備考2024年新高考數(shù)學一輪復習 互斥對立條件概率與獨立事件

專題10.5互斥對立，條件概率與獨立事件

題型一互斥與對立

題型二頻率與概率

題型三古典概型

題型四獨立事件的概率

題型五條件概率

題型六全概率公式

題型七貝葉斯公式

集練

題型一互斥與對立

例1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子1次，事件A表示“擲出的點數(shù)大于2”，則與A互斥且不對立的事件是().

A.擲出的點數(shù)為偶數(shù)B.擲出的點數(shù)為奇數(shù)

C.擲出的點數(shù)小于2D.擲出的點數(shù)小于3

例2.一名射擊運動員在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)，7環(huán)以下的概率分別為0.24,0.28,0.19,0.16,

0.13.計算這名射擊運動員在一次射擊中：

⑴射中10環(huán)或9環(huán)的概率.

⑵至少射中7環(huán)的概率.

舉一反三

練習1.從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()

A.“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”B.“至少有一個黑球”與“都是紅球”

C.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”D.“至少有一個黑球”與“都是黑球”

練習2.已知隨機事件中，A與B互斥，B與C對立，且尸(A)=Q3,P(C)=0.6,則尸(AB)=()

A.0.3B.0.6C.0.7D.0.9

練習3.下列說法中正確的是（）

A.若事件A與事件6是互斥事件，則尸（A）+P（3）=l

B.對于事件A和3,尸（AB）=P（A）+P（B）

C.一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，則事件“至少有一次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件

D.把紅、橙、黃、綠4張紙牌隨機分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，則事件“甲分得紅牌”與事件“乙

分得紅牌”是互斥事件

練習4.（多選）已知甲罐中有四個相同的小球，標號為1,2,3,4,乙罐中有五個相同的小球，標號為1,2,3,

5,6,現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件A="抽取的兩個小球標號之和大于5”，事件2="抽取的

兩個小球標號之積大于8”，則（）

A.事件A與事件8是互斥事件B.事件A與事件2是對立事件

11?

C.事件發(fā)生的概率為三D.事件發(fā)生的概率為二

練習5.某射擊運動員在一次射擊中，射中10環(huán)的概率是射中9環(huán)的概率的2倍，運動員射中9環(huán)以下的概率為0.1,

求運動員在一次射擊中，射中10環(huán)的概率.

題型二頻率與概率

例3.在拋擲硬幣試驗中，記事件A為“正面朝上”，則下列說法正確的（）

A.拋擲兩枚硬幣，事件“一枚正面，一枚反面”發(fā)生的概率為g

B.拋擲十枚硬幣，事件8為“拋擲十枚硬幣，正面都朝上”沒有發(fā)生，說明P（B）=0

C.拋擲100次硬幣，事件A發(fā)生的頻率比拋擲50次硬幣發(fā)生的頻率更接近于0.5

D.當拋擲次數(shù)足夠大時，事件A發(fā)生的頻率接近于0.5

例4.我國古代數(shù)學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米3285石，驗得米內(nèi)有夾谷，抽

樣取米一把，數(shù)得261粒米內(nèi)有夾谷29粒，則這批米內(nèi)夾谷約為石.

圉二反三

練習6.在一個不透明的紙盒中裝有2個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同.每次從袋子中隨機摸出一個球,

記下顏色后再放回袋中，通過多次重復試驗發(fā)現(xiàn)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，則袋子中紅球約有個.

練習7.某制造商今年3月份生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機抽取100個進行檢查，測得每個乒乓球的直徑（單位：mm）,

將數(shù)據(jù)分組如下:

分組頻數(shù)頻率

[39.95,39.97)100.10

[39.97,39.99)200.20

[39.99,40.01)500.50

[40.01,40.03]200.20

合計1001.00

若用上述頻率近似概率，已知標準乒乓球的直徑為40.00mm,則這批乒乓球的直徑誤差不超過0.03mm的概率是

練習8.（多選）某校為了解學校餐廳中午的用餐情況，分別統(tǒng)計了食用大米套餐和面食的人次數(shù)，剩下的為食用米

線漢堡等其它食品（每人只選一種），結(jié)果如表所示：

總?cè)舜螖?shù)大米套餐人次數(shù)面食人次數(shù)

1000550260

假設隨機抽取一位同學，記中午吃大米套餐為事件吃面食為事件M吃米線漢堡等其他食品為事件H,若用頻

率估計事件發(fā)生的概率，則（）

A.P（M）=0.55B.P（N）=0.26

C.P（H）=0.19D.P（N-H）=0.65

練習9.甲、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個網(wǎng)站查看這家健身房的評價.甲在網(wǎng)站A查到共有

840人參與評價，其中好評率為95%,乙在網(wǎng)站2查到共有1260人參與評價，其中好評率為85%.綜合考慮這兩

個網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評率為（）

A.88%B.89%C.91%D.92%

練習10.某車間從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取了1000個零件進行一項質(zhì)量指標的檢測，整理檢測結(jié)果得此項質(zhì)量

指標的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.。=0.005

B.估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標的眾數(shù)為45

C.估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標的中位數(shù)為60

D.從這批產(chǎn)品中隨機選取1個零件，其質(zhì)量指標在［50,70）的概率約為0.5

題型三古典概型

例5.用0,1,2三個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，其中三位數(shù)為偶數(shù)的概率是（）

23

A.B.C.D.

3324

例6.若從集合｛1,2,3,4,5｝中任取3個元素組成該集合的一個子集，那么取得的子集中，滿足3個元素中恰好含有2

個連續(xù)整數(shù)的概率等于；

舉一

練習H.江南的周莊、同里、用直、西塘、烏鎮(zhèn)、南涔古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國江南水鄉(xiāng)風貌最具代

表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風貌、古樸的吳儂軟語民俗風情，在世界上獨樹一

幟，馳名中外，這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的有3處.某家庭計劃今年暑假從這6個古鎮(zhèn)中挑選2個去旅游，

則至少選一個蘇州古鎮(zhèn)的概率為（）

練習12.一個不透明的袋中裝有2個紅球，2個黑球，1個白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現(xiàn)從袋中一次

性隨機抽取3個球，貝『‘這3個球的顏色各不相同”的概率為（）

練習13.2022年11月8日，江西省第十六屆運動會在九江市體育中心公園主體育場開幕，這是九江市舉辦的規(guī)模

最大、規(guī)格最高的綜合性體育賽事.賽事期間，有3000多名志愿者參加了活動.現(xiàn)將4名志愿者分配到跳高、跳

遠2個項目參加志愿服務活動，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，貝『‘恰好有一個項

目分配了3名志愿者”的概率為.

練習14.齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，

劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)雙方各出上、中、下等馬各一匹分組分別進行一場比賽,

勝兩場及以上者獲勝，若雙方均不知道對方馬的出場順序，則田忌獲勝的概率為.

練習15.某校組織了600名高中學生參加中國共青團相關的知識競賽，將競賽成績分成[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100]五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)“，b,。成等差數(shù)列，成績落在區(qū)間

[60,70)內(nèi)的人數(shù)為300.

頻率/組距

0.005

O5060708090100成績

(1)求出頻率分布直方圖中。，b,c的值；

(2)估計該校學生分數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)；

⑶現(xiàn)采用分層抽樣的方法從分數(shù)落在[80,90),[90,100]內(nèi)的兩組學生中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行

現(xiàn)場知識答辯，求抽取的這2人中恰有1人的得分在區(qū)間[90,100]內(nèi)的概率.

題型四獨立事件的概率

例7.甲，乙，丙三人打靶，他們的命中率分別Pi，P2，；，若三人同時射擊一個目標，甲、丙擊中目標而乙沒有擊

14

中目標的概率為六，乙擊中目標而丙沒有擊中目標的概率為x，己知“甲擊中目標”，“乙擊中目標”，“丙擊中目標”

1o9

是相互獨立事件，則R，小的值分別為()

]_2

3'23'3

J.121

2,33；2

例8.如圖，已知電路中有4個開關，每個開關獨立工作，且閉合的概率為則燈亮的概率為

舉一反三

練習16.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件"第一枚骰子奇數(shù)面朝上"，事件3="第二枚骰子偶數(shù)面朝上”，

事件C="兩枚骰子向上點數(shù)之和為7”.則下列結(jié)論正確的是（）

A.A與8對立B.A與C互斥

C.P（C）=|D.B與C獨立

練習17.某知識問答競賽需要三人組隊參加，比賽分為初賽、復賽、決賽三個階段，每個階段比賽中，如果一支隊

伍中至少有一人通過，則這支隊伍通過此階段.已知甲、乙、丙三人組隊參加，若甲通過每個階段比賽的概率均為：，

乙通過每個階段比賽的概率均為丙通過每個階段比賽的概率均為且三人每次通過與否互不影響，則這支隊

伍進入決賽的概率為（）

*224-196「14

A.B.C.—D.—

2252251525

練習18.在東京奧運會乒乓球男子單打決賽中，中國選手馬龍戰(zhàn)勝隊友樊振東，奪得冠軍。乒乓球決賽采用7局4

勝制.在決勝局的比賽中，先得11分的運動員為勝方，但打到10平以后，先多得2分者為勝方.在10:10平后，雙方

實行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)1個球.若在決勝局比賽中，馬龍發(fā)球時馬龍得分的概率為:，樊振東發(fā)球時馬龍得

分的概率為g,各球的結(jié)果相互獨立，在雙方10:10平后，馬龍先發(fā)球，則雙方戰(zhàn)至13:11的概率為（）

A.-B.-C.—D.-

46124

練習19.（多選）連續(xù)拋擲兩次骰子，“第一次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)小于3”記為A事件，“第二次拋擲結(jié)果向上的點

數(shù)是3的倍數(shù)”記為8事件，“兩次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)之和為偶數(shù)”記為C事件，“兩次拋擲結(jié)果向上的點數(shù)之和為

奇數(shù)”記為O事件，則下列敘述中不正確的是（）

A.C與?；コ釨.「（斗）=：

C.A與C相互獨立D.B與。不相互獨立

41

練習20.甲、乙兩名同學進行籃球投籃練習，甲同學一次投籃命中的概率為二，乙同學一次投籃命中的概率為

假設兩人投籃命中與否互不影響，則甲、乙兩人各投籃一次，恰有一人命中的概率是

題型五條件概率

例9.從1、2、3、4、5、6、7這7個數(shù)中任取5個不同的數(shù)，事件A：“取出的5個不同的數(shù)的中位數(shù)是4”，事

件B：“取出的5個不同的數(shù)的平均數(shù)是4"，則尸（引力=（）

A.iB.2C.1D.3

73537

例10.（多選）已知AB,C為隨機事件，則下列表述中不正確的是（）

A.P（AS）=P（A）P（B）B.C|A）=P（B|A）+P（C|A）

C.P（A|A）=1D.P（A|B）＜P（AB）

舉一

練習21.2023年3月13日第十四屆全國人民代表大會第一次會議在北京勝利閉幕，某中學為了貫徹學習“兩會”精

神，舉辦“學兩會，知國事”知識競賽.高二學生代表隊由A,B,C,D,E共5名成員組成，現(xiàn)從這5名成員中隨

機抽選3名參加學校決賽，則在學生A被抽到的條件下，學生3也被抽到的概率為（）.

練習22.若B,C是互斥事件且P（8|A）=g,P（C|A）=：,則尸（（3uC）|A）=（）

練習23.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球冼從甲罐中隨機取出

一球放入乙罐，分別以4、4和4表示從甲罐中取出紅球、白球和黑球，再從乙罐中隨機取出一球，以8表示從乙

罐中取出的球是紅球，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.（B.網(wǎng)8⑷C.網(wǎng)冏4）=（D.網(wǎng)冏4）=（

練習24.已知尸（可=:,尸（叫A）=|,尸他同=1,則尸（3）=

練習25.甲、乙兩個袋子中，各放有大小、形狀和個數(shù)相同的小球若干.每個袋子中標號為。的小球為1個，標號

為1的2個，標號為2的w個.從一個袋子中任取兩個球，取到的標號都是2的概率是

⑴求n的值；

（2）從甲袋中任取兩個球，已知其中一個的標號是1的條件下，求另一個標號也是1的概率.

題型六全概率公式

例11.甲單位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙單位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，從兩個單位任抽

一個單位，然后從所抽到的單位中任取2名志愿者，則取到兩名男性志愿者的概率為（）

1939

A.-B.—C.-D.—

510520

例12.已知尸（A）=0.4，尸國A）=0.2，尸（用,）=0.3,則尸（可=.

第二反三

練習26.甲口袋中有3個紅球，2個白球，乙口袋中有4個紅球，3個白球，先從甲口袋中隨機取出1球放入乙口

袋，分別以A，4表示從甲口袋取出的球是紅球、白球的事件；再從乙口袋中隨機取出1球，以8表示從乙口袋取

出的球是紅球的事件，則P（&|3）=（）

8「6-17「5

AA.—B.—C.—D.一

2323408

練習27.某人外出出差，委托鄰居給家里盆栽澆一次水，若不澆水，盆栽枯萎的概率為0.8；若澆水，盆栽枯萎的

概率為0.15.鄰居澆水的概率為0.8.則該人回來盆栽沒有枯萎的概率為（）

A.0.785B.0.72C.0.765D.0.67

練習28.有一批同一型號的產(chǎn)品，其中甲工廠生產(chǎn)的占40%,乙工廠生產(chǎn)的占60%.已知甲、乙兩工廠生產(chǎn)的該型

號產(chǎn)品的次品率分別為3%,2%,則從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是.

練習29.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為5%,第2,3臺加工的次品率均為3%,加工出

來的零件混放在一起，第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的15%,25%,60%.隨機取一個零件，記4="零

件為次品"，用="零件為第1臺車床加工"?=1，2,3),則下列結(jié)論：

①P(A)=0.033

3

②》尸(瓦)=1

i=l

③P(4|A)=P(&A)

@P(B1\A)+P(B2\A)=P(B3\A).

其中正確的序號為.

練習30.“青團”是江南人家在清明節(jié)吃的一道傳統(tǒng)點心，據(jù)考證“青團”之稱大約始于唐代，已有1000多年的歷史.現(xiàn)

有甲、乙兩個箱子裝有大小、外觀均相同的“青團”，已知甲箱中有3個蛋黃餡的“青團”，2個肉餡的“青團”和5個

青菜餡的“青團”.乙箱中有3個蛋黃餡的“青團”，3個肉餡的“青團”和4個青菜餡的“青團”.問：

⑴從甲箱中取出一個“青團”是蛋黃餡的的概率是多少？

(2)若依次從甲箱中取出兩個“青團”，求第一個是蛋黃餡的條件下，第二個是肉餡的概率；

(3)若先從甲箱中隨機取出一個“青團”放入乙箱，再從乙箱中隨機取出一個“青團”，從乙箱取出的“青團”是蛋黃餡的

概率.

題型七貝葉斯公式

(尸(4)尸(叫可)

例13.托馬斯?貝葉斯(ThomasBayes)在研究“逆向概率”的問題中得到了一個公式：

尹⑷明可)

這個公式被稱為貝葉斯公式(貝葉斯定理)，其中夕尸(4)尸(用4)稱為8的全概率.假設甲袋中有3個白球和2個

紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球.已知從乙袋中取

出的是2個白球，則從甲袋中取出的也是2個白球的概率為()

A3709仆18

A.D.—C.—D.-

15075372

例14.英國數(shù)學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件A,8有如下關系：

尸但)=尸⑻(6尸(A町某地有48兩個游泳館，甲同學決定周末兩天都去游泳館游泳，周六選

擇48游泳館的概率均為05如果甲同學周六去A館，那么周日還去A館的概率為0.4；如果周六去B館，那么

周日去A館的概率為0.8.如果甲同學周日去A館游泳，則他周六去A館游泳的概率為.

舉一反三

練習31.設有5個袋子中放有白球，黑球，其中1號袋中白球占g,另外2,3,4,5號4個袋子中白球都占;，

今從中隨機取1個袋子，從所取的袋子中隨機取1個球，結(jié)果是白球，則這個球是來自1號袋子中的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

4323

練習32.設某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2:1,貨車中途停車修理的概率為0.02,客車為0.01,今有一

輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為（）

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.3

練習33.某貨車為某書店運送書籍，共10箱，其中5箱語文書、3箱數(shù)學書、2箱英語書.到達目的地時發(fā)現(xiàn)丟失

一箱，但不知丟失哪一箱.現(xiàn)從剩下的9箱書中隨機打開2箱，結(jié)果是1箱語文書、1箱數(shù)學書，則丟失的一箱是英

語書的概率為（）

練習34.有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為8%,第2臺加工的次品率為3%,第3臺加工

的次品率為2%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%,40%,50%,

從混放的零件中任取一個零件，如果該零件是次品，那么它是第3臺車床加工出來的概率為.

練習35.某生產(chǎn)線的管理人員通過對以往數(shù)據(jù)的分析發(fā)現(xiàn)，每天生產(chǎn)線啟動時，初始狀態(tài)良好的概率為80%,當生

產(chǎn)線初始狀態(tài)良好時，第一件產(chǎn)品合格的概率為95%；否則，第一件產(chǎn)品合格的概率為60%,某天生產(chǎn)線啟動時,

生產(chǎn)出的第一件產(chǎn)品是合格品，則當天生產(chǎn)線初始狀態(tài)良好的概率為（精確到0.1%）.

專題10.5互斥對立，條件概率與獨立事件

題型一互斥與對立

題型二頻率與概率

題型三古典概型

題型四獨立事件的概率

題型五條件概率

題型六全概率公式

題型七貝葉斯公式

才

題型一互斥與對立

例1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子1次，事件A表示“擲出的點數(shù)大于2”，則與A互斥且不對立的事件是（）.

A.擲出的點數(shù)為偶數(shù)B.擲出的點數(shù)為奇數(shù)

C.擲出的點數(shù)小于2D.擲出的點數(shù)小于3

【答案】C

【分析】根據(jù)已知寫出對應事件的基本事件，根據(jù)互斥、對立概念判斷各項與事件A的關系.

【詳解】由題意，￡1={1,2,3,4,5,6},而事件A={3,4,5,6）,

“擲出的點數(shù)為偶數(shù)”對應基本事件有{2,4,6},與A不互斥，

“擲出的點數(shù)為奇數(shù)”對應基本事件有{1,3,5},與A不互斥，

“擲出的點數(shù)小于2”對應基本事件有田，與A互斥且不對立，

“擲出的點數(shù)小于3”對應基本事件有{1,2},與A對立.

故選：C

例2.一名射擊運動員在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)，7環(huán)以下的概率分別為0.24,0.28,0.19,0.16,

0.13.計算這名射擊運動員在一次射擊中：

⑴射中10環(huán)或9環(huán)的概率.

⑵至少射中7環(huán)的概率.

【答案】⑴0.52

（2）0.87

【分析】（1）利用互斥事件的概率求解;

（2）利用對立事件的概率求解.

【詳解】（1）設“射中10環(huán)”“射中9環(huán)”“射中8環(huán)璘射中7環(huán)”“射中7環(huán)以下”的事件分別為的B,C,D,E,

可知它們彼此之間互斥，且P（A）=0.24,P（B）=0.28,P（C）=0.19,P（D）=0.16,P（E）=0.13,

所以P（射捫?；?環(huán)）=P（A。3）=尸（A）+P（3）=0.24+0.28=0.52,

所以所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.

（2）事件“至少射中7環(huán)”與事件射中7環(huán)以下”是對立事件，

則P（至少射中7環(huán)）=1-P（E）=1-0.13=0.87,

所以至少射中7環(huán)的概率為0.87.

舉一反三

練習1.從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）

A.“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”B.“至少有一個黑球”與“都是紅球”

C.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”D.“至少有一個黑球”與“都是黑球”

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、對立事件的定義逐項分析判斷作答.

【詳解】對于A,恰好有一個黑球的事件與恰好有兩個黑球的事件不能同時發(fā)生，可以同時不發(fā)生，

因此“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”是互斥而不對立的兩個事件，A是；

對于B,至少有一個黑球的事件與都是紅球的事件是對立事件，B不是；

對于C,至少有一個黑球的事件與至少有一個紅球的事件可以同時發(fā)生，不互斥，C不是；

對于D,至少有一個黑球的事件與都是黑球的事件可以同時發(fā)生，不互斥，D不是.

故選：A

練習2.已知隨機事件A,B,C中，A與B互斥，5與C對立，＞P（A）=0.3,P（C）=0.6,則尸（）

A.0.3B.0.6C.0.7D.0.9

【答案】C

【分析】由對立事件概率關系得到B發(fā)生的概率，再由互斥事件的概率計算公式即可..

【詳解】因為尸（C）=0.6,事件B與C對立，

所以尸（8）=04,

又尸⑷=0.3,A與B互斥,

所以P（AB）=P（A）+P（B）=0.3+0.4=0.7,

故選：C.

練習3.下列說法中正確的是（）

A.若事件A與事件8是互斥事件，則尸（A）+P（3）=l

B.對于事件A和8,P（AB）=P（A）+P（B）

C.一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，則事件“至少有一次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件

D.把紅、橙、黃、綠4張紙牌隨機分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，則事件“甲分得紅牌”與事件“乙

分得紅牌”是互斥事件

【答案】D

【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件以及事件的關系與運算逐一判斷即可.

【詳解】選項A,因為事件A與事件5是互斥事件，但不一定對立，所以P（A）+P（3）=1不一定成立，故選項A錯

誤；

選項B,因為事件A和8不一定是互斥事件，所以沒有尸（AB）=P（A）+P（B）,故選項B錯誤；

選項C,因為事件“至少有一次中靶”與事件“至多有一次中靶”，可以同時發(fā)生，故選項C錯誤；

選項D,因為件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”不能同時發(fā)生，所以這兩事件是互斥事件，故選項D正確.

故選：D.

練習4.（多選）已知甲罐中有四個相同的小球，標號為1,2,3,4,乙罐中有五個相同的小球，標號為1,2,3,

5,6,現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件A="抽取的兩個小球標號之和大于5"，事件8="抽取的

兩個小球標號之積大于8”，則（）

A.事件A與事件8是互斥事件B.事件A與事件8是對立事件

11°

C.事件發(fā)生的概率為與D.事件發(fā)生的概率為不

【答案】CD

【分析】根據(jù)已知，利用列舉法列出基本事件，再利用交事件、并事件以及古典概型進行求解.

【詳解】由題可知，事件A的所有基本事件為：甲1乙5,甲1乙6,甲2乙5,甲2乙6,甲3乙3,

甲3乙5,甲3乙6,甲4乙2,甲4乙3,甲4乙5,甲4乙6,共H個；

事件8的所有基本事件為：甲2乙5,甲2乙6,甲3乙3,甲3乙5,甲3乙6,甲4乙3,

甲4乙5,甲4乙6,共8個；所以事件A與事件B有“公共部分”，故A、B錯誤；

所以事件AuB的所有基本事件為：甲1乙5,甲1乙6,甲2乙5,甲2乙6,

甲3乙3,甲3乙5,甲3乙6,甲4乙2,甲4乙3,甲4乙5,甲4乙6,共H個；

又從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，共4x5=20個基本事件，

所以事件發(fā)生的概率為三，故C正確；

20

事件Ac3發(fā)生的概率為：甲2乙5,甲2乙6,甲3乙3,甲3乙5,甲3乙6,甲4乙3,甲4乙5,甲4乙6,

Q9

共8個，所以事件發(fā)生的概率為故D正確；

故選：CD.

練習5.某射擊運動員在一次射擊中，射中10環(huán)的概率是射中9環(huán)的概率的2倍，運動員射中9環(huán)以下的概率為0.1,

求運動員在一次射擊中，射中10環(huán)的概率.

【答案】0.6

【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的知識求得正確答案.

【詳解】設事件A設C分別表示“射中10環(huán)”“射中9環(huán)”“射中9環(huán)以下”,則心=Au8，

因為P（A）=2尸（B）,所以尸（0=P（Au8）=P（A）+P（B）=l-0.1=0.9,

得3P（3）=0.9,P（3）=0.3,P（A）=0.6.

即運動員在一次射擊中，射中10環(huán)的概率為0.6.

題型二頻率與概率

例3.在拋擲硬幣試驗中，記事件A為“正面朝上”，則下列說法正確的（）

A.拋擲兩枚硬幣，事件“一枚正面，一枚反面”發(fā)生的概率為:

B.拋擲十枚硬幣，事件B為“拋擲十枚硬幣，正面都朝上”沒有發(fā)生，說明尸（3）=0

C.拋擲100次硬幣，事件A發(fā)生的頻率比拋擲50次硬幣發(fā)生的頻率更接近于0.5

D.當拋擲次數(shù)足夠大時，事件A發(fā)生的頻率接近于0.5

【答案】D

【分析】根據(jù)古典概型判斷AB,利用概率與頻率的關系判斷CD.

【詳解】拋擲兩枚硬幣，出現(xiàn)的基本事件為（正，反），（正，正），（反，正），（反，反），所以事件“一枚正面，一

枚反面”發(fā)生的概率為尸=；,故A錯誤；

“拋擲十枚硬幣，正面都朝上”沒有發(fā)生，不能說明P（3）=0,應有尸（3）=/，故B錯誤；

拋擲100次硬幣，事件A發(fā)生的頻率與拋擲50次硬幣A發(fā)生的頻率不能判斷誰更接近于0.5,故C錯誤；

根據(jù)頻率與概率的關系知，當拋擲次數(shù)足夠大時，事件A發(fā)生的頻率接近于05故D正確.

故選：D

例4.我國古代數(shù)學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米3285石，驗得米內(nèi)有夾谷，抽

樣取米一把，數(shù)得261粒米內(nèi)有夾谷29粒，則這批米內(nèi)夾谷約為石.

【答案】365

【分析】用樣本頻率估計總體頻率，按比例計算.

r29

【詳解】設這批米內(nèi)夾谷約為x粒，則3=言，解得x=365,

3285261

則這批米內(nèi)夾谷約為365.

故答案為：365.

舉1-1反㈢

練習6.在一個不透明的紙盒中裝有2個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同.每次從袋子中隨機摸出一個球，

記下顏色后再放回袋中，通過多次重復試驗發(fā)現(xiàn)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，則袋子中紅球約有個.

【答案】8

【分析】利用頻率結(jié)合古典概型的計算公式代入即可得出答案.

【詳解】因為摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，

估計袋中紅球個數(shù)是X,0.8=—=,"=8.

x+2

故答案為：8.

練習7.某制造商今年3月份生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機抽取100個進行檢查，測得每個乒乓球的直徑（單位：mm）,

將數(shù)據(jù)分組如下：

分組頻數(shù)頻率

[39.95,39.97)100.10

[39.97,39.99)200.20

[39.99,40.01)500.50

[40.01,40.03]200.20

合計1001.00

若用上述頻率近似概率，已知標準乒乓球的直徑為40.00mm,則這批乒乓球的直徑誤差不超過0。3mm的概率

是.

【答案】0.90

【分析】根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)以及概率、頻率的知識求得正確答案.

【詳解】標準尺寸是40.00mm,并且誤差不超過0.03mm,即直徑需落在［39.97,40.03］范圍內(nèi).

由頻率分布表知,頻率為0.20+0.50+0.20=0.90,

所以直徑誤差不超過Q03mm的概率約為0.90.

故答案為：0.90

練習8.（多選）某校為了解學校餐廳中午的用餐情況，分別統(tǒng)計了食用大米套餐和面食的人次數(shù)，剩下的為食用米

線漢堡等其它食品（每人只選一種），結(jié)果如表所示：

總?cè)舜螖?shù)大米套餐人次數(shù)面食人次數(shù)

1000550260

假設隨機抽取一位同學，記中午吃大米套餐為事件吃面食為事件M吃米線漢堡等其他食品為事件H,若用頻

率估計事件發(fā)生的概率，則（）

A.尸（M）=0.55B.尸（N）=0.26

C.P（H）=0.19D.P（N=0.65

【答案】ABC

【分析】利用頻率求各事件對應的概率，應用互斥事件加法求尸（NT/）,判斷各項正誤.

【詳解】用頻率估計概率得：尸（四）=蒜=0.55,P（N）=：^g=0.26,網(wǎng)切=敗彘32=0.19,故A,B,

C正確；

P（NH）表示事件N發(fā)生或事件”發(fā)生，且N與”互斥，

故P（NH）=P（A^）+P（H）=0.19+0.26=0.45,故D錯誤，

故選：ABC.

練習9.甲、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個網(wǎng)站查看這家健身房的評價.甲在網(wǎng)站A查到共有

840人參與評價，其中好評率為95%,乙在網(wǎng)站8查到共有1260人參與評價，其中好評率為85%.綜合考慮這兩

個網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評率為（）

A.88%B.89%C.91%D.92%

【答案】B

【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計算可得.

840x95%+1260x85%

【詳解】由已知可得這家健身房的息好評率為-----------------------=8o9ri%n/.

840+1260

故選：B.

練習10.某車間從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取了1000個零件進行一項質(zhì)量指標的檢測，整理檢測結(jié)果得此項質(zhì)量

指標的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.a=0.005

B.估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標的眾數(shù)為45

C.估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標的中位數(shù)為60

D.從這批產(chǎn)品中隨機選取1個零件，其質(zhì)量指標在［50,70)的概率約為0.5

【答案】C

【分析】利用各組的頻率之和為1,求得。的值，判定A；根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念判定BC；根據(jù)頻率估計概率值，

從而判定D.

【詳解】(4+0.035+0.030+0.020+0.010)x10=1,解得。=0.005,故A正確；

頻率最大的一組為第二組，中間值為"誓=45,所以眾數(shù)為45,故B正確；

質(zhì)量指標大于等于60的有兩組，頻率之和為(0.020+0.010)xl0=0.3<0.5,所以60不是中位數(shù)，故C錯誤；

由于質(zhì)量指標在［50,70)之間的頻率之和為(0.03+0.02)x10=0.5,可以近似認為從這批產(chǎn)品中隨機選取1個零件，其

質(zhì)量指標在［50,70)的概率約為0.5,故D正確.

故選:C

題型三古典概型

例5.用0,1,2三個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，其中三位數(shù)為偶數(shù)的概率是()

A.-B.-C.1D.-

3324

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，用列舉法可寫出所有基本事件，再利用古典概型可解.

【詳解】根據(jù)題意，用0,1,2三個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)有：102,120,210,201共四種情況，

其中三位數(shù)是偶數(shù)有：102,210,120,共3種情況，

故用0,1,2三個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，其中三位數(shù)為偶數(shù)的概率是p

4

故選：D.

例6.若從集合｛1,2,3,4,5｝中任取3個元素組成該集合的一個子集，那么取得的子集中，滿足3個元素中恰好含有2

個連續(xù)整數(shù)的概率等于;

3

【答案】1./0.6

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.

【詳解】從｛1,2,3,4,5｝中任取3個元素形成的子集共有C；=10個，

當連續(xù)整數(shù)為1,2時，此時符合條件的子集有2個；

當連續(xù)整數(shù)為2,3時，此時符合條件的子集有1個；

當連續(xù)整數(shù)為3,4時，此時符合條件的子集有1個，

當連續(xù)整數(shù)為4,5時，此時符合條件的子集有2個，

故有6個子集中恰好含有兩個連續(xù)整數(shù).

故所求概率為4=|，

3

故答案為：—

舉一反三

練習11.江南的周莊、同里、用直、西塘、烏鎮(zhèn)、南涪古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國江南水鄉(xiāng)風貌最具代

表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風貌、古樸的吳儂軟語民俗風情，在世界上獨樹一

幟，馳名中外，這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的有3處.某家庭計劃今年暑假從這6個古鎮(zhèn)中挑選2個去旅游,

則至少選一個蘇州古鎮(zhèn)的概率為（）

A.-B.1C.-D.-

5255

【答案】C

【分析】應用組合數(shù)求出所有可能情況數(shù)，應用古典概型的概率求法、對立事件概率求法求概率即可.

【詳解】從這6個古鎮(zhèn)中挑選2個去旅游的可能情況有點=15種情況，

至少選一個蘇州古鎮(zhèn)的概率為尸=1一G=±.

155

故選：C

練習12.一個不透明的袋中裝有2個紅球，2個黑球，1個白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現(xiàn)從袋中一次

性隨機抽取3個球，則“這3個球的顏色各不相同”的概率為（）

A.|B.—C.-D.-

21055

【答案】D

【分析】列舉出所有可能的結(jié)果，并找出其中符合題意的情況即可得解.

【詳解】由題意設2個紅球分別用｛44｝表示，2個黑球分別用｛4,表示，1個白球用｛CJ表示，

則取出的三個球的組合有以下10種情形:

（A,4,用）、（4,4,，2）、（A,4,G）、（A,4,，2）、（A,4,G）、（'%。1）、

（4,4也）、（4,耳C）、（4也C）、（為%G）,

其中符號條件的有以下四種情形：

（A，4，G）、（A&G）、（4,4，G）、（4，%G）.

49

因此從袋中一次性隨機抽取3個球，貝IJ“這3個球的顏色各不相同”的概率為尸=5=亍

故選：D.

練習13.2022年H月8日，江西省第十六屆