2022-2023學年九年級數學上冊舉一反三系列專題1.7 一元二次方程章末題型過關卷（蘇科版）含解析

2022-2023學年九年級數學上冊舉一反三系列第1章一元二次方程章末題型過關卷【蘇科版】考試時間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．(3分)（2022春?溫州期中）若關于x的方程x2+2ax+4a＝0有一個根為﹣3，則a的值是（）A．9 B．4.5 C．3 D．﹣32．(3分)（2022春?張店區(qū)期末）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正確的是（）A．(x-14)2C．(x-12)3．(3分)（2022春?萊蕪區(qū)期末）以x=4±A．x2﹣4x﹣c＝0 B．x2+4x﹣c＝0 C．x2﹣4x+c＝0 D．x2+4x+c＝04．(3分)（2022秋?沐川縣期末）m是方程x2+x﹣2＝0的根，則代數式2m2+2m﹣2022的值是（）A．﹣2018 B．2018 C．﹣2026 D．20265．(3分)（2022春?淄川區(qū)期中）已知多項式P=12x﹣2，Q＝x2-32x（x為任意實數），試比較多項式A．無法確定 B．P＞Q C．P＝Q D．P＜Q6．(3分)（2022秋?雄縣期末）已知y1和y2均是以x為自變量的函數，當x＝m時，函數值分別是M1和M2，若存在實數m，使得M1+M2＝0，則稱函數y1和y2是“和諧函數”．以下函數y1和y2是“和諧函數”的是（）A．y1=-1x和y2＝﹣x+1 B．y1=xC．y1=-1x和y2＝﹣x﹣1 D．y1=7．(3分)（2022秋?香洲區(qū)期末）已知一個直角三角形的兩邊長是方程x2﹣9x+20＝0的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長為（）A．3 B．41 C．3或41 D．5或418．(3分)（2022?蜀山區(qū)一模）“穩(wěn)字當頭”的中國經濟是全球經濟的“穩(wěn)定器”，穩(wěn)就業(yè)，保民生，防風險，守住“穩(wěn)”的基礎，才有更多“進”的空間．2020，2021這兩年中國經濟的年平均增長率為5.1%，其中2021年的年增長率為8.1%，若設2020年的年增長率為x，則可列方程為（）A．8.1%（1﹣x）2＝5.1% B．（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2 C．5.1%（1+x）2＝8.1% D．（1+x）（1+8.1%）＝2（1+5.1%）9．(3分)（2022?周村區(qū)二模）已知a、b、m、n為互不相等的實數，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，則ab﹣mn的值為（）A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣110．(3分)（2022?青縣二模）定義運算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若關于x的方程a※x＝0有實數根，則a的取值范圍為（）A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．a≥0或a≤﹣1 D．a＞0或a≤﹣1二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．(3分)（2022秋?鄂州期末）如果a﹣b+c＝0，則關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根有一個為．12．(3分)（2022?成都模擬）若m是x2﹣2x﹣3＝0的一個實數根，則(m213．(3分)（2022?海曙區(qū)自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+k4）＝0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數k的取值范圍是14．(3分)（2022秋?鹽湖區(qū)校級月考）如圖，點A在數軸的負半軸，點B在數軸的正半軸，且點A對應的數是2x﹣1，點B對應的數是x2+x，已知AB＝5，則x的值為．15．(3分)（2022?天府新區(qū)模擬）給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的2倍，則我們稱這個矩形是給定矩形的“加倍矩形”，當已知矩形的長和寬分別為3和1時，其“加倍矩形”的對角線長為．16．(3分)（2022秋?昌江區(qū)校級期末）若實數a，b，c滿足12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，則a+b+c＝．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．(6分)（2022春?道里區(qū)期末）解下列方程：（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0；（2）x2﹣4x﹣1＝0．18．(6分)（2022秋?海淀區(qū)期末）已知關于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數根；（2）若m＜0，且該方程的兩個實數根的差為3，求m的值．19．(8分)（2022秋?安居區(qū)期末）為解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我們可以將x2﹣1視為一個整體，然后設x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程可化為y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．當y＝1時，x2﹣1＝1，所以x=±2當y＝4時，x2﹣1＝4，所以x=±5所以原方程的根為x1=2，x2=-以上解方程的方法叫做換元法，利用換元法達到了降次的目的，體現了數學的轉化思想．運用上述方法解下列方程：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；（2）x4+x2﹣12＝0．20．(8分)（2022春?西湖區(qū)校級期中）對于任意一個三位數k，如果k滿足各個數位上的數字都不為零，且十位上的數字的平方等于百位上的數字與個位上的數字之積的4倍，那么稱這個數為“喜鵲數”．例如：k＝169，因為62＝4×1×9，所以169是“喜鵲數”．（1）已知一個“喜鵲數”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數），請直接寫出a，b，c所滿足的關系式；判斷241“喜鵲數”（填“是”或“不是”），并寫出一個“喜鵲數”；（2）利用（1）中“喜鵲數”k中的a，b，c構造兩個一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個根，x＝n是方程②的一個根，求m與n滿足的關系式；（3）在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請直接寫出滿足條件的所有k的值．21．(8分)（2022春?南海區(qū)月考）閱讀材料題：我們知道a2≥0，所以代數式a2的最小值為0．學習了多項式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a±b）2來求一些多項式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值問題．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值為﹣6．請應用上述思想方法，解決下列問題：（1）探究：x2﹣4x+5＝（x﹣）2+；（2）代數式x2+x有最（填“大”或“小”）值為；（3）應用：若A＝x2﹣1與B＝2x﹣3，試比較A與B的大小.22．(8分)（2022秋?黔江區(qū)期末）火鍋是重慶人民鐘愛的美食之一．解放碑某火鍋店為抓住“十一”這個商機，于九月第一周推出了A、B兩種火鍋套餐，5桌A套餐與10桌B套餐的總售價為1600元，其中A套餐比B套餐每桌貴20元．（1）求A套餐的售價是多少元？（2）第一周A套餐的銷售量為800桌，B套餐的銷售量為1300桌．為了更好的了解市場，火鍋店決定從第二周開始，對A，B套餐的銷售價格都進行調整，其中A套餐的銷售價格比第一周的價格下調a%，發(fā)現銷售量比第一周增加了13a%，B套餐的銷售價格比第一周的價格下調了12a%，發(fā)現銷售量比第一周增加了140桌，最終第二周A套餐的銷售總額比B套餐的銷售總額少了48000元．求23．(3分)（2022春?新昌縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，點P從點C開始沿射線CA方向以1cm/s的速度運動；同時，點Q也從點C開始沿射線CB方向以3cm/s的速度運動．（1）幾秒后△PCQ的面積為3cm2？此時PQ的長是多少？（結果用最簡二次根式表示）（2）幾秒后以A、B、P、Q為頂點的四邊形的面積為22cm2？第1章一元二次方程章末題型過關卷【蘇科版】參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．(3分)（2022春?溫州期中）若關于x的方程x2+2ax+4a＝0有一個根為﹣3，則a的值是（）A．9 B．4.5 C．3 D．﹣3【分析】把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，然后解關于a的一次方程即可．【解答】解：把x＝﹣3代入方程得9﹣6a+4a＝0，解得a＝4.5．故選：B．2．(3分)（2022春?張店區(qū)期末）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正確的是（）A．(x-14)2C．(x-12)【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結果，即可作出判斷．【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，整理得：x2﹣x=1配方得：x2﹣x+14=34，即（x故選：C．3．(3分)（2022春?萊蕪區(qū)期末）以x=4±A．x2﹣4x﹣c＝0 B．x2+4x﹣c＝0 C．x2﹣4x+c＝0 D．x2+4x+c＝0【分析】根據求根公式逐一判斷即可．【解答】解：A．此方程的根為x=4±B．此方程的根為x=-4±C．此方程的根為x=4±D．此方程的根為x=-4±故選：A．4．(3分)（2022秋?沐川縣期末）m是方程x2+x﹣2＝0的根，則代數式2m2+2m﹣2022的值是（）A．﹣2018 B．2018 C．﹣2026 D．2026【分析】把x＝m代入已知方程，可以求得m2+m＝2，然后整體代入所求的代數式求值即可．【解答】解：∵實數m是關于x的方程x2+x﹣2＝0的一個根，∴m2+m﹣2＝0，∴m2+m＝2，∴2m2+2m﹣2022＝2（m2+m）﹣2022＝﹣2018．故選：A．5．(3分)（2022春?淄川區(qū)期中）已知多項式P=12x﹣2，Q＝x2-32x（x為任意實數），試比較多項式A．無法確定 B．P＞Q C．P＝Q D．P＜Q【分析】先求出Q﹣P的差，再利用完全平方公式以及偶次方的性質即可求出P與Q的大?。窘獯稹拷猓骸逷=12x﹣2，Q＝x2-∴Q﹣P＝x2-32x-12x+2＝x2﹣2x+2＝（∴P＜Q．故選：D．6．(3分)（2022秋?雄縣期末）已知y1和y2均是以x為自變量的函數，當x＝m時，函數值分別是M1和M2，若存在實數m，使得M1+M2＝0，則稱函數y1和y2是“和諧函數”．以下函數y1和y2是“和諧函數”的是（）A．y1=-1x和y2＝﹣x+1 B．y1=xC．y1=-1x和y2＝﹣x﹣1 D．y1=【分析】根據題意，令y1+y2＝0，若方程有解，則稱函數y1和y2是“和諧函數”，若無解，則稱函數y1和y2不是“和諧函數”．【解答】解：A、令y1+y2＝0，則-1x整理得：x2﹣x+1＝0，此方程無解，∴函數y1和y2不是“和諧函數”，故A不符合題意；B、令y1+y2＝0，則x2+2x﹣x+1＝0，整理得：x2+x+1＝0，此方程無解，∴函數y1和y2不是“和諧函數”，故B不符合題意；C、A、令y1+y2＝0，則-1x整理得：x2+x+1＝0，此方程無解，∴函數y1和y2不是“和諧函數”，故C不符合題意；D、A、令y1+y2＝0，則x2+2x﹣x﹣1＝0，整理得：x2+x﹣1＝0，解得：x1=-1+52，x∴函數y1和y2是“和諧函數”，故D符合題意；故選：D．7．(3分)（2022秋?香洲區(qū)期末）已知一個直角三角形的兩邊長是方程x2﹣9x+20＝0的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長為（）A．3 B．41 C．3或41 D．5或41【分析】利用因式分解法解方程求出x的值，再分情況討論求解即可．【解答】解：∵x2﹣9x+20＝0，∴（x﹣4）（x﹣5）＝0，則x﹣4＝0或x﹣5＝0，解得x1＝4，x2＝5，若4、5均為直角邊長度，則斜邊長度為42若4、5有一邊是斜邊長度，則斜邊長度為5，故選：D．8．(3分)（2022?蜀山區(qū)一模）“穩(wěn)字當頭”的中國經濟是全球經濟的“穩(wěn)定器”，穩(wěn)就業(yè)，保民生，防風險，守住“穩(wěn)”的基礎，才有更多“進”的空間．2020，2021這兩年中國經濟的年平均增長率為5.1%，其中2021年的年增長率為8.1%，若設2020年的年增長率為x，則可列方程為（）A．8.1%（1﹣x）2＝5.1% B．（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2 C．5.1%（1+x）2＝8.1% D．（1+x）（1+8.1%）＝2（1+5.1%）【分析】增長率問題，一般用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），根據等量關系列出方程即可求解．【解答】解：根據題意可得：（1+x）（1+8.1%）＝（1+5.1%）2．故選：B．9．(3分)（2022?周村區(qū)二模）已知a、b、m、n為互不相等的實數，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，則ab﹣mn的值為（）A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1【分析】先把已知條件變形得到a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，則可把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的兩實數根，利用根與系數的關系得到ab＝mn﹣2，從而得到ab﹣mn的值．【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，而a、b、m、n為互不相等的實數，∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的兩實數根，∴ab＝mn﹣2，∴ab﹣mn＝﹣2．故選：C．10．(3分)（2022?青縣二模）定義運算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若關于x的方程a※x＝0有實數根，則a的取值范圍為（）A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．a≥0或a≤﹣1 D．a＞0或a≤﹣1【分析】根據新定義運算法則列出關于x的方程，根據根的判別式進行判斷即可．【解答】解：由題意可知：a※x＝ax2﹣2ax﹣1＝0，當a＝0時，原來方程變形為﹣1＝0，方程無解；當a≠0時，∵關于x的方程a※x＝0有實數根，∴Δ＝4a2+4a＝4a（a+1）≥0，解得a≤﹣1或a＞0．故選：D．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．(3分)（2022秋?鄂州期末）如果a﹣b+c＝0，則關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根有一個為﹣1．【分析】將x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0中的左邊，得到a﹣b+c，由a﹣b+c＝0得到方程左右兩邊相等，即x＝﹣1是方程的解．【解答】解：將x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0的左邊得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝a﹣b+c，∵a﹣b+c＝0，∴x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根．故答案為：﹣1．12．(3分)（2022?成都模擬）若m是x2﹣2x﹣3＝0的一個實數根，則(m2【分析】將x＝m代入已知方程得到m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m；然后將其代入所求的代數式進行化簡即可．【解答】解：依題意得：m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m，∴(＝3×＝3×1＝3．故答案是：3．13．(3分)（2022?海曙區(qū)自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+k4）＝0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數k的取值范圍是3＜k【分析】根據原方程可得出：①x﹣1＝0，②x2﹣2x+k4=0；根據根與系數的關系，可求出②方程的x1+x2和x1﹣x2【解答】解：由題意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x+k設x2﹣2x+k4=0的兩根分別是m、n（m≥n）；則m+n＝2，m﹣n=(m+n)根據三角形三邊關系定理，得：m﹣n＜1＜m+n，即4-k＜∴4-k＜14-k≥0，解得3＜14．(3分)（2022秋?鹽湖區(qū)校級月考）如圖，點A在數軸的負半軸，點B在數軸的正半軸，且點A對應的數是2x﹣1，點B對應的數是x2+x，已知AB＝5，則x的值為1-172【分析】先根據數軸上兩點之間的距離公式列出關于x的方程，解之求出x的值，再結合A、B的位置取舍即可．【解答】解：根據題意，得：x2+x﹣（2x﹣1）＝5，整理，得：x2﹣x﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，則x=-b±∴x1=1+172，x∵點A在數軸的負半軸，∴2x﹣1＜0，即x＜1∴x=1-故答案為：1-1715．(3分)（2022?天府新區(qū)模擬）給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的2倍，則我們稱這個矩形是給定矩形的“加倍矩形”，當已知矩形的長和寬分別為3和1時，其“加倍矩形”的對角線長為213．【分析】設“加倍矩形”的長為x，則寬為[2×（3+1）﹣x]，根據矩形的面積計算公式，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結論．【解答】解：設“加倍”矩形的長為x，則寬為[2×（3+1）﹣x]，依題意，得：x[2×（3+1）﹣x]＝2×3×1，整理，得：x2﹣8x+6＝0，解得：x1＝4+10，x2＝4-當x＝4+10時，2×（3+1）﹣x＝4-10＜當x＝4-10時，2×（3+1）﹣x＝4+10＞∴“加倍矩形”的對角線長為(4+10)2故答案為：213．16．(3分)（2022秋?昌江區(qū)校級期末）若實數a，b，c滿足12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，則a+b+c＝-52【分析】利用配方法將原式變形，再利用非負數的性質求得a，b，c的值，最后代入計算即可．【解答】解：∵12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，∴12a2+7b2+5c2﹣12a|b|+4b|c|+16c+16≤0．∴3（4a2﹣4a|b|+b2）+（4b2+4b|c|+c2）+4（c2+4c+4）≤0．∴3（2a﹣|b|）2+（2b+|c|）2+4（c+2）2≤0．∵3（2a﹣|b|）2≥0，（2b+|c|）2≥0，4（c+2）2≥0，∴2a-|b|=02b+|c|=0解得：a=1∴a+b+c=12-故答案為：-5三．解答題（共7小題，滿分52分）17．(6分)（2022春?道里區(qū)期末）解下列方程：（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0；（2）x2﹣4x﹣1＝0．【分析】（1）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移項后配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣2x+4＝0，（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，x﹣2＝0或x﹣2﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝4；（2）x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，配方，得x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，開方得：x﹣2=±5解得：x1＝2+5，x2＝2-18．(6分)（2022秋?海淀區(qū)期末）已知關于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求證：該方程總有兩個實數根；（2）若m＜0，且該方程的兩個實數根的差為3，求m的值．【分析】（1）利用根的判別式進行求解即可；（2）設方程的較大的實數根為x1，較小的實數根為x2，則有x1﹣x2＝3，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝1﹣m，從而可進行求解．【解答】（1）證明：∵Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×（1﹣m）＝m2≥0，∴原方程有兩個相等的實數根或兩個不等的實數根，即該方程總有兩個實數根；（2）設方程的較大的實數根為x1，較小的實數根為x2，依題意得：x1﹣x2＝3，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝1﹣m，∴（x1﹣x2）2＝32，x12﹣2x1x2+x22＝9，x12+x22＝9+2x1x2＝9+2（1﹣m）＝11﹣2m，∵（x1+x2）2＝（m﹣2）2，∴x12+2x1x2+x22＝m2﹣4m+4，∴11﹣2m+2（1﹣m）＝m2﹣4m+4，整理得：m2＝9，解得：m＝3或m＝﹣3，∵m＜0，∴m＝﹣3．19．(8分)（2022秋?安居區(qū)期末）為解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我們可以將x2﹣1視為一個整體，然后設x2﹣1＝y(tǒng)，則原方程可化為y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．當y＝1時，x2﹣1＝1，所以x=±2當y＝4時，x2﹣1＝4，所以x=±5所以原方程的根為x1=2，x2=-以上解方程的方法叫做換元法，利用換元法達到了降次的目的，體現了數學的轉化思想．運用上述方法解下列方程：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；（2）x4+x2﹣12＝0．【分析】（1）設x2﹣x＝a，原方程可化為a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可；（2）設x2＝y(tǒng)，原方程化為y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y(tǒng)求出x即可．【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，設x2﹣x＝a，則原方程可化為a2﹣4a+4＝0，解此方程得：a1＝a2＝2，當a＝2時，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1，所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；（2）x4+x2﹣12＝0，設x2＝y(tǒng)，則原方程化為y2+y﹣12＝0，因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，解得：y1＝3，y2＝﹣4，當y＝3時，x2＝3，解得：x=±3當y＝﹣4時，x2＝﹣4，無實數根，所以原方程的解是x1=3，x2=-20．(8分)（2022春?西湖區(qū)校級期中）對于任意一個三位數k，如果k滿足各個數位上的數字都不為零，且十位上的數字的平方等于百位上的數字與個位上的數字之積的4倍，那么稱這個數為“喜鵲數”．例如：k＝169，因為62＝4×1×9，所以169是“喜鵲數”．（1）已知一個“喜鵲數”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c為正整數），請直接寫出a，b，c所滿足的關系式b2﹣4ac＝0；判斷241不是“喜鵲數”（填“是”或“不是”），并寫出一個“喜鵲數”121；（2）利用（1）中“喜鵲數”k中的a，b，c構造兩個一元二次方程ax2+bx+c＝0①與cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一個根，x＝n是方程②的一個根，求m與n滿足的關系式；（3）在（2）中條件下，且m+n＝﹣2，請直接寫出滿足條件的所有k的值．【分析】（1）根據喜鵲數的定義解答即可；（2）根據一元二次方程的定義和根的判別式解答即可；（3）求出m與n互為倒數，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，結合喜鵲數的定義即可得出答案．【解答】解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鵲數，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，∴241不是喜鵲數；∵各個數位上的數字都不為零，百位上的數字與個位上的數字之積的4倍，∴十位上的數字的平方最小為4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鵲數”是121．故答案為：b2﹣4ac＝0；不是；121．（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一個根，∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，將cn2+bn+a＝0兩邊同除以n2得：a（1n）2+b（1n）+∴將m、1n看成是方程ax2+bx+c∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2+bx+c有兩個相等的實數根，∴m=1n，即故答案為：mn＝1．（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，∴m＝﹣1，n＝﹣1，∴a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∵b2＝4ac，∴（a+c）2＝4ac，解得：a＝c，∴滿足條件的所有k的值為121，242，363，484．故答案為：121，242，363，484．21．(8分)（2022春?南海區(qū)月考）閱讀材料題：我們知道a2≥0，所以代數式a2的最小值為0．學習了多項式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a±b）2來求一些多項式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值問題．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值為﹣6．請應用上述思想方法，解決下列問題：（1）探究：x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1；（2）代數式x2+x有最?。ㄌ睢按蟆被颉靶　保┲禐?14（3）應用：若A＝x2﹣1與B＝2x﹣3，試比較A與B的大??；【分析】（1）利用配方法將多項式變形即可得出結論；（2）利用配方法將多項式變形，利用非負數的意義即可得出結論；（3）計算A﹣B的值，將結果利用配方法變形即可得出結論．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，故答案為：2；1；（2）∵x2+x＝x2+x+1又∵(x+1∴(x+1∴代數式x2+x有最小值為-1故答案為：小；-1（3）A﹣B＝（x2﹣1）﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴A﹣B＞0，∴A＞B．22．(8分)（2022秋?黔江區(qū)期末）火鍋是重慶人民鐘愛的美食之一．解放碑某火鍋店為抓住“十一”這個商機，于九月第一周推出了A、B兩種火鍋套餐，5桌A套餐與10桌B套餐的總售價為1600元，其中A套餐比B套餐每桌貴20元．（1）求A套餐的售價是多少元？（2）第一周A套餐的銷售量為800桌，B套餐的銷售量為1300桌．為了更好的了解市場，火鍋店決定從第二周開始，對A，B套餐的銷售價格都進行調整，其中A套餐的銷售價格比第一周的價格下調a%，發(fā)現銷售量比第一周增加了13a%，B套餐的銷售價格比第一周的價格下調了12a%，發(fā)現銷售量比第一周增加了140桌，最終第二周A套餐的銷售總額比B套餐的銷售總額少了48000元．求【分析】（1）設A套餐的售價是x元，則B套餐的售價是（x﹣20）元，根據5桌A套餐與10桌B套餐的總售價為1600元，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；（2）根據銷售總額＝銷售單價×銷售數量，結合第二周A套餐的銷售總額比B套餐的銷售總額少了48000元，即可得出關于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【解答】解：（1）設A套餐的售價是x元，則B套餐的售價是（x﹣20）元，依題意得：5x+10（x﹣20）＝1600，解得：x＝120．答：A套餐的售價是120元．（2）依題意得：（120﹣20）（1-12a%）×（1300+140）﹣120（1﹣a%）×800（1+整理得：3.2a2﹣80a＝0，解得：a1＝25，a2＝0（不合題意，舍去）．答：a的值為25．23．(8分)（2022春?新昌縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，點P從點C開始沿射線CA方向以1cm/s的速度運動；同時，點Q也從點C開始沿射線CB方向以3cm/s的速度運動．（1）幾秒后△PCQ的面積為3cm2？此時PQ的長是多少？（結果用最簡二次根式表示）（2）幾秒后以A、B、P、Q為頂點的四邊形的面積為22cm2？【分析】（1）設出運動所求的時間，可將PC和CQ的長表示出來，代入三角形面積公式，列出等式，可將時間求出；（2）需要對點P的不同位置進行分類討論：①當P在線段AC上，Q在線段BC上時，0＜t＜2S四邊形APQB＝S△ABC﹣S△PQC12×6×8-1②當P在線段AC上，Q在線段BC延長線上時，2＜t＜8，S四邊形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC；③當P在線段AC的延長線上，Q在線段BC延長線上時，t＞8，S四邊形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC．【解答】解：（1）設t秒后△PCQ的面積為3平方厘米，則有PC＝tcm，CQ＝3tcm，依題意，得：12t×3tt2＝2t1由勾股定理，得：PQ=P答：2秒后△PCQ的面積為3平方厘米，此時PQ的長是25（2）①當P在線段AC上，Q在線段BC上時，0＜t＜2S四邊形APQB＝S△ABC﹣S△PQC12t2解得t1②當P在線段AC上，Q在線段BC延長線上時，2＜t＜8，S四邊形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC129t＝22，解得t=22③當P在線段AC的延長線上，Q在線段BC延長線上時，t＞8，S四邊形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC12t2=923（不符合題意，舍去），（或者得綜上：t=233答，經過233秒或229秒，以A、B、P、Q專題2.1圓【七大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1圓的概念】 1【題型2圓的有關概念】 2【題型3確定圓的條件】 3【題型4點與圓的位置關系】 4【題型5圓中角度的計算】 6【題型6圓中線段長度的計算】 7【題型7圓相關概念的應用】 8【知識點1圓的概念】定義①：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．【題型1圓的概念】【例1】（2022?金沙縣一模）下列說法中，不正確的是（）A．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 B．圓有無數條對稱軸 C．圓的每一條直徑都是它的對稱軸 D．圓的對稱中心是它的圓心【變式1-1】（2022?武昌區(qū)校級期末）由所有到已知點O的距離大于或等于2，并且小于或等于3的點組成的圖形的面積為（）A．4π B．9π C．5π D．13π【變式1-2】（2022?杭州模擬）現有兩個圓，⊙O1的半徑等于籃球的半徑，⊙O2的半徑等于一個乒乓球的半徑，現將兩個圓的周長都增加1米，則面積增加較多的圓是（）A．⊙O1 B．⊙O2 C．兩圓增加的面積是相同的 D．無法確定【變式1-3】（2022?浙江）如圖，AB是⊙O的直徑，把AB分成幾條相等的線段，以每條線段為直徑分別畫小圓，設AB＝a，那么⊙O的周長l＝πa．計算：（1）把AB分成兩條相等的線段，每個小圓的周長l2（2）把AB分成三條相等的線段，每個小圓的周長l3＝；（3）把AB分成四條相等的線段，每個小圓的周長l4＝；（4）把AB分成n條相等的線段，每個小圓的周長ln＝．結論：把大圓的直徑分成n條相等的線段，以每條線段為直徑分別畫小圓，那么每個小圓周長是大圓周長的．請仿照上面的探索方法和步驟，計算推導出每個小圓面積與大圓面積的關系．【知識點2與圓有關的概念】連接圓上任意兩點的線段叫弦，經過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。绢}型2圓的有關概念】【例2】（2022?遠安縣期末）下列說法：①弦是直線；②圓的直徑被該圓的圓心平分；③過圓內一點P的直徑僅有一條；④弧是圓的一部分．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-1】（2022圖木舒克月考）有一個圓的半徑為5，則該圓的弦長不可能是（）A．1 B．4 C．10 D．11【變式2-2】（2022?嘉魚縣期末）如右圖中有條直徑，有條弦，以點A為端點的優(yōu)弧有條，有劣弧條．【變式2-3】（2022儀征市期末）如圖，⊙O的半徑為6，△OAB的面積為18，點P為弦AB上一動點，當OP長為整數時，P點有個．【知識點3確定圓的條件】不在同一直線上的三點確定一個圓．

注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數個圓，過兩點也能畫無數個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．【題型3確定圓的條件】【例3】（2022?綏中縣一模）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中三塊碎片如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能【變式3-1】（2022春?射陽縣校級期末）平面直角坐標系內的三個點A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）確定一個圓（填“能”或“不能”）．【變式3-2】（2022?西城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C的橫、縱坐標都為整數，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標為．【變式3-3】（2022?任城區(qū)校級月考）將圖中的破輪子復原，已知弧上三點A，B，C．（1）畫出該輪的圓心；（2）若△ABC是等腰三角形，底邊BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圓片的半徑R．【知識點4點與圓的位置關系】設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為OP=d，則有：點P在圓外d＞r；點P在圓上d=r；點P在圓內d＜r.【題型4點與圓的位置關系】【例4】（2022秋?宜州區(qū)期末）如已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，BC＝4cm，CM是中線，以C為圓心，以5cm長為半徑畫圓，則點A、B、M與⊙C的關系如何？【變式4-1】（2022春?龍湖區(qū)校級月考）⊙O的面積為25πcm2，⊙O所在的平面內有一點P，當PO時，點P在⊙O上；當PO時，點P在⊙O內；當PO時，點P在⊙O外．【變式4-2】（2022?廣東模擬）如圖，已知⊙A的半徑為1，圓心的坐標為（4，3）．點P（m，n）是⊙A上的一個動點，則m2+n2的最大值為．【變式4-3】（2022秋?金牛區(qū)期末）如圖．A（3，0）．動點B到點M（3，4）的距離為1，連接BO，BO的中點為C，則線段AC的最小值為．【題型5圓中角度的計算】【例5】（2022?江寧區(qū)校級期中）如圖，BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度數．【變式5-1】（2022?漢陽區(qū)校級月考）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長線交于點E．已知AB＝2DE，∠AEC＝25°，求∠AOC的度數．【變式5-2】（2022?金牛區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，AD∥OC，∠AOD＝84°，則∠BOC＝．【變式5-3】（2022?大豐市月考）如圖，直線l經過⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點，點C在⊙O上，且∠AOC＝30°，點P是直線l上的一個動點（與圓心O不重合），直線CP與⊙O相交于點Q．是否存在點P，使得QP＝QO；若存在，求出相應的∠OCP的大??；若不存在，請簡要說明理由．【題型6圓中線段長度的計算】【例6】（2022?潮安區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以點C為圓心，CA長為半徑的圓恰好經過AB的中點D，則⊙C的半徑為（）A．53 B．8 C．6 【變式6-1】（2022?海港區(qū)校級自主招生）如圖，圓O的周長為4π，B是弦CD上任意一點（與C，D不重合），過B作OC的平行線交OD于點E，則EO+EB＝．（用數字表示）【變式6-2】（2022?龍湖區(qū)校級開學）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的長．【變式6-3】（2022秋?邗江區(qū)期中）如圖，半圓O的直徑AB＝8，半徑OC⊥AB，D為弧AC上一點，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分別為E、F，求EF的長．【題型7圓相關概念的應用】【例7】（2022秋?南崗區(qū)校級期中）某中學原計劃修一個半徑為10米的圓形花壇，為使花壇修得更加美觀，決定向全校征集方案，在眾多方案中最后選出兩種方案：方案A如圖1所示，先畫一條直徑，再分別以兩條半徑為直徑修兩個圓形花壇；方案B如圖2所示，先畫一條直徑，然后在直徑上取一點，把直徑分成2：3的兩部分，再以這兩條線段為直徑修兩個圓形花壇；（花壇指的是圖中實線部分）（1）如果按照方案A修，修的花壇的周長是．（保留π）（2）如果按照方案B修，與方案A比，省材料嗎？為什么？（保留π）（3）如果按照方案B修，學校要求在5天內完成，甲工人承包了此項工程，甲每天能完成工程的115，他做了1天后，發(fā)現不能完成任務，就請乙來幫忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了12，結果正好按時完成任務，若修1米花壇可得到10元錢，修完花壇后，甲，乙各得到多少錢？（【變式7-1】（2022?南崗區(qū)期末）一個壓路機的前輪直徑是1.7米，如果前輪每分鐘轉動6周，那么這臺壓路機10分鐘前進（）米．A．51π B．102π C．153π D．204π【變式7-2】（2022?羅田縣校級模擬）一個塑料文具膠帶如圖所示，帶寬為1cm，內徑為4cm，外徑為7cm，已知30層膠帶厚1.5mm，則這卷膠帶長m．（π≈3.14，結果保留4位有效數字）【變式7-3】（2022?張店區(qū)期末）如圖，大圓和圓的半徑都分別是4cm和2cm，兩圓外切于點C，一只螞蟻由點A開始ABCDEFCGA的順序沿著兩圓圓周不斷地爬行，其中各點分別是兩圓周的四等分點，螞蟻直到行走2010πcm后才停下來．則這只螞蟻停在點．專題2.1圓【七大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1圓的概念】 1【題型2圓的有關概念】 4【題型3確定圓的條件】 6【題型4點與圓的位置關系】 9【題型5圓中角度的計算】 12【題型6圓中線段長度的計算】 15【題型7圓相關概念的應用】 18【知識點1圓的概念】定義①：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．【題型1圓的概念】【例1】（2022?金沙縣一模）下列說法中，不正確的是（）A．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 B．圓有無數條對稱軸 C．圓的每一條直徑都是它的對稱軸 D．圓的對稱中心是它的圓心【分析】利用圓的對稱性質逐一求解可得．【解答】解：A．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，正確；B．圓有無數條對稱軸，正確；C．圓的每一條直徑所在直線都是它的對稱軸，此選項錯誤；D．圓的對稱中心是它的圓心，正確；故選：C．【變式1-1】（2022?武昌區(qū)校級期末）由所有到已知點O的距離大于或等于2，并且小于或等于3的點組成的圖形的面積為（）A．4π B．9π C．5π D．13π【分析】根據題意、利用圓的面積公式計算即可．【解答】解：由所有到已知點O的距離大于或等于2，并且小于或等于3的點組成的圖形的面積為以3為半徑的圓與以2為半徑的圓組成的圓環(huán)的面積，即π×32﹣π×22＝5π，故選：C．【變式1-2】（2022?杭州模擬）現有兩個圓，⊙O1的半徑等于籃球的半徑，⊙O2的半徑等于一個乒乓球的半徑，現將兩個圓的周長都增加1米，則面積增加較多的圓是（）A．⊙O1 B．⊙O2 C．兩圓增加的面積是相同的 D．無法確定【分析】先由L＝2πR計算出兩個圓半徑的伸長量，然后再計算兩個圓增加的面積，然后進行比較大小即可．【解答】解：設⊙O1的半徑等于R，變大后的半徑等于R′；⊙O2的半徑等于r，變大后的半徑等于r′，其中R＞r．由題意得，2πR+1＝2πR′，2πr+1＝2πr′，解得R′＝R+12π，r′＝r所以R′﹣R=12π，r′﹣r所以，兩圓的半徑伸長是相同的，且兩圓的半徑都伸長12π∴⊙O1的面積＝πR2，變大后的面積=π(R+12π)2，面積增加了π(R+12π⊙O2的面積＝πr2，變大后的面積=π(r+12π)2，面積增加了∵R＞r，∴R+14π＞∴⊙O1的面積增加的多．故選：A．【變式1-3】（2022?浙江）如圖，AB是⊙O的直徑，把AB分成幾條相等的線段，以每條線段為直徑分別畫小圓，設AB＝a，那么⊙O的周長l＝πa．計算：（1）把AB分成兩條相等的線段，每個小圓的周長l2（2）把AB分成三條相等的線段，每個小圓的周長l3＝13l（3）把AB分成四條相等的線段，每個小圓的周長l4＝14l（4）把AB分成n條相等的線段，每個小圓的周長ln＝1nl結論：把大圓的直徑分成n條相等的線段，以每條線段為直徑分別畫小圓，那么每個小圓周長是大圓周長的1n【分析】把大圓的直徑分成n條相等的線段，以每條線段為直徑分別畫小圓，那么每個小圓周長是ln＝π（1na）=1nl【解答】解：（2）13l（3）14l（4）1nl；1每個小圓面積＝π（12?1na）2=14?πa2n2，而大圓的面積＝π（1即每個小圓的面積是大圓的面積的1n【知識點2與圓有關的概念】連接圓上任意兩點的線段叫弦，經過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。绢}型2圓的有關概念】【例2】（2022?遠安縣期末）下列說法：①弦是直線；②圓的直徑被該圓的圓心平分；③過圓內一點P的直徑僅有一條；④弧是圓的一部分．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據弦，直徑，弧的定義一一判斷即可．【解答】解：①弦是直線，錯誤，弦是線段．②圓的直徑被該圓的圓心平分，正確．③過圓內一點P的直徑僅有一條，錯誤，點P是圓心時，直徑有無數條．④弧是圓的一部分，正確．故選：B．【變式2-1】（2022圖木舒克月考）有一個圓的半徑為5，則該圓的弦長不可能是（）A．1 B．4 C．10 D．11【分析】根據直徑是圓中最長的弦，判斷即可．【解答】解：∵一個圓的半徑為5，∴圓中最長的弦是10，∴弦長不可能為11，故選：D．【變式2-2】（2022?嘉魚縣期末）如右圖中有1條直徑，有4條弦，以點A為端點的優(yōu)弧有2條，有劣弧2條．【分析】根據直徑、弦、優(yōu)弧及劣弧的概念解答即可得．【解答】解：圖中直徑只有AB這1條，弦有AC、AB、CD、BC這4條，以點A為端點的優(yōu)弧有ACD、ADC這2條，劣弧有AC、AD這2條，故答案為：1、4、2、2．【變式2-3】（2022儀征市期末）如圖，⊙O的半徑為6，△OAB的面積為18，點P為弦AB上一動點，當OP長為整數時，P點有4個．【分析】解法一：過點P最長的弦是12，根據已知條件，△OAB的面積為18，可以求出AB＜12，根據三角形面積可得OC＝32，從而可知OP的長有兩個整數：5，6，且OP＝6是P在A或B點時，每一個值都有兩個點P，所以一共有4個．解法二：根據面積可知，OA上的高為6，也就是說OA與OB互相垂直，然后算出OC長度即可．【解答】解：解法一：過O作OC⊥AB于C，則AC＝BC，設OC＝x，AC＝y(tǒng)，∵AB是⊙O的一條弦，⊙O的半徑為6，∴AB≤12，∵△OAB的面積為18，∴x2則y=18∴x2解得x＝32或﹣32（舍），∴OC＝32＞∴4＜OP≤6，∵點P為弦AB上一動點，當OP長為整數時，OP＝5或6，P點有4個．解法二：設△AOB中OA邊上的高為h，則12×OAh=18，即∴h＝6，∵OB＝6，∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°，∴AB＝62，圖中OC＝32，同理得：點P為弦AB上一動點，當OP長為整數時，OP＝5或6，P點有4個．故答案為：4．【知識點3確定圓的條件】不在同一直線上的三點確定一個圓．

注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數個圓，過兩點也能畫無數個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．【題型3確定圓的條件】【例3】（2022?綏中縣一模）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中三塊碎片如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能【分析】要確定圓的大小需知道其半徑．根據垂徑定理知第①塊可確定半徑的大?。窘獯稹拷猓旱冖賶K出現兩條完整的弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可得到半徑的長．故選：A．【變式3-1】（2022春?射陽縣校級期末）平面直角坐標系內的三個點A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能確定一個圓（填“能”或“不能”）．【分析】根據三個點的坐標特征得到它們不共線，于是根據確定圓的條件可判斷它們能確定一個圓．【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x軸，而點A（1，0）在x軸上，∴點A、B、C不共線，∴三個點A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能確定一個圓．故答案為：能．【變式3-2】（2022?西城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C的橫、縱坐標都為整數，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標為（2，1）．【分析】根據圖形得出A、B、C的坐標，再連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，最后求出點Q的坐標即可．【解答】解：從圖形可知：A點的坐標是（0，2），B點的坐標是（1，3），C點的坐標是（3，3），連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，如圖，∴Q點的坐標是（2，1），故答案為：（2，1）．【變式3-3】（2022?任城區(qū)校級月考）將圖中的破輪子復原，已知弧上三點A，B，C．（1）畫出該輪的圓心；（2）若△ABC是等腰三角形，底邊BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圓片的半徑R．【分析】（1）根據垂徑定理，分別作弦AB和AC的垂直平分線交點即為所求；（2）連接AO，OB，利用垂徑定理和勾股定理可求出圓片的半徑R．【解答】解：（1）如圖所示：分別作弦AB和AC的垂直平分線交點O即為所求的圓心；（2）連接AO，OB，BC，BC交OA于D．∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，∵AB＝10cm，∴AD＝6cm，設圓片的半徑為R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，∴R2＝82+（R﹣6）2，解得：R=253∴圓片的半徑R為253cm【知識點4點與圓的位置關系】設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為OP=d，則有：點P在圓外d＞r；點P在圓上d=r；點P在圓內d＜r.【題型4點與圓的位置關系】【例4】（2022秋?宜州區(qū)期末）如已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，BC＝4cm，CM是中線，以C為圓心，以5cm長為半徑畫圓，則點A、B、M與⊙C的關系如何？【分析】點與圓的位置關系由三種情況：設點到圓心的距離為d，則當d＝R時，點在圓上；當d＞R時，點在圓外；當d＜R時，點在圓內．【解答】解：根據勾股定理，有AB=42+22∵CA＝2cm＜5cm∴點A在⊙O內，∵BC＝4cm＞5cm∴點B在⊙C外；由中線定理得：CM=5∴M點在⊙C上．【變式4-1】（2022春?龍湖區(qū)校級月考）⊙O的面積為25πcm2，⊙O所在的平面內有一點P，當PO＝5cm時，點P在⊙O上；當PO＜5cm時，點P在⊙O內；當PO＞5cm時，點P在⊙O外．【分析】根據圓的面積求出圓的半徑，然后確定圓上點，圓內點以及圓外的到圓心的距離．【解答】解：因為圓的面積為25πcm2，所以圓的半徑為5cm．當點P到圓心的距離等于5cm時，點P在⊙O上，此時OP＝5cm．當點P到圓心的距離小于5cm時，點P在⊙O內，此時OP＜5cm．當點P到圓心的距離大于5cm時，點P在⊙O外，此時OP＞5cm．故答案分別是：PO＝5cm，PO＜5cm，PO＞5cm．【變式4-2】（2022?廣東模擬）如圖，已知⊙A的半徑為1，圓心的坐標為（4，3）．點P（m，n）是⊙A上的一個動點，則m2+n2的最大值為36．【分析】由于圓心A的坐標為（4，3），點P的坐標為（m，n），利用勾股定理可計算出OA＝5，OP=m2+n2，這樣把m2+n2理解為點P與原點的距離的平方，利用圖形可得到當點P運動到射線OA上時，點P離圓點最遠，即m2+【解答】解：作射線OA交⊙O于P′點，如圖，∵圓心A的坐標為（4，3），點P的坐標為（m，n），∴OA=32+4∴m2+n2是點P點圓點的距離的平方，∴當點P運動到P′處，點P離圓點最遠，即m2+n2有最大值，此時OP＝OA+AP′＝5+1＝6，則m2+n2＝36．故答案為：36．【變式4-3】（2022秋?金牛區(qū)期末）如圖．A（3，0）．動點B到點M（3，4）的距離為1，連接BO，BO的中點為C，則線段AC的最小值為2．【分析】先確定AC最小值時點B的位置：過B作BD∥AC交x軸于D，由圖可知：當BD經過M時，線段BD的長最小，此時AC有最小值，根據勾股定理和三角形中位線定理可得AC的長．【解答】解：過B作BD∥AC交x軸于D，∵C是OB的中點，∴OA＝AD，∴AC=12∴當BD取最小值時，AC最小，由圖可知：當BD經過M時，線段BD的長最小，此時AC有最小值，∵A（3，0），∴D（6，0），∵M（3，4），∴DM=(6-3∴BD＝5﹣1＝4，∴AC=12BD＝2，即線段故答案為：2．【題型5圓中角度的計算】【例5】（2022?江寧區(qū)校級期中）如圖，BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度數．【分析】設∠B＝x，根據等腰三角形的性質，由BD＝OD得∠DOB＝∠B＝x，再根據三角形外角性質得∠ADO＝2x，則∠A＝∠ADO＝2x，然后根據三角形外角性質得2x+x＝114°，解得x＝38°，最后利用三角形內角和定理計算∠AOD的度數．【解答】解：設∠B＝x，∵BD＝OD，∴∠DOB＝∠B＝x，∴∠ADO＝∠DOB+∠B＝2x，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2x，∵∠AOC＝∠A+∠B，∴2x+x＝114°，解得x＝38°，∴∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠ADO＝180°﹣4x＝180°﹣4×38°＝28°．【變式5-1】（2022?漢陽區(qū)校級月考）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長線交于點E．已知AB＝2DE，∠AEC＝25°，求∠AOC的度數．【分析】求∠AOC的度數，可以轉化為求∠C與∠E的問題．【解答】解：連接OD，∵AB＝2DE＝2OD，∴OD＝DE，又∵∠E＝25°，∴∠DOE＝∠E＝25°，∴∠ODC＝50°，同理∠C＝∠ODC＝50°∴∠AOC＝∠E+∠OCE＝75°．【變式5-2】（2022?金牛區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，AD∥OC，∠AOD＝84°，則∠BOC＝48°．【分析】根據半徑相等和等腰三角形的性質得到∠D＝∠A，利用三角形內角和定理可計算出∠A，然后根據平行線的性質即可得到∠BOC的度數．【解答】解：∵OD＝OC，∴∠D＝∠A，∵∠AOD＝84°，∴∠A=1又∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠A＝48°．故答案為：48°．【變式5-3】（2022?大豐市月考）如圖，直線l經過⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點，點C在⊙O上，且∠AOC＝30°，點P是直線l上的一個動點（與圓心O不重合），直線CP與⊙O相交于點Q．是否存在點P，使得QP＝QO；若存在，求出相應的∠OCP的大??；若不存在，請簡要說明理由．【分析】點P是直線l上的一個動點，因而點P與線段AO有三種位置關系，在線段AO上，點P在OB上，點P在OA的延長線上．分這三種情況進行討論即可．【解答】解：①根據題意，畫出圖（1），在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP，在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO，又∵∠AOC＝30°，∴∠QPO＝∠OCP+∠AOC＝∠OCP+30°，在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC＝180°，即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP＝180°，整理得，3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°．②當P在線段OA的延長線上（如圖2）∵OC＝OQ，∴∠OQP＝（180°﹣∠QOC）×1∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝（180°﹣∠OQP）×1在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ＝180°③，把①②代入③得∠QOC＝20°，則∠OQP＝80°∴∠OCP＝100°；③當P在線段OA的反向延長線上（如圖3），∵OC＝OQ，∴∠OCP＝∠OQC＝（180°﹣∠COQ）×1∵OQ＝PQ，∴∠P＝（180°﹣∠OQP）×1∵∠AOC＝30°，∴∠COQ+∠POQ＝150°③，∵∠P＝∠POQ，2∠P＝∠OCP＝∠OQC④，①②③④聯立