2023-2024學年八年級數(shù)學下冊舉一反三系列專題18.12 平行四邊形全章十六類必考壓軸題（人教版）含解析

2023-2024學年八年級數(shù)學下冊舉一反三系列專題18.12平行四邊形全章十六類必考壓軸題【人教版】必考點1必考點1平行四邊形中邊的關(guān)系運用1．（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝120°，E是AB的中點，點F在平行四邊形ABCD的邊上，若△AEF為等腰三角形，則EF的長為_____．2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知?ABCD中，AF垂直平分DC，且AF=DC，點E為AF上一點，連接BE、CE，若∠CEF=2∠ABE，AE=2，則AD的長為______．3．（2022秋·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，D是BC邊上任意一點，連接AD，以AD，CD為鄰邊作平行四邊形ADCE，連接DE，則DE長的最小值為___________．4．（2022春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，∠D<90°，點E在AD邊上，CM⊥AD，垂足為M，以CE為邊，E為直角頂點，作等腰直角△CEF，使點F落在射線AB上．(1)當△CED是邊長為6的等邊三角形時，∠AFE的度數(shù)為_______，AD的長為_______；(2)當AE=ED時，求∠ECD的度數(shù)；(3)是否存在AF=BF的情況，如果存在，求AE，ED和CM之間滿足的數(shù)量關(guān)系；如果不存在，說明理由．5．（2022春·廣東清遠·八年級統(tǒng)考期末）在平形四邊形ABCD中，點O是對角線BD的中點，點E在邊BC上，EO的延長線與邊AD交于點F，連接BF、DE如圖1．(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；(2)若DE=DC，∠CBD=45°，過點C作DE的垂線，與DE、BD、BF分別交于點G、H、P如圖2．①當CD=6，CE=4時，求BE的長；②求證：CD=CH．6．（2022秋·湖北·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點P是?ABCD內(nèi)一點，∠BPC=90°(1)如圖1，求證：PB=PC；(2)如圖2，若AB=8，PC=52，且(3)如圖3，將△PBA繞點P旋轉(zhuǎn)至△PCE處，過D作DF⊥EP，交EP延長線于F，若AB=6AP，∠PAB=75°，直接寫出必考點2必考點2平行四邊形中的面積轉(zhuǎn)換1．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，點E、F、G、H分別在?ABCD的AD、AB、BC、CD邊上，EG∥CD，F(xiàn)H∥AD，EG與FH交于點P，連接BD交FH于點Q，連接BP，設?AEPF、?EDHP、?FPGB、?PHCG的面積分別為S1、S2、S3、SA．S2?S1 B．S3?2．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形FBCE中，點J，G分別在邊BC，EF上，JG∥BF，四邊形ABCD～四邊形HGFA，相似比k=3，則下列一定能求出A．四邊形HDEG和四邊形AHGF的面積之差 B．四邊形ABCD和四邊形HDEG的面積之差C．四邊形ABCD和四邊形ADEF的面積之差 D．四邊形JCDH和四邊形HDEG的面積之差3．（2022春·浙江·八年級階段練習）如圖，點P是?ABCD內(nèi)的任意一點，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設它們的面積分別是S①S1+S3=S2+S4；②如果S4>S2，則S3>S4．（2022秋·上?！て吣昙壭？计谀┬∶髟趯W習了中心對稱圖形以后，想知道平行四邊形是否為中心對稱圖形．于是將一張平行四邊形紙片平放在一張紙板上，在紙板上沿四邊畫出它的初始位置，并畫出平行四邊形紙片的對角線，用大頭針釘住對角線的交點．將平行四邊形紙片繞著對角線的交點旋轉(zhuǎn)180°后，平行四邊形紙片與初始位置的平行四邊形恰好重合．通過上述操作，小明驚喜地發(fā)現(xiàn)平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點就是對稱中心．請你利用小明所發(fā)現(xiàn)的平行四邊形的這一特征完成下列問題：(1)如圖①，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O．過點O的直線l與邊AB、CD分別相交于點M、N，四邊形AMND的面積與平行四邊形ABCD的面積之比為___________；(2)如圖②，這個圖形是由平行四邊形ABCD與平行四邊形ECGF組成的，點E在邊CD上，且B、C、G在同一直線上．①請畫出一條直線把這個圖形分成面積相等的兩個部分（不要求寫出畫法，但請標注字母并寫出結(jié)論）；②延長GF與邊AD的延長線交于點K，延長FE與邊AB交于點H．聯(lián)結(jié)EB、EK、BK，如圖③所示，當四邊形AHED的面積為10，四邊形CEFG的面積為2時，求三角形EBK的面積．5．（2022秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“朋友三角形”．性質(zhì)：“朋友三角形”的面積相等．例如：如圖1，在△ABC中，如果AD是AB邊上的中線，那么△ACD和△ABD是“朋友三角形”，則有S△ACD應用：如圖2，在矩形ABCD中，點E在AD上，點F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點O．(1)求證：△AOE和△AOB是“朋友三角形”．(2)如圖3，在四邊形ABCD中，∠ADC=90°，AD//BC，AD=DC=8，BC=12，點G在BC上，點E在AD上，DG與CE交于點F，GF=DF．①求證：△DFE和△DFC是“朋友三角形”；②連接AF，若△AEF和△DEF是“朋友三角形”，求四邊形ABGF的面積．(3)在△ABC中，∠B=30°，AB=8，點D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于6．（2022秋·重慶大足·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，兩個等腰直角三角形△ABC、△EDC的頂點C重合，其中∠ABC=∠EDC=90°，連接AE，取AE中點F，連接BF,DF．(1)如圖1，當B、C、D三個點共線時，請猜測線段BF、FD的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)將△EDC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度至圖2位置，根據(jù)“AE中點F”這個條件，想到取AC與EC的中點G、H，分別與點F相連，再連接BG,DH，最終利用△BGF≌△FHD（SAS）證明了（1）中的結(jié)論仍然成立．請你思考當△EDC繞著點C繼續(xù)順時針旋轉(zhuǎn)至圖3位置時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由；(3)連接BD，在△EDC繞點C旋轉(zhuǎn)一周的過程中，△BFD的面積也隨之變化．若AC=52,CB=32必考點3必考點3平行四邊形中的角度轉(zhuǎn)換1．（2022春·江西新余·八年級新余四中?？计谥校┤鐖D，平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，且AB=AE，延長AB與DE的延長線交于點F．下列結(jié)論中：①△ABE是等邊三角形：②△ABC≌△EAD；③AD=AF：④S△ABE=SA．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②③④2．（2022春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在等邊三角形ABC中，AB=4，P為AC上一點（與點A、C不重合），連接BP，以PA、PB為鄰邊作平行四邊形PADB，則PD的取值范圍是_______．3．（2022秋·遼寧朝陽·九年級?？计谥校┤鐖D，?ABCD中，對角線AC，BD相交于O，BD=2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點，下列結(jié)論①BE⊥AC；②四邊形BEFG是平行四邊形；③EG=GF；④EA平分∠GEF．其中正確的是________．

4．（2022春·浙江·八年級期末）如圖，四邊形ABCD中，AB//CD,∠B=∠D，點E為BC延長線上一點，連接AE，AE交CD于H．∠DCE的平分線交AE于G．（1）求證：四邊形ABCD為平行四邊形；（2）如圖1，若AB=2AD=10，H為CD的中點，HE=6，求AC的長；（3）如圖2，若∠BAC=∠DAE①∠AGC=2∠CAE，求∠CAE的度數(shù)；②∠AGC=n∠CAE,∠CAE=_____°（用含有n的式子表示）5．（2022春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在□ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分線分別交AD于點E，F(xiàn)，BE，CF相交于點G.(1)求證：BE⊥CF；(2)若AB=a，CF=b，求BE的長.6．（2022春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，點A（a，6），B（4，b），（1）若a，b滿足(ab5)22a?b?10，①求點A，B的坐標；②點D在第一象限，且點D在直線AB上，作DC⊥x軸于點C，延長DC到P使得PC=DC，若△PAB的面積為10，求P點的坐標；（2）如圖，將線段AB平移到CD，且點C在x軸負半軸上，點D在y軸負半軸上，連接AC交y軸于點E，連接BD交x軸于點F，點M在DC延長線上，連EM，3∠MEC+∠CEO=180°，點N在AB延長線上，點G在OF延長線上，∠NFG=2∠NFB，請?zhí)骄俊螮MC和∠BNF的數(shù)量關(guān)系，給出結(jié)論并說明理由.必考點4必考點4平行四邊形中勾股定理的運用1．（2022春·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一副三角板如圖1放置，AB＝CD＝6，頂點E重合，將△DEC繞其頂點E旋轉(zhuǎn)，如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當∠AED＝75°，連接2．（2022春·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD為菱形，AB=3，∠ABC=60°，點M為BC邊上一點且BM=2CM，過M作MN∥AB交AC，AD于點O，N，連接BN．若點P，Q分別為OC，BN的中點，則PQ的長度為________．3．（2022春·江蘇南京·八年級?？计谥校┮阎喝鐖D，在平行四邊形ABCD中，G、H分別是AD、BC的中點，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F．(1)求證：四邊形GEHF是平行四邊形．(2)若AB=4，BC=7，當四邊形GEHF是矩形時BD的長為．4．（2022秋·遼寧遼陽·九年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為平面內(nèi)一點，以CD為腰在CD右側(cè)作等腰Rt△CDE，且∠CDE=90°，過點B作BF∥DE，且BF=DE，連接(1)如圖①，當點D在AC邊上時，直接寫出線段AF與AD的關(guān)系為；(2)將圖①中的等腰Rt△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<45°到圖②的位置，連接AD(3)若AD=3，AC=5，當A、E、F三點在一條直線上時，請直接寫出CD的長．5．（2022春·廣東廣州·八年級廣州市南武中學?？计谥校┤鐖D：(1)如圖1，平行四邊形ABCD中，AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．求證：BM=CN．(2)如圖2，平行四邊形ABCD中，AC，BD是兩條對角線，求證：AC(3)如圖3，PT是△PQR的中線，已知：PQ=7，QR=6，RP=5．求：PT的長度．6．（2022春·廣東深圳·八年級深圳中學校考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，BD是它的一條對角線，過A，C兩點分別作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足．（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，過點C作CH⊥AB，垂足為H，求CH的長．必考點5必考點5平行四邊形中的多解問題1．（2022春·浙江杭州·八年級期末）平行四邊形的一邊長為12，那么這個平行四邊形的兩條對角線的長可能是（）A．8和12 B．9和13 C．12和12 D．11和142．（2022春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）已知：一組鄰邊分別為6cm和10cm的平行四邊形ABCD，∠DAB和∠ABC的平分線分別交CD所在直線于點E，F(xiàn)，則線段EF的長為________cm．3．（2022春·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，E為斜邊AB的中點，點P是射線BC上的一個動點，連接AP、PE，將△AEP沿著邊PE折疊，折疊后得到△EPA′，當折疊后△EPA′與△BEP的重疊部分的面積恰好為4．（2022秋·河南鄭州·九年級校考期末）如圖1，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點O，點E為BD上的一個動點，連接CE并延長到點F，使EF=CE，連接AF．(1)若點E與點B重合（如圖2），判斷AF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)若以A，F(xiàn)，B，E為頂點的四邊形是平行四邊形，BD=3，請直接寫出線段BE的長度．5．（2022春·四川成都·八年級四川省成都市七中育才學校校考期末）已知△ABC為等邊三角形，其邊長為4．點P是AB邊上一動點，連接CP．(1)如圖1，點E在AC邊上且AE=BP，連接BE交CP于點F．①求證：BE=CP；②求∠BFC的度數(shù)；(2)如圖2，將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得線段CQ，連接BQ交AC于點D．設BP=x，CD=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，在（2）的條件下，延長BC至點E，且CE=BP，連接QE，DE．在點P運動過程中，當△CEQ的周長為4+13時，求DE6．（2022春·浙江杭州·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，點P從點B出發(fā)，沿線段BA，向點A以2cm/s的速度勻速運動；點Q從點D出發(fā)，沿線段DC向點C以（1）連結(jié)P、Q兩點，則線段PQ長的取值范圍是________；（2）當PQ=10cm時，求t的值；（3）若在線段CD上有一點E，QE=2cm，連結(jié)AC和PE．請問是否存在某一時刻使得AC平分PE？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．必考點6必考點6平行四邊形中的動點問題1．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州四十七中?？计谀┤鐖D1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為CA上一動點，E為BC延長線上的動點，始終保持CE=CD．連接BD和AE，將AE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°到AF，連接DF(1)請判斷線段BD和AF的位置關(guān)系并證明；(2)當S△ABD=1(3)如圖2，連接EF，G為EF中點，AB=22，當D從點C運動到點A的過程中，EF的中點G也隨之運動，請求出點G2．（2022春·貴州遵義·八年級校考期末）如圖，點P是□ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點E、F，點O為AC的中點．(1)當點P與點O重合時如圖1，線段OE與線段OF的數(shù)量關(guān)系是______．(2)如圖2，點P在OC上運動時（不與點O與C重合），（1）中的結(jié)論是否成立？(3)點P在OC的延長線上運動時，當∠OFE=60°時，如圖3的位置，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？3．（2022春·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期末）如圖（a），直線l1∶y=kx+b經(jīng)過點A、B，OA=OB=3，直線l2:y=32x?2交y軸于點C，且與直線l(1)求直線l1(2)求△OCD的面積；(3)如圖（b），點P是直線l1上的一動點，連接CP交線段OD于點E，當△COE與△DEP的面積相等時，求點P(4)在（3）的條件下，若點H為坐標平面內(nèi)任意一點，在坐標平面內(nèi)是否存在這樣的點H，使以D、C、P、H為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．4．（2022春·吉林四平·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，直線y＝kx＋b分別交x軸，y軸于點A，點B，點C、P分別是線段OB，AB的中點，且OC=32，CP＝2，動點D，E分別在直線CP和線段AB上，設點E的橫坐標為m，線段CD的長為n（n>0），且m＋n＝3，以DO，DE為鄰邊作平行四邊形(1)求出直線AB的解析式．(2)當n＝1時，請求出點F的坐標．(3)當點F落在△AOB的邊OB或AB上時，求直接寫出點F的坐標．5．（2022春·廣東江門·八年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以2cm/s的速度向點B(1)CD邊的長度為______cm，t的取值范圍為______．(2)從運動開始，當t取何值時，PQ∥(3)從運動開始，當t取何值時，PQ=CD？6．（2022春·浙江溫州·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO是平行四邊形，O為坐標原點，點A的坐標是(?16，0)，線段BC交y軸于點D，點D的坐標是(0，8)，線段CD=6．動點P從點O出發(fā)，沿射線OA的方向以每秒2個單位的速度運動，同時動點Q從點D出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點B運動，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動，運動時間為t秒.(1)用t的代數(shù)式表示：BQ=_______，AP=_______；(2)若以A，B，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值；(3)當△BQP恰好是等腰三角形時，求t必考點7必考點7平行四邊形中的最值問題1．（2022秋·湖北黃岡·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點D，E是△ABC內(nèi)的兩點，且DE//AB，連結(jié)AD，BE，CE．若AB＝92，DE＝22，BC＝10，∠ABC＝75°，則AD+BE+CE的最小值為___________．2．（2022春·上海靜安·八年級上海市靜安區(qū)教育學院附屬學校?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，點E為射線AD上一動點，連接BE，將BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是___．3．（2022春·浙江·八年級期中）如圖，已知在△ABC中，AB=AC=5,BC=6，點M是AC邊上任意一點，連接MB，以MB、MC為鄰邊作平行四邊形MCNB，連接MN，則MN的最小值_________．4．（2022春·江蘇南通·八年級校聯(lián)考期中）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點，則2PB+PD的最小值等于______.5．（2022春·重慶·八年級?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AD⊥AC，AD=AC，點E為AB上一動點，DE與AC相交于點G，CH⊥DE，垂足為H，CH的延長線與AB相交于點F，點P在邊AB上（1）若DG=10，AG=1，求AB的長（2）求證DG=CF+FG（3）若AP=1，AD=42，請直接寫出PH6．（2022春·四川遂寧·九年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，BC∥AD，BC＝12AD，點E為AD的中點，點F為AE的中點，AC⊥CD，連接BE、CE、CF（1）判斷四邊形ABCE的形狀，并說明理由；（2）如果AB＝4，∠D＝30°，點P為BE上的動點，求△PAF的周長的最小值．必考點8必考點8構(gòu)造平行四邊形1．（2022春·湖北武漢·八年級武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）校考期中）如圖，線段AB長為6cm，點C是線段AB上一動點（不與A，B重合），分別以AC和BC為斜邊，在AB的同側(cè)作等腰直角三角形△ADC，△CEB，點P是DE的中點，當點C從距離A點1cm處沿AB向右運動至距離B點1cm處時，點P運動的路徑長是_____cm．2．（2022秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）【模型建立】(1)如圖1，已知在△ABC中，點D是AB邊的中點，將△BDC沿CD翻折得到△FDC，連接FA，F(xiàn)B．①求證：△AFB是直角三角形；②延長FA，BC交于點E，判斷CF與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)【拓展應用】如圖2，已知在△ABC中，點D是AB邊的中點，點E是BC邊上一點，將△BDE沿DE翻折得到△FDE，連接FA，F(xiàn)B．①判斷AF與DE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②若AC∥EF，用等式表示線段BE，CE，3．（2022秋·廣東廣州·八年級華南師大附中?？计谥校┤鐖D，△CAB與△CDE為等腰直角三角形．∠ACB=∠DCE=90°，連接AD、BE．(1)如圖1，若∠CAD=30°，(2)如圖2，若A、D、E三點共線，AE與BC交于點F，且CF=BF，AD=3，求(3)如圖3，BE與AC的延長線交于點G，若CD⊥AD，延長CD與AB交于點N，在BC上有一點M且BM=CG，連接NM，請猜想CN、4．（2022春·江蘇無錫·八年級江蘇省錫山高級中學實驗學校校考期中）我們知道，平行四邊形的對邊平行且相等，利用這一性質(zhì)，可以為證明線段之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系提供幫助．重溫定理，識別圖形（1）如圖1，我們在探究三角形中位線DE和第三邊BC的關(guān)系時，所作的輔助線為“延長DE到點F，使EF=DE，連接CF”，此時DE與DF在同一直線上且DE=12DF，又可證圖中的四邊形______為平行四邊形，可得BC與DF的關(guān)系是______，于是推導出了“DE尋找圖形，完成證明（2）如圖2，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是菱形，△BEH是等邊三角形，∠ABC=∠AEF=60°，連接CF、CH．求證：CF=BE．構(gòu)造圖形，解決問題．（3）如圖3，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，連接BE、CF．直接寫出CF與BE的數(shù)量關(guān)系．5．（2022秋·重慶渝北·八年級重慶市兩江育才中學校?？计谥校┤鐖D，△CAB與△CDE為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，連接AD、BE．（1）如圖1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，則∠DEB的度數(shù)為________度；（2）如圖2，若A、D、E三點共線，AE與BC交于點F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面積；（3）如圖3，BE與AC的延長線交于點G，若CD⊥AD，延長CD與AB交于點N，在BC上有一點M且BM＝CG，連接NM，請猜想CN、NM、BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想．6．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市鳳鳴山中學?？计谥校┮阎BC和ΔDEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點．（1）如圖1，當點D在BC邊上時，連接AD、BE，求證：AD=BE；（2）如圖2，F(xiàn)是線段AD上的一點，連接CF，若AF=CF，試判斷BE與CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，把ΔDEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°<α<90°）將（2）問的條件AF=CF換成AF=FD，其他條件不變，（2）問中的關(guān)系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出相應的正確的結(jié)論．必考點9必考點9矩形的折疊問題1．（2022春·福建福州·八年級?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，點O為對角線的交點，點E為CD上一點，沿BE折疊，點C恰好與點O重合，點G為BD上的一動點，則EG+CG的最小值m與BC的數(shù)量關(guān)系是（）A．3m=5BC B．m=2BC C．3m=7BC D．2m=7BC2．（2022秋·四川達州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，有以下四個結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當點H與點A重合時，EF=25．以上結(jié)論中，你認為正確的有__________．（填序號）3．（2022秋·山東淄博·八年級統(tǒng)考期末）定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．(1)根據(jù)定義判矩形已知：如圖1，在平行四邊形ABCD中，AC,BD是它的兩條對角線，AC=BD．求證：平行四邊形ABCD是矩形．(2)動手操作有發(fā)現(xiàn)如圖2，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點G．猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論．(3)類比探究到一般如圖3，將(2)中的矩形ABCD改為平行四邊形，其它條件不變，(2)中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由．(4)解決問題巧應用如圖4，保持(2)中的條件不變，若G點是CD的中點，且AB=2，請直接寫出矩形ABCD的面積．4．（2022春·湖北宜昌·八年級統(tǒng)考期末）（1）【操作發(fā)現(xiàn)】：如圖一，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點G．猜想線段GF與GC的數(shù)量關(guān)系是．（2）【類比探究】：如圖二，將（1）中的矩形ABCD改為平行四邊形，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．（3）【應用】：如圖三，將（1）中的矩形ABCD改為正方形，邊長AB＝4，其它條件不變，求線段GC的長．5．（2022春·全國·八年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，矩形紙片ABCD的邊AD=3，CD=2，點P是邊CD上的一個動點（不與點C重合，把這張矩形紙片折疊，使點B落在點P的位置上，折痕交邊AD與點M，折痕交邊BC于點N.（1）寫出圖中的全等三角形.設CP=x，AM=y，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）試判斷∠BMP是否可能等于90°.如果可能，請求出此時CP的長；如果不可能，請說明理由.必考點10必考點10矩形與等腰三角形1．（2022秋·江西吉安·九年級統(tǒng)考期末）在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，點E在AD邊上，若△BCE是等腰三角形，則線段DE的長為______．2．（2022秋·浙江·八年級期末）在一張長為6cm，寬為5cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個腰長為4cm3．（2022秋·福建福州·八年級?？计谀┮阎喝魞蓚€等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個等腰三角形的頂角的頂點關(guān)于這條底邊互為頂針點；若再滿足兩個頂角和是180°，則稱這個兩個頂點關(guān)于這條底邊互為勾股頂針點．如圖1，四邊形ABCD中，BC是一條對角線，AB＝AC，DB＝DC，則點A與點D關(guān)于BC互為頂針點；若再滿足∠A+∠D＝180°，則點A與點D關(guān)于BC互為勾股頂針點．初步思考(1)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，D、E為△ABC外兩點，EB＝EC，∠EBC＝45°，△DBC為等邊三角形．①點A與點______關(guān)于BC互為頂針點：②求證：點D與點A關(guān)于BC互為勾股頂針點．實踐操作(2)在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝10．①如圖3，點E在AB邊上，點F在AD邊上，請用圓規(guī)和無刻度的直尺作出點E、F，使得點E與點C關(guān)于BF互為勾股頂針點．（不寫作法，保留作圖痕跡）思維探究②如圖4，點E是直線AB上的動點，點P是平面內(nèi)一點，點E與點C關(guān)于BP互為勾股頂針點，直線CP與直線AD交于點F，求在點E運動過程中，當線段BE與線段AF的長度相等時AE的長．4．（2022春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）有一張矩形紙條ABCD，AB=15，BC=4，點M、N分別在邊AB、CD上．現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，使點B，C分別落在點E，F(xiàn)上．(1)如圖，當點E與點D重合時①求證：△EMN是等腰三角形；②點G在EM上，當四邊形EGNF為矩形時，求MG的長．(2)如圖，若CN=3，點M從點A出發(fā)運動到終點B的過程中，若四邊形MEFN的邊ME與線段CD交于點P，求點P的運動路程．5．（2022春·上海長寧·八年級上海市民辦新世紀中學?？计谀┤鐖D矩形ABCD中，AB=2，AD=4，點P是邊AD上一點，聯(lián)結(jié)BP，過點P作PE⊥BP，交DC于E點，將△ABP沿直線PE翻折，點B落在點B′處，若△B′6．（2022秋·江蘇·八年級期末）問題背景若兩個等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個等腰三角形的頂角的頂點關(guān)于這條底邊互為頂針點；若再滿足兩個頂角的和是180°，則稱這兩個頂點關(guān)于這條底邊互為勾股頂針點．如圖1，四邊形ABCD中，BC是一條對角線，AB=AC，DB=DC，則點A與點D關(guān)于BC互為頂針點；若再滿足∠A+∠D=180°，則點A與點D關(guān)于BC互為勾股頂針點．初步思考(1)如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，D、E為△ABC外兩點，EB=EC，∠EBC=45°，△DBC為等邊三角形．①點A與點______關(guān)于BC互為頂針點；②點D與點______關(guān)于BC互為勾股頂針點，并說明理由．實踐操作(2)在長方形ABCD中，AB=8，AD=10．①如圖3，點E在AB邊上，點F在AD邊上，請用圓規(guī)和無刻度的直尺作出點E、F，使得點E與點C關(guān)于BF互為勾股頂針點．(不寫作法，保留作圖痕跡)思維探究②如圖4，點E是直線AB上的動點，點P是平面內(nèi)一點，點E與點C關(guān)于BP互為勾股頂針點，直線CP與直線AD交于點F．在點E運動過程中，線段BE與線段AF的長度是否會相等？若相等，請直接寫出AE的長；若不相等，請說明理由．7．（2011秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=10．（1）求矩形ABCD的周長；（2）E是CD上的點，將△ADE沿折痕AE折疊，使點D落在BC邊上點F處．①求DE的長；②點P是線段CB延長線上的點，連接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的長．（3）M是AD上的動點，在DC上存在點N，使△MDN沿折痕MN折疊，點D落在BC邊上點T處，求線段CT長度的最大值與最小值之和．必考點11必考點11矩形的多解與最值1．（2022秋·河南鄭州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD的邊AD長為4，將△ADC沿對角線AC翻折得到△AD′C，CD′與AB交于點E，再以CD′為折痕，將△BCE進行翻折，得到△2．（2022秋·天津和平·九年級天津一中校考期末）如圖，長方形ABCD中，AB=3，BC=4，E為BC上一點，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，將EF繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)45°到EG的位置，連接FG和CG，則3．（2022秋·河南商丘·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E是對角線BD上一點，EF⊥BC于點F，EG⊥CD于點G，連接FG，則EF+FG的最小值為______________．4．（2022春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，把矩形COAB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α角，得到矩形CDEF．設若A0,3，C4,0，則5．（2022春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）等邊△ABC中，AB＝14．平面內(nèi)有一點D，BD＝6，AD＝10，則CD的長為_____．6．（2022秋·天津·九年級?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，矩形OABC，O為原點，A3,0,B3,4,C0,4，將△OBC繞點B(1)如圖（1），當∠CBC′=30°(2)如圖（2），當點O′恰好落在x軸上時，O′C′與①此時DB與DO②求點D的坐標；(3)求△AO必考點12必考點12菱形中的全等三角形的構(gòu)造1．（2022春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC與BD交于點O，E為CD延長線上一點，且CD=DE，連接BE，分別交AC，AD于點F、G，連接OG，則下列結(jié)論：①OG=12AB；②S四邊形ODGF>S△ABF；③由點A、B、A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④2．（2022秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于點E，F(xiàn)，G分別是線段AB和線段AC上的動點，且AF=CG，若DE=1，AB=2，則DF+DG的最小值為______．3．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交邊BC于點E，交DC的延長線于點F．(1)如圖1，求證：CE=CF；(2)如圖2，F(xiàn)G∥BC,FG=EC，連接DG、EG，當∠ABC=120°時，求證：∠BDG=60°；(3)如圖3，在（2）的條件下，當BE=2CE,AE=43時，求線段BD4．（2022春·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=?34x+b分別與x軸、y軸交于點A、B，且點A(1)求b的值和點D的坐標；(2)點M是線段AB上的一個動點（點A、B除外）．①如圖2，將△BMC沿CM折疊，點B的對應點是點E，連接ME并延長交AD邊于點F，問△AMF的周長是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由；②點P是x軸上一個動點，Q是坐標平面內(nèi)一點，探索是否存在一個點P，使得以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若不存在，請說明理由；若存在，請直接寫出點Q的坐標．5．（2022春·河南鶴壁·八年級鶴壁市外國語中學?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，兩條對角線相交于點O，EF經(jīng)過點O且垂直于AC，分別與邊AD，BC交于點F，E．(1)求證：四邊形AECF為菱形；(2)若AD＝3，CD=2，且∠ADC＝45°，直接寫出四邊形AECF6．（2022春·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AC=2AB．對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)β°0<β<180，分別交直線BC、AD于點E、F(1)當β=______°，四邊形ABEF是平行四邊形；(2)在旋轉(zhuǎn)的過程中，從A、B、C、D、E、F中任意找4個點為頂點構(gòu)造四邊形．①β=______°，構(gòu)造的四邊形是菱形；②若構(gòu)造的四邊形是矩形，則不同的矩形應該有______個．必考點13必考點13正方形中線段的和差倍分關(guān)系1．（2022春·廣東惠州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段DG與BE、AE分別相交于點H、K．(1)求證：∠ABE=∠ADG；(2)判斷BE與DG的關(guān)系，并說明理由；(3)若AB=62，AG=6，求DK2．（2022春·黑龍江綏化·八年級統(tǒng)考期末）已知四邊形ABCD是正方形，等腰Rt△AEF的直角頂點E在直線BC上（不與點B，C重合），F(xiàn)M⊥AD，交射線AD于點M．(1)當點E在邊BC上，點M在邊AD的延長線上時，如圖①，求證：AB＋BE＝AM；（提示：延長MF，交邊BC的延長線于點H）(2)當點E在邊CB的延長線上，點M在邊AD上時，如圖②；當點E在邊BC的延長線上，點M在邊AD上時，如圖③．請分別寫出線段AB，BE，AM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；(3)在（1）、（2）的條件下，若BE＝3，∠BAF＝15°，則AM的長為．3．（2022春·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）已知正方形ABCD與正方形CEFG，點M是AF的中點，連接DM，EM．(1)如圖，點E在CD上，點G在BC的延長線上，請判斷DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并直接寫出結(jié)論；(2)如圖，點E在DC的延長線上，點G在BC上，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論；(3)將（1）圖中的正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，使D，E，F(xiàn)三點在一條直線上，若AB=13，CE=5，請直接寫出MF的長__________．4．（2022春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：數(shù)學課上老師出示了這樣一個問題：如圖1，等腰Rt△PBF的直角頂點P在正方形ABCD的邊AD上，斜邊BF交CD于點Q，連接PQ．請?zhí)剿鱌Q、AP、CQ的數(shù)量關(guān)系．某學習小組的同學經(jīng)過探索，交流了自己的想法：利用現(xiàn)在所學的旋轉(zhuǎn)知識，可將△ABP旋轉(zhuǎn)到△CBE位置，然后通過證明△BPQ≌△BEQ來探索數(shù)量關(guān)系．(1)（問題解決）請你根據(jù)他們的想法寫出PQ、AP、CQ的數(shù)量關(guān)系是________；(2)（學以致用）如圖2，若等腰Rt△PBF的直角頂點P在正方形ABCD的邊DA的延長線上，斜邊BF的延長線交CD的延長線于點Q，連接PQ，猜想線段PQ，AP，CQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(3)（思維拓展）等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)部一點，若BC＝2．則AP＋BP＋CP的最小值＝________．5．（2022秋·四川達州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標物上，點B坐標為3,3．將正方形ABCO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角度α0°<α<90°，得到正方形ADEF，ED交線段OC于點G，ED的延長線交線段BC于點P．連AP、AG（1）求證：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；（3）當∠1=∠2時，求直線PE的解析式（可能用到的數(shù)據(jù)：在Rt△中，30°內(nèi)角對應的直角邊等于斜邊的一半）．（4）在（3）的條件下，直線PE上是否存在點M，使以M、A、G為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出M點坐標；若不存在，請說明理由．6．（2022春·江西南昌·八年級校聯(lián)考期末）如圖，四邊形ABCD中，已知：A（a，0），B（0，b），C（c，0）和D（0，d）．（1）當四邊形ABCD正方形時，寫出a，b，c，d滿足的等式關(guān)系：（2）若AB、BC、CD、DA的中點分別為E、F、G、H．①直接寫出E、F、G、H四點的坐標；②證明：四邊形EFGH是矩形；③若矩形EFGH是正方形，則a，b，c，d滿足的等式關(guān)系是．7．（2022春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，P是正方形ABCD的邊CD右側(cè)一點，CP=CD，∠PCD為銳角，連PB，PD．（1）如圖1，若PD=PC，則∠BPD的度數(shù)為；（2）如圖2，作CE平分∠PCD交PB于E．①求∠BEC的度數(shù)；②猜想PD，BE，CE之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，若PB=6，則四邊形PCBD的面積為平方單位必考點14必考點14正方形中的折疊問題1．（2022春·江蘇無錫·八年級江蘇省錫山高級中學實驗學校?？计谀┤鐖D，E為正方形ABCD邊AB上一動點（不與A重合），AB＝4，將△DAE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAF，再將△DAE沿直線DE折疊得到△DME．下列結(jié)論∶①若延長DE，則DE⊥BF；②若連接AM，則AM∥FB；③連接FE，當F、E、M三點共線時，AE=42?4；④連接EF、EC、FC，若△FEC是等腰三角形，則A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．（2022秋·河南鄭州·九年級?？计谀┮阎叫蔚倪呴L為12，點P是邊AD上的一個動點，連接BP，將△ABP沿BP折疊，使點A落在點A′上，延長PA′交CD于E，當點E與CD的中點F3．（2022春·重慶北碚·八年級西南大學附中?？计谀┤鐖D，正方形ABCD的邊長為6，點E為邊AD的中點，將三角形ABE沿BE折疊使點A與恰好落在點F處，又將點C折疊使其與BF上的點M重合，且折痕GH與BF平行交CD于點H，則線段GH的長度為____．4．（2022秋·河南鄭州·九年級?？计谀┚C合與實踐數(shù)學活動課上，張老師找來若干張等寬的矩形紙條，讓學生們進行折紙?zhí)骄浚?1)希望小組將如圖（1）所示的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點A1處，折痕為BE埴空：圖（1）中四邊形ABA(2)智慧小組準備了一張如圖（2）所示的長、寬之比為2+1:2的矩形紙片ABCD，用希望小組的方法折疊紙片，得到四邊形ABA1E，接著沿過點C的直線折疊紙片，使點D落在EA(3)勤奮小組拿著一張如圖（3）所示長為5，寬為2的矩形紙片ABCD，利用希望小組的方法折疊紙片，得到四邊形ABA1E，在ED上取一點F（不與點D，E重合），沿CF折疊△CDF，點D的對應點為M，射線FM交直線BC①FY與CY的數(shù)量關(guān)系為______；②當射線FM經(jīng)過△BA1E5．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐動手操作：利用“正方形紙片的折疊和旋轉(zhuǎn)”開展數(shù)學活動，探究體會圖形在正方形折疊和旋轉(zhuǎn)過程中的變化及其蘊含的數(shù)學思想方法．折一折：如圖1，已知正方形ABCD的邊長AB=6，將正方形ABCD沿過點A的直線折疊，使點B的對應點M落在AC上，展開正方形ABCD，折痕為AE，延長EM交CD于點F，連接AF．(1)思考探究：圖1中，與△ABE全等的三角形有________個，∠EAF=________°，BE、EF、DF三者的數(shù)量關(guān)系________，BE的長為________．轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠EAF繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置，與BC、CD的交點分別為E、F，連接EF．(2)證明推理：圖2中，BE、EF、DF三者的數(shù)量關(guān)系________．并給出證明．(3)開放拓展：如圖3，在旋轉(zhuǎn)∠EAF的過程中，當點F為CD的中點時，BE的長為________．6．（2022秋·吉林長春·八年級?？计谀咎骄繂栴}】（1）閱讀并補全解題過程如圖①，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E是邊AB的中點，求證：DE平分∠ADC．張某某同學受到老師說過的“有中點，延長加倍構(gòu)造全等”的啟發(fā)，延長DE交射線CB于點F，請你依據(jù)該同學的做法補全證明過程．證明：延長DE交射線CB于點F．【應用】（2）如圖②在長方形ABCD中，將△ABF沿直線AF折疊，若點B恰好落在邊CD的中點E處，直接寫出∠AFB的度數(shù)．【拓展】（3）如圖③在正方形ABCD中，E為邊AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊，點A落在正方形ABCD內(nèi)部的點F處，延長BF交CD于點G，延長EF交CD于點H，若正方形ABCD的邊長為4，直接寫出FG的值．7．（2022春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于點O且AE⊥DF．則AE和DF的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是邊AD，BC，CD上的點，BG⊥EF，垂足為H．求證：EF＝BG．（3）如圖3，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，M分別是邊AD，BC，AB上的點，AE＝2，BF＝4，BM＝1，將正方形沿EF折疊，點M的對應點與CD邊上的點N重合，求CN的長度．必考點15必考點15坐標系中的正方形1．（2022春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OA1B1C1的兩邊OA1、OC1在坐標軸上，以它的對角線OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對角線OB2為邊作正方形OB2B3C3，以此類推，則正方形OB16B17C17的頂點B17的坐標是（

）A．(128，-128) B．(256，0) C．(256，256) D．(0，512)2．（2022春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=?125x+12的圖象交x軸、y軸于A、B兩點，以AB為邊在直線右側(cè)作正方形ABCD，連接BD，過點C作CF⊥x軸于點F，交BD于點E，連接AEA．點D的坐標為(17,7) B．∠EAF=45°C．點C的坐標為(12,17) D．△AEF的周長為14+73．（2022春·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）正方形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，AD∥BC∥x軸，AD與y軸交于點E，OE=1，且AE,DE的長滿足AE?3+|DE?1|=0(1)求點A的坐標；(2)若P(?2,?1)，①求△EPC面積；②正方形ABCD的邊CD上是否存在點M，使S△ECM=S4．（2022秋·福建漳州·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，B（8，6），過點B作AB∥x軸，交y軸于點A．過點B作BC⊥x軸，垂足為C，點E為OC的中點，點F在線段BC上，連接EF，將△CEF沿直線EF折疊得△DEF．(1)如圖1，當四邊形CFDE是正方形時，求點D的坐標；(2)如圖2，當BF=2CF時，求點D到x軸的距離．5．（2022春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）在正方形ABCD中，點E是直線BC上一點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．（1）如圖1，若點E是BC的中點．求證：AE=EF；（2）如圖2，若點E是BC邊上任意一點（不含B，C），結(jié)論“AE=EF”還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，若點E是BC延長線上任意一點，結(jié)論“AE=EF”還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（4）如圖4，在平面直角坐標系xOy中，點O與點B重合，正方形的邊長為4，若點F恰好落在直線y=12x+76．（2022秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=?23x+4的圖象與x軸和y軸分別交于A、B兩點．動點P從點A出發(fā)，在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O作勻速運動，到達點O即停止運動．其中A、Q兩點關(guān)于點P對稱，以線段PQ為邊向上作正方形（1）當t=2秒時，OQ的長度為；（2）設MN、PN分別與直線y=?23x+4交于點C、D，求證：MC=（3）在運動過程中，設正方形PQMN的對角線交于點E，MP與QD交于點F，如圖2，求OF+EN的最小值．必考點16必考點16四邊形中存在性問題1．（2022秋·福建福州·八年級福州華倫中學?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，已知矩形OBCD，點C6,4，現(xiàn)將矩形OBCD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)0°<∠EOB<180°得到矩形OEFG，點B，C，D的對應點分別為點E，F(xiàn)，G(1)如圖1，當點E恰好落在邊CD上時，則EC的長為______(請直接寫出答案)；(2)如圖2，CD所在直線與OE、GF分別交于點H、M，且CH=MH．求線段MF的長度．(3)如圖3，設點P為邊FG的中點，連接PB，PE，BE，在矩形OBCD旋轉(zhuǎn)過程中，△BEP的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由．2．（2022秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，對角線AC，BD交于點O．點E從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點F從點C出發(fā)，沿CD方向勻速運動，速度為1cm/s；當一個點停止運動時，另一個點也停止運動．連接EO并延長，交BC于點G，連接OF和EF．設運動時間為t（s）（(1)是否存在某一時刻t，使EF⊥BD垂直？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．(2)求△EOF的面積y（cm2）與運動時間t（s）的關(guān)系式．(3)求t為何值時，△AOE是等腰三角形？3．（2022秋·廣東河源·九年級統(tǒng)考期末）折疊變換是特殊的軸對稱變換，我們生活中常對矩形紙片進行折疊，這其中蘊含著豐富的數(shù)學知識和思想．(1)如圖1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點E是DC的中點，將矩形ABCD沿BE折疊，點C落在點F的位置．①求證：DF∥BE；②求DF的長度．(2)如圖2，在直角坐標系中，把矩形OABC沿對角線AC所在的直線折疊，點B落在點D處，AD與y軸交于點E，OA＝2，OC＝23，點G是直線AC上的一個動點，在x軸上是否存在點H，使得以點E，A，G，H為頂點的四邊形是菱形，求出點H坐標．4．（2022秋·黑龍江佳木斯·九年級撫遠市第三中學?？计谀┤鐖D，直角三角形ABC在平面直角坐標系中，直角邊BC在y軸上，AB,BC的長分別是一元二次方程x2?14x+48=0的兩個根，AB<BCA，且BC=2OB，P為AB上一點，且(1)求點A的坐標；(2)求過點P的反比例函數(shù)解析式；(3)點M在第二象限內(nèi)，在平面內(nèi)是否存在點N，使以A，C，M，N為頂點的四邊形為正方形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．5．（2022秋·山東青島·九年級青島三十九中?？计谀┤鐖D1，正方形ABCD中，AB=8cm，點P從點D出發(fā)沿DA向點A勻速運動，速度是2cm/s，同時，點Q從點A出發(fā)沿AB方向，向點B勻速運動，速度是4cm/s，連接PQ、CP、CQ，設運動時間為t（s）（0<t<2）．(1)是否存在某一時刻t，使得PQ∥BD？若存在，求出(2)設△PQC的面積為s（cm2），求s與t(3)如圖2，連接AC，與線段PQ相交于點M，是否存在某一時刻t，使S△QCM:S6．（2022春·四川達州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸交于點Am,0，與y軸交于點B0,n，且m，(1)求：S△AOB(2)D為OA延長線上一動點，以BD為直角邊作等腰直角△BDE，連接EA，求直線EA與y軸交點F(3)在（2）的條件下，當AD=2時，在坐標平面內(nèi)是否存在一點P，使以B、E、7．（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸上，且B4,2，E為直線AC上一動點，連OE，過E作GF⊥OE，交直線BC、直線OA于點F、G，連OF(1)求直線AC的解析式．(2)當E為AC中點時，求CF的長．(3)在點E的運動過程中，坐標平面內(nèi)是否存在點P，使得以P、O、G、F為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點P的橫坐標，若不存在，請說明理由．專題18.12平行四邊形全章十六類必考壓軸題【人教版】必考點1必考點1平行四邊形中邊的關(guān)系運用1．（2022秋·浙江寧波·八年級校考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝120°，E是AB的中點，點F在平行四邊形ABCD的邊上，若△AEF為等腰三角形，則EF的長為_____．【答案】33或3或57【分析】△AEF為等腰三角形，分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和30°直角三角形性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：當AE=AF時，如圖，過點A作AH⊥EF于H，∵E是AB的中點，∴AE=1∵AE=AF，AH⊥EF，∠A=120°，∴∠AEF=∠AFE=30°，F(xiàn)H=EH，∴AH=12AE=∴EF=2EH=33當AF=EF時，如圖2，過點A作AN⊥CD于N，過點F作FM⊥AB于M，

圖2∵在平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=4，∠A=120°，∴AD=BC=4，∠ADC=60°，∴∠DAN=30°，∴DN=12AD=2∵AB//CD，AN⊥CD，F(xiàn)M⊥AB，∴AN=MF=23∵AF=EF，F(xiàn)M⊥AB，∴AM=ME=3∴EF=M當AE=EF=3時，如圖3，圖3∴EF=3，綜上所述：EF的長為33或3或57【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知?ABCD中，AF垂直平分DC，且AF=DC，點E為AF上一點，連接BE、CE，若∠CEF=2∠ABE，AE=2，則AD的長為______．【答案】3【分析】過點B作BM⊥CE于M，由平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，AB=CD，AB∥CD，證明△BAE≌△BMEAAS，由全等三角形的性質(zhì)得出AE=EM=2，AB=BM，證明Rt△AFD≌Rt△BMCHL，由全等三角形的性質(zhì)得出FD=CM【詳解】解：過點B作BM⊥CE于M，∵AF垂直平分DC，∴CF=DF，AF⊥CD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB=CD，AB∥∴AB⊥AF，∵∠BAE+∠AEM+∠BME+∠ABM=360°，∴∠ABM+∠AEM=180°，∵∠CEF+∠AEM=180°，∴∠CEF=∠ABM=∠ABE+∠EBM，又∵∠CEF=2∠ABE，∴∠ABE=∠EBM，∵BE=BE，∠BAE=∠BME=90°，∴△BAE≌∴AE=EM=2，AB=BM，∵AB=CD=AF，∴BM=AF，在Rt△AFD和RtAD=BCAF=BM∴Rt△AFD∴FD=CM，設CF=FD=x，則AB=BM=2x，EF=2x?2，CE=2+x，在Rt△CEF中，E∴2x?22解得x=3或x=0（舍去），∴CM=3，BM=6，∴BC＝∴AD=35故答案為：35【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，D是BC邊上任意一點，連接AD，以AD，CD為鄰邊作平行四邊形ADCE，連接DE，則DE長的最小值為___________．【答案】9.6【分析】設AC,ED交于點O，過點O作OF⊥BC于點F，勾股定理求得OB，等面積法求得OF，根據(jù)垂線段最短，當點D與點F，重合時，OD最小，進而求得DE的最小值，即可求解．【詳解】設AC,ED交于點O，過點O作OF⊥BC于點F，如圖所示，在四邊形ADCE中，AO=CO，EO=DO，∵AB=BC=10，∴BO⊥AC，∵AC=12，∴AO=CO=6,在Rt△BOC中，BO=∵S△OBC∴OF=4.8，當點D與點F，重合時，OD最小，∴ED的最小值為2OD=9.6．故答案為：9.6．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，∠D<90°，點E在AD邊上，CM⊥AD，垂足為M，以CE為邊，E為直角頂點，作等腰直角△CEF，使點F落在射線AB上．(1)當△CED是邊長為6的等邊三角形時，∠AFE的度數(shù)為_______，AD的長為_______；(2)當AE=ED時，求∠ECD的度數(shù)；(3)是否存在AF=BF的情況，如果存在，求AE，ED和CM之間滿足的數(shù)量關(guān)系；如果不存在，說明理由．【答案】(1)30°，6+2(2)45°(3)存在，4AE+2DE=5CM【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD=CE=6，∠D=∠DEC=∠ECD=60°，利用平行四邊形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和即可求出∠AFE的度數(shù)，由此得到AE=AF，過點A作AN⊥EF于N，求出EN=FN=12EF=12EC=3，利用勾股定理得到（2）取FC的中點N，連接EN，根據(jù)△EFC是等腰直角三角形，得到∠EGC=90°，∠GEC=∠GCE=45°，利用梯形中位線定理得到EG∥CD，即可求出（3）存在，當AF=BF時，延長EF交CB延長線于G，作EH⊥BC于H，則四邊形EHCM是矩形，得到EH=CM，證明△AEF≌△BGF，推出AE=BG，EF=GF，得到GC=GB+BC=2AE+DE，設CE=x，則GE=2x，勾股定理求出GC，利用面積公式求出EH，即可得到結(jié)論【詳解】（1）∵△CED是邊長為6的等邊三角形，∴DE=CD=CE=6，∠D=∠DEC=∠ECD=60°，∵∠CEF=90°，∴∠AEF=180°?90°?60°=30°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD+∠D=180°，∴∠BAD=120°，∴∠AFE=180°?∠A?∠AEF=30°=∠AEF，∴AE=AF，過點A作AN⊥EF于N，∴EN=FN=1在Rt△AEN中，AE=2AN，AN∴AN解得AN=3∴AD=AE+DE=6+23故答案為：30°，6+23（2）取FC的中點N，連接EN，∵△EFC是等腰直角三角形，∴∠EGC=90°，∠GEC=∠GCE=45°，∵AF∥CD，E為AD中點，G為∴EG∥∴∠ECD=∠GEC=45°；（3）存在，當AF=BF時，延長EF交CB延長線于G，作EH⊥BC于H，則四邊形EHCM是矩形，∴EH=CM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠G=∠AEF,∠A=∠GBF，

∵AF=BF，∴△AEF≌∴AE=BG，EF=GF，∴GC=GB+BC=2AE+DE，∴GE=2CE，設CE=x，則GE=2x，∴GC=G∵S△CEG∴EH=CE?EG∴CM=EH=2∴GC=2AE+DE=5∴4AE+2DE=5CM．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記各定理并熟練應用是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·廣東清遠·八年級統(tǒng)考期末）在平形四邊形ABCD中，點O是對角線BD的中點，點E在邊BC上，EO的延長線與邊AD交于點F，連接BF、DE如圖1．(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；(2)若DE=DC，∠CBD=45°，過點C作DE的垂線，與DE、BD、BF分別交于點G、H、P如圖2．①當CD=6，CE=4時，求BE的長；②求證：CD=CH．【答案】(1)證明見解析(2)①42【分析】（1）通過ASA證明△BOE≌△DOF，得DF=BE，又DF∥BE，即可證明四邊形（2）①過點D作DN⊥EC于點N，先根據(jù)勾股定理求出DN=42，由∠DBC=45°得BN=DN②根據(jù)DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°，則有∠EDN=∠ECG，再證∠CDH=∠CHD，結(jié)論即可得證．【詳解】（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，點O是對角線BD的中點，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，在△BOE與△DOF中，∠EBO=∠FDOBO=DO∴△BOE≌△DOFASA∴DF=BE，又∵AD∥BC，即∴四邊形BEDF是平行四邊形．（2）①解：如圖，過點D作DN⊥EC于點N，∵DE=DC=6，DN⊥EC，CE=4，∴EN=CN=2，∴DN=D∵∠DBC=45°，DN⊥BC，∴∠DBC=∠BDN=45°，∴DN=BN=42∴BE=BN?EN=42∴BE的長為42②證明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，∴∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°，∴∠EDN=∠ECG，∵DE=DC，DN⊥EC，∴∠EDN=∠CDN，∴∠ECG=∠CDN，∵∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH，∠CDB=∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN，∴∠CDB=∠DHC，∴CD=CH．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等知識．理解和掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·湖北·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點P是?ABCD內(nèi)一點，∠BPC=90°(1)如圖1，求證：PB=PC；(2)如圖2，若AB=8，PC=52，且(3)如圖3，將△PBA繞點P旋轉(zhuǎn)至△PCE處，過D作DF⊥EP，交EP延長線于F，若AB=6AP，∠PAB=75°，直接寫出【答案】(1)見解析(2)32(3)2【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)及∠BPC=90°，∠BAD?∠PCD=45°，可得（2）過點P作PE⊥AB于點E，交CD于點F，則由平行四邊形的性質(zhì)得PF⊥CD，證明△PEB≌△CFP，可得PE=CF，從而由已知面積關(guān)系可得PF=3CF，由勾股定理可求得CF的長，從而可求得平行四邊形的面積；（3）連接DE，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)易得CE⊥CD，則可得∠DEF=30°，設AP=a，由旋轉(zhuǎn)及勾股定理可分別求得DE、DF、EF，進而可求得PF，由勾股定理求得PD，則最后可求得結(jié)果．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD=∠BCD，∵∠BAD?∠PCD=45°，∴∠BCD?∠PCD=45°，即∠BCP=45°，∵∠BPC=90°，∴∠PBC=∠BCP=45°，∴PB=PC；（2）過點P作PE⊥AB于點E，交CD于點F，如圖，∴∠PEA=∠PEB=90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠PFC=∠PEA=90°，即PF⊥CD，∴∠FPC+∠FCP=90°，∵∠BPE+∠FPC=180°?∠BPC=90°，∴∠BPE=∠FCP，在△PEB與△CFP中，∠PEB=∠PFC=90°∠BPE=∠FCP∴△PEB≌△CFP，∴PE=CF，∵S△ABP即12∴PE:PF=1:3，∴PF=3PE=3CF，在Rt△PFC中，由勾股定理得：P即9CF解得：CF=5∴EF=PE+PF=4PE=4CF=45∴平行四邊形的面積為；AB·EF=8×45（3）連接DE，如圖，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：PE=AP，∠PEC=∠PAB=75°，∠PCE=∠PBA，CE=AB，∵AB∥∴∠ABC+∠BCD=180°，即∠PBA+∠PBC+∠PCB+∠PCD=180°，∵∠PBC+∠PCB=90°，∴∠PBA+∠PCD=90°，即∠PCE+∠PCD=90°，∴CE⊥CD，∵AB=CD，∴CE=CD=AB，∴∠CED=45°，∴∠DEF=∠PEC?∠CED=75°?45°=30°，設AP=a，則PE=a，CE=CD=AB=6在Rt△CED中，由勾股定理得DE=∵DF⊥PF，∠DEF=30°，∴DF=1在Rt△DFE中，由勾股定理得：EF=∴PF=EF?PE=3a?a=2a，在Rt△DFP中，由勾股定理得PD=∴PFPD故答案為：27【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30°角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性強，既要靈活運用這些知識，又要構(gòu)造適當?shù)妮o助線，對學生而言有一定的難度．必考點2必考點2平行四邊形中的面積轉(zhuǎn)換1．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，點E、F、G、H分別在?ABCD的AD、AB、BC、CD邊上，EG∥CD，F(xiàn)H∥AD，EG與FH交于點P，連接BD交FH于點Q，連接BP，設?AEPF、?EDHP、?FPGB、?PHCG的面積分別為S1、S2、S3、SA．S2?S1 B．S3?【答案】D【分析】根據(jù)?AEPF∽?PHCG，設相似比=k，AE=m，AF=n，∠AFP=θ，得到S1、S2、S3、S4的面積等式，根據(jù)△BFQ∽△DHQ，得到相似比【詳解】解：如圖，∵?AEPF∽?PHCG，設相似比PHAE=PGAF=k∴DE=PH=CG=kAE=km，BF=PG=CH=kAF=kn，∴S1=mn·sinθ，S2∵△BFQ∽∴FQQH∴FQ=k∴PQ=FQ?FP=km?m=k?1過點B作BM⊥FH于點M，則BM=BF·sin∴S△BPQ∵S4∴S△BPQ故選：D．【點睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．2．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形FBCE中，點J，G分別在邊BC，EF上，JG∥BF，四邊形ABCD～四邊形HGFA，相似比k=3，則下列一定能求出A．四邊形HDEG和四邊形AHGF的面積之差 B．四邊形ABCD和四邊形HDEG的面積之差C．四邊形ABCD和四邊形ADEF的面積之差 D．四邊形JCDH和四邊形HDEG的面積之差【答案】C【分析】分別過點A，D作BC的平行線，根據(jù)相似比，找出對應相似圖形的面積關(guān)系，然后找出符合的選項即可．【詳解】解：如圖，分別過點A，D作BC的平行線交CE于點M，交BF于點N，∵四邊形ABCD～四邊形HGFA，相似比k=3，∴CD=3AF=3ME，BC=3FG=3BJ，△BCD～△BJI，相似比k=3，則S?BCDN=3S∵S∴S故選：C．【點睛】本題考查了根據(jù)相似比求面積關(guān)系，平行四邊形性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)等知識，適當添加輔助線，找出對應面積關(guān)系，采用面積作差方法是解題關(guān)鍵．3．（2022春·浙江·八年級階段練習）如圖，點P是?ABCD內(nèi)的任意一點，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設它們的面積分別是S①S1+S3=S2+S4；②如果S4>S2，則S3>S【答案】①④⑤【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AD=BC，設點P到AB，BC，CD，DA的距離分別是?1，?2，?3，?4，再根據(jù)三角形的面積公式整理判斷①；然后根據(jù)三角形面積公式可判斷②③；再根據(jù)兩個等高的三角形面積的比等于底的比，得出S1【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC．設點P到AB，BC，CD，DA的距離分別是?1，?2，?3則S1=12AB·?1∵12AB·?∴S平行四邊形∴S2根據(jù)S4>S2只能判斷?4根據(jù)S3=2S1，能得出?3∵點P在對角線BD上，∴S1:S∴S1由S1?S2=S3∴點P一定在對角線在BD上，故⑤正確，綜上所述，正確的結(jié)論是①④⑤．故答案為：①④⑤【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積等，用平行四邊形的面積表示出相應的兩個三角形的面積的和是解本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·上海·七年級?？计谀┬∶髟趯W習了中心對稱圖形以后，想知道平行四邊形是否為中心對稱圖形．于是將一張平行四邊形紙片平放在一張紙板上，在紙板上沿四邊畫出它的初始位置，并畫出平行四邊形紙片的對角線，用大頭針釘住對角線的交點．將平行四邊形紙片繞著對角線的交點旋轉(zhuǎn)180°后，平行四邊形紙片與初始位置的平行四邊形恰好重合．通過上述操作，小明驚喜地發(fā)現(xiàn)平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點就是對稱中心．請你利用小明所發(fā)現(xiàn)的平行四邊形的這一特征完成下列問題：(1)如圖①，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O．過點O的直線l與邊AB、CD分別相交于點M、N，四邊形AMND的面積與平行四邊形ABCD的面積之比為___________；(2)如圖②，這個圖形是由平行四邊形ABCD與平行四邊形ECGF組成的，點E在邊CD上，且B、C、G在同一直線上．①請畫出一條直線把這個圖形分成面積相等的兩個部分（不要求寫出畫法，但請標注字母并寫出結(jié)論）；②延長GF與邊AD的延長線交于點K，延長FE與邊AB交于點H．聯(lián)結(jié)EB、EK、BK，如圖③所示，當四邊形AHED的面積為10，四邊形CEFG的