 ,[(5+x)2+(10—y)2=102得(舍)，或得(舍)，或{1：4所以AR=5+x=8,所以DNAMAR所以DNAMAR_ =4AB10 5進階訓(xùn)練1.如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點慶的雙曲線，1.如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點慶的雙曲線，y=-(k>0)同時經(jīng)過點B.且1點A在點B的左側(cè)，點A的橫坐標為五./慶08=/08慶=45°,則卜=2.如圖，巳知NABC=90°,D是直線AB上的點，AD=BC.E是直線BC上的一點，且CE=BD.直線AE，DC相交于點P，NAPD的度數(shù)是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數(shù);若不是，請說明理由．參考答案：弦圖模型1.1+，；5.【提示】過點A作AM，y軸于點M,過點B作BD，x軸于點D,直線AM,BD交于點N,則四TOC\o"1-5"\h\zk k .一邊形OMND為矩形，易證△AOM/^ABN,所以AM=BN=、2,OM=AN=2,BD=芻一、「2,<2 <2OD=工+<2，所以點B（工+<2，二一互），根據(jù)雙曲線表達式，有（工+<2）（（工v2 <2 *2 <2 v-2+、22)=k,解得k=1+<5.2./APD=45°,為固定值.CF