2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題86 排列與組合（原卷版）-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練

專題86排列與組合類(lèi)型一、與排列數(shù)有關(guān)的運(yùn)算例1．（2022·全國(guó)·高二）若，則（

）A． B． C． D．例2．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）可以表示為(

)．A． B． C． D．例3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）a∈N*，且a<27，則(27－a)(28－a)…(34－a)等于（

）A． B．C． D．類(lèi)型二、組合概念及組合數(shù)公式例4．（2022·安徽宿州·高二期末）若，則n的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10例5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）等于（

）A． B．101 C． D．6例6．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）計(jì)算＋＋＋＋的值為（

）A． B．C．－1 D．－1類(lèi)型三、排列的定義及其理解例7．（2022·全國(guó)·高二）3張卡片的正、反兩面分別寫(xiě)有數(shù)字1，2；3，4；5，6．將這3張卡片排成一排，可構(gòu)成多少個(gè)不同的三位數(shù)？例8．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)3面小旗（3面小旗都要用）豎掛在繩上表示信號(hào)，不同的順序表示不同的信號(hào)，試寫(xiě)出所有的信號(hào)．例9．（2022·全國(guó)·高二）從語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理4本書(shū)中任意取出3本分給甲、乙、丙三人，每人一本，試將所有不同的分法列舉出來(lái)．類(lèi)型四、組合的定義及其理解例10．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，并求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù).（1）10個(gè)人相互寫(xiě)一封信，一共寫(xiě)了多少封信？（2）10個(gè)人相互通一次電話，一共通了多少次電話？（3）10支球隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽(每?jī)申?duì)比賽一次)，這次比賽需要進(jìn)行多少場(chǎng)？（4）從10個(gè)人中選3人去開(kāi)會(huì)，有多少種選法？（5）從10個(gè)人中選出3人擔(dān)任不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？例11．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出從A，B，C，D，E5個(gè)元素中，依次取3個(gè)元素的所有組合.例12．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列問(wèn)題：（1）從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成一件工作，有多少種不同的選法？（2）從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法？（3）a，b，c，d四支足球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需賽多少場(chǎng)？（4）a，b，c，d四支足球隊(duì)爭(zhēng)奪冠亞軍，有多少種不同的結(jié)果？（5）某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，不同的結(jié)果有多少種？（6）某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍中恰有3槍連中，不同的結(jié)果有多少種？在上述問(wèn)題中，哪些是組合問(wèn)題？哪些是排列問(wèn)題？類(lèi)型五、位置分析法例13．（2022·吉林·東北師大附中高二期末）甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（

）A．24種 B．6種 C．4種 D．12種例14．（2022·河南濮陽(yáng)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））某班開(kāi)展“學(xué)黨史，感黨恩”演講活動(dòng)，安排四個(gè)演講小組在班會(huì)上按次序演講，則A組不是第一個(gè)演講的方法數(shù)為（

）A．13 B．14 C．15 D．18例15．（2021·全國(guó)·綿陽(yáng)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））某校為慶祝建黨一百周年，要安排一場(chǎng)共11個(gè)節(jié)目的文藝晚會(huì)，除第1個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目已經(jīng)確定外，3個(gè)音樂(lè)節(jié)目要求排在2，6，9的位置，3個(gè)舞蹈節(jié)目必須相鄰，3個(gè)曲藝節(jié)目沒(méi)有要求，共有不同的演出順序（

）種A．144 B．192 C．216 D．324類(lèi)型六、相鄰問(wèn)題捆綁法例16．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）3個(gè)學(xué)生和3個(gè)老師共6個(gè)人站成一排照相，有且僅有兩個(gè)老師相鄰，則不同站法的種數(shù)是_______（結(jié)果用數(shù)字表示）．例17．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）春節(jié)文藝匯演中需要將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)節(jié)目進(jìn)行排序，若A，B兩個(gè)節(jié)目必須相鄰，且都不能排在3號(hào)位置，則不同的排序方式有__________種．例18．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的排法有______種.類(lèi)型七、不相鄰問(wèn)題插空法例19．（2022·遼寧丹東·高二期末）用1，2，3，4排成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，其中1和2不能相鄰的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________（用數(shù)字作答）.例20．（2022·全國(guó)·高二）新年音樂(lè)會(huì)安排了2個(gè)唱歌?3個(gè)樂(lè)器和2個(gè)舞蹈共7個(gè)節(jié)目，則2個(gè)唱歌節(jié)目不相鄰的節(jié)目單共有___________種.（用數(shù)字表示）例21．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）電視臺(tái)在電視劇開(kāi)播前連續(xù)播放6個(gè)不同的廣告，其中4個(gè)商業(yè)廣告，2個(gè)公益廣告，現(xiàn)要求2個(gè)公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有______種．（用排列數(shù)回答）類(lèi)型八、定序問(wèn)題例22．（2021·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高二期末）共五人站成一排，如果必須站在的右邊，那么不同的排法有___________種.例23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）7人排隊(duì)，其中甲、乙、丙3人順序一定，共有__不同的排法.例24．（2021·福建省寧德市教師進(jìn)修學(xué)院高二期末）6位同學(xué)站成一排，要求甲乙丙站在一起且乙必須在甲和丙中間，則不同排法有______種．（用數(shù)字作答）類(lèi)型九、分組分配問(wèn)題例25．（2022·山東淄博·一模）甲、乙、丙家公司承包了項(xiàng)工程，每家公司承包項(xiàng)，則不同的承包方案有______種．例26．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）北京冬奧會(huì)于2022年2月4日開(kāi)幕，北京某大學(xué)5名同學(xué)報(bào)名到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，每個(gè)場(chǎng)館至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有______種（用數(shù)字作答）.例27．（2022·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））為了做好新冠肺炎疫情常態(tài)化防控工作，推進(jìn)疫苗接種進(jìn)度，降低新冠肺炎感染風(fēng)險(xiǎn)，某醫(yī)院準(zhǔn)備將2名醫(yī)生和6名護(hù)士分配到2所學(xué)校，設(shè)立疫苗接種點(diǎn)，免費(fèi)給學(xué)校老師和學(xué)生接種新冠疫苗，若每所學(xué)校分配1名醫(yī)生和3名護(hù)士，則不同的分配方法共有______種.類(lèi)型十、隔板法例28．（2021·廣東中山·模擬預(yù)測(cè)）某市舉行高三數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有6個(gè)參賽名額分給甲乙丙三所學(xué)校，每所學(xué)校至少分得一個(gè)名額，共有______種不同的分配方法.（用數(shù)字作答）例29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）方程的非負(fù)整數(shù)解共有___________組．例30．（2010·江蘇啟東·高二期中（理））6個(gè)相同的小球放入標(biāo)號(hào)為1、2、3的3個(gè)小盒子中，要求每個(gè)盒子都不空，共有方法總數(shù)為_(kāi)____．類(lèi)型十一、先選后排例31．（2021·江蘇·泰州中學(xué)高二階段練習(xí)）某次燈謎大會(huì)共設(shè)置6個(gè)不同的謎題，分別藏在如圖所示的6只燈籠里，每只燈籠里僅放一個(gè)謎題.并規(guī)定一名參與者每次只能取其中一串最下面的一只燈籠并解答里面的謎題，直到答完全部6個(gè)謎題，則一名參與者一共有___________種不同的答題順序.例32．（2021·江西·浮梁縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））標(biāo)號(hào)為0到9的10瓶礦泉水．（1）從中取4瓶，恰有2瓶上的數(shù)字相鄰的取法有多少種？（2）把10個(gè)空礦泉水瓶掛成如下4列的形式，作為射擊的靶子，規(guī)定每次只能射擊每列最下面的一個(gè)（射中后這個(gè)空瓶會(huì)掉到地下），把10個(gè)礦泉水瓶全部擊中有幾種不同的射擊方案？（3）把擊中后的礦泉水瓶分送給A、B、C三名垃圾回收入員，每個(gè)瓶子1角錢(qián)．垃圾回收入員賣(mài)掉瓶子后有幾種不同的收入結(jié)果？類(lèi)型十二、分堆問(wèn)題例33．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知有6本不同的書(shū).（1）分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？（3）分給甲?乙?丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少種不同的分配方法？例34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有大小相同的只球，其中只不同的紅球，只不同的白球，只不同的黑球．（1）將這只球排成一列且相同顏色的球必須排在一起，有多少種排列的方法?（請(qǐng)用數(shù)字作答）（2）將這只球分成三堆，三堆的球數(shù)分別為：，共有多少種分堆的方法?（請(qǐng)用數(shù)字作答）（3）現(xiàn)取只球，求各種顏色的球都必須取到的概率．（請(qǐng)用數(shù)字作答）類(lèi)型十三、間接法例35．（2020·海南·三亞華僑學(xué)校高二階段練習(xí)）從5名男生和4名女生中選出4人去參加座談會(huì)，問(wèn)：（1）如果4人中男生和女生各選2人，有多少種選法？（2）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有多少種選法？例36．（2021·江蘇·連云港市贛馬高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）現(xiàn)有9名學(xué)生，其中女生4名，男生5名.（1）從中選2名代表，必須有女生的不同選法有多少種？（2）從中選出男、女各2名的不同選法有多少種？（3）從中選4人分別擔(dān)任四個(gè)不同崗位的志愿者，每個(gè)崗位一人，且男生中的甲與女生中的乙至少有1人在內(nèi)，有多少種安排方法？例37．（2021·河北·河間市第十四中學(xué)高二期中）現(xiàn)有男選手名，女選手名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各名.選派人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？（結(jié)果用數(shù)字表示）（1）男選手名，女選手名；（2）至少有名男選手；（3）既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有男選手.類(lèi)型十四、多面手問(wèn)題例38．（2015·陜西寶雞·高二期末）某出版社的11名工人中，有5人只會(huì)排版，4人只會(huì)印刷，還有2人既會(huì)排版又會(huì)印刷，現(xiàn)從11人中選4人排版，4人印刷，有多少種不同的選法？例39．（2019·江西·宜春九中高二期中（理））（1）把本不同的書(shū)分給位學(xué)生，每人至少一本，有多少種方法？（2）由這個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)由多少個(gè)？（3）某旅行社有導(dǎo)游人，其中人只會(huì)英語(yǔ)，人只會(huì)日語(yǔ)，其余人既會(huì)英語(yǔ)，也會(huì)日語(yǔ)，現(xiàn)從中選人，其中人進(jìn)行英語(yǔ)導(dǎo)游，另外人進(jìn)行日語(yǔ)導(dǎo)游，則不同的選擇方法有多少種？類(lèi)型十五、幾何問(wèn)題例40．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）(1)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？(2)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？例41．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）1.如圖，已知圖形ABCDEF，內(nèi)部連有線段.（用數(shù)字作答）(1)由點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)E的最近路線有多少條？(2)由點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)C的最近路線有多少條？(3)求出圖中總計(jì)有多少個(gè)矩形？例42．（2021·河北·魏縣第六中學(xué)高二階段練習(xí)）已知平面α∥平面β，在α內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)，在β內(nèi)有6個(gè)點(diǎn)．（1）過(guò)這10個(gè)點(diǎn)中的3點(diǎn)作一平面，最多可作多少個(gè)不同的平面？（2）以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，最多可作多少個(gè)三棱錐？（3）（2）中的三棱錐最多可以有多少個(gè)不同體積？【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，重溫黨的光輝歷程，歌頌黨的偉大成就，繼承和發(fā)揚(yáng)黨的優(yōu)良革命傳統(tǒng)，充分展現(xiàn)當(dāng)代中學(xué)生愛(ài)黨?愛(ài)國(guó)?愛(ài)社會(huì)主義的深厚情懷，我校計(jì)劃舉辦2021年“荔枝杯”中學(xué)生演講比賽，要求從5名男生，2名女生中隨機(jī)選出4人進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)比賽，且至少要選1名女生，如果2名女生同時(shí)被選中，她們的演講順序不能相鄰，那么不同的演講順序共有（

）A．120種 B．480種 C．600種 D．720種2．（2022·遼寧·瓦房店市高級(jí)中學(xué)高二期末）某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個(gè)不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（

）種A．9 B．36 C．54 D．1083．（2022·陜西榆林·一模（理））已知某班英語(yǔ)興趣小組有4名男生和3名女生，從中任選2人參加該校組織的英語(yǔ)演講比賽，則恰有1名女生被選到的概率是（

）A． B． C． D．4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩名同學(xué)從生物、地理、政治、化學(xué)中各選兩門(mén)進(jìn)行學(xué)習(xí)，若甲、乙不能同時(shí)選生物，則甲、乙總的選法種數(shù)有（

）A． B． C． D．5．（2022·北京·101中學(xué)高二期末）從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，其中不在軸上的點(diǎn)有（

）A．36個(gè) B．30個(gè) C．25個(gè) D．20個(gè)6．（2022·北京八中高二期末）為迎接第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名學(xué)生擔(dān)任冰球、冰壺和短道速滑三個(gè)項(xiàng)目的志愿者，每個(gè)比賽項(xiàng)目至少安排1人，每人只能安排到1個(gè)項(xiàng)目，則所有排法的總數(shù)為（

）A．60 B．120 C．150 D．2407．（2022·山東濰坊·高三期末）如圖，某類(lèi)共享單車(chē)密碼鎖的密碼是由4位數(shù)字組成，所有密碼中，恰有三個(gè)重復(fù)數(shù)字的密碼個(gè)數(shù)為（

）A．90 B．324 C．360 D．4008．（2022·遼寧沈陽(yáng)·高二期末）有6本不同的書(shū)，按下列方式進(jìn)行分配，其中分配種數(shù)正確的是（

）A．分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B．分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C．分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D．分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；二、多選題9．（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)高二期末）在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，則下列結(jié)論正確的有（

）A．抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種B．抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種10．（2022·福建漳州·高二期末）為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某校計(jì)劃在社會(huì)實(shí)踐中開(kāi)設(shè)“禮”、“樂(lè)”、“射”、“御”、“書(shū)”、“數(shù)”六門(mén)體驗(yàn)課程，每天開(kāi)設(shè)一門(mén)，連續(xù)開(kāi)設(shè)6天，則下列結(jié)論正確的是（

）A．從六門(mén)課程中選兩門(mén)的不同選法共有20種B．課程“數(shù)”不排在最后一天的不同排法共有600種C．課程“禮”、“書(shū)”排在相鄰兩天的不同排法共有240種D．課程“樂(lè)”、“射”、“御”排在都不相鄰的三天的不同排法共有72種11．（2022·福建寧德·高二期末）使不等式成立的n的取值可以是（

）A．3 B．4 C．5 D．612．（2022·全國(guó)·高二）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2022·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)（理））在2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)城市志愿者的招募項(xiàng)目中，有一個(gè)“國(guó)際服務(wù)”項(xiàng)目截止到2022年1月25日還有8個(gè)名額空缺，需要分配給3個(gè)單位，則每個(gè)單位至少一個(gè)名額且各單位名額互不相同的分配方法種數(shù)是_____________.14．（2022·北京八中高三開(kāi)學(xué)考試）某個(gè)密室逃脫游戲的一個(gè)環(huán)節(jié)是要打開(kāi)一個(gè)密碼箱，已知該密碼箱的密碼由四個(gè)數(shù)字組成（每格都可以出現(xiàn)0~9十個(gè)數(shù)字），且從之前的游戲環(huán)節(jié)得知，該密碼的四個(gè)數(shù)字互不相同，且前兩個(gè)數(shù)字均大于6，最后兩個(gè)數(shù)字均小于5.該密碼的可能的情況數(shù)為_(kāi)_____（請(qǐng)用數(shù)字作答）.15．（2022·福建龍巖·高二期末）已知，則正整數(shù)___________.16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們想把9張寫(xiě)著1~9的卡片放入三個(gè)不同盒子中，滿足每個(gè)盒子中都有3張卡片，且存在兩個(gè)盒子中卡片的數(shù)字之和相等，則不同的放法有___________種.四、解答題17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某城市由條東西方向的街道和條南北方向的街道組成一個(gè)矩形街道網(wǎng)，要從處走到處，使所走的路