2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）專題23 圖形的相似與位似【十四大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題23圖形的相似與位似【十四大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用比例的性質(zhì)求值】 4【題型2黃金分割】 4【題型3由平行線分線段成比例判斷式子正誤】 5【題型4平行線分線段成比例（A型）】 6【題型5平行線分線段成比例（X型）】 8【題型6平行線分線段成比例與三角形中位線綜合】 9【題型7平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線】 10【題型8平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線】 11【題型9相似多邊形的性質(zhì)】 12【題型10畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形】 14【題型11求位似圖形的坐標(biāo)】 16【題型12求位似圖形的線段長度】 17【題型13求位似圖形的周長】 18【題型14求位似圖形的面積】 19【知識點(diǎn)圖形的相似與位似】1.比例線段的概念與性質(zhì)線段的比的定義：兩條線段的比是兩條線段的長度之比．比例線段的定義：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度的比)與另兩條線段的比相等，如ab=cd（即ad=bc），我們就說這四段線段是成比例線段，簡稱比例線段.其中a、b、c、d叫組成比例的項(xiàng)；a、d叫比的外項(xiàng)，【補(bǔ)充】當(dāng)比的內(nèi)項(xiàng)相等時(shí)，即ab=bd或a：b=b：d，線段b叫做線段a【解題思路】1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；2）成比例的線段是有順序的，比如：a、b、c、d是成比例的線段，則成比例線段只能寫成ab=cd（即：比例的性質(zhì)：1）基本性質(zhì)：ab=2）變形：ab=c3）合、分比性質(zhì)：a【補(bǔ)充】實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：a4）等比性質(zhì)：如果ab=cd=【補(bǔ)充】根據(jù)等比的性質(zhì)可推出，如果ab=c5）黃金分割：點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果ACAB=BCAC,那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC【注意】1）AC=5-12AB≈0.648AB(52）一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).【擴(kuò)展】作一條線段的黃金分割點(diǎn)：如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：①經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=12②連接AD，在DA上截取DE=DB.③在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).6）平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應(yīng)線段成比例.①已知l3∥l4∥l5,可得ABBC①把平行線分線段成比例的定理運(yùn)用到三角形中，會出現(xiàn)下面的兩種情況：

推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例．2.相似多邊形的性質(zhì)：1）相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.2)相似多邊形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方.3.位似圖形位似圖形的定義:如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,且對應(yīng)點(diǎn)連線相交于一點(diǎn),對應(yīng)線段相互平行,那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,位似圖形對應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)是位似中心.常見的位似圖形：畫位似圖形的方法：兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的同側(cè).（即畫位似圖形時(shí)，注意關(guān)于某點(diǎn)的位似圖形有兩個(gè).）判斷位似圖形的方法：首先看這兩個(gè)圖形是否相似，再看對應(yīng)點(diǎn)的連線是否經(jīng)過位似中心.位似圖形的性質(zhì)：1)位似圖形的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線所在直線相交與一點(diǎn)；2）位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或者共線.3)位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.4)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k.畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心,找原圖形的關(guān)鍵點(diǎn).2）確定位似比.3）以位似中心為端點(diǎn)向各關(guān)鍵點(diǎn)作射線.【題型1利用比例的性質(zhì)求值】【例1】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級上冊“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個(gè)逐步特殊化的過程，請?jiān)跈M線上填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過程．圖中橫線處應(yīng)填

【答案】2【變式1-1】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）若xy=2，則x【變式1-2】（2023·湖南岳陽·校考一模）已知x2=y3=z5【變式1-3】（2023·浙江·模擬預(yù)測）用“▲”，“●”，“◆”分別表示三種物體的重量，若▲●=●-◆▲=◆●A．2:3:4 B．2:4:3 C．3:4:5 D．3:5:4【題型2黃金分割】【例2】（2023·廣東云浮·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，以點(diǎn)B為圓心任意長為半徑畫弧，分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)A．5-1 B．3-5 C．5【變式2-1】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP，那么下列等式能成立的是（A．ABAP=APC．APBP=5【變式2-2】（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，樂器上的一根弦AB=80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A,B固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，【變式2-3】（2023·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)O為圓心，點(diǎn)C是弧上的一點(diǎn)，沿CB為折痕折疊BC交AB于點(diǎn)M，連接CM，若點(diǎn)M為AB的黃金分割點(diǎn)（BM>AM），則

A．5-12 B．5+12 C【題型3由平行線分線段成比例判斷式子正誤】【例3】（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于12AC的長為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)，作直線PQ交AB，AC于點(diǎn)D，E

A．直線PQ是AC的垂直平分線 B．CDC．DE=12【變式3-1】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊的中點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，BF=2FC，連接AF

A．ANAF=12 B．DNDE=【變式3-2】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連接BE，DF∥BE交AC于點(diǎn)F

A．ADBD=AEEC B．AFAE=【變式3-3】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AD、CD邊上的點(diǎn)，連接BE、AF，它們相交于點(diǎn)G，延長BE交CD的延長線于點(diǎn)H，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．AEED=BEEH B．EHEB=【題型4平行線分線段成比例（A型）】【例4】（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F

A．165 B．167 C．2 D【變式4-1】（2023·遼寧沈陽·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，連接DE，DE∥BC，AE

A．1.5 B．2 C．3 D．2【變式4-2】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，某一時(shí)刻太陽光從窗戶射入房間內(nèi)，與地面的夾角∠DPC=30°，已知窗戶的高度AF=2m，窗外水平遮陽篷的寬AD=0.8m，則灑在地面上光線EP的寬度為

【變式4-3】（2023·全國·一模）剪紙是中國的傳統(tǒng)文化之一．如圖1，將長為12cm，寬為5cm的矩形紙片剪成4張小紙片、分別記為“①，②，③，④”．若這四張小紙片恰好能拼成如圖2所示的矩形，則在“小紙片①”中，較長直角邊=cm．

【題型5平行線分線段成比例（X型）】【例5】（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）如圖，F(xiàn)是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，射線BF交AD的延長線于點(diǎn)E，已知DE=2BC=4，CD=6，求A．22 B．3 C．13 D．【變式5-1】（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，F(xiàn)D

【變式5-2】（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC的反向延長線上，且DE∥BC．若AE【變式5-3】（2023·重慶渝中·統(tǒng)考一模）已知?ABCD，點(diǎn)E是BA延長線上一點(diǎn)，CE與AD，BD分別相交于點(diǎn)G，F(xiàn)．求證：C

【題型6平行線分線段成比例與三角形中位線綜合】【例6】（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）如圖，G為△ABC的重心，AG=12，則AD=．【變式6-1】（2023·湖南湘潭·模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，OE∥AB交AD于點(diǎn)E．若OA=2，△AOE周長為A．16 B．32 C．36 D．40【變式6-2】（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┤鐖D，在?ABCD中，AB=5，BC=8.E是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是?ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BFC=90°.連接AF并延長，交CD于點(diǎn)GA．52 B．32 C．3 D【變式6-3】（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，按如下步驟作圖：①連接AC，BD相交于A點(diǎn)O；②分別以點(diǎn)B，C為圓心、大于12BC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E；③連接OE交BC于點(diǎn)F；④連接AF交BO于點(diǎn)G．若AD=4

A．1 B．2 C．43 D．【題型7平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線】【例7】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）△ABC中，∠BAC=90°，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，CE=2，CA=5，AD=4，BD

【變式7-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，BE的延長線交AC邊于點(diǎn)F，若AE：ED＝1：3，

【變式7-2】（2023·安徽宿州·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，CG平分∠ACB，過點(diǎn)A作AH⊥CG交BC于點(diǎn)H，且H是BC的中點(diǎn)．若AH=4，CG

【變式7-3】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校校考三模）如圖，在△ABC中，AB=9，∠B=2∠C，AD⊥BC，AE

【題型8平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線】【例8】（2023·浙江·一模）如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，EF垂直AB交AB延長線于點(diǎn)F，若BGCG=13，EF=2

A．35 B．1455 C．5【變式8-1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十九中學(xué)校?？家荒＃┰凇鰽BC中，∠ABC=45°，AK⊥BC于點(diǎn)K，點(diǎn)M在AK上，CK=KM，tan∠KAC=34，N【變式8-2】（2023·河南商丘·校考二模）如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，AC=5，AB=12，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°0°<α°<90°，得到△DEC，點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，射線ED分別交【變式8-3】（2023·黑龍江綏化·?？寄M預(yù)測）如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且PA=PB=PC，∠ABC=45°，點(diǎn)D在AC上，連接DP并延長交BC于點(diǎn)E，若CD=3

【題型9相似多邊形的性質(zhì)】【例9】（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形的頂點(diǎn)在方格紙的格點(diǎn)上，下列方格紙中的四邊形與已知四邊形相似的是（

）A． B． C．D．【變式9-1】（2023·浙江寧波·校聯(lián)考三模）如圖，?ABCD∽?EFGH，AB∥EF，記四邊形ABFE、四邊形BCGF、四邊形CDHG、四邊形DAEH的面積分別S1，S2，S3，S4，若已知?ABCD和?EFGH的面積，則不用測量就可知的區(qū)域的面積為（）A．S1﹣S2 B．S1+S3 C．S4﹣S2 D．S3+S4【變式9-2】（2023·河北衡水·統(tǒng)考一模）在研究相似問題時(shí)，甲、乙兩同學(xué)的觀點(diǎn)如下：甲：將邊長為4的菱形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，它們的對應(yīng)邊間距為1，則新菱形與原菱形相似．乙：將邊長為4的菱形按圖2方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，每條對角線向其延長線兩個(gè)方向各延伸1，則新菱形與原菱形相似；對于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是（

）．A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對【變式9-3】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）對于題目：“在長為6，寬為2的矩形內(nèi)，分別剪下兩個(gè)小矩形，使得剪下的兩個(gè)矩形均與原矩形相似，請?jiān)O(shè)計(jì)剪下的兩個(gè)矩形周長和為最大值時(shí)的方案，并求出這個(gè)最大值．”甲、乙兩個(gè)同學(xué)設(shè)計(jì)了自認(rèn)為滿足條件的方案，并求出了周長和的最大值．甲方案：如圖1所示，最大值為16；乙方案：如圖2所示，最大值為16．下列選項(xiàng)中說法正確的是（

）A．甲方案正確，周長和的最大值錯(cuò)誤B．乙方案錯(cuò)誤，周長和的最大值正確C．甲、乙方案均正確，周長和的最大值正確D．甲、乙方案均錯(cuò)誤，周長和的最大值錯(cuò)誤【題型10畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形】【例10】（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上，點(diǎn)B的坐標(biāo)(-2

(1)以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC按2:1放大在y軸的左側(cè)，畫出放大后的△(2)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是；(3)S△ABO:【變式10-1】（2023·廣西防城港·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小正方格的邊長都是1個(gè)單位長度，已知\△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A

(1)畫出△ABC沿著x軸向右平移5個(gè)單位長度得到的△(2)以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來的12，請?jiān)谖凰浦行耐瑐?cè)畫出縮小后的(3)直接寫出線段C1【變式10-2】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為-4,3，-3,-1(1)以點(diǎn)O為對稱中心，畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的圖形△A1B1C1（其中A與A1，(2)以點(diǎn)D-2,1為位似中心，將△ABC放大2倍得到△A2B2C2（其中A與A2，【變式10-3】（2023·廣西桂林·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A-1,2，B(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△(2)以點(diǎn)B為位似中心，在點(diǎn)B的下方畫出△A2B2C2，使(3)直接寫出點(diǎn)A1，C【題型11求位似圖形的坐標(biāo)】【例11】（2023·山東日照·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B坐標(biāo)為-2，0，點(diǎn)C坐標(biāo)為-1，0，以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C．若點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A

A．3,-2 B．-2,32 C．-【變式11-1】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A1,2,B2,1,C3,2，現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與

A．2,4 B．4,2 C．6,4 D．5,4【變式11-2】（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABO的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A2,6，B3,1，O0,0，以點(diǎn)O為位似中心，將△ABO縮小為原來的13，得到

【變式11-3】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）如圖，以點(diǎn)C(0,1)為位似中心，將△ABC按相似比1:2縮小，得到△DEC，則點(diǎn)A(2,-1)的對應(yīng)點(diǎn)

【題型12求位似圖形的線段長度】【例12】（2023·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEF是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若A-2，0，D3A．22 B．32 C．42【變式12-1】（2023·河南周口·校聯(lián)考二模）如圖，在Rt△ABO中，∠B=90°，AB=2，BO=23，以點(diǎn)O為位似中心，將△AOB縮小為原圖形的

A．2 B．3 C．2.5 D．3.5【變式12-2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A2,2，B4,2，C4,4，以原點(diǎn)為位似中心，在原點(diǎn)的異側(cè)畫△DEF，使△DEF與△ABCA．2 B．2 C．22 D．【變式12-3】（2023上·吉林長春·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)為O0，0，A4，3，B3，【題型13求位似圖形的周長】【例13】（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖