概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五章

關于概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五章設非負r.v.

X的期望E(X)存在，則對于任意實數(shù)

>0,證

僅證連續(xù)型r.v.的情形

重要不等式

§5.1大數(shù)定律第2頁,共65頁，2024年2月25日，星期天設隨機變量

X的k階絕對原點矩E(|X|k)存在，則對于任意實數(shù)

>0,推論1設隨機變量

X的方差D(X)存在，則對于任意實數(shù)

>0,推論2——切貝雪夫(chebyshev)不等式或當

2

D(X)

無實際意義,——馬爾可夫(Markov)不等式第3頁,共65頁，2024年2月25日，星期天例1設有一大批種子，其中良種占1/6.試估計在任選的6000粒種子中,良種所占比例與1/6比較上下小于1%的概率.解

設

X

表示6000粒種子中的良種數(shù),X~B(6000,1/6)第4頁,共65頁，2024年2月25日，星期天實際精確計算用Poisson分布近似計算取=1000第5頁,共65頁，2024年2月25日，星期天大數(shù)定律貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律設

nA

是n

次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),p

是每次試驗中A發(fā)生的概率,則有或第6頁,共65頁，2024年2月25日，星期天證

引入r.v.序列{Xk}設則相互獨立，記由Chebyshev不等式第7頁,共65頁，2024年2月25日，星期天故第8頁,共65頁，2024年2月25日，星期天在概率的統(tǒng)計定義中,事件A

發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是指：頻率與

p

有較大偏差是小概率事件,因而在n

足夠大時,可以用頻率近似代替p.這種穩(wěn)定稱為依概率穩(wěn)定.貝努里(Bernoulli)大數(shù)定律的意義第9頁,共65頁，2024年2月25日，星期天定義a

是一常數(shù)，(或則稱r.v.序列依概率收斂于常數(shù)a,記作故是一系列r.v.設有若第10頁,共65頁，2024年2月25日，星期天在Bernoulli定理的證明過程中，Yn

是相互獨立的服從(0,1)分布的r.v.序列{Xk}的算術平均值,Yn

依概率收斂于其數(shù)學期望

p.

結果同樣適用于服從其它分布的獨立r.v.序列第11頁,共65頁，2024年2月25日，星期天Chebyshev大數(shù)定律相互獨立，設r.v.序列(指任意給定n>1,

相互獨立)且具有相同的數(shù)學期望和方差則有或第12頁,共65頁，2024年2月25日，星期天定理的意義當

n

足夠大時,算術平均值幾乎是一常數(shù).具有相同數(shù)學期望和方差的獨立r.v.序列的算術平均值依概率收斂于數(shù)學期望.算術均值數(shù)學期望近似代替可被第13頁,共65頁，2024年2月25日，星期天注2相互獨立的條件可以去掉，代之以注1不一定有相同的數(shù)學期望與方差，可設有第14頁,共65頁，2024年2月25日，星期天相設r.v.序列則有互獨立具有相同的分布，且記注3第15頁,共65頁，2024年2月25日，星期天則則連續(xù)，若第16頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)中心極限定理一、問題的引入二、基本定理三、典型例題四、小結第17頁,共65頁，2024年2月25日，星期天一、問題的引入實例:考察射擊命中點與靶心距離的偏差.這種偏差是大量微小的偶然因素造成的微小誤差的總和,這些因素包括:瞄準誤差、測量誤差、子彈制造過程方面(如外形、重量等)的誤差以及射擊時武器的振動、氣象因素(如風速、風向、能見度、溫度等)的作用,所有這些不同因素所引起的微小誤差是相互獨立的,并且它們中每一個對總和產生的影響不大.問題:某個隨機變量是由大量相互獨立且均勻小的隨機變量相加而成的,研究其概率分布情況.第18頁,共65頁，2024年2月25日，星期天二、基本定理定理四（獨立同分布的中心極限定理）第19頁,共65頁，2024年2月25日，星期天定理四表明:第20頁,共65頁，2024年2月25日，星期天李雅普諾夫定理五(李雅普諾夫定理)第21頁,共65頁，2024年2月25日，星期天則隨機變量之和的標準化變量第22頁,共65頁，2024年2月25日，星期天定理五表明:(如實例中射擊偏差服從正態(tài)分布)下面介紹的定理六是定理四的特殊情況.第23頁,共65頁，2024年2月25日，星期天證明根據(jù)第四章第二節(jié)例題可知德莫佛拉普拉斯定理六(德莫佛－拉普拉斯定理)第24頁,共65頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)定理四得定理六表明:正態(tài)分布是二項分布的極限分布,當n充分大時,可以利用該定理來計算二項分布的概率.第25頁,共65頁，2024年2月25日，星期天下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項分布的逼近.第26頁,共65頁，2024年2月25日，星期天三、典型例題解由定理四,隨機變量Z近似服從正態(tài)分布N(0,1),例1第27頁,共65頁，2024年2月25日，星期天其中第28頁,共65頁，2024年2月25日，星期天一船舶在某海區(qū)航行,已知每遭受一次海浪的沖擊,縱搖角大于3o的概率為1/3,若船舶遭受了90000次波浪沖擊,問其中有29500～30500次縱搖角大于3o的概率是多少？解將船舶每遭受一次海浪的沖擊看作一次試驗,并假設各次試驗是獨立的,在90000次波浪沖擊中縱搖角大于3o的次數(shù)為X,則X是一個隨機變量,例2第29頁,共65頁，2024年2月25日，星期天所求概率為分布律為直接計算很麻煩，利用德莫佛－拉普拉斯定理第30頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第31頁,共65頁，2024年2月25日，星期天某保險公司的老年人壽保險有1萬人參加,每人每年交200元.若老人在該年內死亡,公司付給家屬1萬元.設老年人死亡率為0.017,試求保險公司在一年內的這項保險中虧本的概率.解設X為一年中投保老人的死亡數(shù),由德莫佛－拉普拉斯定理知,例3第32頁,共65頁，2024年2月25日，星期天保險公司虧本的概率第33頁,共65頁，2024年2月25日，星期天對于一個學生而言,來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量.設一個學生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05，0.8，0.15.若學校共有400名學生,設各學生參加會議的家長數(shù)相互獨立,且服從同一分布.(1)求參加會議的家長數(shù)X超過450的概率;(2)求有1名家長來參加會議的學生數(shù)不多于340的概率.解例4第34頁,共65頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)獨立同分布的中心極限定理，第35頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第36頁,共65頁，2024年2月25日，星期天由德莫佛－拉普拉斯定理知,第37頁,共65頁，2024年2月25日，星期天證例5第38頁,共65頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)獨立同分布的中心極限定理，第39頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第40頁,共65頁，2024年2月25日，星期天四、小結三個中心極限定理獨立同分布的中心極限定理李雅普諾夫定理德莫佛－拉普拉斯定理中心極限定理表明,在相當一般的條件下,當獨立隨機變量的個數(shù)增加時,其和的分布趨于正態(tài)分布.

第41頁,共65頁，2024年2月25日，星期天李雅普諾夫資料AleksandrMikhailovichLyapunovBorn:6Jun.1857inYaroslavl,Russia

Died:3Nov.1918inOdessa,Russia第42頁,共65頁，2024年2月25日，星期天德莫佛資料AbrahamdeMoivreBorn:26May.1667inVitry(nearParis),France

Died:27Nov.1754inLondon,England第43頁,共65頁，2024年2月25日，星期天拉普拉斯資料Pierre-SimonLaplaceBorn:23Mar.1749inBeaumont-en-Auge,Normandy,France

Died:5Mar.1827inParis,France第44頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第五章大數(shù)定律及中心極限定理

習題課二、主要內容三、典型例題一、重點與難點第45頁,共65頁，2024年2月25日，星期天一、重點與難點1.重點中心極限定理及其運用.2.難點證明隨機變量服從大數(shù)定律.第46頁,共65頁，2024年2月25日，星期天大數(shù)定律二、主要內容中心極限定理定理一定理二定理三定理一的另一種表示定理一定理二定理三第47頁,共65頁，2024年2月25日，星期天契比雪夫定理的特殊情況第48頁,共65頁，2024年2月25日，星期天定理一的另一種表示第49頁,共65頁，2024年2月25日，星期天伯努利大數(shù)定理第50頁,共65頁，2024年2月25日，星期天辛欽定理第51頁,共65頁，2024年2月25日，星期天獨立同分布的中心極限定理第52頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第53頁,共65頁，2024年2月25日，星期天李雅普諾夫定理第54頁,共65頁，2024年2月25日，星期天則隨機變量之和的標準化變量第55頁,共65頁，2024年2月25日，星期天德莫佛－拉普拉斯定理第56頁,共65頁，2024年2月25日，星期天三、典型例題解例1第57頁,共65頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)獨立同分布的中心極限定理知的極限分布是標準正態(tài)分布.第58頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第59頁,共65頁，2