專題02 第二章 直線和圓的方程 典型例題講解（二）原卷版

專題02第二章直線和圓的方程典型例題講解（二）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、基本概念回歸 1二、重點(diǎn)例題（高頻考點(diǎn)） 4高頻考點(diǎn)一：圓的方程 4高頻考點(diǎn)二：與圓有關(guān)的最值問題 5高頻考點(diǎn)三：軌跡方程 6高頻考點(diǎn)四：直線與圓相交的弦長問題 7高頻考點(diǎn)五：圓的切線問題 7高頻考點(diǎn)六：圓中的中點(diǎn)弦問題 8高頻考點(diǎn)七：過定點(diǎn)的直線和圓相交的判定與最短弦長問題 9高頻考點(diǎn)八：兩圓相交的公共弦所在直線的方程及弦長 9高頻考點(diǎn)九：直線與圓的綜合問題 11一、基本概念回歸知識回顧1：圓的方程1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程我們把方程稱為圓心為半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.1.2圓的一般方程對于方程（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.①當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；②當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形說明：圓的一般式方程特點(diǎn)：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項(xiàng)；③.知識回顧2：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷點(diǎn)與：位置關(guān)系的方法:（1）幾何法（優(yōu)先推薦）設(shè)到圓心的距離為，則①則點(diǎn)在外②則點(diǎn)在上③則點(diǎn)在內(nèi)（2）代數(shù)法將點(diǎn)帶入：方程內(nèi)①點(diǎn)在外②點(diǎn)在上③點(diǎn)在內(nèi)知識回顧3：直線與圓的位置關(guān)系3.1幾何法（優(yōu)先推薦）圖象位置關(guān)系相交相切相離判定方法；。圓心到直線的距離：。圓與直線相交。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相切。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相離。3.2代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)①直線與圓相交②直線與圓相切③直線與圓相離記直線被圓截得的弦長為的常用方法知識回顧4：直線與圓相交弦長4.1、幾何法（優(yōu)先推薦）①弦心距（圓心到直線的距離）②弦長公式：4.2、代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)弦長公式：知識回顧5：圓與圓的位置關(guān)系5.1幾何法設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為.①當(dāng)時(shí)，兩圓相交；②當(dāng)時(shí)，兩圓外切；③當(dāng)時(shí)，兩圓外離；④當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切；⑤當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含.5.2代數(shù)法設(shè)::聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次方程，求出其①與設(shè)設(shè)相交②與設(shè)設(shè)相切（內(nèi)切或外切）③與設(shè)設(shè)相離（內(nèi)含或外離）知識回顧6：圓與圓的公共弦6.1、圓與圓的公共弦圓與圓相交得到的兩個(gè)交點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的線段就是兩圓的公共弦.6.2、公共弦所在直線的方程設(shè)::聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程二、重點(diǎn)例題（高頻考點(diǎn)）高頻考點(diǎn)一：圓的方程1．（2023秋·湖北武漢·高三武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）圓心在直線上且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程是．2．（2023·全國·高二課堂例題）如圖所示，設(shè)圓的圓心C在直線：上，且，都是圓上的點(diǎn)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知某圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，圓心M在直線上，求該圓的方程．4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求過點(diǎn)，圓心在直線上，且與直線相切的圓的方程．5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓的方程．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，求的外接圓的方程.高頻考點(diǎn)二：與圓有關(guān)的最值問題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動點(diǎn)P滿足，則的最小值為是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，，點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P到點(diǎn)C距離的最大值為．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)是圓：上的動點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最大值為．4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）點(diǎn)在動直線上的投影為點(diǎn)M，若點(diǎn)，那么的最小值為.5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知實(shí)數(shù)、滿足，求的最大值．6．（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在直線：上.(1)求圓心為的圓的一般方程；(2)已知，為圓上的點(diǎn)，求的最大值和最小值.高頻考點(diǎn)三：軌跡方程1．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為．2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓的方程是，則圓心的軌跡方程為.3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知定點(diǎn)，動點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在線段上，且，求點(diǎn)的軌跡方程．

4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）的頂點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別是，，頂點(diǎn)A在圓上運(yùn)動，求的重心G的軌跡方程.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）從定點(diǎn)向圓任意引一割線交圓于P，Q兩點(diǎn)，求弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程.高頻考點(diǎn)四：直線與圓相交的弦長問題1．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）直線與圓相交于、兩點(diǎn)，若，則等于（

）A．0 B． C．或0 D．或02．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）圓被過點(diǎn)的直線截得的最短弦長為（

）A．2 B．4 C． D．3．（2023秋·江蘇·高二南京市人民中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）圓與直線相交于，兩點(diǎn)，則．4．（2023·全國·高二課堂例題）已知直線和圓心為C的圓，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長.5．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓C：內(nèi)有一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l交圓C于A，B兩點(diǎn).(1)當(dāng)弦AB最長時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)直線l被圓C截得的弦長為時(shí)，求l的方程.高頻考點(diǎn)五：圓的切線問題1．（2023秋·廣西玉林·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線的方程為（）A． B．C． D．3．（2023秋·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓被軸截得的弦長為2，且與直線相切，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．3 D．5．（2023秋·湖南永州·高二永州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知⊙M：，直線l：，點(diǎn)P為直線l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙M的切線，切點(diǎn)為A，則切線段長的最小值為．6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線與圓相切，則.高頻考點(diǎn)六：圓中的中點(diǎn)弦問題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與圓:相交于兩點(diǎn),弦的中點(diǎn)為,則直線的方程為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)又本€（其中且為變動參數(shù)）和圓相交于、兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程．3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)為，求直線的方程．

4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，AB為過點(diǎn)且傾斜角為α的弦．(1)當(dāng)時(shí)，求弦AB的長；(2)若弦AB被點(diǎn)P平分，求直線AB的方程．高頻考點(diǎn)七：過定點(diǎn)的直線和圓相交的判定與最短弦長問題1．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知圓，直線則直線被圓截得的弦長的最小值為（

）A．5 B．4 C．10 D．22．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓：，則過點(diǎn)的最短弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，則弦最短時(shí)直線的方程為（

）A． B．C． D．4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)且被圓C：所截得的弦長最短，求此時(shí)直線l的方程．高頻考點(diǎn)八：兩圓相交的公共弦所在直線的方程及弦長1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知過圓外一點(diǎn)做圓的兩條切線，切點(diǎn)為兩點(diǎn)，求所在的直線方程為（

）A． B．C． D．2．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓和圓交于兩點(diǎn)，求公共弦的長．4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，圓．(1)求兩圓的公共弦長；(2)求兩圓的公切線方程．5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若圓O：x2＋y2＝5與圓O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則直線AB的方程為；線段AB的長為．

（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則公共弦所在的直線方程為，.高頻考點(diǎn)九：直線與圓的綜合問題1．（2023秋·湖南湘西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，過點(diǎn)的直線與圓相交于不重合的A，B兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且A，B，O三點(diǎn)構(gòu)成三角形．

(1)求直線l的斜率的取值范圍；(2)的面積為，求的最大值，并求取得最大值時(shí)的值．2．（2023秋·江蘇南通·高二海安高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知圓M與直線相切，圓心M在直線上，且直線被圓M截得的弦長為．(1)求圓M的方程；(2)若在x軸上的截距為且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l與圓M交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．3．（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)校考期末）已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，圓與軸相切，圓心的坐標(biāo)是.(1)若過點(diǎn)作圓的切線有兩條，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，求直線的方程.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線l：與圓C：相交于A、B兩點(diǎn)．(1)若，求