第13講 冪函數(shù)（學(xué)生版）-高一數(shù)學(xué)同步講義

第5課寨函數(shù)

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.了解幕函數(shù)的概念，會(huì)求募函數(shù)的

解析式；掌握常見基函數(shù)的圖像；利

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握某函數(shù)的概念，能根

用幕函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)式大小。

據(jù)基函數(shù)的要求求出事函數(shù)的解析式，并能根據(jù)基函數(shù)

2.利用幕函數(shù)的性質(zhì)解不等式及待定的性質(zhì)求待定參數(shù).

參數(shù)的求解.

芯找知識精講

*'知識點(diǎn)01塞函數(shù)

1.黑函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=;v“（a是常數(shù)）叫做幕函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

2.塞函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征

幕函數(shù)的解析式是一個(gè)幕的形式，且需滿足：

（1）指數(shù)為常數(shù)；

（2）底數(shù)為自變量；

（3）系數(shù)為1.

【即學(xué)即練1］給出下列函數(shù)：

①y=J;②>=3X-2；③y=/+a④尸松7；⑤y=（x-l）:⑥y=0.3*,其中是基函數(shù)的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

【即學(xué)即練2】下列函數(shù)中，不是轅函數(shù)的是（）

A.y=2xB.y=x~1C.y=D.y=x2

空'知識點(diǎn)02嘉函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.幾個(gè)常見募函數(shù)的圖象與性質(zhì)

21

23

函數(shù)y=xy二獷y=x2>=一

y=xX

y

4

3

尸/\2

圖象泊；

尸，01234X

-1

--2

y=x3l

-3

定義域RRR[0,+a>){x|x。0}

值域R[0收)R[0,+oo)

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)

在(—8,0)上單調(diào)遞

在R上單在R上單在［0,+8)上單在(-CO,0)和(0,4-00)

單調(diào)性減；在［0,+8)上單調(diào)

調(diào)遞增調(diào)遞增調(diào)遞增上單調(diào)遞減

遞增

過定點(diǎn)過定點(diǎn)(0,0),(1,1)過定點(diǎn)(1,1)

【微點(diǎn)撥】事函數(shù)y=x［(a是常數(shù))中，a的取值不一樣，對應(yīng)的事函數(shù)的定義域不一樣.注意a是正分

數(shù)或負(fù)分?jǐn)?shù)(正整數(shù)或負(fù)整數(shù))時(shí)的不同.

【即學(xué)即練3】下列結(jié)論中，正確的是()

A.幕函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0,0),(1,1)

B.基函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限

C.當(dāng)基指數(shù)a取1,3,g時(shí)，基函數(shù)y=冰是增函數(shù)

D.當(dāng)a=-1時(shí)，幕函數(shù)y=k在其整個(gè)定義域上是減函數(shù)

【即學(xué)即練4】已知惠函數(shù)y=/U)經(jīng)過點(diǎn)(3,G),則於)()

A.是偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)

B.是偶函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)

D.是非奇非偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)

*'知識點(diǎn)03哥函數(shù)y=xa(a是常數(shù))的指數(shù)對圖象的影響

(1)當(dāng)a<()時(shí)，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，類似于y的圖象，且在第一象限內(nèi)，逆時(shí)針方向

指數(shù)在增大；

(2)當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù)圖象向x軸彎曲，類似于y=?的圖象；

(3)當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)圖象向y軸彎曲，類似于y=￡的圖象，而且逆時(shí)針方向指數(shù)在增大.

具體如下:

a?>10<a<\a<0

F/y

心\\/

圖象1

-0|1*0\1X0i左

特殊點(diǎn)過(0,0),(1,1)過(0,0),(1,1)過(i,i)

凹凸性下凸上凸下凸

單調(diào)性遞增遞增遞減

I

y=xi—17

舉例y=%2y=x、y=x2

【知識拓展1】常用結(jié)論

(1)幕函數(shù)在(0,+8)上都有定義.

(2)幕函數(shù)的圖象均過定點(diǎn)。,1).

(3)當(dāng)a>0時(shí),一函數(shù)的圖象均過定點(diǎn)(0,0),(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(4)當(dāng)a<0時(shí)，基函數(shù)的圖象均過定點(diǎn)(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

(5)幕函數(shù)在第四象限無圖象.

【即學(xué)即練5】己知函數(shù)曠=/，y=xb,y=的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)a/,c的大小關(guān)系為()

A.c<h<aB.a<b<c

C.h<c<aD.c<a<h

【即學(xué)即練6】已知點(diǎn)（3,0）在塞函數(shù)/（x）的圖像上，則在其定義域內(nèi)是（）

A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.奇函數(shù)D.偶函數(shù)

Q能力拓展

考法01

募函數(shù)的定義：判斷一個(gè)函數(shù)是否為基函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為>=/（a是常數(shù)）的形式，即滿足：

（1）指數(shù)為常數(shù)；（2）底數(shù)為自變量；（3）系數(shù)為1.

【典例1］已知基函數(shù)/（x）的圖象過點(diǎn)（2,1）,試求該函數(shù)的解析式.

4

【即學(xué)即練7］在函數(shù)y=2x2,y=x2+xy=l中，基函數(shù)的個(gè)數(shù)為

xf

考法02

幕函數(shù)的圖象：要牢記幕函數(shù)的圖象，并能靈活運(yùn)用.由暴函數(shù)的圖象，我們知道：

（1）當(dāng)a的值在（0,1）上時(shí)，幕函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸（簡記為“指大圖低”）；當(dāng)a

的值在（1,+00）上時(shí)，基函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.

（2）任何帚函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸最多只有一個(gè)交點(diǎn)（原點(diǎn)）；任何募函數(shù)的圖象都不經(jīng)過第四象限.

【典例2】下面六個(gè)累函數(shù)的圖象如圖所示，試建立函數(shù)與圖象之間的對應(yīng)關(guān)系.

312--I

(1)y=q；⑵y=x3;(3)y=J；⑷丫=/；(5)y=x-3；(6)y=”

【典例3】已知點(diǎn)(&,2)在幕函數(shù)/(x)的圖象上，點(diǎn)在基函數(shù)g(x)的圖象上.

(1)當(dāng)x為何值時(shí)，f(x)>g(x)?

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，〃x)=g(x)?

(3)當(dāng)x為何值時(shí)，/(x)<g(x)?

考法03

幕函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(比較大小)

(1)注意利用基函數(shù)的性質(zhì)比較基值大小的方法步驟.

第一步，根據(jù)指數(shù)分清正負(fù)；

第二步，正數(shù)區(qū)分大于1與小于1的情況，”>1,a>0時(shí)，aa>\；0<?<1,a>0時(shí)，0<相<1；a>\,a<0時(shí)，

0<aH<l；0<?<1,a<0時(shí)，a">l；

第三步，構(gòu)造轅函數(shù)應(yīng)用事函數(shù)單調(diào)性，特別注意含字母時(shí)，要注意底數(shù)不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的情形.

(2)給定一組數(shù)值，比較大小的步驟.

第一步：區(qū)分正負(fù).一種情形是累函數(shù)或指數(shù)函數(shù)值叩幕式確定符號；另一種情形是對數(shù)式確定符號，要

根據(jù)各自的性質(zhì)進(jìn)行.

第二步：正數(shù)通常還要區(qū)分大于1還是小于1.

第三步：同底的幕，用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性；同指數(shù)的基用幕函數(shù)單調(diào)性：同底的對數(shù)用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性.

第四步：對于底數(shù)與指數(shù)均不相同的幕，或底數(shù)與真數(shù)均不相同的對數(shù)值大小的比較，通常是找一中間值

過渡或化同底(化同指)、或放縮、有時(shí)作商(或作差)、或指對互化，對數(shù)式有時(shí)還用換底公式作變換

等等.

【典例4］比較下列各組數(shù)的大小.

11

⑴1.5\1.7\1;

（2）（—多（一爭

_223

（3）3.8-3,3.9；,（-1.8）二；

【即學(xué)即練8】比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小，并說明理由.

11

⑴0.75?'0.765;

（2）（-0.95）:（_096y.

【即學(xué)即練9］已知a=3.產(chǎn)，b=3.202,c=（一#，貝I。，從c的大小關(guān)系為（）

A.h>a>cB.c>b>a

C.b>c>aD.a>b>c

考法04

募函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用：與基函數(shù)有關(guān)的綜合性問題一般是利用單調(diào)性、奇偶性以及函數(shù)圖象求函數(shù)值域、

不等式解集等.

【典例5］已知事函數(shù)/（x）=（疝-2"+2）/"（丘Z）是偶函數(shù)，且在（0,+?）上單調(diào)遞增.

（1）求函數(shù)“X）的解析式；

⑵若"2x-l）<〃2—x）,求x的取值范圍；

【即學(xué)即練10］基函數(shù)y=x”"2"L3（〃?ez）的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)m的值為（)

A.3B.0C.1D.2

【即學(xué)即練1。幕函數(shù)/。）=-—1°"+23（我@為偶函數(shù)，且/⑴在區(qū)間（0,+8）上是減函數(shù)，則。等于（）

A.3B.4C.5D.6

【即學(xué)即練12］如圖，幕函數(shù)>=%3"'-7（〃?@1^）的圖象關(guān)于丁軸對稱，且與X軸，y軸均無交點(diǎn)，求此函

數(shù)的解析式及不等式/（X+2）<16的解集.

y

【即學(xué)即練13】已知函數(shù)/（同=（/+2加-2卜丙+2〃-3是事函數(shù)，求〃2-2〃的值.

00

【易錯(cuò)提示】【典例6］已知哥函數(shù)了=工上561^）的定義域?yàn)椋ā悖?），且單調(diào)遞減，則〃=

【即學(xué)即練14】已知基函數(shù)/（力=（裙一"一1b‘"\"‘是偶函數(shù)，則而=（）

A.-1B.-2C.-1或-2D.1或-2

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

2.已知幕函數(shù)/G)的圖象過點(diǎn)(2,/),則/(8)的值為()

應(yīng)V2

A.—B.—

48

C.2&D.8及

3.已知0=0.32/=2叱。=1.9°3則。也。的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

4.已知幕函數(shù)/（x）過點(diǎn)（27,9）,則/（x）的奇偶性為（)

A.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

C.奇函數(shù)D.偶函數(shù)

5.函數(shù)>=廣2在區(qū)間上［；,2］的最大值是()

A.—B.—1

4

C.4D.-4

6.已知定義在R上的函數(shù)“X)滿足/(r)=〃x),且當(dāng)x<0時(shí)，”力=3*+1,若0=6=4)c=25；，

則()

A./(a)</(/>)</(c)B./(&)</(<?)</(a)

C./(ft)</(?)</(c)D./(c)</(a)</(/?)

7.已知函數(shù)〃x)=(蘇-2〃L2)/+4"，(〃好Z)是募函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且與x軸、)，軸均無交點(diǎn)；

則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù)“X)既無最大值也無最小值

B.函數(shù)y=〃x)-x恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)

C.函數(shù)的定義域?yàn)?Y>,O)5°，W)

D.函數(shù)/(x)為減函數(shù)

2

8.已知函數(shù)f(x)=(病-m-5)/M是基函數(shù)，對任意外，%?0,內(nèi))，且x產(chǎn)乙，滿足二。)>0，

若a,beR,且a+b>0,則/(a)+〃b)的值()

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.無法判斷

題組B能力提升練

i.已知事函數(shù)〃X）=（M-帆—對任意王,%€（0，+8）,且x產(chǎn)馬,都滿足＞0,若

X］一

aleR且/（a）+/S）vO,則下列結(jié)論可能成立的有（

A.。十/?>0.且B.a+b<QR.ab<0

c.a+b＜0且曲＞0D.以上都可能

2.已知累函數(shù)+則下列結(jié)論正確的有（）

32）.

A.

B./（X）的定義域是R

C./（X）是偶函數(shù)

D.不等式“X—1）之〃2）的解集是卜1,1）（1,3］

3.已知幕函數(shù)/（犬）=￡的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4,2）,則下列命題正確的有（）

A.該函數(shù)在定義域上是偶函數(shù)

B.對定義域上任意實(shí)數(shù)為，馬,工產(chǎn)%,都有［/（5）-/（七）］（%,-王）＞0

C.對定義域上任意實(shí)數(shù)為，馬,x產(chǎn)七，都有“"J；/（-）＜/（號

D.對定義域上任意實(shí)數(shù)占，%,都有/&，2）=/&）+/（々）

4.函數(shù)f（x）=++2x+l與g（x）=x"在同一坐標(biāo)系中的圖像可能為（）

A.

C.

5.已知實(shí)數(shù)m6滿足等式則下列五個(gè)關(guān)系式中可能成立的是（）

A.0<b<a<\B.-1<a<b<0

C.1<a<bD.—\<b<a<Q

E.a=b

6.已知基函數(shù)=Q(m,neN+,m,〃互質(zhì))，下列關(guān)于/(x)的結(jié)論正確的是()

A.m,〃是奇數(shù)時(shí)，基函數(shù)“X)是奇函數(shù)

B.機(jī)是偶數(shù)，〃是奇數(shù)時(shí)，基函數(shù)/(力是偶函數(shù)

C.機(jī)是奇數(shù)，〃是偶數(shù)時(shí)，基函數(shù)“X)是偶函數(shù)

D.0〈里<1時(shí)，基函數(shù)“X)在(0,+8)上是減函數(shù)

n

E.m,〃是奇數(shù)時(shí)，塞函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽

7.已知黑函數(shù)f(x)過定點(diǎn)(2,8),且滿足_/.(“2+1)+/(_2)>0,則。的范圍為.

8.已知事函數(shù)”X)=(M-3〃?+3)/+I的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則滿足(4+1)'">(3-2〃)'"的實(shí)數(shù)。的值構(gòu)成的

集合為.

9.已知/(%)=(3m2+5加+3卜'""是基函數(shù)，對x”為e(0,+8)且須*々有"*)>0,若

a+b<Q,ab<09則/(。)+/仍)0(填〉，<).

22

10.已知(a+I)J<(3_2a)。，則。的取值范圍_