2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個專題 524個題型專題67 兩條平行直線間距離-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練（解析版）

專題67兩條平行直線間距離題型一求平行線間的距離1．若直線與直線平行，則它們之間的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】直線與直線平行，則，且，求得，兩直線即為直線與直線，它們之間的距離為，故選：C．2．兩條平行線l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0間的距離等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】l1的方程可化為9x＋12y－6＝0，又l2：9x＋12y－10＝0，所以，由平行線間的距離公式得，兩條平行線間的距離d＝＝.故選：C.3．已知直線，．（Ⅰ）若，求，間的距離；（Ⅱ）求證：直線必過第三象限．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.【解析】（Ⅰ）若，直線，，則有，求得，故直線即：，故，間的距離為．（Ⅱ）證明：直線，即，必經(jīng)過直線和直線的交點(diǎn)，而點(diǎn)在第三象限，直線必過第三象限．4．如圖，已知直線與直線，在上任取一點(diǎn)A，在上任取一點(diǎn)B，連接AB，取AB的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)C，過點(diǎn)C作的平行線，求與間的距離．【答案】【解析】過A做于D，交于E，如圖所示：因為，且由題意得，所以，所以，又直線與間的距離，所以求與間的距離.題型二由距離求已知直線的平行線5．若直線x＋3y－9＝0與直線x＋3y－c＝0的距離為，則c的值為（）A．－1 B．19C．－1或19 D．1或－19【答案】C【解析】由兩平行線間的距離公式得，d＝＝，所以|c－9|＝10，得c＝－1或c＝19．故選：C.6．若平面內(nèi)兩條平行線：，：間的距離為，則實數(shù)（）A． B．或 C． D．或【答案】C【解析】∵，∴，解得或當(dāng)時，當(dāng)時故選：C7．已知直線l1與l2：x＋y－1＝0平行，且l1與l2的距離為，則l1的方程為________．【答案】x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0【解析】設(shè)l1的方程為x＋y＋C＝0(C≠－1)，由題意得＝，得C＝1或C＝－3，故所求的直線方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.故答案為：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0題型三求關(guān)于平行直線對稱的直線8．若動點(diǎn)A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為()A．3 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】依題意知AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距離都相等的直線，則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離．設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，根據(jù)平行線間的距離公式得所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得M到原點(diǎn)的距離的最小值為.故選：A.9．如圖，矩形中邊與軸重合，，.從原點(diǎn)射出的光線經(jīng)反射到上，再經(jīng)反射到上點(diǎn)處.①若的斜率為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為__________；②若點(diǎn)恰為線段中點(diǎn)，則的斜率為__________．【答案】【解析】設(shè)直線的斜率為，的坐標(biāo)為,直線的斜率為，故直線的方程，與直線的交點(diǎn)為，故的坐標(biāo)為，直線的斜率為，直線的方程為，故坐標(biāo)為．若的斜率為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；若點(diǎn)恰為線段中點(diǎn)，則的斜率為．10．已知直線與.（1）若、兩點(diǎn)分別在直線、上運(yùn)動，求的中點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離；（2）若，直線過點(diǎn)，且被直線、截得的線段長為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）因為、兩點(diǎn)分別在直線、上運(yùn)動，所以的中點(diǎn)的軌跡為與、平行且在它們中間的直線，設(shè)其方程為，、與y軸的交點(diǎn)分別為、，兩點(diǎn)的中點(diǎn)為，且中點(diǎn)在直線，所以，所以，的中點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離即為原點(diǎn)到直線的距離，為.（2）過點(diǎn)且與x軸垂直的直線方程為，與、的交點(diǎn)為和，兩點(diǎn)之間的距離為不符合題意，所以設(shè)的斜率為，直線方程為，由直線與即，交點(diǎn)為為，由直線與即，交點(diǎn)為所以兩交點(diǎn)之間的距離為，解得，或，所求直線方程為，或，即或.題型四求直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線11．已知直線與關(guān)于點(diǎn)對稱，則______.【答案】【解析】在直線上取點(diǎn)，，M，N關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)分別為.點(diǎn)在直線上，，解得，.故答案為：12．直線關(guān)于點(diǎn)A(1,2)的對稱直線方程為_________________【答案】【解析】解：在所求直線上取點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)A(1,2)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，

代入直線，可得

即.

故答案為：.3．已知直線l：x＋2y－2＝0.（1）求直線l1：y＝x－2關(guān)于直線l對稱的直線l2的方程；（2）求直線l關(guān)于點(diǎn)A(1,1)對稱的直線方程．【答案】（1）7x－y－14＝0；（2）x＋2y－4＝0.【解析】（1）由解得交點(diǎn)P(2,0)．在l1上取點(diǎn)M(0，－2)，M關(guān)于l的對稱點(diǎn)設(shè)為N(a，b)，則,解得，所以，又直線l2過點(diǎn)P(2,0)，所以直線l2的方程為7x－y－14＝0.（2）直線l關(guān)于點(diǎn)A(1,1)對稱的直線和直線l平行，所以設(shè)所求的直線方程為x＋2y＋m＝0.在l上取點(diǎn)B(0,1)，則點(diǎn)B(0,1)關(guān)于點(diǎn)A(1,1)的對稱點(diǎn)C(2,1)必在所求的直線上，所以,所以m＝－4，即所求的直線方程為x＋2y－4＝0.12．已知直線，點(diǎn).求：(1)直線關(guān)于直線的對稱直線的方程；(2)直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】解：（1)在直線上取一點(diǎn)，則關(guān)于直線的對稱點(diǎn)必在上.設(shè)對稱點(diǎn)為，則解得.設(shè)與的交點(diǎn)為,則由得.又∵經(jīng)過點(diǎn)，∴由兩點(diǎn)式得直線的方程為.(2)設(shè)為上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為.∵在直線上，∴，即.題型五將軍飲馬問題求最值13．已知兩點(diǎn)，，動點(diǎn)在直線上運(yùn)動，則的最小值為（）A． B． C．4 D．5【答案】B【解析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，則即為的最小值，且.故選：.14．已知直線，點(diǎn)，和分別是直線和軸上的點(diǎn)，求的周長最小值及此時點(diǎn)和的坐標(biāo).【答案】8；點(diǎn)，點(diǎn).【解析】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，，則由，且的中點(diǎn)在直線l上，即，解得點(diǎn)，；又點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，連接，分別交直線l與x軸于M，N，結(jié)合圖象可知，此時的周長最小，最小值為.過點(diǎn)，和的直線的斜率為，，化簡為，即直線的方程為，由，解得，由，解得，，綜上，的周長最小值為，此時點(diǎn)，點(diǎn).15．已知直線的方程為．（1）當(dāng)時，求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）證明：不論取何值，直線恒過第四象限．（3）當(dāng)時，求直線上的動點(diǎn)到定點(diǎn)，距離之和的最小值．【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.【解析】（1）當(dāng)時，直線的方程為，令，得；令，得，所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為．（2）證明：將直線的方程整理得，由，得，所以直線恒過點(diǎn)，所以不論取何值，直線恒過第四象限．（3）當(dāng)時，直線的方程為，定點(diǎn)，在直線的同一側(cè)，其中關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，所以動點(diǎn)到定點(diǎn)，距離之和為，所以當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，最小，此時．16．已知直線及兩點(diǎn)A(-2,3)、B(1,6),點(diǎn)P在直線上.(1)若點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】(1)因為點(diǎn)P在直線上,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)為.因為點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離相等,所以兩邊平方化簡得：,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為；(2)直線的斜率為2,所以過點(diǎn)B(1,6)與直線垂直的直線的斜率為,所以直線的直線方程為：,直線的交點(diǎn)C坐標(biāo)為：,設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線對稱的點(diǎn),因此有,由平面幾何的性質(zhì)可知：的最小值就是的長度,即.題型六直線關(guān)于直線對稱問題17．直線關(guān)于直線對稱的直線方程是A． B．C． D．【答案】A【解析】因為直線的斜率為1,故有,將其代入直線,即得：,整理即得,