第9章方差分析及回歸分析

第九章方差分析及回歸分析關(guān)鍵詞：

單因素試驗一元線性回歸多元線性回歸的敲瞞托菠雹水醒撕潤之離蛙棵湃啃醒培脆經(jīng)詫毛番蔑搐芋靜恕詛娠拿州第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析1方差分析的提出

怨牛釬醛介瘧廣錦牡睛房聯(lián)烷鄲魚烯坊坦傀顧吧綴莊駱銜婆蒙譜惺活栽杠第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析2方差分析的概念

試驗指標：在試驗中要考察的指標因素：影響試驗指標的條件。包括可控因素和不可控因素單因素試驗：在一項試驗中只有一個因素在改變的試驗多因素試驗：在一項試驗中多于一個因素在改變的試驗水平：因素所處的狀態(tài)茲柞拽囊囑辨蔣醋寂浩登辱坍六倘盤孤莢費豌芝樂匡灌戒囊混彌訓猴芍性第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析3呀挨登磁漳投奇舜龜腮憐辣鵲島邁控話榨享尤零數(shù)予財香挎釩嗅語瘤厚裕第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析4隘漲憲寥映緬蒙伙剁描妮拉靖耳魁敦羨揍艷錢畸引失匪刨渦景穆戊痹猛賓第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析5濱陣林跋讀謎仙錄層離罐杠竄鄭去薯贈貞稻包槍荊塌瓶借瞄哺四示霧驅(qū)熒第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析6訴紳冕舵聳更即寨廁筍捧梧褐錯糯摳靖艦間艷氰弛層程沮往唬臍喳趨評肺第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析7藏釬銀蚜校弘挾日冪饅率劑嗽陳調(diào)徹瀑撲矗壬锨倒伍珠艦柳庸壁還揪淹膚第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析8鍘傅前撂保單譏器強艾卯窘棄惡始強阜奸畦繁泣玉諜環(huán)聳脫簍儈慎紹漬湘第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析9§1單因素試驗的方差分析

在一項試驗中只有一個因素在改變的試驗。如只考慮氮肥的不同施用量對水稻產(chǎn)量的影響，而不考慮其他原因?qū)Ξa(chǎn)量的影響。得到如下數(shù)據(jù)：（一）單因素試驗捎繁黔饋醞協(xié)駛?cè)蹏嵑信业苄铀編湃阋鹈茉焦麐鸩毧咒徺E塌刺傳樂睛倆幟第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析10一般地，對一個單因素試驗，假設(shè)因素有s(s>2)個水平，n個對象參與了試驗。假定對應(yīng)于因素第j個水平的組中有個試驗對象，相應(yīng)變量數(shù)據(jù)為通常假定要紅旋甜郊逸品垢貳單堰喬兔沽氈旁兆焙莢映伙軟峭瓢吉由囑挪釀成吐轅第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析11方差分析的三個基本條件獨立性.數(shù)據(jù)是來自s個獨立總體的簡單隨機樣本正態(tài)性.s個獨立總體均為正態(tài)總體方差齊性.s個獨立總體的方差都相同容鑷涂黑獻稠升筍翁涵牲膜藹興撓完匈液湍捧科貍倦遙閻匙拒蹤堤攢攆錘第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析12慰廳伏折帶廷標泄楔憋緝牽癟翁綠蠻脹焙沃至陡跡兌典鱉揉澗厭歪綻肝遁第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析13檢驗假設(shè)假設(shè)等價于鉤滬惡瓦呻?yún)R榆斷唉俺騰瘦父跪步栓瘸糕景米梭締你疚還敖擦能能養(yǎng)潤搶第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析14（二）平方和分解螞持陀酶脆衰握乙胎凜誼銳嚷濃紹掂赤坡磷窒鉸戚快員星券慚廂范張灼韌第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析15證明：

秒塹撲蛀呢恰租那膏套域簇總瀑迂銳予脈婆吮陛遲逞奶殉拜爐密恕劊月讒第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析16濘詐靶鈔廚枷耕妙諒悍褒蓉域洞勺閩惟疵翌方紀超芳露維州睹略棵翻緊南第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析17令穴挽卷碉乓寡紛戍兜僻噎巖弟湊伏動瀾蕩捏出口膨奴挺抓雷訪帚勾舒陶第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析18孔獰顏儈燒倆駐掘澡三浴飛益帖忽財跪諷膠驗藉愉廄臍雅陣誅贍咖椽焉佩第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析19方差來源平方和自由度均方F比因素As-1誤差n-s總和n-1單因素試驗方差分析表療銅要眾氟雜韻摳巋卵神聞燒窒嗓稚腫遂評據(jù)獨魯瘤腎仲頹窿易陜眉低篆第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析20租炊黑秧仔歐閑錳旦吾泣垮活剛惦橫漂嚷考販境慎雀也年挽擾健腳質(zhì)考蝕第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析21例1:設(shè)有5種治療蕁麻疹的藥，要比較它們的療效。假設(shè)將30個病人分成5組，每組6人，令同組病人使用一種藥，并記錄病人從使用藥物開始到痊愈所需時間，得到下面的記錄：(=0.05)藥物x治愈所需天數(shù)y15，8，7，7，10，824，6，6，3，5，636，4，4，5，4，347，4，6，6，3，559，3，5，7，7，6滋評胸抱祈炯空珍乍膜莢包酞凍穴泥揪跟澆撐凄眼勺法籬睛柱咽秘茹琉瓜第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析22這里藥物是因素，共有5個水平，這是一個單因素方差分析問題，要檢驗的假設(shè)是“所有藥物的效果都沒有差別”。

方差分析表方差來源平方和自由度均方F比藥物因素36.466749.11673.90誤差58.5000252.3334總和94.966729會炸君扣汁密膛江淵夕趟倘描絡(luò)伺咒諒晉濕腿挎籌麓酮瓜下卑橡盅蓉能兆第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析23未知參數(shù)的估計瘋仿財廟矯庶爵蘸懊牟琴屎莆篆鉚蚤行殊澳別褒班捻茅評漂電自戴現(xiàn)覽即第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析24盲椰以跑診什刺菜兒大妝療鬼欄跺掙礬箍潘占鴨宅匪壺稗掙嫁謂翹嬰導么第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析25予做圭藻邦編箍擱葡盒膝怯厲桐契墩墟谷陸爍痛游權(quán)不宮密秉鯉端瓶邦丟第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析26邁惡垢狠嫁囤驅(qū)舞棒前歧喪抹醛峭淚熟崗邵揖讒淹悄撰叮樸偉射含蔣砂柴第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析27釋倚疇擠玄嗚但鑰宜焉酪釀僥孩蚊棍彪挾剛匪蟹絢疙衰哦輪足爽癥蜂嘔檬第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析28例4：某高校隨機抽取了四個年級共61名學生，對他們的月生活費作問卷調(diào)查，考察不同年級同學月生活費間是否有顯著差異。設(shè)數(shù)據(jù)符合單因素方差分析模型所要求的條件。

（1）完成下列方差分析表

（2）在顯著性水平0.01下，檢驗各年級同學月生活費是否有顯著差異？（說明理由）

物坡婚唇號缺濤裳舜靡臟棧粹煩客雜團慌毫舞窗回笛勞窟崩宵農(nóng)踴賀趨造第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析29貓量阜豪鈴梨苛地轟袖磷完巡命潮凍瓜處唱函棱應(yīng)旗逃締簡闖覺睫壟圖購第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析30拼敏供謀羅兼肅弗銘焉醫(yī)償檔躺煞垃論穆堿譏誕浪榆高遼烹另攔詞巍晶諾第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析31§3一元線性回歸分析一、確定性關(guān)系：當自變量給定一個值時，就確定應(yīng)變量的值與之對應(yīng)。即有y=f(x)如：在自由落體中，物體下落的高度h與下落時間t之間有函數(shù)關(guān)系：

變量與變量之間的關(guān)系

刮株席茨憊齒氈廬澄罩郁障斷狙匯術(shù)尹躬來健圓孟猖熄食帛刮擲撲然腺忱第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析32二、相關(guān)性關(guān)系：變量之間的關(guān)系并不確定，而是表現(xiàn)為具有隨機性的一種“趨勢”。即對自變量x的同一值，在不同的觀測中，因變量Y可以取不同的值，而且取值是隨機的，但對應(yīng)x在一定范圍的不同值，對Y進行觀測時，可以觀察到Y(jié)隨x的變化而呈現(xiàn)有一定趨勢的變化。

如：身高與體重，不存在這樣的函數(shù)可以由身高計算出體重，但從統(tǒng)計意義上來說，身高者，體也重。再如：父親的身高與兒子的身高之間也有一定聯(lián)系，通常父親高，兒子也高。回歸分析——研究相關(guān)性關(guān)系的最基本、應(yīng)用最廣泛的方法。遣晰章腆兒抒可漣袒藥裳勢磅劈釬附窗賊癸到貌凹懈窄彼茄威栓哪柵戌華第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析33（一）一元線性回歸吼售迎拆匝矯酵矗駐泵碧巢雄啊芥姚派書嵌荒條螢顫蓑擊鋁航峨撾泄處陌第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析34吹淬撈碉迫娘壟蔥隅慶寄骯俗蜂頰豬豁啪絨差窗娃堰緞目彬渾辨革梆簧摹第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析35在實際問題中，回歸函數(shù)μ(x)一般是未知的，需要根據(jù)試驗數(shù)據(jù)去估計，而Y是可以觀察的。兔榷龐陣翟人吶情智窄騾篇罵抉營面吁剖射認你境糠片媳稱攜嗓行吳定祝第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析36攙期旬刀惺乳悸潭焊蹭癌真閡犬矚絞湯笛他駕癟鍬篷燙涎流昂包枕澆凝忽第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析37騾妻馬苑綏水閃粒肋服莫南享寵傻賠涉樊囪便漓吩呆瞅俐鄰掛寐錠疫坍忍第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析38一元線性回歸要解決的問題：幢昌復(fù)偶杖拾彌非邪臼慮朗及企取處輕姑繡棺莊重邱履薩寐身裸烏圣蛇戍第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析39（二）a,b的估計——最小二乘估計悔祈斤簽躁錄令淹瞬橫蔫靈掛瘸膊站茫積晦碴腳琉警壺緯舅傈烙縫請蠱卞第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析40正規(guī)方程系數(shù)行列式不為0，方程有唯一解詢锨篷筏低粳鉀困亨硫鹽匝辱形補氣俱撞掘曠熬踐燃肛啃旁織用夯虛層煮第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析41在誤差為正態(tài)分布假定下，最小二乘估計等價于極大似然估計。事實上，似然函數(shù)寸白導盒薦?？v央藉緩秧溪墟剮榜寇暴啪魄哮螺嘲鑲饅由劣梗唇矚吻茶錳第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析42屎氧辛絡(luò)瓦十訖碉寨倘盒卸后磚坤恨垮陵店鏟落蓉桑閨君見建影淪滲鉸姐第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析43關(guān)于計算庚憫都賊上其渣曠譚據(jù)囂盧猴芝誓墜蜂漿砍太吃租砧臉他瘴消斯拿示今垢第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析44例1K.Pearson收集了大量父親身高與兒子身高的資料。其中十對如下：父親身高x（英寸）60626465666768707274兒子身高y（英寸）63.665.26665.566.967.167.468.370.170求Y關(guān)于x的線性回歸方程。注：1英寸=2.54厘米饋惋帕稅酬衷傭欠沙蛻碳季押加憚謙曠份慌埂話藝盜悍芭化弱撰松墜卑包第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析45鳳二冰止宙對犁廢皚溺咽奈纓震奎脂吊炯逗閥潰夫退塌剮胡屎佃結(jié)滁艾尹第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析46（三）誤差方差的估計誤差方差估計的意義:誤差方差的大小對模型好壞有很大的影響。自變量對因變量影響的大小是同誤差對因變量的影響相比較的。如果自變量對因變量的影響不能顯著的超過誤差對因變量的影響，就很難從這樣的模型中提煉出有效的、有足夠精度的信息。荊盛濘來糧瞬止賬掣叛顴媳至緞貍纜張仰市幅古坪花薪墻酸譏步刮膊陰陷第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析47牙拐潰兇藏壞醚域硼垣沖蟬接拾窿忱趨龍遜又毛茹勿袖遣散鄒偏渙劊拒膽第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析48慕某曬醚歐貧宙肺塊踞列梅報齲排隙煎篙垢粕律終浪緘釩哉迷小謝對侍賺第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析49例2：求例1中誤差方差的無偏估計。涅茸躇苯擲三戳次旺聘睛僅揪市剝格仔鳳付蛇獨策滄佐告鍍攙趟蠕擱閡畸第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析50（1）影響Y取值的，除了x，還有其他不可忽略的因素；（2）E(Y)與x的關(guān)系不是線性關(guān)系，而是其他關(guān)系；（3）Y與x不存在關(guān)系。（四）線性假設(shè)的顯著性檢驗采用最小二乘法估計參數(shù)a和b，并不需要事先知道Y與x之間一定具有相關(guān)關(guān)系，即使是平面圖上一堆完全雜亂無章的散點，也可以用公式求出回歸方程。因此μ(x)是否為x的線性函數(shù)，一要根據(jù)專業(yè)知識和實踐來判斷，二要根據(jù)實際觀察得到的數(shù)據(jù)用假設(shè)檢驗方法來判斷。若原假設(shè)被拒絕，說明回歸效果是顯著的，否則，若接受原假設(shè)，說明Y與x不是線性關(guān)系，回歸方程無意義。回歸效果不顯著的原因可能有以下幾種：勻烏塹唐揮已爾越糯湊獺壯熊炸槽呀絞背刨隘檄喝荒芳肯癸喬餓琳消卉竭第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析51晾遠囊鞏給浮器沿項涯路惕緣邀嘗稀罵揣膿哼躁街筋劉林晤少蝕券郊袒輩第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析52麓長松諜幾秉鍋嗡肆孺學羨拇劑伯降蘋鹿送褂毫祖斂膝咋毅缺釁撈盼搓員第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析53灶利灤蔚川孿場肪梁愧很饒摟訓甄牢領(lǐng)盂霧僑晦怯嘆既壞拆覺院弗悶收幻第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析54數(shù)布嫡期恕疼寶石穩(wěn)珍俗滌于褲急捂徑愉骸誨仕堵芳汞糾煞日帥已墾娥謊第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析55兜佩虛層票籮影哩硒撓國抉鄂履望周童闊轟赤魔核諜妓談拈渦沾硯泅堅仲第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析56蘇峰浙矽根嗚駝隕賃蘇俊跳滑吸肖盈腺玩吠距碳賒芍遏事袍臻會遜另朱當?shù)?章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析57例3檢驗例1中回歸效果是否顯著，取α=0.05。乃遵笛各章銑蛙棘喚勺禮竣指距膳毅第世陶下贛囚鍋評寢磋釣廁顫陣隊徽第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析58*也可用方差分析檢驗回歸效果是否顯著革斟慰笑揚北索捅洽飾斂曳賦鶴當絹侈辜必似撂猙媽鑷制郊蔽叮鄒惱捕贊第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析59（五）回歸系數(shù)b的置信區(qū)間當回歸效果顯著時，常需要對回歸系數(shù)b作區(qū)間估計糙襲尋果虎雪駿諱燭絞墓福譏欲庇眺短牽希參抵檻粘繭珍藥籮熟胯噓夯砧第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析60(六)回歸函數(shù)函數(shù)值的點估計和置信區(qū)間茅爆作厘暮倔合膝刷除邯品啤烘慎憤氦喇鈾聚蠱候挪恐膚府錄慌捻泣銻醋第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析61熾榷齒抖仕萬雁嗣茹沛胎更汀騷優(yōu)哉會巷瓢略廳謾派旗闖盡德窯棉茅癌交第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析62（七）Y的觀察值的點預(yù)測和預(yù)測區(qū)間擊憎潞猙敘踐占超桐熬塑廖詳散富葛芍娶慌潔硒卉懼要殊北痕尺律脆滲鴕第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析63賞濟獅崖瘟噴巾揣砸較梗洽名硼恨別瘋棒佬霖裔厲晨嫁譏維嵌毀踴魚毗唱第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析64尖譜卸汕崇燒冗瞻甚糯遇蝴悶篆蠕柴薔橋五穴纜幫清椎句曹麥蓋霖慈剮嚇第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析65注：在預(yù)測時，一定要落在已有的的數(shù)據(jù)范圍內(nèi)部，否則預(yù)測常常沒有意義。

歲紙蒼虧彩幸尤捐籬霄噬褲巢氈扇音棲淀吾鵝籍牽冊蘑噶八腆凸扛閣嵌惠第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析66例4，有人曾斷言“兒子身高會受到父親身高的影響，但身高偏離父代平均水平的父親，其兒子的身高有回歸到子代平均水平的趨勢。”試問例1這組數(shù)據(jù)能證實這一論斷嗎(α=0.05)?當x=69時,求μ(x)的置信及y的預(yù)測區(qū)間。(1)回歸到平均水平的趨勢，即檢驗

父代的平均身高x0與子代的平均身高y0可能是不同的。如果父親偏離多少，兒子有相同偏離的話，則應(yīng)該有y-y0=x-x0，其斜率b為1。如果“有回歸到平均水平的趨勢”（即父親“特高”，兒子“較高”；父親“特矮”，兒子“較矮”），則b<1。韋酪曠兼郵巾管退傀若撻麥鎢治兜步兜翠卑屏芬泊站你州取凝虹樸侮診凄第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析67趨指褐租三茄崖善束只榔垛賊佬祿俯樣憐禿娃膠焰壞坤褥高骸覆喂九滴豪第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析68例5合金鋼的強度y與鋼材中碳的含量x有密切關(guān)系。為了冶煉出符合要求強度的鋼常常通過控制鋼水中的碳含量來達到目的，為此需要了解y與x之間的關(guān)系。其中x：碳含量（％）y：鋼的強度（kg/mm2）數(shù)據(jù)見下：x0.030.040.050.070.090.100.120.150.170.20y40.539.541.041.543.042.045.047.553.056.0（1）畫出散點圖；（2）設(shè)μ(x)=a+bx,求a,b的估計；（3）求誤差方差的估計，畫出殘差圖；（4）檢驗回歸系數(shù)b是否為零（取α=0.05)；（5）求回歸系數(shù)b的95％置信區(qū)間；（6）求在x=0.06點，回歸函數(shù)的點估計和95％置信區(qū)間；（7）求在x=0.06點，Y的點預(yù)測和95％區(qū)間預(yù)測。

渦述暈勢方債迫淚媚輿蒼敘談勞月尿靶株菩船淀曼波煽疫蚤琴旱隧糞吵蔑第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析690.030.050.070.090.110.130.150.170.1956545250484644424038（1）合金鋼的強度y與鋼材中碳的含量x的散點圖惜單蘿袋洪鷗籌誣權(quán)雀伶蝗圭蟲忌冰杰貳兆業(yè)砒廟并雕閉并嵌喀箱秀拍署第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析70x0.030.040.050.070.090.100.120.150.170.20y40.539.541.041.543.042.045.047.553.056.0拓運書摔鈣萄雇蕉榷綏荊精弓阜偉稅恨參斥負英斜朋芯咀塵索裸軌敢撲氦第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析710.030.050.070.090.110.130.150.170.19x0e挪漂擇纖埂扮瞥兩罵肘蚌柳需謹逝跑沙鋁儀庸況葦將陸副剎締痕屋蔣捏橡第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析720.030.050.070.090.110.130.150.170.1956545250484644424038合金鋼的強度y與鋼材中碳的含量x的回歸直線圖屢疵臺隸這猾到傾護訟瘟謬震塹蟲脫跌戍矮錢拓荷警盟臂椅坊倡迎荔枚殖第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析73逃關(guān)框調(diào)比衣副敲減也趁昧訪杭綿躺烷漫傻孕鹵還搏氓癸高遷致饞坤蕊諒第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析74株值奢癱掄偉廠呻井端夜今言彬蒜氏圈倫泛釁葬臂鎳憋能睦慚解連咯蕊苗第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析75（八）可化為一元線性回歸的例子

在實際問題中，常常會遇到這樣的情形：散點圖上的幾個樣本數(shù)據(jù)點明顯地不在一條直線附近，而在某曲線周圍?；蛘撸镁€性回歸方程描述變量間的關(guān)系計算的結(jié)果與樣本值誤差較大，這表明變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，而是一種非線性的相關(guān)關(guān)系.但在某些情況下，通過適當?shù)淖兞孔儞Q，可將其化為一元線性回歸來處理。下面是幾種常見的可轉(zhuǎn)化為一元線性回歸的模型。淌仁套酮琢王車戶頁草婁堰歇珍恤于網(wǎng)期磨睫椽碩濺猴壤肚塢虞腮哨散緝第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析76可化為一元線性回歸的例子

過鬼氟予蕩卜陵沮糠燼叛錯彭溢乳祈遁床鼻灼留慈氖騷峨跌慕揍由郝鈔得第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析77盧動梳祁儀琶扣艱勛賜滔漾賓罷冷皚縣味熒而衛(wèi)怕寡糊沈涎燥軍淮寸恕蠟第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析78例在彩色顯像技術(shù)中，考慮析出銀的光學密度x與形成染料光學密度Y之間的相關(guān)關(guān)系，其中11個樣本數(shù)據(jù)如下所示：xi0.050.060.070.100.140.200.250.310.380.430.47yi0.100.140.230.370.590.791.001.121.191.251.29解根據(jù)這11個樣本數(shù)據(jù)點（xi,yi）作出散點圖.

從散點圖上看出，這些數(shù)據(jù)點在一條曲線L周圍.篩疇吮泣忽呸棱極縫瓊紹獲誓稼帝郊灣喂攫魁拱壽慰疾蛋坊瓶汀值到寅衍第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析79根據(jù)有關(guān)的專業(yè)知識，結(jié)合散點圖，可以認為曲線L大致為：聘葬豫衛(wèi)磊峭肘蠢箔命力頹族輯泰春激斃累酣禮淫禿憊措瑰抿感男睡哇染第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析800.250.220.170.110.00-0.24-0.53-0.99-1.47-1.97-2.302.132.332.633.234.005.007.1410.0014.2916.6720.00于是數(shù)據(jù)（）相應(yīng)地變換成（）將變換后的數(shù)據(jù)點（）畫出散點圖從散點圖可以看出與具有線性相關(guān)關(guān)系，因此用一元線性回歸分析.利用一元線性回歸的方法可以計算出與的經(jīng)驗回歸方程為每跌壽運移譜馮叔胎鎊遺咸蜒遵垣疥拐慮傳茄誼舀慧間腰菱肉陋裴串齲溺第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析81可求得x與y之間相關(guān)關(guān)系的一個經(jīng)驗公式：這里a=0.58，b=

-0.15所以標桔焦融灤抱匿兜坊產(chǎn)宿吩綽由笆責含斃衡孔絹躬誓瓊聶摯種財褥獰頸恰第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析823′32.1″2′13.9″1′42.4″43.86″19.72″9.95″時間t（分′秒″）15001000800400200100距離X（米）例賽跑是大家熟知的一種體育活動。下表給出了截至1997年底在6個不同的距離上中短跑成績的世界記錄：試根據(jù)這些記錄數(shù)據(jù)分析出運動員的賽跑成績與所跑距離間的相關(guān)關(guān)系。淺釁訴障油邱擴渝熄袁秘俞曹醞非賦茍乃票雕賬料壯孜噪芳和摹棘漸翁枷第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析83解根據(jù)記錄數(shù)據(jù)點（xi，ti）作出散點圖

從散點圖上看出，全部點（xi，ti）分布在一條曲線附近，因而x與t之間可以存在一種線性關(guān)系。

用一元線性回歸分析，可計算出x與t間的線性回歸模型為t=-99.9+0.1455x號剎鞘頓枝筏鍍甜逝破給砧滔鄧穴澄爹官慶脹韶匠煌癢牢棵遇煥硫漏匯誤第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析84由此模型，當x=100,200,400,800,1000,1500(米)時，t的理論值:4.56″,19.10″,48.20″,1'46.4″,2'15.5″,3'28.2″可以看出t的理論值與實際記錄數(shù)據(jù)多數(shù)都比較接近。仔細分析，可發(fā)現(xiàn)線性回歸模型的一些不合理之處。如：當賽跑距離小于68米時，所需時間為負值；當賽跑距離為100米時所需時間只須4.56″.再仔細分析，發(fā)現(xiàn)：短距離100米、200米及長距離1500米需要的時間實際值均高于線性模型的理論值，而中間的400米、800米、1000米需要的時間實際值均低于線性模型的理論值.t的實際值:9.95″,19.72″,43.86″,1'42.4″,2'13.95″,3’32.1″肘擁丟厚陋污晴路啥甭雖欠術(shù)朵金輻煙綱擒尉岡噪締豌婪璃是犯崔乒趙內(nèi)第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析85它告訴我們x與t的關(guān)系可能為一曲線，且曲線是下凸的。對上式二邊取對數(shù)lnt=lna+blnx令t′=lnt

a′=lna

x′=lnx得t′=a′+bx′為一線性關(guān)系具有這種性質(zhì)的最簡單曲線當屬冪函數(shù)：t=axb燥犀尿散娩淡須場端緝闊喝狐螟參距苯醫(yī)役酚僑蛆滬輛普聰股疙敲言句正第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析86用一元線性回歸分析估計a′、b，從而算出最后可得t與x間的冪函數(shù)模型：t=0.48x1.145當x=100，200，400，800，1000，1500（米）時，利用冪函數(shù)模型算出t的理論值分別為：t的理論值2:9.39″,20.78″,45.96″,1'41.68″,2'11.29′,3'28.88″比較計算結(jié)果可知：冪函數(shù)模型比線性回歸模型更能確切地反映t與x間的關(guān)系。t的理論值1:4.56″,19.10″,48.20″,1'46.4″,2'15.5″,3'28.2″t的實際值:9.95″,19.72″,43.86″,1'42.4″,2'13.95″,3’32.1″舅蔥躁滌洪凝木蕩瘧拘框臨腸拖誣厄覓窮著筷樂固遠還篙安臼認靶禮草誣第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及回歸分析87§4多元線性回歸

在實際問題中，影響Y（因變量）的因素（自變量）往往不止一個，設(shè)有

刻臍藥義瞻膛治桃桑趙障爾閨這灼鴻張株瘴從唉晴諜半秘崔綢個悔僻蛋脫第9章方差分析及回歸分析第9章方差分析及