八年級上冊幾何專題1 3 .5 等邊三角形【九大題型】

專題13.5等邊三角形【九大題型】

【人教版】

【題型1與等邊三角形有關(guān)的角度的計(jì)算】.......................................................1

【題型2共頂點(diǎn)的等邊三角形(手拉手圖形)】..................................................5

【題型3平面直角坐標(biāo)系中的等邊三角形】......................................................II

【題型4與等邊三角形有關(guān)的線段長度的計(jì)算1.................................................17

【題型5等邊三角形的證明】..................................................................21

【題型6與等邊三角形有關(guān)的規(guī)律問題】.......................................................26

【題型7利用等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明】.....................................................30

【題型8與等邊三角形有關(guān)的動點(diǎn)問題】.......................................................36

【題型9含30°角的直角三角形性質(zhì)】........................................................41

“片聲二

【知識點(diǎn)1等邊三角形】

(1)定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.

(2)等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.

(3)等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形：

③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.

【題型1與等邊三角形有關(guān)的角度的計(jì)算】

【例1】(2022秋?泰興市期末)(1)如圖1,NAOB和都是直角

①若N8OC=60°,則/8?！?gt;=30°,ZAOC=30°；

②改變/BOC的大小，則/B。。與/AOC相等嗎？為什么？

(2)如圖2,ZAOB=ZCOD=SO°,若乙400=NBOC+40°,求/AOC的度數(shù)；

(3)如圖3,將三個(gè)相同的等邊三角形(三個(gè)內(nèi)角都是60°)的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，若N8AE=IO°,

ZHAF=30a,則Nl=20°.

【分析】(1)根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)角的和差即可得到結(jié)果；

(3)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/。4//=/幺/=/5^=60°,根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1):乙403和NCOD都是直角，ZBOC=60°,

：.ZBOD=300,乙40c=30°,

故答案為：30,30；

(2)?.?乙408=/(70。=80°,

ZAOC=/BOD=-(ZAOD-ZBOC),

2

VZAOD=ZBOC+400,

/.ZAOC=20°；

(3)VZDAH^ZEAF=ZBAC=60a,

.'./D4E=/H4尸=30°,

AZ1=60°-30°-10°=20°.

故答案為：20.

【變式1-1](2022秋?巫溪縣校級月考)已知：如圖，△ABC是等邊三角形，。是BC延長線上的點(diǎn)，BE、

CE分別平分NA8C和NACO,求NBEC的度數(shù).

【分析】AABC是等邊三角形的外角是120。，平分后是60°,又由角平分線與角的對邊垂直可知所求

角是直角三角形內(nèi)的一個(gè)銳角，故而可解得.

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，且有BE、CE分別平分/ABC和乙AC。，ACLBE,

：.ZECD=(180°-60°)+2=120°+2=60°,

.?./4CE=60°,

又；AC_L8E,

AZBEC=180°-90°-60°=30°.

【變式1-2］（2022秋?太原期末）問題情境：如圖1,點(diǎn)。是AABC外的一點(diǎn)，點(diǎn)E在8c邊的延長線上,

8。平分/ABC,CD平分/4CE.試探究/O與乙4的數(shù)量關(guān)系.

（1）特例探究：

如圖2,若AABC是等邊三角形，其余條件不變，則如0=30°;

如圖3,若aABC是等腰三角形，頂角/A=100°,其余條件不變，則50。；這兩個(gè)圖中，

ND與NA度數(shù)的比是1：2；

（2）猜想證明：

如圖1,ZVIBC為一般三角形，在（1）中獲得的/。與NA的關(guān)系是否還成立？若成立，利用圖1證明

你的結(jié)論；若不成立，說明理由.

【分析】（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和用NA和表示出NACE,再根

據(jù)角平分線的定義得到NACE=2NOCE,NABC=2NDBC,然后整理即可.

（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和用NA和/￡＞表示出NACE,再根據(jù)角平分

線的定義得到/ACE=2/DCE,NABC=2NO8C,然后整理即可.

【解答】解：（I）如圖2,???△ABC是等邊三角形，

AZABC=60°,ZACE=120°,

平分/ABC,CD平分NACE.

：.ZDBC=30°,ZDCE=60°,

'：ZDCE=ZD+ZDBC,

：.ZD=30°；

如圖3,「△ABC是等腰三角形，ZA=100°,

//WC=4CB=40°,/ACE=140°,

??BZ）平分ZABC,CD平分ZACE.

.?.ND8C=20°,/OCE=70°,

,:NDCE=ND+NDBC,

：.ZD=50°；

故答案為30°,50°,1：2；

(2)成立，

如圖1,在△ABC中，ZACE=ZA+ZABC,

在△O8C中，NDCE=ND+NDBC,??-(1)

VCD平分NACE,BD平分/ABC,

:./ACE=2NDCE,NABC=2NDBC,

又；ZACE=ZA+ZABC,

：.2ZDCE^ZA+2ZDBC,—(2)

由(1)X2-(2),

；.2ND+2NDBC-(NA+2NDBC)=0,

/4=2/D

【變式1-3](2022秋?龍港區(qū)期末)已知△ABC,△EFG是邊長相等的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC,EF的

中點(diǎn).

(1)如圖①，連接A。，GD,則NADC的大小=90(度)；NGQF的大小=90(度)；

AD與GD的數(shù)量關(guān)系是AD=GD；DC與DF的數(shù)量關(guān)系是DC=DF；

(2)如圖②，直線AG,尸C相交于點(diǎn)M,求NAM尸的大小.

【分析】(1)如圖①中，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可.

(2)如圖連接AO,DG,利用等邊三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解；(1)如圖①，連接AD,GO,?.?△ABC是等邊三角形，BD=DC,則/4OC的大小=90°；

?.?△EGF是等邊三角形，ED=DF,

B

：.ZGDF=90°圖①圖②

?：BC=EF,

:.AD=GD；DC=DF；

故答案為：90；90：AD=GD,DC=DF.

（2）連接40,DG,

由（1）得：ZADC=ZGDF=90°,

ZADC-/GDC=/GDF-AGDC,

即N1=N2,

由（1）得：AD=GD,

18O0-Z1

：.4DGA=/DAG=

2

由（1）得：DC=DF,

：.Z3=ZDCF=

2

：.ZDGA=Z3,

*/ZAMF=ZAGF+Z5,

：.ZAMF=NOG4+N5+N4

=N3+N5+N4

=180°-ZGDF

=180°-90°

=90°.

【題型2共頂點(diǎn)的等邊三角形（手拉手圖形）】

【例2】（2022秋?華容縣期末）如圖，C為線段4E上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重合），在AE同側(cè)分別作等

邊△ABC和等邊△CZ）E,AO與3E交于點(diǎn)O,40與5c交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連結(jié)PQ.以下

五個(gè)結(jié)論：

@AD=BE;?PQ//AE；③OP=OQ；④△CP。為等邊三角形；⑤408=60°.其中正確的有①②

④⑤.（注：把你認(rèn)為正確的答案序號都寫上）

【分析】①根據(jù)全等三角形的判定方法，證出△4CZX4BCE,即可得出4E>=8E,①正確.

④先證明△ACP二△BCQ,即可判斷出CP=C。，即可得④正確；

②根據(jù)/PCQ=60°,可得△PCQ為等邊三角形，證出NPQC=/QCE=60°,得出PQ〃AE,②正確.

③沒有條件證出OP=OQ,得出③錯(cuò)誤；

@Z4OB=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=ZDCE=60°,⑤正確；即可得出結(jié)論.

【解答】解：,?.△ABC和都是等邊三角形，

：.AC=BC,CD=CE,/AC8=/OCE=60°,

ZACB+ZBCD=NDCE+NBCD,

：.ZACD=ZBCE,

在△AC。和△8CE中，

AC^BC,NACD=NBCE,CD=CE,

：./XACD^^BCE(SAS),

：.AD=BE,結(jié)論①正確.

：.ZCAD=ZCBE,

又?.?NAC3=NOCE=60°,

.?.NBC拉=180°-60°-60°=60°,

AZACP=ZBCQ=60°,

在△ACP和△BC。中，

ZACP=ZBCQ,ZCAP^ZCBQ,AC=BC,

.?.△ACPdBCQ(AAS),

：.AP=BQ,CP=CQ,

又TNPCQ=60°,

??.△PC。為等邊三角形，結(jié)論④正確；

：.ZPQC=ZDCE=60°,

：.PQ//AE,結(jié)論②正確.

,/△ACD^ABCE.

ZADC=ZAEO.

：.ZAOB=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=ZDCE=60°,

結(jié)論⑤正確.

沒有條件證出OP=OQ,③錯(cuò)誤；

綜上，可得正確的結(jié)論有4個(gè)：①②④⑤.

故答案為：①②④⑤.

【變式2-1](2022秋?西青區(qū)期末)如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)E在△48C內(nèi)部，連接

AE,BE,BD.若NEB￡)=50°,則NAEB的度數(shù)是110°.

【分析】由已知條件推導(dǎo)出aACE絲△88,從而NDBC=NCAE,再通過角之間的轉(zhuǎn)化，利用三角形

內(nèi)角和定理能求出/4E8的度數(shù).

【解答】解：:△ABC和△(?￡>￡都是等邊三角形，

：.AC=BC,CE=CD,ZABC=ZACB=ZBAC=ZECD=6O°,

又；NACE+NBCE,NECD=NBCE+NBCD,

：.ZBCD^ZACE,

在和△BCD中，

AC=BC

乙BCD=LACE?

CE=CD

???△ACE<△BCD(SAS),

NCAE=NDBC,

二NEBD-ZEBC=ZBAC-ABAE,

?:NEBD=50°,

.,.50°-NEBC=60°-NBAE,

.,.50°-(60°-ZABE)=60°-NBAE,

.,.NA8E+N&4E=70°,

.?./AE8=18(T-(.ZABE+ZBAE)=180°-70°=110°,

故答案為：110°.

【變式2-2](2022秋?興化市校級月考)如圖1,等邊△ABC中，。是AB邊上的點(diǎn)，以CD為一邊,向上

作等邊△EDC,連接AE.

(1)求證：△OBCg/\E4C；

(2)求證：AE//BC；

(3)如圖2,若。在邊BA的延長線上，且A8=6,AD=2,試求AABC與AEAC面積的比

【分析】(1)首先證明/BCD=NACE,然后利用SAS證明△DBCZaEAC即可；

(2)根據(jù)全等的性質(zhì)可得NEAC=/B=60°,進(jìn)而可得/EAC=NACB,從而可得AE〃BC；

(3)利用等邊三角形的性質(zhì)可得BC=AC,DC=CE,ZBCA=ZDCE=60°,然后再證明△DBCgZ\EAC,

再推出NEAC=NACB,進(jìn)而可得AE〃BC,進(jìn)而利用三角形面積解答即可.

【解答】證明：(1)VZACB=60°,ZDCE=60°,

.".ZBCD=600-ZACD,ZACE=60°-ZACD,

/.ZBCD=ZACE,

在ADBC和AEAC中，

BC=AC

4BCD=/.ACE

EC=DC

.?.△DBC絲ZXEAC(SAS)；

(2)VADBC^AEAC,

/.ZEAC=ZB=60°,又NACB=60°,

.".ZEAC=ZACB,

；.AE〃BC；

(3):△ABC、AEDC為等邊三角形

ABC=AC,DC=CE,ZBCA=ZDCE=60°,

ZBCA+ZACD=ZDCE+ZACD,

即NBCD=NACE,

(BC=AC

在ADBC和AEAC^\z.BCD=Z-ACE,

[CD=CE

AADBC^AEAC(SAS),

???NEAC=NB=60°,AE=BD=AB+AD=8,

XVZACB=60°,

AZEAC=ZACB,

，AE〃BC.

,△ABC與4EAC面積比==—=7.

AE6+24

【變式2-3](2022秋?赫山區(qū)期末)如圖，△ABC和△(?￡)￡都為等邊三角形，E在BC上，AE的延長線交

BD于F.

(1)求證：AE=BD；

(2)求NAFB的度數(shù)；

(3)求證：CF平分NAFZ)；

(4)直接寫出EEDF,Cb之間的數(shù)量關(guān)系.

【分析】（I）要證明邊相等可證明邊所在的三角形全等，由△A8C和△CQE都為等邊三角形，可得/

ACE=ZBCD=60°,AC=BC,CE=CD,繼而證明三角形全等，即可解答題目；

（2）由三角形全等可得/C4E=/C8C,結(jié)合N4EC=N8EF即可證明；

（3）作CA/J_A尸丁點(diǎn)例，CNLDF于一點(diǎn)、N,連接CF,利用全等三角形的性質(zhì)證明CM=CN,即可解答

題目；

（4）延長A尸到點(diǎn)。，使凡連接OQ,則只需證明CF=E。，所以考慮證明△8尸絲△ED。，

自己試著解答.

【解答】（I）證明：△4BC和△COE都為等邊三角形，

AZACE=ZBCD=60",AC^BC,CE=CD,

:.AACE冬ABCD(SAS),

：.AE=BD.

(2)解：：AACE絲△BCD,

.'.ZCAE^ZCBD,

又NAEC=NBEF,

：.ZAFB=ZACB=60Q.

(3)證明：作CM_LA尸于點(diǎn)M,CNLDF于點(diǎn)、N,連接CF,

'：ZCAE=ZCBD,NAMC=NBNC=90°,AC=BC,

:.△CAMQ/XCBN(SAS),

則CM=CN,

.?.(?月平分/4月9.

(4)解：延長AF到點(diǎn)。，使FQ=O-，連接。。，

VZAFB=ZACB=60°,

則NOFQ=60°,

...△CFQ是等邊三角形，

則。。=。尸，ZFDQ=ZCDE=6O0,

：.ZCDF=ZEDQ,

'：CD=DE,ZCDF=ZEDQ,DQ=DF,

:.△CD2MEDQ(SAS),

：.CF=EQ,

則CF=EF+FQ=EF+DF.

【題型3平面直角坐標(biāo)系中的等邊三角形】

【例3】（2022春?禪城區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,0）,以線段OC為

邊在第一象限內(nèi)作等邊△OBC,點(diǎn)。為x軸正半軸上一動點(diǎn)（0。>2）,連結(jié)8D,以線段BO為邊在第

一象限內(nèi)作等邊△BOE,直線CE與y軸交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

A.（0,-V3）B.（0,-2V3）C.（0,-2）D.（0,-2。

【分析】根據(jù)“手拉手”全等可得/8CE=N8O￡>=60°,進(jìn)而可得/OCA=60°,即可求解A點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：?.?△08C,△BOE為等邊三角形，

：.HO=BC,BD=BE,NOBC=NDBE=NBCO=60°,

：.ZOBD=NCBE,

在△080和△C8E中，

（BO=BC

\^0BD=乙CBE,

（BD=BE

:.AOBD會/\CBE（SAS）,

；.NBCE=NBOD=60°,

AZOCA=60°,

VZCOA=90°,

：.OA=V30C=2V3,

即A點(diǎn)坐標(biāo)為：（0,-2V3）,

故選：B.

【變式3-1］（2022春?龍口市期末）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，直線MN分別與x軸，y軸交于點(diǎn)M,N,

且OM=4,NOMN=30°,等邊△AO8的頂點(diǎn)A,B分別在線段MN,OM上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

A.(1,V3)B.(1,V5)C.(V3,1)D.(|,V3)

【分析】根據(jù)NOMN=30°和△A08為等邊三角形，證明△04例為直角三角形，即可得出答案.

【解答】解：??,直線MN分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)M、N,0M=4,4OMN=30°,

：.NONM=60°,

???△A08為等邊三角形，

，NAO8=60°,ZAMO=30°,

.../OAM=90°,

：.OALMN,即△0AM為直角三角形，

：.OA=-2OM=-2x4=2,

過點(diǎn)A作ACJ_08于點(diǎn)C,

：.AC=V3,

，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,V3).

故選：A.

【變式3-2](2022秋?新洲區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)8在第二象限,

AO=a,AB=b,8。與x軸正方向的夾角為150°,且拌-抉+〃-6=0.

(1)試判定△ABO的形狀；

(2)如圖1,若8C_LBO,BC=BO,點(diǎn)。為CO的中點(diǎn)，AC,BD交于E,求證：AE=BE+CE；

(3)如圖2,若點(diǎn)E為y軸的正半軸上一動點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEG,延長G4交x軸于點(diǎn)尸，問：

AP與A。之間有何數(shù)量關(guān)系？試證明你的結(jié)論.

【分析】(1)△ABO為等邊三角形，理由為：根據(jù)(〃-拄)+(“-〃)=o,得到再由8。與x

軸正方向的夾角為150°得到408=60°,即可得證；

(2)在AC上截取AM=CE,先證/AEB=60°,方法是根據(jù)題意得到△ABO為等邊三角形，△8OC為

等腰直角三角形，確定出度數(shù)，根據(jù)A8=BC,且/A8C=120°,得到/BAE度數(shù)，進(jìn)而確定出

NAEB為60°,再由AM=CE,得到AE=CM,再由AB=C8,且夾角NBAC=NBC4,利用SAS得到

△BCM與△84E全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BM=BE,得到△8EM為等邊三角形，得到

BE=EM,由4E=EM+4M,等量代換即可得證；

(3)AP=2AO,理由為：由題意得到BG=BE,AB=OB,利用等式的性質(zhì)得到Z48G=NOBE,利用

SAS得到AABG與△O8E全等，利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到/GA8=/BOE=60°,利用外角的

性質(zhì)得到乙42。=30°,在RtZ\4OP中，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得到AP=2AO.

【解答】(1)解：結(jié)論：△A8O為等邊三角形，

理由："-"a2-b2+a-b=Ca+h)(a-h)+(a-b)=(a-b)(a+b+1)=0

.,.a-b=0,得至!Ja=b,EPAO=AB

?；。8與x軸正半軸夾角為150°

...NAOB=150°-90°=60°

...△AO8為等邊三角形；

(2)證明：在AC上截取AM=EC,可得AM+EMuCE+EM,BPAE=CM.

???△A08為等邊三角形，△BOC為等腰直角三角形

：.ZOBC=90°,ZABO=60°

???￡＞為CO的中點(diǎn)

???8。平分NOBC,即NC8Q=NO3D=45°

AZABD=105°,NABC=150°

：.ZBAC=ZBCA=\50

：.ZAEB=60°

在△ABE和△CBM中

AB=CB

Z.BAE=Z^CM,

AE=CM

：.ABACBM(SAS)

：.BM=BE

???△8EM為等邊三角形

:.BE=EM

：.AE=AM+EM=CE+BE；

(3)解：結(jié)論：AP=2A。，

理由：???△AOB與△BGE都為等邊三角形

:?BE=BG,AB=OB,NEBG=NOBA=60°

：.ZEBG+ZEBA=ZOBA+ZEBA

即ZABG=ZOBE

在△ABG和△08E中

AB=OB

Z-ABG=乙OBE,

BE=BG

:.△ABGgROBE(SAS)

：.ZBAG=ZBOE=60°

：.ZGAO=ZGAB+ZBAO=120°

??,NGAO為△AOP的外角

且NAO尸=90°

???NA尸0=30°

在RtZ\AOP中，ZAPO=30°

圖2

【變式3-3](2022秋?漢陽區(qū)校級期中)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知A(-2,0),B(2,0),C(6,

0),。為)，軸正半軸上一點(diǎn)，且N008=30°,延長08至E,使BE=BD.P為x軸正半軸上一動點(diǎn)

(P在C點(diǎn)右邊),M在EP上，且NEMA=60°,AM交BE于N.

(1)求證：BE=BC；

(2)求證：NANB=NEPC；

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出AO=3O,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出/ABO=60°,然后

判斷出△ABO是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得B0=AB=4,再求出8c=4,從而得到8C=

BD,然后等量代換即可得證；

(2)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得/區(qū)4"+/42=/43。=60°,Z

BAN+NEPC=NEMA=60°,即可得證；

(3)求出aBCE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BC=CE,然后求出AB=CE,再求出NABN

=Z￡CP=120°,然后利用“角角邊”證明△然義和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等8N=CP,

再根據(jù)BP-CP=BC等量代換即可得解.

【解答】(1)證明：(-2,0),8(2,0),

：.AD=BD,AB=4,

008=30°,

AZABD=90°-30°=60°,

/./\ABD是等邊三角形，

：.BD=AB=4,

,：B(2,0),C(6,0),

：.BC=6-2=4,

:.BC=BD,

又；BE=BD,

：.BE=BC；

(2)證明：由三角形的外角性質(zhì)得，ZBAN+ZANB^ZABD^60Q,

ZBAN+ZEPC=ZEMA=60°,

所以，NANB=NEPC；

(3)解：,:BE=BD=BC,ZCBE=ZABD=60a,

.?.△BCE是等邊三角形，

:.BC=CE,

"：AB=BC=4,

：.AB=CE,

,：ZABD^ZBCE^60°,

：?NABN=NECP=120°,

在△A5N和中，

NANB=乙EPC

Z.ABN=乙ECP,

AB=CE

:?△ABNQ4ECP（AAS）,

:,BN=CP,

?:BP-CP=BC,

:.BP-BN=BC=4,

故3P-3N的值為4,與點(diǎn)P的位置無關(guān).

【題型4與等邊三角形有關(guān)的線段長度的計(jì)算】

【例4】（2022?南陵縣模擬）如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)、,且80=點(diǎn)

E,尸分別在邊A8,AC上，且NEC尸=90°,M為邊Ef的中點(diǎn)，連接CM交。尸于點(diǎn)MDF//AB,

則CM的長為（）

A.-V3B.-V3C.-V3D.V3

346

【分析】根據(jù)等邊三角形邊長為2,在RtaBDE中求得DE的長，再根據(jù)CM垂直平分。凡在RtACDN

中求得CN,最后根據(jù)線段和可得CM的長.

【解答】解：?.?等邊三角形邊長為2,BD*D,

?4

：.BD=-CD=-

3f3f

???等邊三角形中，DF//AB,

：.NFDC=NB=60°,

VZEDF=90°,

AZBDE=30°,

：.DE±BEf

：.ZBED=90°,

VZB=60Q,

:.NBDE=30°,

:.BE=；BD=§

：.DE=7BD2—BE2=—,

3

如圖，連接￡)M,則RtzXOEF中，DM=3EF=FM,

:NFDC=NFCD=60°,

.?.△C/)尸是等邊三角形，

：.CD=CF=~,

3

；.CM垂直平分QF,

；.NDCN=30°,DN=FN,

；.RtZ\C￡W中，DN=~,CN=—,

33

為EF的中點(diǎn)，

:.MN=-DE=

26

【變式4-1］（2022春?西鄉(xiāng)縣期末）如圖，ZVIBC是等邊三角形，8。是中線，過點(diǎn)。作DE_L48于E交

8C邊延長線于尸，AE=\,求8尸的長.

BC

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和中線的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：..?△ABC是等邊三角形，是中線，

AZA=ZACB=60°,AC=BC,AD=CD=^AC,

VD￡±AB于E,

：.ZADE=900-NA=30°,

；?CD=AD=2AE=2,

：.ZCDF=ZADE=30°,

ZF=ZACB-ZCDF=30°,

:,NCDF=NF,

:.DC=CF,

:.BF=BC+CF=2AD+AD=6.

【變式4-2］（2022?浙江模擬）如圖，等邊△ABC的邊長為10,點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)，。為8c延長線上

一點(diǎn)，CQ：BC=\：2,過戶作PE_LAC于E,連尸。交AC邊于。，求。E的長

【分析】過P點(diǎn)作尸尸〃BC交AC于〃點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定求出△%/＞尸是等邊三角形，推

出AP=4歹=P/=CQ,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AE=ER根據(jù)AAS證△尸產(chǎn)力和△QCO全等，求出

=CD,推出Z)E=/C,代入求出即可.

【解答】解：過。點(diǎn)作尸尸〃8C交4C于/點(diǎn)，

???等邊△A8C的邊長為10,點(diǎn)P是邊A3的中點(diǎn)，CQ：BC=1：2,

：.AB=BC,ZB=ZACB=ZA=60°,

：.AP=CQ,

YPF〃AB,

AZAPF=ZB=60Q,ZAFP=ZACB=60Q,

AZA=ZAPF=ZAFP=60°,

???△4尸尸是等邊三角形,

:.EF=|AF,

?:△AP尸是等邊三角形，AP=CQ,

：.PF=CQ

U：PF//AB,

：?/Q=NFPD,

在APDF和△QOC中

ZFPD="

VZFDP="DC,

PF=CQ

:?△PDFWAQDC,

：?DF=CD,

：.DF=-CF,

2

：.DE=EF+DF=1/1F+|CF=，C,

：.ED=5.

【變式4-3]（2022秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，在△4BC中，A8=4C,D、E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，AO平分

ABAC,NEBC=NE=60°,若BE=30cm,DE=2cm,則BC=32cm.

【分析】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BE=30,DE=2,進(jìn)而得出△BEM為等邊三角形，△

EFD為等邊三角形,從而得出BN的長，進(jìn)而求出答案.

【解答】解：延長ED交BCTM,延長AD交BCTN,

fE

//.N'、D\\

////F?、\

y「、、\

BV\fC

"：AB=AC,4。平分N8AC,

J.ANLBC,BN=CN,

VZ￡：BC=ZE=60o,

.??△8EM為等邊三角形，

:.AEFD為等邊三角形,

VBE=30,DE=2,

：.DM=2S,

「△BEM為等邊三角形，

ZEMB=60°,

'：ANrBC,

:.NDNM=90°,

:./NDM=30°,

；.NM=14,

：.BN=\6,

:*BC=2BN=32,

故答案為32.

【題型5等邊三角形的證明】

【例5】（2022秋?建水縣校級期中）如圖，aABC為等邊三角形，。為BC邊上一點(diǎn)，以AD為邊作NAOE

=60°,DE與△ABC的外角平分線CE交于點(diǎn)E,連接AE.求證：△AOE是等邊三角形.

【分析】過。作。G〃AC交A8TG,得出N3=N2,再利用AAS得出△4G￡）gZ\QCE,進(jìn)而得出答案.

【解答】解：過D作OG〃AC交A8于-G,

則Nl=/3,△GQ8為等邊三角形，

ZAGD=ZDCE=]20a,AG=DC.

又；NADE=NACE=60°,ZACE^ZECF,

：.Z\=Z2,

；.N3=N2.

在△AGO和△￡>(7￡：中，

(43=z2

l^AGD=乙DCE,

14G=DC

:.AAGD冬ADCE(A4S),

：.AD=DE,

VZADE=60°,

???△ADE是等邊三角形.

【變式5-1］如圖，已知△ABC是等邊三角形，E是AC延長線上一點(diǎn)，選擇一點(diǎn)。，使得4CDE是等邊三

角形，如果M是線段A。的中點(diǎn)，N是線段8E的中點(diǎn)，

求證：△CMN是等邊三角形.

【分析】根據(jù)△4CQ絲△8CE,得出AD=BE,AM=BN；又△AMC絲△3NC,可得CM=CN,ZACM

=ZBCN,證明NNCM=NACB=60°即可證明是等邊三角形；

【解答】證明：???△ABC是等邊三角形，△CQE是等邊三角形，M是線段AO的中點(diǎn)，N是線段8E的

中點(diǎn)，

ZACB=ZECD=f>0°，

AZACB+ZBCD=ZECD+ZBCD,即NACO=NBCE,

在△AC。和△BCE中，

AC=BC

Z.ACD=乙BCE,

CD=CE

：./\ACD^/\BCE,

:?AD=BE,AM=BN：

：.AC=BC./CAD=ZCBE,AM=BN,

:?△AMg^BNC(SAS),

:.CM=CN,/ACM=/BCN；

又,：4NCM=ZBCN-NBCM,

NACB=NACM-NBCM,

：.ZNCM=ZACB=60°,

:./\CMN是等邊三角形.

【變式5?2】(2022春?龍口市期末)如圖，E是NAO3的平分線上一點(diǎn)，ECLOB,EDLOA,C、。是垂

足，連接C。交OE于點(diǎn)F,若乙408=60°.

(1)求證：△OCO是等邊三角形；

(2)若石/=5,求線段OE的長.

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OE=CE,然后根據(jù)“L證得RtZiOOE/Rl^OCE,得出。。=

0C,由NAOB=60°,證得△0C3是等邊三角形；

(2)根據(jù)三線合一的性質(zhì)得出NAOE=N8OE=30°,OE，QC,進(jìn)而證得NEC尸=30°,然后根據(jù)30°

的直角三角形的性質(zhì)即可求得OE的長.

【解答】解：(1)?點(diǎn)E是/AO8的平分線上一點(diǎn)，ECLOB,EDLOA,垂足分別是C,D,

：.DE=CE,

在Rt/XODE與RtAOC￡中，

(DE=CE

lOE=OE

.,.RtAOD￡^RtAOC￡(HL),

：.OD=OC,

,：ZAOB=60°,

/XOCD是等邊三角形；

(2)是等邊三角形，OF是NCOO的平分線，

OELDC,

VZAOB=60°,

AZAOE=ZBOE=30Q,

4F=60°,EDLOA,

：.ZEDF=30°,

：.DE^2EF=10,

：.OE=2OE=20.

【變式5-3](2022秋?韶關(guān)期末)已知：如圖，AABC,△<：￡>￡都是等邊三角形，AD.BE相交于點(diǎn)O,

點(diǎn)M、N分別是線段A。、8E的中點(diǎn).

(1)求證：AD=BE；

(2)求NOOE的度數(shù)；

(3)求證：△MNC是等邊三角形.

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC=BC,CD=CE,NACB=NDCE=60°,求出/4CO=N

BCE,證△ACDWZXSCE即可；

(2)根據(jù)全等求出NAQC=N8EC,求出NAOE+N8E。的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可；

(3)求出AM=8M根據(jù)SAS證推出CM=CM求出NNCM=60°即可.

【解答】解：(1)?「△ABC、△CDE都是等邊三角形，

：.AC=BC,CD=CE,NACB=NDCE=60°,

???/ACB+/BCD=NDCE+/BCD,

：.NACD=NBCE,

在△AC。和△BCE中

AC=BC

Z-ACD=乙BCE,

CD=CE

:.AACD^ABCE,

:?AD=BE.

(2)解：VAACD^ABCE,

???NADC=NBEC,

???等邊三角形。CE,

：.ZCED=ZCDE=60°,

:.NADE+NBED=NADC+NCDE+NBED,

=ZADC+60°+NBED,

=NCED+60",

=60°+60°,

=120°,

AZDOE=180°-(NADE+NBED)=60°,

答：NQOE的度數(shù)是60°.

(3)證明：:△AC。絲△8CE,

：./CAD=NCBE,AD=BE,AC=BC

又??,點(diǎn)M、N分別是線段A。、BE的中點(diǎn)，

：.AM=-AD,BN=-BE,

22

:.AM=BN,

在△ACM和△3CN中

(AC=BC

4cAM=zZ*BN,

14M=BN

/.△ACMdBCM

:.CM=CN,

/ACM=/BCN,

又N4C8=60°,

AZACM+ZMCB=60°,

:?NBCN+NMCB=60",

AZMCN=60°,

???△MNC是等邊三角形.

【題型6與等邊三角形有關(guān)的規(guī)律問題】

【例6】(2022秋?思明區(qū)校級期中)如圖，己知NMON=30°,點(diǎn)4,A2,Ar??在射線ON上，點(diǎn)向，

史,&…在射線OM上，AA1B02,ZVI252A3,Z\A353A4…均為等邊三角形,若04=2,則737A8的

【分析】據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出A]B]//A2B2//A^以及A2B2=2BIA2,得出小&

=48/2=8,4&=88也=16,4&=1654=32…,進(jìn)而得出答案.

【解答】解：?.?△454是等邊三角形，

：.A\B\=A2B\,Z3=Z4=Z12=60°,

AZ2=120°,

?；NMON=30°,

AZ1=18O°-120°-30°=30°,

又???N3=60°,

AZ5=I80°-60°-30°=90°,

VZMON=Z1=30°,

：.OAi=AiB\=l,

?"281=1,

,**△A2&A3、/\AyByA4是等邊三角形，

.?.Zll=Z10=60°,N13=60°,

VZ4=Z12=60°,

：.A\B\//A2BI//A^B\A2//B2A^

AZl=Z6=Z7=30°,Z5=Z8=90°,

?\A2B2=2B\A2f&/43=2824，

???433=4囪4=8,

A4B4-SB\A2=16,

A5ft=16BiA2=32,

的邊長為2”,

.?.△A7&A8的邊長為27.

故答案為27.

【變式6-1］（2022秋?簡陽市期中）一只電子青蛙在如圖的平面直角坐標(biāo)系做如下運(yùn)動：從坐標(biāo)原點(diǎn)開始

起跳記為4,然后沿著邊長為1的等邊三角形跳躍即4fA2fA3-4-4……已知4的坐標(biāo)為（1，0）,

【分析】根據(jù)已知圖形得出A2,4,4的坐標(biāo)，進(jìn)而得出變化規(guī)律求出點(diǎn)42018的坐標(biāo).

【解答】解：過點(diǎn)A2作48,交），軸于點(diǎn)8,

由題意可得Hi：AzB—~OA}=

：

.BO=―2,

?'Az坐標(biāo)為:（p當(dāng)），

4坐標(biāo)為：（|，爭，

4坐標(biāo)為：仔y）,

...點(diǎn)42018的坐標(biāo)為(1008.5,y)

【變式6-2］（2022?定興縣二模）如圖，ZVIBC是一個(gè)邊長為2的等邊三角形，AD（）±BC,垂足為點(diǎn)功.過

點(diǎn)Co作Z）必」AB,垂足為點(diǎn)。；再過點(diǎn)人作G￡>2，A。），垂足為點(diǎn)?。挥诌^點(diǎn)Q作垂

足為點(diǎn)。3；…；這樣一直作下去，得到一組線段：DoD,.。02,。2。3,…，則線段。。2的長為；,

線段?！耙驳拈L為—?dú)q（〃為正整數(shù)）.

【分析】由三角形A8C為等邊三角形，AD.1BC,利用等邊三角形的性質(zhì)及三線合一得到82）=1,NB

=60°,再由DoDilAB,得到N￡>QoB=3O°,求出QQo的長,同理求出的長,依此類推得出

5的長.

【解答】解：:△ABC是一個(gè)邊長為2的等邊三角形，ADnLBC,

；.肛=1,ZB=60°,

VD0Di±Afi,

AZD,DoB=3O°,

；.OQo=今

2

同理NW=30°,D\D2=（y）=I，

依此類推，線段為M的長為（爭

故答案為:"名）"

42

【變式6-3］（2022?齊齊哈爾模擬）如圖，點(diǎn)4是面積為3的等邊aABC的兩條中線的交點(diǎn)，以B4為一

邊，構(gòu)造等邊△84G，稱為第一次構(gòu)造；點(diǎn)4是△B4G的兩條中線的交點(diǎn)，再以為一邊，構(gòu)造等

邊ABA2c2,稱為第二次構(gòu)造；以此類推，當(dāng)?shù)凇ù螛?gòu)造出的等邊△B“A,,Cn的邊BCn與等邊△C8A的邊

A8第一次在同一直線上時(shí)，構(gòu)造停止.則構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形的面積是

【分析】設(shè)等邊△A8C的邊長為“，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出4c=,，484=30°,同理判斷出

每次構(gòu)造后等邊三角形的邊長變?yōu)樵瓉淼娜毡叮俅_定出每一次構(gòu)造三角形繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°,然

后求出4次構(gòu)造后構(gòu)造停止，用a表示出構(gòu)造停止后的等邊三角形的邊長，再根據(jù)相似三角形面積的比

等于相似比的平方列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：設(shè)等邊△ABC的邊長為a,

則等邊的高為爭z,

是兩條中線的交點(diǎn)，

.*.AtC=|xya=y?,484=30。，

同理可得，每次構(gòu)造后等邊三角形的邊長變?yōu)樵瓉淼娜毡叮?/p>

?.?第n次構(gòu)造出的等邊△&A“C”的邊8C”與等邊△C8A的邊AB第一次在同一直線上時(shí)，構(gòu)造停止，

（180°-60°）+30°=120°+30°=4,

即4次構(gòu)造后，構(gòu)造停止，

構(gòu)造停止時(shí)的等邊三角形的邊長為（苧）％,

設(shè)最后一個(gè)三角形的面積為S,

?lJ-=（出）2,

3a

解得s=M

故答案為：

【題型7利用等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明】

【例7】（2000?內(nèi)蒙古）如圖，已知△ABC為等邊三角形，延長8C到。，延長BA到E,并且使AE=BQ,

連接CE,DE.求證：EC=ED.

【分析】首先延長8。至尸，使OF=BC,連接EF,得出為等邊三角形，進(jìn)而求出△EC8?

從而得出EC=DE.

【解答】證明：延長8。至F，使DF=BC,連接EF,

'：AE=BD,△A8C為等邊三角形，

:.BE=BF,ZB=60°,

...△8￡尸為等邊三角形，

.*./F=60°,

在△ECB和△EDF中

BE=EF

(B=Z.F=60°

BC=DF

:.4ECB與AEDF(SAS),

：.EC=ED,

【變式7?1】如圖，在等邊三角形ABC中，BO,CO分別平分NA3C,ZACB,OE//AB,OF//AC,試說明

BE=EF=FC.

A

【分析】由題可證△0￡F為等邊三角形，從而得到/EOF=60°,OE=OF=EF.又因?yàn)锽O,C。分別

平分NA8C,ZACB,所以NABO=NO8E,ZACO=ZOCF.所以0E〃A8,OF//AC,根據(jù)兩直線平

行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得到/480=/80E,/ACO=NCOF,即/O8E=NBOE,NOCF=NCOF.根據(jù)

等角對等邊得OE=BE,OF=CF,所以BE=EF=FC.

【解答】證明：??.△ABC為等邊三角形，

.../A2C=N4C8=60°,

VOE//AB,OF//AC,

：.ZOEF=ZABC=60°,ZOFE=ZACF=60°,

：./OEF=/OFE,

:.NEOF=60°,

.?.△OE尸為等邊三角形，

；.OE=OF=EF,

'：BO,CO分別平分/ABC,ZACB,

ZABO=NOBE,NACO=ZOCF,

\'OE//AB,OF//AC,

：.ZABO=ZBOE,ZACO=ZCOF,

：.ZOBE=ZBOE,ZOCF=ZCOF,

：.OE=BE,OF=