6.8線性空間的同構(gòu)

§6.8

線性空間的同構(gòu)一、同構(gòu)映射的定義二、同構(gòu)的有關(guān)結(jié)論§6.8線性空間的同構(gòu)§6.8

線性空間的同構(gòu)我們知道，在數(shù)域P上的n維線性空間V中取定一組基后，V中每一個(gè)向量有唯一確定的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)是P上的n元數(shù)組，因此屬于Pn.這樣一來(lái)，取定了V的一組基對(duì)于V中每一個(gè)向量，令在這組基下的坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)，就得到V到Pn的一個(gè)單射

反過(guò)來(lái)，對(duì)于Pn中的任一元素是V中唯一確定的元素，并且即也是滿射.因此，是V到Pn的一一對(duì)應(yīng).

引入§6.8

線性空間的同構(gòu)這個(gè)對(duì)應(yīng)的重要必性表現(xiàn)在它與運(yùn)算的關(guān)系上.任取設(shè)則歸結(jié)為它們的坐標(biāo)的運(yùn)算.這就是說(shuō)，向量用坐標(biāo)表示后，它們的運(yùn)算可以從而§6.8

線性空間的同構(gòu)一、同構(gòu)映射的定義設(shè)都是數(shù)域P上的線性空間，如果映射

具有以下性質(zhì)：

則稱(chēng)的一個(gè)同構(gòu)映射，并稱(chēng)線性空間

同構(gòu)，記作

ii)iii)i)為雙射§6.8

線性空間的同構(gòu)為V的一組基，則前面V到Pn的一一對(duì)應(yīng)例1、V為數(shù)域P上的n維線性空間，

這里為在基下的坐標(biāo)，就是一個(gè)V到Pn的同構(gòu)映射，所以§6.8

線性空間的同構(gòu)1、數(shù)域P上任一n維線性空間都與Pn同構(gòu).二、同構(gòu)的有關(guān)結(jié)論同構(gòu)映射，則有1）2、設(shè)是數(shù)域P上的線性空間，的2）§6.8

線性空間的同構(gòu)線性相關(guān)（線性無(wú)關(guān)）.

3）V中向量組

線性相關(guān)（線性無(wú)關(guān)）的充要條件是它們的象

4）5）的逆映射為的同構(gòu)映射.是的子空間，且6）

若W是V的子空間，則W在下的象集§6.8

線性空間的同構(gòu)中分別取即得證：1）在同構(gòu)映射定義的條件iii)2）這是同構(gòu)映射定義中條件ii)與iii)結(jié)合的結(jié)果.3）因?yàn)橛煽傻梅催^(guò)來(lái)，由可得§6.8

線性空間的同構(gòu)而是一一對(duì)應(yīng)，只有所以可得因此，線性相關(guān)（線性無(wú)關(guān)）線性相關(guān)（線性無(wú)關(guān)）.4）設(shè)為V中任意一組基.由2）3）知，為的一組基.所以§6.8

線性空間的同構(gòu)任取

I為恒等變換.5）首先是1－1對(duì)應(yīng)，并且同理，有所以，為的同構(gòu)映射.

由于是同構(gòu)映射，有

再由是單射，有

§6.8

線性空間的同構(gòu)6）首先，其次，對(duì)

有W中的向量使于是有

由于W為子空間，所以

從而有§6.8

線性空間的同構(gòu)由2可知，同構(gòu)映射保持零元、負(fù)元、線性組合所以是的子空間.顯然，也為W到的同構(gòu)映射，即

注及線性相關(guān)性，并且同構(gòu)映射把子空間映成子空間.§6.8

線性空間的同構(gòu)證：設(shè)為線性空間的同構(gòu)3、兩個(gè)同構(gòu)映射的乘積還是同構(gòu)映射.任取有映射，則乘積是的1－1對(duì)應(yīng).

所以，乘積是的同構(gòu)映射.

§6.8

線性空間的同構(gòu)同構(gòu)關(guān)系具有：反身性：

對(duì)稱(chēng)性：傳遞性：

注§6.8

線性空間的同構(gòu)4、數(shù)域P上的兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)證：若由性質(zhì)2之4）即得（法一）若由性質(zhì)1

，有§6.8

線性空間的同構(gòu)例2、把復(fù)數(shù)域看成實(shí)數(shù)域R上的線性空間，

證法一：證維數(shù)相等證明：首先，可表成

其次，若則

所以，1，i

為C的一組基，又，所以，故，§6.8

線性空間的同構(gòu)證法二：構(gòu)造同構(gòu)映射則為C到R2的一個(gè)同構(gòu)映射.作對(duì)應(yīng)作成實(shí)數(shù)域R上的線性空間.

把實(shí)數(shù)域R看成是自身上的線性空間.例3、全體正實(shí)數(shù)R+關(guān)于加法⊕與數(shù)量乘法：

證明：并寫(xiě)出一個(gè)同構(gòu)映射.§6.8

線性空間的同構(gòu)證：作對(duì)應(yīng)易證為的1－1對(duì)應(yīng).且對(duì)有所以，為的同構(gòu)映射.故

方法二：作對(duì)應(yīng)易證：為的1－1對(duì)應(yīng)，而且也為同構(gòu)映射.事實(shí)上，為