內蒙古和林格爾縣2023年數(shù)學九年級上冊期末綜合測試模擬試題含解析

內蒙古和林格爾縣2023年數(shù)學九上期末綜合測試模擬試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.如圖，。。是AABC的外接圓，ZBCO=20,則NA的度數(shù)為（）

2.4的平方根是（）

1

A.2B.-2C.±2D.+—

2

3.如圖，已知NAQB.按照以下步驟作圖：①以點。為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，分別交NA03的兩邊于C,

O兩點，連接CO.②分別以點C,。為圓心，以大于線段OC的長為半徑作弧，兩弧在NAO8內交于點￡,連接

CE,DE.③連接OE交CO于點下列結論中錯誤的是（）

C.ZOCD^ZECDD.S四邊形0cED=；CDOE

4.如圖，正方形OABC繞著點O逆時針旋轉40。得到正方形ODEF,連接AF,則NOFA的度數(shù)是（）.

5.如圖，。。的弦與直徑交于點P,PB=lcm,AP=5cm,NAPC=30。，則弦CO的長為（）

A.4cmB.5cmC.2^/2cmD.4>/2cm

6.如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c(a#0)的對稱軸為直線x=L與y軸的一個交點坐標為(0,3),其部分圖象如圖所

示，下列5個結論中，其中正確的是()

①abc>0；②4a+c>0；③方程ax?+bx+c=3兩個根是西=0,x2=2；④方程ax2+bx+c=0有一個實數(shù)根大于2；⑤當x

<0,y隨x增大而增大

A.4B.3C.2D.1

7.若3x=2y(xy/)),則下列比例式成立的是()

8.如圖，直線曠=一1與反比例函數(shù)y=的圖象相交于A、8兩點，過A、B兩點分別作),軸的垂線，垂足分別

x

9.一個三角形的兩邊長分別為3和5,第三邊長是方程5x+6=0的根，則這個三角形的周長為()

A.1()B.11C.10或HD.不能確定

10.如圖，在△ABC中，若DE〃BC,AD=5,BD=10,DE=4,則BC的值為()

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.如圖,AABC是正三角形，D、E分別是BC、AC上的點，當/ADE=時，A4BD-ADCE.

12.若函數(shù)丁=（〃?一1）"""是二次函數(shù)，則〃？的值為.

13.如圖，直角梯形ABCD中，AD/7BC,AB±BC,AD=2,將腰CD以D為中心逆時針旋轉90。至DE,連接AE、

CE,AADE的面積為3,則BC的長為.

14.如圖，AB是的直徑，弦CD交AB于點尸，AP=2，BP=6,ZAPC=30°,則CD的長為

4

15.如圖，在菱形ABCD中，AE±BC,E為垂足，若cosB=）,EC=2,P是AB邊上的一個動點，則線段PE的長

度的最小值是.

16.如圖，在AABC中，N4=30。，N5=45。，BC=遙cm,則AB的長為

17.函數(shù)y=—3?一中的自變量x的取值范圍是.

X—1

18.如圖，NXOY=45。，一把直角三角尺aABC的兩個頂點A、B分另lj在OX,OY上移動，其中AB=10,那么點O

到頂點A的距離的最大值為.

三、解答題（共66分）

19.（10分）如圖所示是某一蓄水池每小時的排水量V（nP/h）與排完水池中的水所用的時間t（h）之間的函數(shù)關系

圖象.

（1）請你根據(jù)圖象提供的信息求出此蓄水池的總蓄水量；

（2）寫出此函數(shù)的解析式；

（3）若要6h排完水池中的水，那么每小時的排水量應該是多少？

20.（6分）如圖，在平行四邊形A8CD中，對角線AC,8。相交于點昆尸為AD的中點，連接CF交30于點G,

且EG=1.

（1）求的長；

(2)若S&CDC=2,求SgcG?

G

/\\

BC

21.(6分)如圖，已知二次函數(shù)y=——x-2的圖象與x軸，)'軸分別交于A,B,C三點，4在3的左側，請求

出以下幾個問題：

(1)求點A,8的坐標；

(2)求函數(shù)圖象的對稱軸；

(3)直接寫出函數(shù)值y<0時，自變量x的取值范圍.

22.(8分)已知：如圖，在平面直角坐標系中，△A8C是直角三角形，ZACB=90",點4,C的坐標分別為A(-

3

3,0),C(1,0),tanZBAC=-.

4

(1)寫出點5的坐標；

(2)在x軸上找一點。，連接8。，使得△AO8與△ABC相似(不包括全等)，并求點。的坐標；

(3)在(2)的條件下，如果點尸從點A出發(fā)，以2c,”/秒的速度沿A8向點B運動，同時點。從點O出發(fā)，以1c，”/

秒的速度沿OA向點A運動.當一個點停止運動時，另一個點也隨之停止運動.設運動時間為f.問是否存在這樣的f

使得△APQ與△408相似？如存在，請求出f的值；如不存在，請說明理由.

23.(8分)如圖，在/OAB中，NOAB=9(r.OA=AB=6.將/OAB繞點O逆時針方向旋轉90。得到/OAiBi

(1)線段AIBI的長是ZAOAi的度數(shù)是

（2）連結AAi,求證：四邊形OAAiBi是平行四邊形；

（3）求四邊形OAAiBi的面積.

24.（8分）已知關于X的一元二次方程》2一4%+租=0.

（1）若方程有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若方程的兩個實根為和無2，且滿足3、+2%=6,求實數(shù)〃?的值.

25.（10分）小紅想利用陽光下的影長測量學校旗桿AB的高度.如圖，她在地面上豎直立一根2米長的標桿CZ）,某

一時刻測得其影長OE=L2米，此時旗桿43在陽光下的投影8/=4.8米，ABLBD,CDLBD.請你根據(jù)相關信息，

求旗桿A8的高.

26.（10分）如圖，在AABC中，BA=BC=Ucm,AC=16cm,點P從A點出發(fā)，沿45以每秒3cm的速度向〃

點運動，同時點。從C點出發(fā)，沿CA以每秒4c〃?的速度向A點運動，設運動的時間為％秒.

（1）當x為何值時，AAPQ與ACQB相似?

（2）當《幽=；時，請直接寫出］跡的值.

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1、C

【分析】連接OB,根據(jù)等腰三角形的性質和圓周角定理即可得到結論.

【詳解】連接OB,

VOC=OB,ZBCO=20°,

.,.ZOBC=20°,

.,.ZBOC=180°-20°-20°=140°,

.\ZA=140°X-=70°,

2

故選：C.

【點睛】

本題考查了圓周角定理，要知道，同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半.

2,C

【分析】根據(jù)正數(shù)的平方根的求解方法求解即可求得答案.

【詳解】V(±1)'=4,

.??4的平方根是土1.

故選：C.

3、C

【分析】利用基本作圖得出是角平分線的作圖，進而解答即可.

【詳解】由作圖步驟可得：QE是NAOB的角平分線，

.??ZCOE=ZDOE,

VOC=OD,OE=OE,OM=OM,

/.△COE^ADOE,

，ZCEO=ZDEO,

VZCOE=ZDOE,OC=OD,

；.CM=DM,OMJLCD,

Saa?OCED=SACOE+SADOE=—OE*CMH—OE?DM=—CD?OE,

222

但不能得出ZOCD=NECD,

.?.A、B、D選項正確，不符合題意，C選項錯誤，符合題意，

故選c.

【點睛】

本題考查了作圖-基本作圖，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形的面積等，熟練掌握5種基本作

圖(作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知

直線的垂線)是解題的關鍵.

4、C

【分析】先根據(jù)正方形的性質和旋轉的性質得到NAOF的度數(shù)，OA=OF,再根據(jù)等腰三角形的性質即可求得NOFA

的度數(shù)

【詳解】?.?正方形OABC繞著點O逆時針旋轉40°得到正方形ODEF,

AZAOF=90°+40°=130°,OA=OF,

AZOFA=(180°-130°)4-2=25°.

故選C.

5、D

【分析】作OHJ_CD于H,連接OC,如圖，先計算出OB=3,OP=2,再在R3OPH中利用含30度的直角三角形

三邊的關系得到OH=L則可根據(jù)勾股定理計算出CH,然后根據(jù)垂徑定理得到CH=DH,從而得到CD的長.

【詳解】解：作OH_LCD于H,連接OC,如圖，

VPB=1,AP=5,

.,.OB=3,OP=2,

在RSOPH中，VZOPH=30o,

1

.?.OH=-OP=1,

2

在R3OCH中，CH=打一產(chǎn)=2血,

VOH±CD,

.?.CH=DH=2近，

/.CD=2CH=4V2.

故選：D.

【點睛】

本題考查了含30度角的直角三角形的性質、勾股定理以及垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的

兩條弧.

6、B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸位置、與x軸的交點坐標等知識，逐個判斷即可.

【詳解】拋物線開口向下，a<0,對稱軸為直線x=l>0,a、b異號，因此b>0,與y軸交點為（0,3）,因此c=3

>0,于是abcVO,故結論①是不正確的；

由對稱軸為直線x=-2=1得2a+b=0,當x=T時，y=a-b+cVO,所以a+2a+c<0,即3a+cV0,又aVO,

2a

4a+c<0,故結論②不正確；

當y=3時，x.=0,即過（0,3）,拋物線的對稱軸為直線x=L由對稱性可得，拋物線過（2,3）,因此方程ax?+

bx+c=3的有兩個根是xi=0,X2=2；故③正確；

拋物線與x軸的一個交點（X”0）,且TVxiVO,由對稱軸為直線x=L可得另一個交點（X2,0）,2<xz<3,因此

④是正確的；

根據(jù)圖象可得當xVO時，y隨x增大而增大，因此⑤是正確的；

正確的結論有3個，

故選：B.

【點睛】

考查二次函數(shù)的圖象和性質，掌握a、b、c的值決定拋物線的位置以及二次函數(shù)與一元二次方程的關系，是正確判斷

的前提.

7、A

【分析】根據(jù)兩內項之積等于兩外項之積對各選項分析判斷即可得解.

【詳解】A.由1=］得：3x=2y,故本選項比例式成立；

x2

B.由；=一得：xj=6,故本選項比例式不成立；

3y

x3

C.由一=彳得：2x=3j,故本選項比例式不成立；

y2

D.由;得：2x=3y,故本選項比例式不成立.

故選A.

【點睛】

本題考查了比例的性質，主要利用了兩內項之積等于兩外項之積，熟記性質是解題的關鍵.

8、C

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積s的關系

即S='|k|,得出SAAOC=SAODB=3,再根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可知：OC=OD,AC=BD,即可求出四邊形ACBD的面

2

積.

【詳解】解：???過函數(shù)》=-的圖象上A,B兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為點C,D,

X

?0?SAAOC=SAODB=~|k|=3,

XVOC=OD,AC=BD,

??SAAOC=SAODA=SAODB=SAOBC=3,

四邊形ABCD的面積為"SAAOC+SAODA+SAODB+SAOBC=4X3=L

故選C.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，一般的，從反比例函數(shù)y=Aa為常數(shù)，厚O)圖象上任一點P,向X

X

軸和y軸作垂線你，以點尸及點尸的兩個垂足和坐標原點為頂點的矩形的面積等于常數(shù)閑，以點尸及點尸的一個垂足

和坐標原點為頂點的三角形的面積等于;網(wǎng).

9、B

【分析】直接利用因式分解法解方程，進而利用三角形三邊關系得出答案.

,,2

【詳解】.X-5%+6=0.

:.(%—3)(x-2)=O,

解得：玉=3,x2=2,

?..一個三角形的兩邊長為3和5,

...第三邊長的取值范圍是：5—3<x<5+3,即2<x<8,

則第三邊長為：3,

...這個三角形的周長為：5+3+3=11.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了因式分解法解方程以及三角形三邊關系，正確掌握三角形三邊關系是解題關鍵.

10、D

AHn/7

【解析】試題分析：由DE〃BC可推出△ADEsaABC,所以——=.

ABBC

54

因為AD=5,BD=10,DE=4,所以-----=—,解得BC=1.

5+10BC

故選D.

考點：相似三角形的判定與性質.

二、填空題(每小題3分，共24分)

11、60°

【分析】由AABC是正三角形可得NB=60。，又由AABDS/IDCE,根據(jù)相似三角形的對應角相等，即可得

ZEDC=ZBAD,然后利用三角形外角的性質，即可求得NADE的度數(shù)

【詳解】???△ABC是正三角形，

.,.NB=60°,

VAABD^ADCE,

.,.ZEDC=ZBAD,

VZADC^AABD的夕卜角，

:.ZADE+ZEDC=ZB+ZBAD,

.,.ZADE=ZB=60°,

【點睛】

此題考查了相似三角形的判定與性質、等邊三角形的性質以及三角形外角的性質.此題難度適中.

12、-1

【分析】直接利用二次函數(shù)的定義分析得出答案.

【詳解】解：???函數(shù)y=(m—1)"八'"是二次函數(shù)，

m1+m=l,且m-1#),

m=-l.

故答案為-L

【點睛】

此題主要考查了二次函數(shù)的定義，正確把握二次函數(shù)的次數(shù)與系數(shù)的值是解題關鍵.

13、1

【分析】過D點作DFLBC,垂足為F,過E點作EGJ_AD,交AD的延長線與G點，由旋轉的性質可知ACDF義z\EDG,

從而有CF=EG,由AADE的面積可求EG,得出CF的長，由矩形的性質得BF=AD,根據(jù)BC=BF+CF求解.

【詳解】解：過D點作DF1.BC,垂足為F,過E點作EG_LAD,交AD的延長線與G點，

E

由旋轉的性質可知CD=ED,

VZEDG+ZCDG=ZCDG+ZFDC=90°,

.*.ZEDG=ZFDC,又NDFC=NG=90。,

.'.△CDF^AEDG,，CF=EG,

VSAADE=—ADxEG=3,AD=2,

2

，EG=3,貝!|CF=EG=3,

依題意得四邊形ABFD為矩形，，BF=AD=2,

.*.BC=BF+CF=2+3=1.

故答案為L

14、2后

【分析】作所，CD于H,連結0C,由得HC=HD,由4尸=2,BP=6,得OP=2,進而得0/7=1,

根據(jù)勾股定理得C”=厲，即可得到答案.

【詳解】作于〃，連結0C,如圖，

VOHVCD,

：.HC=HD,

,:AP=2,BP=6,

:.A8=8,

,*?0A-4,

二OP=OA—AP=2,

:在RjOPH中,ZOPH=30°,

...NP0H=60°,

：.OH=-OP=\,

2

?.?在放△Q”C中，0C=4,0H=l,

：?CH=^OC--OH-=V15>

CD=2CH=2V15.

故答案為：2小

【點睛】

本題主要考查垂徑定理和勾股定理的綜合，添加輔助線，構造直角三角形和弦心距，是解題的關鍵.

15、4.2

【解析】設菱形ABC。的邊長為x,則又EC=2,所以

因為AE_LBC于E,

x—24

所以在Rt&ABE中，cosB=-----,又cosB=—

x5

于是上2=5,

x5

解得x=LBPAB=1.

所以易求BE=2,AE=6,

當EP_L48時，PE取得最小值.

I1

故由三角形面積公式有:-AB?PE=—BE?AE,求得PE的最小值為4.2.

22

點睛：本題考查了余弦函數(shù)在直角三角形中的運用、三角形面積的計算和最小值的求值問題，求PE的值是解題的關

鍵

16、3+#)

【分析】根據(jù)題意過點C作CDLAB,根據(jù)NB=45。，得CD=BD,根據(jù)勾股定理和BC=而得出BD,再根據(jù)NA

=30。，得出AD,進而分析計算得出AB即可.

【詳解】解；過點C作CD_LAB,交AB于D.

ACD=BD,

VBC=V6?

.,.BD=>/3.

VZA=30°,

CD

..tan30°=-----

AD

CD6

/.AD=6=3,

330°T

.，.AB=AD+BD=3+相.

故答案為：3+6-

【點睛】

本題考查解直角三角形，熟練應用三角函數(shù)的定義是解題的關鍵.

17、x*

【分析】根據(jù)分母不等于0列式計算即可得解.

【詳解】根據(jù)題意得，X-1R0,

解得：解1.

故答案為H1.

18、106

【分析】

當NABO=90。時，點O到頂點A的距離的最大，則△ABC是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解.

【詳解】

小ABAO

解：,:------=----------

sin45sinZABO

...當NABO=90。時，點O到頂點A的距離最大.

貝！IOA=V2AB=10V2.

故答案是：100.

【點睛】

本題主要考查了等腰直角三角形的性質，正確確定點O到頂點A的距離的最大的條件是解題關鍵.

三、解答題（共66分）

19>(1)48000m3(2)(3)8000m3

t

【解析】(1)此題根據(jù)函數(shù)圖象為雙曲線的一支，可設V=K,再把點(12,4000)代入即可求出答案;

t

(2)此題根據(jù)點(12,4000)在此函數(shù)圖象上，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式；

(3)此題須把t=6代入函數(shù)的解析式即可求出每小時的排水量；

【詳解】⑴設V」.

t

?1點(12,4000)在此函數(shù)圖象上，

...蓄水量為12x4000=48000m3；

(2)?點(12,4000)在此函數(shù)圖象上,

k

.?.4000=—,

12

k=48000,

...此函數(shù)的解析式V=史”；

t

,、-4800,

(3)?當1ft=6時，V=-------=8000mJ；

6

.?.每小時的排水量應該是8000m3.

【點睛】

主要考查了反比例函數(shù)的應用.解題的關鍵是根據(jù)實際意義列出函數(shù)關系式，從實際意義中找到對應的變量的值，利

用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式.會用不等式解決實際問題.

20、(1)6；(2)4

【分析】(1)連接EF,證明AEFGsaDCG.推出笑=要=:，求出DE即可解決問題.

DGCD2

(2)由三角形的高相同，則三角形的面積之比等于底邊之比，求出，CEG=1，SABCE=S&CDE=3,即可求出答案.

【詳解】解：(1)連接EE.

VA3CD是平行四邊形,

；.點E為BD的中點.

/為AZ)的中點，

/.EF//CD,且所=工8.

2

:?岫FGs^DCG.

?EGEF\

"'DG~'CD~2

,:￡G=L

???DG=2,

：.DE=3,

：.BD=6；

(2),；EG=1,DG=2,S^CDG=2,

???0qAC￡G-19

??'°qACD￡-=“3，

VBE=DE,

：?SMCE=S\CDE=3

§ABCG=SgcE+S〉CEG~S\CDE+^ACEG~4?

【點睛】

本題考查相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

21、(1)A(-LO,)B(2,0);(2)x=1；(3)-l<x<2.

【分析】(D令y=0則f一％一2=0,解方程即可；

h

(2)根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式x=———代入計算即可；

2a

(3)結合函數(shù)圖像，取函數(shù)圖像位于x軸下方部分，寫出x取值范圍即可.

【詳解】解：(D令y=0則f一％一2=0,解得玉=-1,赴=2；

/.A(-bO,)B(2,0)；

-11

(2)x=---

2c

二對稱軸為x=L

2

(3)V^<0,

...圖像位于X軸下方，

...X取值范圍為一l<x<2.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程關系，對稱軸求法，二次函數(shù)與不等式的關系，熟記相關知識是解題關鍵.

1325125

22、(1)點B的坐標為(1,3)；(2)點。的坐標為(一，0)；(3)存在，當，=一5或一s時，△AP。與△AO8

41452

相似.

【分析】(D根據(jù)正切的定義求出8C,得到點8的坐標；

ATAB

(2)根據(jù)△ABCszXAOS,得到一=——，代入計算求出AO,得到點。的坐標；

ABAD

(3)分△APQs/viBD、兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質列式計算即可.

【詳解】解：(1)VA(-3,0),C(1,0),

.,.AC=4,

3

VZACB=90°，tanZBAC=-

4

...空=3,即些=3,

AC444

解得，BC=3,

.?.點B的坐標為(1,3)；

.,.△ABC^AADB,

.AC_AB

??布一麗’

在RtAABC中，AB=y]AC2+BC2=742+32=5,

?4_5

??一，

5AD

解得，AD=—,

4

13

則nlOD=AD-AO=—,

4

13

.,.點D的坐標為(二，0)；

4

(3)存在，

25

由題意得，AP=2t,AQ=------t,

/.△APQ^AABD,

25_

.AP_AQ即2f-Z-

??茄R，即彳一丁

4

當PQ1.AD時，ZAQP=ZABD,ZA=ZA,

.,.△AQP^AABD,

2t25_

.APAQ即與=了7

彳-g-

125

解得，

t=*52-

25125

綜上所述，當t=」s或時，ZiAPQ與aADB相似.

1452

【點睛】

本題考查的是相似三角形的判定和性質、坐標與圖形性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.

23、(1)6,90"；(2)見解析；(3)1

【分析】(1)根據(jù)旋轉的性質即可直接求解；

(2)根據(jù)旋轉的性質以及平行線的判定定理證明B|A]〃OA且AiB產(chǎn)OA即可證明四邊形OAAiB1是平行四邊形;

(3)利用平行四邊形的面積公式求解.

【詳解】解：(1)由旋轉的性質可知：AiBkAB=6,ZAOAi=90°.

故答案是：6,90。；

(2)VAiBi=AB=6,OAi=OA=6,ZOAiBi=ZOAB=90°,ZAOAi=90°,

.,.ZOAiBi=ZAOAi,AiBi=OA,

ABiAi/ZOA,

???四邊形OAAIBI是平行四邊形；

(3)S=OA?AiO=6x6=l.

即四邊形OAAiBi的面積是1.

故答案為(1)6,90。；(2)見解析；(3)1.

【點睛】

本題考查旋轉的性質以及平行四邊形的判定和面積公式，證明BiAi〃OA是關鍵.

24、(1)/w<4；(2)m--\2.

【分析】(1)根據(jù)一元二次方程的根的判別式即可得；

(2)先根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系可得%+々=4,從而可得求出西=-2,再代入方程即可得.

【詳解】(1)???原方程有實數(shù)根，

:.方程的根的判別式△=16-4m>0,

解得/w<4；

(2)由一元二次方程的根與系數(shù)的關系得：玉+馬=-吊=4