初中幾何最值問題(全面經典版)含解析

將軍飲馬問題（過河問題）二、三、轉移邊構造1.轉移邊構全等2.轉移邊構造平行四邊形3.轉移邊構造圓（多見旋轉與折疊問題）四、利用定值（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半）五、三邊和最小問題六、利用對稱、旋轉構建特殊角（30、45、60、90）七、胡不歸模型問題八、阿氏圓模型問題九、轉化函數(shù)求最值十、特殊平行四邊形中的最值十一、圓中的最值問題將軍飲馬問題（過河問題）例1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于點D，EF垂直平分AB，交AB于點E、AC于點F，在EF上確定一點P，使PB+PD最小，則這個最小值為（）A．10 B．11 C．12 D．13例2．在平面直角坐標系中，長為2的線段CD（點D在點C右側）在x軸上移動，A（0，2），B（0，4），連接AC，BD，則AC+BD的最小值為（）A．2 B．2 C．6 D．3二、例3．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，BD是∠ABC的平分線．若P、Q分別是BD和AB上的動點，則PA+PQ的最小值是（）A． B．4 C． D．5三、轉移邊構造1.轉移邊構全等例4.如圖，邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接EC，將線段EC繞點C逆時針旋轉60°得到FC，連接DF．（則在點E運動過程中，DF的最小值是．例5．如圖，等邊△ABC中，AD為BC邊上的高，點M、N分別在AD、AC上，且AM＝CN，連BM、BN，當BM+BN最小時，∠MBN＝度．2.轉移邊構造平行四邊形例6.如圖，O為矩形ABCD對角線AC，BD的交點，AB＝6，M，N是直線BC上的動點，且MN＝2，則OM+ON的最小值是．例7．如圖，在等邊△ABC和等邊△DEF中，F(xiàn)D在直線AC上，BC＝3DE＝3，連接BD，BE，則當BD+BE最小時D位于何處，在下圖在標記出來，并簡要說明。3.轉移邊構造圓（多見旋轉與折疊問題）例8．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是．變式1、如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′B長度的最小值是．變式2、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點F在邊AC上，并且CF＝2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是（）A．3.2 B．2 C．1.2 D．1例9、如圖，在正方形ABCD中，AB＝a（a為常數(shù)），點E，F(xiàn)分別是BC，CD上的兩個動點，AE與BF交于點P，若BE＝CF，連接CP，當CP有最小值為4時，則a值為．變式1、如圖，已知等邊△ABC的邊長為2，D，E分別為BC，AC上的兩個動點，且AE＝CD，連接BE，AD交于點P，則CP的最小值是．例10、如圖，已知正方形ABCD的邊長是4，點E是AB邊上一動點，連接CE，過點B作BG⊥CE于點G，點P是AB邊上另一動點，則PD+PG的最小值為．變式1、如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，點O為正方形的中心，點G為AB邊上一動點，直線GO交CD于點H，過點D作DE⊥GO，垂足為點E，連接CE，則CE的最小值為（）A．2 B．4﹣ C． D．﹣1四、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半例11．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝8，AC＝3，兩頂點A、B分別在平面直角坐標系的y軸、x軸的正半軸上滑動，點C在第一象限內，連接OC，則OC的長的最大值為（）A．8 B．9 C．4+2 D．4+3變式1．如圖，已知菱形ABCD中，BC＝10，∠BCD＝60°兩頂點B、D分別在平面直角坐標系的y軸、x軸的正半軸上滑動，連接OA，則OA的長的最小值是．例12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分別是AC、BC上的一點，且DE＝3，若以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于M、N，則MN的最大值為．五、三邊和最小問題例13、如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°．在BC，CD上分別找一點M，N，使△AMN周長最小，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為140°．變式1、如圖，∠AOB＝20°，點M、N分別是邊OA、OB上的定點，點P、Q分別是邊OB、OA上的動點，記∠MPQ＝α，∠PQN＝β，當MP+PQ+QN最小時，則β﹣α的值為（）A．10° B．20° C．40° D．60°六、利用對稱、旋轉構建特殊角（30、45、60）例14．如圖，AD，BE在AB的同側，AD＝2，BE＝2，AB＝4，點C為AB的中點，若∠DCE＝120°，則DE的最大值是．例15．在△ABC中，AB＝4，∠A＝30°，AC＝3，點O是△ABC內一點，則點O到△ABC三個頂點的距離和的最小值是．變式1．點O是等邊△ABC內一點，OA＝3，OB＝4，OC＝5，，則∠AOB＝．七、胡不歸問題（PA+kPB：P是動點，A、B是定點，P在直線上運動）背景補充：從前有一小伙子外出務工，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．小伙子略懂數(shù)學常識，考慮到“兩點之間線段最短”的知識，就走布滿沙石的路直線路徑，而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實際情況，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”這個問題引起了人們的思索，小伙子能否節(jié)省路上時間提前到家？如果可以，他應該選擇一條怎樣的路線呢？這就是流傳千百年的“胡不歸問題．抽象出這個故事里的問題，我們會得到一個模型，就如下圖所示：歸納一下運用胡不歸的解題套路：分三步1.化成模型DB+K·AD（K<1）。2.在AD的一側，在BD的異側，構造α,使得sinα=k,得到一條射線AM，以動點所在的線段為斜邊。3.過B點作垂直于AM的垂線即可。例16、如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD+BD的最小值是．練習1．如圖，?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點，則PB+PD的最小值等于．練習2．如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點，則2PB+PD的最小值等于．例17、如圖，P為正方形ABCD對角線BD上一動點，若AB＝2，AP+BP+CP的最小值是多少？練習1、八、阿氏圓（PA+kPB：P是動點，A、B是定點，P在圓上運動）解題套路：構建共角共邊的相似三角形（寫A型）例18．如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12，點C在OA上，AC＝4，點D為OB的中點，點E為弧AB上的動點，OE與CD的交點為F．（1）當四邊形ODEC的面積S最大時，求EF；（2）求CE+2DE的最小值．九、轉化函數(shù)求最值例19.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，當直角三角板MPN的直角頂點P在BC邊上移動時，直角邊MP始終經過點A，設直角三角板的另一直角邊PN與邊CD相交于點Q．則CQ的最大值為．十、特殊平行四邊形中的最值1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是AB上動點，PQ平行于BC交CD于Q．M是AD上動點，MN平行于AB交BC于N．則PM+NQ的最小值為．2．如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，∠DAC＝30°，點P、E分別在AC、AD上，則PE+PD的最小值是．3．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點P是矩形ABCD內一動點，且S△PAB＝S△PCD，則PC+PD的最小值為．4．如圖，菱形ABCD的邊長為3，∠BAD＝60°，點E、F在對角線AC上（點E在點F的左側），且EF＝1，則DE+BF最小值為5．如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點，滿足AM＝BN，連接AC交BN于點E，連接DE交AM于點F，連接CF，若正方形的邊長為6，則線段CF的最小值是．6．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，點P是這個菱形內部或邊上的一點，若以點P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形，則P、D（P、D兩點不重合）兩點間的最短距離為多少？（）A．1 B．C．2 D．7．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點P是邊BC上一動點（點P不與點B，C重合），連接AP，作點B關于直線AP的對稱點M，連接MP，作∠MPC的角平分線交邊CD于點N．則線段MN的最小值為．十一、圓中的最值問題1．如圖，⊙O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PQ切⊙O于點Q，則PQ的最小值為（）A． B． C．3 D．52．如圖，⊙O的半徑為2，AB、CD是互相垂直的兩條直徑，點P是⊙O上任意一點，過點P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，點Q是MN的中點，當點P沿著圓周從點D逆時針方向運動到點C的過程中，當∠QCN度數(shù)取最大值時，線段CQ的長為．3．如圖，在⊙O上有定點C和動點P，位于直徑AB的兩側，過點C作CP的垂線與PB的延長線交于點Q．已知⊙O的直徑為5，tan∠ABC＝，則CQ的最大值為．4．如圖，定長弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動（點C、D與點A、B不重合），M是CD的中點，過點C作CP⊥AB于點P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，則l的最大值是4．5．如圖，⊙O半徑為3，Rt△ABC的頂點A，B在⊙O上，∠B＝90°，點C在⊙O內，且tanA＝，當點A在圓上運動時，則OC的最小值為______．6．如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB、AC于E、F，連接EF，則線段EF長度的最小值為．7．在△ABC中，若O為BC邊的中點，則必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依據(jù)以上結論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，點P在以DE為直徑的半圓上運動，則PF2+PG2的最小值為．8．如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝5，以AB為直徑作⊙O，分別交AC，BC于點E，F(xiàn)，連接EF，OE．（1）求證：∠OEF＝∠ABC；（2）如圖2，連接BE，若點D是線段BE上的一個動點，且tan∠CFE＝2，求CD+BD的最小值．9．如圖，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O經過點C，且圓的直徑AB在線段AE上．（1）證明：CE是⊙O的切線；（2）設點D是線段AC上任意一點（不含端點），連接OD，當AB＝8時，求CD+OD的最小值．10．問題提出：（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，則tanA的值是．（2）如圖②，在正方形ABCD中，AB＝5，點E是平面上一動點，且BE＝2，連接CE，在CE上方作正方形EFGC，求線段CF的最大值．問題解決：（3）如圖③，⊙O半徑為6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，點A，B在⊙O上，點C在⊙O內，且tanA＝．當點A在圓上運動時，求線段OC的最小值．將軍飲馬問題（過河問題）例1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于點D，EF垂直平分AB，交AB于點E、AC于點F，在EF上確定一點P，使PB+PD最小，則這個最小值為（）A．10 B．11 C．12 D．13【解】∵AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于點D，∴AD＝12，∵EF垂直平分AB，∴點A，B關于執(zhí)行EF對稱，∴AD的長度＝PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值為12，故選：C．例2．在平面直角坐標系中，長為2的線段CD（點D在點C右側）在x軸上移動，A（0，2），B（0，4），連接AC，BD，則AC+BD的最小值為（）A．2 B．2 C．6 D．3【解】把B向左移動2個單位得到N，∴AC+BD的最小值為2．故選：B．二、例3．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，BD是∠ABC的平分線．若P、Q分別是BD和AB上的動點，則PA+PQ的最小值是（C）A． B．4 C． D．5【解】如圖，作點Q關于直線BD的對稱點Q′，作AM⊥BC于M，∵PA+PQ＝PA+PQ′，∴根據(jù)垂線段最短可知，當A，P，Q′共線，且與AM重合時，PA+PQ的值最小，最小值＝線段AM的長．∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，∴AC＝8，∴AM＝＝＝，三、轉移邊構造1.轉移邊構全等例4.如圖，邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接EC，將線段EC繞點C逆時針旋轉60°得到FC，連接DF．（則在點E運動過程中，DF的最小值是1.5．【解】如圖，取AC的中點G，連接EG，∵旋轉角為60°，∴∠ECD+∠DCF＝60°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD是等邊△ABC的對稱軸，∴CD＝BC，∴CD＝CG，又∵CE旋轉到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根據(jù)垂線段最短，EG⊥AD時，EG最短，即DF最短，此時∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×6＝3，∴EG＝AG＝×3＝1.5，∴DF＝1.5．故答案為：1.5．例5．如圖，等邊△ABC中，AD為BC邊上的高，點M、N分別在AD、AC上，且AM＝CN，連BM、BN，當BM+BN最小時，∠MBN＝30度．【解】如圖1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，連接NH，BH．∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共線時，BM+BN＝NH+BN的值最小，如圖2中，當B，N，H共線時，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴當BM+BN的值最小時，∠MBN＝30°，故答案為30．2.轉移邊構造平行四邊形例6.如圖，O為矩形ABCD對角線AC，BD的交點，AB＝6，M，N是直線BC上的動點，且MN＝2，則OM+ON的最小值是2．【分析】利用軸對稱變換以及平移變換，作輔助線構造平行四邊形，依據(jù)平行四邊形的性質以及軸對稱的性質，可得當O，N，Q在同一直線上時，OM+ON的最小值等于OQ長，利用勾股定理進行計算，即可得到OQ的長，進而得出OM+ON的最小值．【解】如圖所示，作點O關于BC的對稱點P，連接PM，將MP沿著MN的方向平移MN長的距離，得到NQ，連接PQ，則四邊形MNQP是平行四邊形，∴MN＝PQ＝2，PM＝NQ＝MO，∴OM+ON＝QN+ON，當O，N，Q在同一直線上時，OM+ON的最小值等于OQ長，連接PO，交BC于E，由軸對稱的性質，可得BC垂直平分OP，又∵矩形ABCD中，OB＝OC，∴E是BC的中點，∴OE是△ABC的中位線，∴OE＝AB＝3，∴OP＝2×3＝6，又∵PQ∥MN，∴PQ⊥OP，∴Rt△OPQ中，OQ＝＝＝2，∴OM+ON的最小值是2，例7．如圖，在等邊△ABC和等邊△DEF中，F(xiàn)D在直線AC上，BC＝3DE＝3，連接BD，BE，則當BD+BE最小時D位于何處，在下圖在標記出來，并簡要說明?！窘狻咳鐖D，延長CB到T，使得BT＝DE，連接DT，作點B關于直線AC的對稱點W，連接TW交AC于D,D即為所求。2.轉移邊構造圓（多見旋轉與折疊問題）例8．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是﹣1．【分析】根據(jù)題意，在N的運動過程中A′在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運動，當A′C取最小值時，由兩點之間線段最短知此時M、A′、C三點共線，得出A′的位置，進而利用銳角三角函數(shù)關系求出A′C的長即可．【解】如圖所示：∵MA′是定值，A′C長度取最小值時，即A′在MC上時，過點M作MF⊥DC于點F，∵在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M為AD中點，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，∴∠FMD＝30°，∴FD＝MD＝，∴FM＝DM×cos30°＝，∴MC＝＝，∴A′C＝MC﹣MA′＝﹣1．故答案為：﹣1．變式1、如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′B長度的最小值是﹣1．【分析】根據(jù)菱形的性質，可得△ABD是等邊三角形，即可得AM＝1，BM＝，根據(jù)折疊的性質可得A'M＝AM＝1，當點A'在線段BM上時，A'B長度最小，即最小值為﹣1．【解】如圖，連接BD，BM，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝2，且∠DAB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，且點M是AD的中點，∴BM⊥AD，∴AM＝1，BM＝AM＝，∵將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，∴A'M＝AM＝1，∴當點A'在BM上時，A'B的值最小，∴A'B的最小值為﹣1故答案為：﹣1變式2、28．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點F在邊AC上，并且CF＝2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是（）A．3.2 B．2 C．1.2 D．1【解】如圖，延長FP交AB于M，當FP⊥AB時，點P到AB的距離最?。cP在以F為圓心CF為半徑的圓上，當FP⊥AB時，點P到AB的距離最?。摺螦＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，∴△AFM∽△ABC，∴，∵CF＝2，AC＝6，BC＝8，∴AF＝4，AB＝＝10，∴＝，∴FM＝3.2，∵PF＝CF＝2，∴PM＝1.2∴點P到邊AB距離的最小值是1.2．故選：C．例9、如圖，在正方形ABCD中，AB＝a（a為常數(shù)），點E，F(xiàn)分別是BC，CD上的兩個動點，AE與BF交于點P，若BE＝CF，連接CP，當CP有最小值為4時，則a值為2+2．【分析】根據(jù)正方形的性質得到AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，根據(jù)全等三角形大小在得到∠BAE＝∠CBF，推出點P在以AB為直徑的圓上，設AB的中點為G，由圖形可知：當CPG在同一直線上時，CP有最小值，如圖所示：設BC＝2x，則BG＝x，CG＝4+x，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結論．【解】在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠APB＝90°，∴點P在以AB為直徑的圓上，設AB的中點為G，由圖形可知：當CPG在同一直線上時，CP有最小值，如圖所示：設BC＝2x，則BG＝x，CG＝4+x，∴BC2+BG2＝CG2，即（4+x）2＝4x2+x2，解得：x＝1+（負值舍去）；∴a值為2+2，變式1、如圖，已知等邊△ABC的邊長為2，D，E分別為BC，AC上的兩個動點，且AE＝CD，連接BE，AD交于點P，則CP的最小值是2．【分析】易證△ABD≌△BCE，可得∠BAD＝∠CBE，根據(jù)∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，即可求得∠APE＝∠ABC，推出∠APB＝120°，推出點P的運動軌跡是，∠AOB＝120°，連接CO，求出OC，OA，再利用三角形的三邊關系即可解決問題．【解】∵CD＝AE，∴BD＝CE，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），故∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，∴∠APB＝120°，∴點P的運動軌跡是，∠AOB＝120°，連接CO，∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，∵∠AOB+∠ACB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∵，∴，∴＝＝4．∴OP＝2，∴PC的最小值為OC﹣r＝4＝2．例10、如圖，已知正方形ABCD的邊長是4，點E是AB邊上一動點，連接CE，過點B作BG⊥CE于點G，點P是AB邊上另一動點，則PD+PG的最小值為2．【分析】作DC關于AB的對稱點D′C′，以BC中的O為圓心作半圓O，連D′O分別交AB及半圓O于P、G．將PD+PG轉化為D′G找到最小值．【解】如圖：取點D關于直線AB的對稱點D′．以BC中點O為圓心，OB為半徑畫半圓．連接OD′交AB于點P，交半圓O于點G，連BG．連CG并延長交AB于點E．由以上作圖可知，BG⊥EC于G．PD+PG＝PD′+PG＝D′G由兩點之間線段最短可知，此時PD+PG最?。逥′C′＝4，OC′＝6∴D′O＝∴D′G＝2∴PD+PG的最小值為2變式1、如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，點O為正方形的中心，點G為AB邊上一動點，直線GO交CD于點H，過點D作DE⊥GO，垂足為點E，連接CE，則CE的最小值為（）A．2 B．4﹣ C． D．﹣1【分析】由題意可得點E在以OD為直徑的圓上運動，當OD中點F，點E，點C三點共線時，CE有最小值，由正方形的性質和勾股定理可求CF＝，即可求解．【解】如圖，連接OC，OD，∵DE⊥GO，∴點E在以OD為直徑的圓上運動，∴當OD中點F，點E，點C三點共線時，CE有最小值，∵正方形ABCD的邊長為2，∴OC＝OD＝2，∴OF＝1，∴CF＝＝＝，∴CE的最小值＝﹣1，四、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半例11．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝8，AC＝3，兩頂點A、B分別在平面直角坐標系的y軸、x軸的正半軸上滑動，點C在第一象限內，連接OC，則OC的長的最大值為（）A．8 B．9 C．4+2 D．4+3【分析】取AB中點P，連接OP、CP，根據(jù)直角三角形的性質求出OP，根據(jù)勾股定理求出PC，根據(jù)三角形的三邊關系解答即可．【解】取AB中點P，連接OP、CP，則OP＝AP＝AB＝4，由勾股定理得，CP＝＝5，利用三角形兩邊之和大于點三邊可知：OC≤OP+PC＝9，OC的長的最大值為9，故選：B．變式1．如圖，已知菱形ABCD中，BC＝10，∠BCD＝60°兩頂點B、D分別在平面直角坐標系的y軸、x軸的正半軸上滑動，連接OA，則OA的長的最小值是5﹣5．【分析】利用菱形的性質以及等邊三角形的性質得出A點位置，進而求出AO的長．【解】如圖所示：取BD中點E，OA≥AE-OE。OE為定值，當AE最小時，OA最小。過點A作AE⊥BD于點E，當點A，O，E在一條直線上，此時AO最短，∵菱形ABCD中，BC＝10，∠BCD＝60°，∴AB＝AD＝CD＝BC＝10，∠BAD＝∠BCD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AE過點O，E為BD中點，則此時EO＝BD＝5，故AO的最小值為：AO＝AE﹣EO＝ABsin60°﹣×BD＝5﹣5．例12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分別是AC、BC上的一點，且DE＝3，若以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于M、N，則MN的最大值為．【分析】如圖，連接OM，作OG⊥AB于G，CG⊥AB于G．由題意MN＝2MG＝2，OM＝，推出欲求MN的最大值，只要求出OG的最小值即可．取DE中點O，則OC＝，在Rt△ACB中，∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，∵?AB?CG＝?AC?BC，∴CG＝，當C，O，H共線，且與CK重合時，OH的值最小，∴OH的最小值為﹣＝，∴MN的最大值＝2＝，五、三邊和最小問題例13、如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°．在BC，CD上分別找一點M，N，使△AMN周長最小，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為140°．【解】如圖，作點A關于BC的對稱點A′，關于CD的對稱點A″，連接A′A″與BC、CD的交點即為所求的點M、N，∵∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣110°＝70°，由軸對稱的性質得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×70°＝140°．故答案為140°．變式1、如圖，∠AOB＝20°，點M、N分別是邊OA、OB上的定點，點P、Q分別是邊OB、OA上的動點，記∠MPQ＝α，∠PQN＝β，當MP+PQ+QN最小時，則β﹣α的值為（）A．10° B．20° C．40° D．60°【解】如圖，作M關于OB的對稱點M′，N關于OA的對稱點N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝20°+（180°﹣β），∴180°﹣α＝40°+（180°﹣β），∴β﹣α＝40°，故選：C．六、利用對稱、旋轉構建特殊角（30、45、60）例14．如圖，AD，BE在AB的同側，AD＝2，BE＝2，AB＝4，點C為AB的中點，若∠DCE＝120°，則DE的最大值是6．【解】如圖，作點A關于直線CD的對稱點M，作點B關于直線CE的對稱點N，連接DM，CM，CN，MN，NE．由題意AD＝EB＝2，AC＝CB＝2，DM＝CM＝CN＝EN＝2，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC，∵∠DCE＝120°，∴∠ACD+∠BCE＝60°，∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN，∴∠ACM+∠BCN＝120°，∴∠MCN＝60°，∵CM＝CN＝2，∴△CMN是等邊三角形，∴MN＝2，∵DE≤DM+MN+EN，∴DE≤6，∴當D，M，N，E共線時，DE的值最大，最大值為6，故答案為：6．例15．在△ABC中，AB＝4，∠A＝30°，AC＝3，點O是△ABC內一點，則點O到△ABC三個頂點的距離和的最小值是5．【解】如圖，分別以OA和AB邊向外作等邊三角形ABD和AOE，連接OC，OB，ED，CD，∵△ABD和△AOE都是等邊三角形，∴AE＝AO，AD＝AB，∠OAE＝∠BAD＝60°，∴∠DAE＝∠BAO，在△AED和△AOB中，，∴△AED≌△AOB（SAS），∴DE＝OB，∴OA+OB+OC＝OE+DE+OC，當點C，O，E，D四點共線時，OE+DE+OC的值最小，此時OA+OB+OC＝OE+DE+OC＝CD，∵∠BAC＝30°，∠BAD＝60°，∴∠DAC＝90°，又AB＝4，AC＝3，在Rt△ADC中，CD＝＝＝5．變式1．點O是等邊△ABC內一點，OA＝3，OB＝4，OC＝5，，則∠AOB＝150°．【解】將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′連接OO′，如圖，∵線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，∴BO′＝BO＝4，∠O′BO＝60°，∴△BOO′為等邊三角形，∴∠BOO′＝60°，∵△ABC為等邊三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∴∠O′BO﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，即∠O′BA＝∠OBC，在△O′BA和△OBC中，∴△O′BA≌△OBC（SAS），∴O′A＝OC＝5，在△AOO′中，∵OA′＝5，OO′＝4，OA＝3，∴OA2+OO′2＝O′A2，∴∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝60°+90°＝150°，七、胡不歸問題（PA+kPB：P是動點，A、B是定點，P在直線上運動）背景補充：從前有一小伙子外出務工，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．小伙子略懂數(shù)學常識，考慮到“兩點之間線段最短”的知識，就走布滿沙石的路直線路徑，而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實際情況，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”這個問題引起了人們的思索，小伙子能否節(jié)省路上時間提前到家？如果可以，他應該選擇一條怎樣的路線呢？這就是流傳千百年的“胡不歸問題．抽象出這個故事里的問題，我們會得到一個模型，就如下圖所示：歸納一下運用胡不歸的解題套路：分三步1.化成模型DB+K·AD（K<1）。2.在AD的一側，在BD的異側，構造α,使得sinα=k,得到一條射線AM，以動點所在的線段為斜邊。3.過B點作垂直于AM的垂線即可。例16、如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD+BD的最小值是4．【分析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，設AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理構建方程求出a，再證明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂線段最短即可解決問題．【解】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tanA＝＝2，設AE＝a，BE＝2a，則有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍棄），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形兩腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值為4．練習1．如圖，?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點，則PB+PD的最小值等于3．【分析】過點P作PE⊥AD，交AD的延長線于點E，有銳角三角函數(shù)可得EP＝PD，即PB+PD＝PB+PE，則當點B，點P，點E三點共線且BE⊥AD時，PB+PE有最小值，即最小值為BE．【解】如圖，過點P作PE⊥AD，交AD的延長線于點E，∵AB∥CD∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP＝∴EP＝PD∴PB+PD＝PB+PE∴當點B，點P，點E三點共線且BE⊥AD時，PB+PE有最小值，即最小值為BE，∵sin∠A＝＝∴BE＝3練習2．如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點，則2PB+PD的最小值等于6．【解】如圖，過點P作AD的垂線，交AD延長線于點E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝30°，∴EP＝DP，即DP＝2EP，∴2PB+PD＝2（PB+PE），當點B、P、E三點共線時，PB+EP有最小值，最小值等于BE的長，此時2PB+PD的最小值等于2BE的長，∵此時在Rt△ABE中，∠EAB＝30°，AB＝6，∴BE＝AB＝3，∴2PB+PD的最小值等于6．例17、如圖，P為正方形ABCD對角線BD上一動點，若AB＝2，AP+BP+CP的最小值是多少？答案：法一（胡不歸）法2（旋轉構造等邊）如圖，將△BPC繞點B順時針旋轉60°，得到△BP'C'，可得△PBP'為等邊三角形，若PA+PB+PC＝AP+PP'+P'C'，即AP，PP'，P'C'在一條直線上，PA+PB+PC有最小值，求出AC'的值即可．∵∠ABP+∠PBP'+∠P'BC'＝60°+∠ABP+∠PBC＝150°，∴∠EBC＝30°，∴EC'＝1，BE＝EC'＝，∴AE＝2+，∴AC'＝＝＝+，∴AP+BP+CP的最小值是+．練習1、答案：3八、阿氏圓（PA+kPB：P是動點，A、B是定點，P在圓上運動）解題套路：構建共角共邊的相似三角形（寫A型）例18．如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12，點C在OA上，AC＝4，點D為OB的中點，點E為弧AB上的動點，OE與CD的交點為F．（1）當四邊形ODEC的面積S最大時，求EF；（2）求CE+2DE的最小值．【解】（1）分別過O、E作ON⊥CD于N，EM⊥CD于M，∵CD＝10，∴四邊形ODEC＝S△OCD+S△CDE＝≤CD?OE＝＝60，此時OM、EN、OE重合，∵ON?CD＝OC?OD，∴10×ON＝6×8，∴ON＝，∴；（2）延長OB至點G，使BG＝OB，連接GE、GC、DE，則，∵點D為OB的中點，OB＝OE，∴，∴，又∠DOE＝∠EOG，∴△DOE～△EOG，，∴EG＝2DE，∴CE+2DE＝CE+EG，當C、E、G三點在同一直線上上時，CE+EG最小，CO＝OA﹣AC＝12﹣4＝8，OG＝OB+BG＝12+12＝24，此時，故CE+2DE有最?。拧⒗煤瘮?shù)求最值例19.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，當直角三角板MPN的直角頂點P在BC邊上移動時，直角邊MP始終經過點A，設直角三角板的另一直角邊PN與邊CD相交于點Q．則CQ的最大值為．【解】設BP＝x，則PC＝6﹣x，∵∠APQ＝90°，∴∠APB+∠CPQ＝90°，而∠APB+∠PAB＝90°，∴∠PAB＝∠CPQ，∴Rt△ABP∽△Rt△PCQ，∴＝，∴CQ＝＝﹣（x﹣3）2+，當x＝3時，CQ有最大值．十、特殊平行四邊形中的最值1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是AB上動點，PQ平行于BC交CD于Q．M是AD上動點，MN平行于AB交BC于N．則PM+NQ的最小值為5．【分析】如圖，設PQ交MN于F，連接AF、CF．由四邊形APFM、四邊形CQFN是矩形，推出PM＝AF，NQ＝CF，推出PM+CQ＝AF+CF，由FA+FC≥AC，即可解決問題．【解】如圖，設PQ交MN于F，連接AF、CF、AC．∵四邊形ABCD是矩形，PQ∥BC，MN∥AB，∴可得四邊形APFM、四邊形CQFN是矩形，∴PM＝AF，NQ＝CF，∴PM+CQ＝AF+CF，∵FA+FC≥AC，AC＝＝5，∴AF+FC的最小值為5，∴PM+NQ的最小值為5．2．如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，∠DAC＝30°，點P、E分別在AC、AD上，則PE+PD的最小值是6．【解】作D關于直線AC的對稱點D′，過D′作D′E⊥AD于E，則D′E＝PE+PD的最小值，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵AD＝4，∠DAC＝30°，∵DD′⊥AC，∴∠CDD′＝30°，∴∠ADD′＝60°，∴DD′＝4，∴D′E＝6，3．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點P是矩形ABCD內一動點，且S△PAB＝S△PCD，則PC+PD的最小值為4．【分析】如圖，作PM⊥AD于M，作點D關于直線PM的對稱點E，連接PE，EC．設AM＝x．由PM垂直平分線段DE，推出PD＝PE，推出PC+PD＝PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．【解】如圖，作PM⊥AD于M，作點D關于直線PM的對稱點E，連接PE，EC．設AM＝x．∵四邊形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∵S△PAB＝S△PCD，∴×4×x＝××4×（6﹣x），∴x＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，EC＝＝4，∵PM垂直平分線段DE，∴PD＝PE，∴PC+PD＝PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值為4．4．如圖，菱形ABCD的邊長為3，∠BAD＝60°，點E、F在對角線AC上（點E在點F的左側），且EF＝1，則DE+BF最小值為【分析】作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，連接BM交AC于F，由四邊形DEFM是平行四邊形，推出DE＝FM，推出DE+BF＝FM+FB＝BM，根據(jù)兩點之間線段最短可知，此時DE+FB最短，由四邊形ABCD是菱形，在Rt△BDM中，根據(jù)BM＝計算即可．【解】如圖，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，連接BM交AC于F，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四邊形DEFM是平行四邊形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，根據(jù)兩點之間線段最短可知，此時DE+FB最短，∵四邊形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°∴AD＝AB，∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM＝＝∴DE+BF的最小值為．故答案為．5．如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點，滿足AM＝BN，連接AC交BN于點E，連接DE交AM于點F，連接CF，若正方形的邊長為6，則線段CF的最小值是3﹣3．【分析】先判斷出Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），得出∠DAM＝∠CBN，進而判斷出△DCE≌△BCE（SAS），得出∠CDE＝∠CBE，即可判斷出∠AFD＝90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OF＝AD＝3，利用勾股定理列式求出OC，然后根據(jù)三角形的三邊關系可知當O、F、C三點共線時，CF的長度最?。窘狻咳鐖D，在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠DAM＝∠CBN，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE＝∠CBE∴∠DAM＝∠CDE，∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中點O，連接OF、OC，則OF＝DO＝AD＝3，在Rt△ODC中，OC＝＝3根據(jù)三角形的三邊關系，OF+CF＞OC，∴當O、F、C三點共線時，CF的長度最小，最小值＝OC﹣OF＝3﹣3．6．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，點P是這個菱形內部或邊上的一點，若以點P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形，則P、D（P、D兩點不重合）兩點間的最短距離為多少？（）A．1 B．C．2 D．【分析】分三種情形討論①若以邊BC為底．②若以邊PC為底．③若以邊PB為底．分別求出PD的最小值，即可判斷．【解】在菱形ABCD中，∵∠ABC＝60°，AB＝1，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，①若以邊BC為底，則BC垂直平分線上（在菱形的邊及其內部）的點滿足題意，此時就轉化為了“直線外一點與直線上所有點連線的線段中垂線段最短“，即當點P與點A重合時，PD值最小，最小值為1；②若以邊PC為底，∠PBC為頂角時，以點B為圓心，BC長為半徑作圓，與BD相交于一點，則弧AC（除點C外）上的所有點都滿足△PBC是等腰三角形，當點P在BD上時，PD最小，最小值為﹣1；③若以邊PB為底，∠PCB為頂角，以點C為圓心，BC為半徑作圓，則弧BD上的點A與點D均滿足△PBC為等腰三角形，當點P與點D重合時，PD最小，顯然不滿足題意，故此種情況不存在；綜上所述，PD的最小值為﹣1．故選：D．7．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點P是邊BC上一動點（點P不與點B，C重合），連接AP，作點B關于直線AP的對稱點M，連接MP，作∠MPC的角平分線交邊CD于點N．則線段MN的最小值為．【分析】連接AM、AN，則MN≥AN﹣AM，當A、M、N三點共線時，此時AN取最小，MN＝AN﹣3，則當AN取最小值時，MN最小，由AN＝，AD是定值，得出當DN最小時，AN最小，證明△ABP∽△PCN，得出＝，設BP＝x，PC＝4﹣x，得出CN＝﹣（x﹣2）2+，當x＝2時，CN最大為，則DN最小值為，AN最小值為，即可得出結果．【解】連接AM、AN，如圖所示：∵點B關于直線AP的對稱點M，∴AM＝AB＝3，∵MN≥AN﹣AM，當A、M、N三點共線時，此時AN取最小，MN＝AN﹣AM＝AN﹣3，∴當AN取最小值時，MN最小，∵AN＝，AD＝BC＝4，是定值，∴當DN最小時，AN最小，∵點B關于直線AP的對稱點M，∴∠APB＝∠APM，∵PN平分∠MPC，∴∠MPN＝∠CPN，∴∠APN＝（∠BPM+∠CPM）＝×180°＝90°，∵∠ABP＝∠PCN＝90°，∴∠APB+∠NPC＝∠APB+∠BAP，∴∠NPC＝∠BAP，∴△ABP∽△PCN，∴＝，設BP＝x，PC＝4﹣x，∴＝，∴CN＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+，∴當x＝2時，CN最大為：，∴DN最小值為：CD﹣CN＝3﹣＝，∴AN最小值＝＝＝，∴線段MN的最小值為：﹣3＝，十一、圓中的最值問題1．如圖，⊙O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PQ切⊙O于點Q，則PQ的最小值為（）A． B． C．3 D．5【分析】因為PQ為切線，所以△OPQ是Rt△．又OQ為定值，所以當OP最小時，PQ最?。鶕?jù)垂線段最短，知OP＝3時PQ最小．根據(jù)勾股定理得出結論即可．∴PQ的最小值為＝．故選：B．2．如圖，⊙O的半徑為2，AB、CD是互相垂直的兩條直徑，點P是⊙O上任意一點，過點P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，點Q是MN的中點，當點P沿著圓周從點D逆時針方向運動到點C的過程中，當∠QCN度數(shù)取最大值時，線段CQ的長為．【分析】利用矩形的性質得出OQ＝MN＝OP＝1，再利用當CQ與此圓相切時，∠QCN最大，此時，在直角三角形CQ′O中，通過勾股定理求得答案．【解】連接OQ，∵MN＝OP（矩形對角線相等），⊙O的半徑為2，∴OQ＝MN＝OP＝1，可得點Q的運動軌跡是以O為圓心，1為半徑的半圓，當CQ與此圓相切時，∠QCN最大，則tan∠QCN的最大值，此時，在直角三角形CQ′O中，∠CQ′O＝90°，OQ′＝1，CO＝2，∴CQ′＝＝，即線段CQ的長為．故答案為：．′3．如圖，在⊙O上有定點C和動點P，位于直徑AB的兩側，過點C作CP的垂線與PB的延長線交于點Q．已知⊙O的直徑為5，tan∠ABC＝，則CQ的最大值為．【分析】由AB為直徑和PC⊥CQ可得出∠PCQ＝90°＝∠ACB，又由∠P與∠A為同弦所對的圓周角，可得出∠P＝∠A，從而得出△ACB∽△PCQ，即得出CQ＝?CP，由tan∠ABC＝得出CQ＝CP，當CP最大時，CQ也最大，而CP為圓內一弦，故CP最大為直徑，由此得出CQ的最大值．【解】∵線段AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．∵CQ⊥PC，∴∠PCQ＝90°＝∠ACB，又∵∠P＝∠A（同弦圓周角相等），∴△ACB∽△PCQ，∴．在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，∴CQ＝?CP＝CP．∵線段CP是⊙O內一弦，∴當CP過圓心O時，CP最大，且此時CP＝5．∴CQ＝×5＝．4．如圖，定長弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動（點C、D與點A、B不重合），M是CD的中點，過點C作CP⊥AB于點P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，則l的最大值是4．【解】方法一、延長CP交⊙O于K，則PM＝DK，當DK過O時，DK最大值為8，PM＝DK＝4，方法二、連接CO，MO，∵∠CPO＝∠CMO＝90°，∴C，M，O，P，四點共圓，且CO為直徑（E為圓心），連接PM，則PM為⊙E的一條弦，當PM為直徑時PM最大，所以PM＝CO＝4時PMmax＝4，5．如圖，⊙O半徑為3，Rt△ABC的頂點A，B在⊙O上，∠B＝90°，點C在⊙O內，且tanA＝，當點A在圓上運動時，求OC的最小值．【分析】延長BC交⊙O于點F，連接AF，當OC⊥AF時，OC值最小，由銳角三角函數(shù)和勾股定理可求AC2的值，由勾股定理可求OC的長．【解】延長BC交⊙O于點F，連接AF，如圖所示：∵∠B＝90°，∴AF為⊙O的直徑經過點O，AF＝2×3＝6，∵tanA＝，∴∠CAB、∠ACB為定值，∴∠ACF為定值，∴當OC⊥AF時，OC值最小，設BC＝3x，則AB＝4x，x＞0，∵OC⊥AF，OA＝OF，∴FC＝AC＝＝＝5x，∴BF＝CF+BC＝5x+3x＝8x，在Rt△ABF中，AF2＝AB2+BF2，即62＝（4x）2+（8x）2，解得：x2＝，∴AC2＝（5x）2＝25×＝，∴在Rt△AOC中，OC＝＝＝，∴線段OC的最小值是．6．如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB、AC于E、F，連接EF，則線段EF長度的最小值為．【分析】連接OE、OF，作OM⊥EF于M，作AN⊥BC于N，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠EOF＝120°，再計算出EF＝OE，則OE最小時，EF的長度最小，此時圓的直徑的長最小，利用垂線段最短得到AD的長度最小值為AN的長，接著計算出AN＝，從而得到OE的最小值為，然后確定EF長度的最小值．【解】連接OE、OF，作OM⊥EF于M，作AN⊥BC于N，如圖，∵∠EOF＝2∠BAC＝2×60°＝120°，而OE＝OF，OM⊥EF，∴∠OEM＝30°，EM＝FM，在Rt△OEM中，OM＝OE，EM＝OE，∴EF＝2EM＝OE，當OE最小時，EF的長度最小，此時圓的直徑的長最小，即AD的長最小，∵AD的長度最小值為AN的長，而AN＝AB＝，∴OE的最小值為，∴EF長度的最小值為×＝．7．在△ABC中，若O為BC邊的中點，則必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依據(jù)以上結論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，點P在以DE為直徑的半圓上運動，則PF2+PG2的最小值為10．【分析】設點M為DE的中點，點N為FG的中點，連接MN，則MN、PM的長度是定值，利用三角形的三邊關系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2＝2PN2+2FN2即可求出結論．【解】設點M為DE的中點，點N為FG的中點，連接MN交半圓于點P，此時PN取最小值．∵DE＝4，四邊形DEFG為矩形，∴GF＝DE，MN＝EF，∴MP＝FN＝DE＝2，∴NP＝MN﹣MP＝EF﹣MP＝1，∴PF2+PG2＝2PN2+2FN2＝2×12+2×22＝10．8．如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝5，以AB為直徑作⊙O，分別交AC，BC于點E，F(xiàn)，連接EF，OE．（1）求證：∠OEF＝∠ABC；（2）如圖2，連接BE，若點D是線段BE上的一個動點，且tan∠CFE＝2，求CD+BD的最小值．【分析】（1）如圖1中，連接AF，OF．想辦法證明∠EOF＝∠FOB，再根據(jù)等腰三角形的性質證明即可．（2）如圖2中，連接AF，過點C作CM⊥AB于M，過點D作DH⊥AB于H．在Rt△AEB中，tan∠CAB＝，tan∠CFE＝2，可得＝2，設AE＝k，則BE＝2k，根據(jù)AE2+BE2＝AB2，可得k2+（2k）2＝52，解得k＝