2024屆黑龍江哈爾濱市省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試模擬試題含解析

2024屆黑龍江哈爾濱市省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知圓C:x2+/+2x+4y+4=0,則圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為（）

A.^/5-lB.&

C.y/5+1D.6

2.天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)：同一平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡

西尼卵形線.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)為耳（-。,0）,8（c,0）,c>0,點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x,y）滿足

歸團(tuán)忖閭=〃（。>0且。為常數(shù)），化簡(jiǎn)得曲線氏f+y2+°2="看+，.當(dāng)a=后,c=l時(shí)，關(guān)于曲線E

有下列四個(gè)命題：①曲線E既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；②|PO|的最大值為百；③|尸號(hào)|+伊8|的最小值為

2也;④八面積的最大值為1.其中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

3.已知｛4｝為等差數(shù)列，d為公差，若%,生，%成等比數(shù)列，%=6且dwO,則數(shù)列的前〃項(xiàng)和為（）

n-2n-1

B.------

4(n-l)4n

nn+1

?45+I)"4(〃+2)

4.設(shè)3點(diǎn)是點(diǎn)A（2,-3,5）關(guān)于平面xQy的對(duì)稱點(diǎn)，貝?。﹟AB|=（）

A.10B.VIo

C.底D.38

5.已知雙曲線，-%=1(。＞0/＞0)的漸近線方程為＞=土］，x，則該雙曲線的離心率等于()

A2百i

A.?---------RJt5?

33

C.2D.4

6.已知拋物線。：三=2加(夕＞0)的焦點(diǎn)為尸，且點(diǎn)尸與圓/：(%—4p+(y+2)2=l上點(diǎn)的距離的最大值為6,則

拋物線的準(zhǔn)線方程為()

A.y=-2B,y=1

C.y=2D.y=-1

7.圓元之+y2+2%—4y—6=0的圓心和半徑分別是。

A.(-1,-2),11B.(-l,2),11

C.(-1,-2),y/liD.(-l,2),^/n

8.已知/(x)是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意xeR都有/(x+2)=/(2—x)+4/(2),若函數(shù)y=/(x+l)的圖象

關(guān)于點(diǎn)(—L0)對(duì)稱，且/(1)=3,貝1|/(2021)=()

A.6B.3

C.OD.-3

9.如圖是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)y=/'(x)的圖象，則下面判斷正確的是()

A.在(—3,1)內(nèi)/(尤)是增函數(shù)

B.在(1,2)內(nèi)/W是增函數(shù)

C.在x=l時(shí)Ax)取得極大值

D.在x=2時(shí)/⑺取得極小值

x-y-4＜Q,

35

10.在＜%-2y+220,條件下，目標(biāo)函數(shù)2=改+外(，＞0力＞0)的最大值為2,則一+丁的最小值是。

,ab

x+j＞4

A.20B.40

C.60D.80

11.某超市收銀臺(tái)排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率如下:

排隊(duì)人數(shù)01234>5

概率0.10.16030.30.10.04

則至少有兩人排隊(duì)的概率為（）

A.0.16B.0.26

C.0.56D.0.74

12.我國(guó)古代數(shù)學(xué)論著中有如下敘述：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈二百五十四.”思如下：一座7層塔

共掛了254盞燈，且相鄰兩層下一層所掛燈數(shù)是上一層所掛燈數(shù)的2倍.下列結(jié)論不正確的是（）

A.底層塔共掛了128盞燈

B.頂層塔共掛了2盞燈

C.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)比最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)多200

D.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)是最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)的16倍

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,對(duì)部分以為軸進(jìn)行翻折，A翻折到4,使二面角A-5。-。的平

面角為直二面角，則A'B-CD=.

14.已知直線/：%-2丁+3=0與圓C：（x—2）?+/=，（廠〉0）相切，貝"=.

15.曲線y=（x-l）/在（1,0）處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.

16.中小學(xué)生的視力狀況受到社會(huì)的關(guān)注.某市有關(guān)部門從全市6萬(wàn)名高一學(xué)生中隨機(jī)抽取400名學(xué)生，對(duì)他們的視力

狀況進(jìn)行一次調(diào)查統(tǒng)計(jì)，將所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，從左至右五個(gè)小組的頻率之比為

5:7:12:10:6,則抽取的這400名高一學(xué)生中視力在［3.95,4.25）范圍內(nèi)的學(xué)生有_____人.

頻率

M

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知點(diǎn)（石』）是橢圓E：￡+/=l（a〉b〉O）一點(diǎn)，且橢圓的離心率為乎.

（1）求此橢圓E方程；

（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為4,過(guò)點(diǎn)A向上作一射線交橢圓E于點(diǎn)5,以A5為邊作矩形ABC。，使得對(duì)邊5經(jīng)過(guò)橢圓

中心O.

（i）求矩形A5C。面積的最大值；

（ii）問(wèn)：矩形A3C。能否為正方形？若能，求出直線A3的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.（12分）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，也侵害木棉、錦葵等植物.為了防治蟲害，從根源上抑制害蟲數(shù)量.現(xiàn)

研究紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度的關(guān)系，收集到7組溫度x和產(chǎn)卵數(shù)》的觀測(cè)數(shù)據(jù)于表I中.根據(jù)繪制的散點(diǎn)圖決定從回

2

歸模型①y=Ge。/與回歸模型②y=c3x+c4中選擇一個(gè)來(lái)進(jìn)行擬合

表I

溫度x/℃20222527293135

產(chǎn)卵數(shù)W個(gè)711212465114325

（1）請(qǐng)借助表II中的數(shù)據(jù)，求出回歸模型①的方程:

表n（注：表中力=In%）

777)2

Zx-匚i^-xf(y.-y)2

i=li=li=lZ=1i=l

18956725.2716278106

習(xí)玉-對(duì)卜,-力Z(龍廠磯L7)

i=lZ=1Z=1i=l

11.06304041.86825.09

(2)類似的，可以得到回歸模型②的方程為y=0.36--202.54,試求兩種模型下溫度為20°C時(shí)的殘差;

(3)若求得回歸模型①的相關(guān)指數(shù)爐=0.95,回歸模型②的相關(guān)指數(shù)尺2=0用1，請(qǐng)結(jié)合(2)說(shuō)明哪個(gè)模型的擬合

效果更好

參考數(shù)據(jù):參341ao.03,e°-26?1.30,eL79a5.46,e5-20?181.88.

附:回歸方程y=￡x+&中〃=

相關(guān)指數(shù)初=1一

19.(12分)如圖，在幾何體ABC-A14G中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，明，平面ABC,

MHBBX//CG，且6AA=IBB,=3CQ=6,E是AB的中點(diǎn).

(1)求證:CE//平面A4￡；

(2)求二面角耳—AG—A的余弦值.

20.(12分)已知等差數(shù)列｛4｝前"項(xiàng)和為S,,%=4,55=30,若S=28〃+4對(duì)任意的正整數(shù)”成立，求實(shí)

數(shù)彳的取值范圍.

21.(12分)如圖，在幾何體ABCE尸G中，四邊形ACGE為平行四邊形，一ABC為等邊三角形，四邊形BCGF為梯

形，"為線段8月的中點(diǎn)，CG//BF,GF=瓜,CF=2y/3,NCBF=60°,ZCGF=135°,ABLCF.

H

(1)求證：平面ABC_L平面3CGB

(2)求平面ABC與平面ACH夾角的余弦值.

22.(10分)如圖，在空間四邊形ABC。中，瓦R分別是的中點(diǎn)，〃,G分別是AO、CD上的點(diǎn)，滿足

CG_AH

GD~HD'

(1)求證：瓦￡G,H四點(diǎn)共面；

(2)設(shè)EH與FG交于點(diǎn)P,求證：B,D,P三點(diǎn)、共線.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解題分析】先求出圓心和半徑，求出圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，從而求出圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值.

【題目詳解】。：/+/+2%+4丁+4=0變形為（x+l）2+（y+2）2=l,故圓心為（—1,—2）,半徑為1,故圓心到原

點(diǎn)的距離為,（-1）2+22=非,故圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最小值為&'-1.

故選：A

2、D

【解題分析】①：根據(jù)軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形的方程特征進(jìn)行判斷即可；

②：結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式、曲線方程特征進(jìn)行判斷即可；

③：根據(jù)卡西尼卵形線的定義，結(jié)合基本不等式進(jìn)行判斷即可；

④：根據(jù)方程特征，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行判斷即可.

【題目詳解】當(dāng)a=0,c=l時(shí)，%2+曰+1="f+4=2^/7石.

①：因?yàn)橐?X代X方程不變，以-y代y方程不變，同時(shí)-X代X,以-y代y方程不變，

所以曲線E既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，因此本命題正確；

i

②：由d+y2+]=2dx+]+]—I）?+）^=],

所以有&+1-1<1n&+i<2,

所以|P0|=Jx2+y2=42而不G~2又2-1=m，當(dāng)爐=3時(shí)成立，因此本命題正確；

③：因?yàn)閨尸周?|尸閭=2,所以|P周+|PH〃2.JP4Hp閭=2夜,當(dāng)且僅當(dāng)忸制=|P囚時(shí)，取等號(hào)，因此本命

題正確；

④：內(nèi)司=2,因?yàn)辇?+/+1=27771一（777!—i）2+/=i，

所以卜<1,△耳尸耳的面積為:x2?|y|<l,因此本命題正確，

故選:D

【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用方程特征進(jìn)行求解判斷是解題的關(guān)鍵.

3、C

【解題分析】先利用已知條件得到（%-d）2=（%-2d）（%+d），解出公差，得到｛4｝通項(xiàng)公式，再代入數(shù)列

,」一|,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.

[anan+lJ

【題目詳解】因?yàn)椋?生，%成等比數(shù)列，%=6,故42=%%，即（%—2d）（%+d），

故（6—dp=（6—2d）（6+d）,解得d=2或d=0（舍去），

故%=a3+（TI-3）J=6+2（T?-3）=2TI,

11111(11)1

即-----=7；―7?―K=：X—~^=-X--------\,故｛------｝的前幾項(xiàng)和為:

。,4+12nx2(n+l)4n(n+l)4\nn+lj[a?an+l^

n

S=-x

n44(〃+l)

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法:

(1)倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列｛%,｝的前"項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列

的前"項(xiàng)和即可以用倒序相加法

(2)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前〃

項(xiàng)和即可以用錯(cuò)位相減法來(lái)求；

(3)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)，中間的一些像可相互抵消，從而求得其和；

(4)分組轉(zhuǎn)化法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列:或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)

換法分別求和再相加減；

(5)并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和，形如為=(-!)"/(")類型，可采用

兩項(xiàng)合并求解.

4、A

【解題分析】寫出8點(diǎn)坐標(biāo)，由對(duì)稱性易得線段長(zhǎng)

【題目詳解】點(diǎn)3是點(diǎn)A(2,-3,5)關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)，

.?.8的橫標(biāo)和縱標(biāo)與A相同，而豎標(biāo)與A相反，

：.B(2,-3,-5),

二直線AB與z軸平行，

.-.|AB|=5-(-5)=10,

故選：A

5、A

【解題分析】由雙曲線的漸近線方程，可得8=且。，再由a,dG的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值

3

【題目詳解】解：雙曲線;，=1(。>01>0)的漸近線方程為y=±#x，

由題意可得2="，即b=Y3a，可得c=J7壽=2叵。，

a333

,cr4H273

由￡=—,可得e=----.，

a3

故選：A.

6、D

【解題分析】先求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)F與圓M：(x-4y+(y+2)2=l上點(diǎn)的距離的最大值為6求解.

【題目詳解】因?yàn)閽佄锞€。：7=2py(2>0)的焦點(diǎn)為心，￡|，

且點(diǎn)尸與圓M:—4)2+(y+2)2=1上點(diǎn)的距離的最大值為6,

所以J16+〔^+2]+1=6,解得0=2,

所以拋物線準(zhǔn)線方程為y=-l,

故選：D

7、D

【解題分析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求圓心半徑即可.

【題目詳解】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得(%+1)2+3—2)2=11,故圓心為半徑為而.

故選：D.

8、D

【解題分析】令尤=0,代入可得/(2)=0,即得/(x+2)=/(2-x),再由函數(shù)y=/(x+l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(—1,0)對(duì)

稱，判斷得函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，即/(—X)=—/(%),則化簡(jiǎn)可得〃x+8)=/(x),即函數(shù)的周期

為8,從而代入求解/(2021).

【題目詳解】令尤=0,得/(2)=/⑵+4/(2),即"2)=0,所以〃x+2)=/(2—%),

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱，

所以函數(shù)y=于(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱，即/(—%)=-/(%),

所以“X+2)=于(2-x)=-f(x-2),

即y(x+4)=_/(x),可得y(x+8)=/(x),

則7(2021)=/(253x8-3)=f(-3)=-/(I)=-3,

故選：D.

第n卷（非選擇題

9、B

【解題分析】根據(jù)y=7'（x）圖象判斷了（尤）的單調(diào)性，由此求得了（元）的極值點(diǎn)，進(jìn)而確定正確選項(xiàng).

【題目詳解】由圖可知，Ax）在區(qū)間\3,-m），（2,4）上尸（x）<0,/（尤）單調(diào)遞減

在區(qū)間］一|,2：（4,5）上/'（%）>0,/（%）單調(diào)遞增.

所以％=1不是Ax）的極值點(diǎn)，x=2是/（X）的極大值點(diǎn).

所以ACD選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.

故選：B

10、C

35

【解題分析】首先畫出可行域，找到最優(yōu)解，得到關(guān)系式作為條件，再去求一+7的最小值.

ab

x-y-4<0,

【題目詳解】畫出卜—2y+220,的可行域，如下圖：

x+y>4-

x—2y+2=0

得/(2,2)

x+y—4=0

fx-y-4=0

由V得N(10,6)；

[x-2y+2=0

x-y-4=0

得尸（4,0）；

x+y-4-=0

目標(biāo)函數(shù)z=(zr+by(a>0,b>0)取最大值時(shí)必過(guò)N點(diǎn),

則10a+6Z?=2

=60

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）

106

故選：C

11、D

【解題分析】利用互斥事件概率計(jì)算公式直接求解

【題目詳解】由某超市收銀臺(tái)排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率表，得：

至少有兩人排隊(duì)的概率為：

p=1_p（x=0）-P（X=1）=1—o.1—0.16=0.74

故選：D

【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法、互斥事件概率計(jì)算公式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題

12、C

【解題分析】由題設(shè)易知｛4｝是公比為2的等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求生,結(jié)合各選項(xiàng)的描述及等比數(shù)

列通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式判斷正誤即可.

【題目詳解】從上往下記每層塔所掛燈的盞數(shù)為則數(shù)列｛4｝是公比為2的等比數(shù)列，且40—27）=254,解得

1-2

q=2,

所以頂層塔共掛了2盞燈，B正確；底層塔共掛了27=128盞燈，A正確

最上面3層塔所掛燈總盞數(shù)為14,最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)為224,C不正確，D正確

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-2

【解題分析】根據(jù)后）=袤，則=?最，根據(jù)條件求得向量夾角即可求得結(jié)果.

【題目詳解】由題知，CD=BA'取8。的中點(diǎn)。，連接如圖所示，

則AO，3D,4O，5。，又二面角A—BQ—C的平面角為直二面角,

則？AO490°,又AO=A'O=0,

TT2冗

則4T=2,"￡4'為等邊三角形，從而<A，3,54>=與-,

1TTT27r

貝！|4BCD=A'BA4=2x2xcos——=—2,

3

故答案為：-2

14、75

【解題分析】由直線與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

【題目詳解】由直線/：%—2y+3=0與圓C：(x—2)2+/=廠2(廠〉0)相切,

12+31

所以圓心到直線/的距離等于半徑r,即「==6

#+(-2)2

故答案為：Vs

【解題分析】先求導(dǎo)數(shù)，得出切線斜率，寫出切線方程，然后可求三角形的面積.

【題目詳解】y=ex+(x-l)er=xe\當(dāng)x=l時(shí)，y'=e,

所以切線方程為y—0=e(x—1),即y=e(x—1)；

令％=0可得y=—e,令y=?？傻脁=l；

1A

所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為-xlxe=-.

22

故答案為：—.

2

16、50

【解題分析】利用頻率分布直方圖的性質(zhì)求解即可.

【題目詳解】第五組的頻率為0.5x(5.45-5.15)=0.15,

第一組所占的頻率為0.15義=125,

6

則隨機(jī)抽取400名學(xué)生視力在［3.95,4.25)范圍內(nèi)的學(xué)生約有400x0.125=50人.

故答案為：50.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

22

17、(1)」上=1；

62

(2)(i)2g;(ii)y=x+V6.

【解題分析】⑴根據(jù)給定條件列出關(guān)于。，6的方程組，解方程組代入得解.

⑵(i)設(shè)直線A5方程，與橢圓方程聯(lián)立求出線段A5長(zhǎng)，再求出原點(diǎn)。到直線A3距離列出矩形面積求解即可;

(ii)由⑴及IAB|=|8C|列出方程，由方程解的情況即可判斷計(jì)算作答.

【小問(wèn)1詳解】

令橢圓半焦距為c,依題意,解得片=6,〃=2,

22

所以橢圓E的方程為：—+^=1.

62

【小問(wèn)2詳解】

⑴由⑴知，A(-V6,0),設(shè)直線48的斜率為左次＞0,則直線A5的方程為：y=k(x+&),

由＜消去y并整理得：(3^2+l)x2+6s/6k2x+18Jt2-6=0,點(diǎn)A的橫坐標(biāo).=—J4,

x+3y=6

18/一6，解得/"CAIT)

則點(diǎn)3的橫坐標(biāo)與有：4乙=

3k2+13k+1

則有|45|="7笆|.一/1="2三，因矩形的邊。過(guò)原點(diǎn)。，貝！113cl

3k+1J1+42

<^—=2^/31J

因此，矩形的面積SNWMCuMr4

or~T，當(dāng)且僅當(dāng)3左=7,即左=乂時(shí)取

k2卡底k3

所以矩形ABCD面積的最大值是26.

2V6-V1+F_46k

(ii)假定矩形A5C。能成為正方形，貝!J|A8|=|BC|,由⑴知:3k2+1

整理得:3k3-2k2+k-2=0,即伏—1）（3/+左+2）=0,而3左2+左+2工0,解得左=1,

所以矩形A5C。能成為正方形，此時(shí)，直線45的方程為,=%+#.

【題目點(diǎn)撥】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題，往往需要利用韋達(dá)定理構(gòu)建目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，自變量可以

斜率或點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等.而目標(biāo)函數(shù)的最值可以通過(guò)二次函數(shù)或基本不等式或?qū)?shù)等求得.

18、(1)y=e026"3-41(或,=0.03e°26x)

(2)模型①：1.54；模型②：65.54

(3)模型①

【解題分析】(1)利用兩邊取自然對(duì)數(shù)，利用表中的數(shù)據(jù)即可求解；

(2)分別計(jì)算模型①、②在X=20時(shí)殘差；

(3)根據(jù)相關(guān)指數(shù)的大小判斷摸型①、②的殘差平方和，再得出那個(gè)模型的擬合效果更好.

【小問(wèn)1詳解】

由，得，

令，得，

由表H數(shù)據(jù)可得,

所以

所以回歸方程為(或).

【小問(wèn)2詳解】

由題意可知，模型①在時(shí)殘差為

模型②在時(shí)殘差為

【小問(wèn)3詳解】

因?yàn)?，即模型①的相關(guān)指數(shù)大于模型②的相關(guān)指數(shù)，由相關(guān)指數(shù)公式知，模型①的殘差平方和小于模型②

的殘差平方和，因此模型①得到的數(shù)據(jù)更接近真實(shí)數(shù)據(jù)，所以模型①的擬合效果更好.

19、(1)證明見解析

⑵一亞

4

【解題分析】(1)取44的中點(diǎn)F，連接EF,C.F,由四邊形EEC。是平行四邊形即可求解；

(2)采用建系法，以0C為x軸，為y軸，垂直底面方向?yàn)閦軸，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合二面角夾角余弦公式即

可求解.

【小問(wèn)1詳解】

取4烏的中點(diǎn)F,連接EF,GF,BB［//CQ,

AEF//CCX,且所=；("+3用)=2,.,.EF=CG，

/.四邊形EFC.C是平行四邊形，CE//CXF,

又平面A與G，。/匚平面4與。］,.?.0￡〃平面4用。］；

取AC的中點(diǎn)0,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。X”,

則A(—1,0,1),4(0,6,3),G(1,O,2),二4月=0,若,2),AG=(2,0,1).

設(shè)平面ABG的法向量是m=(x,y,z)，則“學(xué)=:，

\7［加YG=0

即卜+A+2Z=°,令.1,得昨(1,省2),

2x+z=0''

易知平面A4G的一個(gè)法向量是n=(0,1,0),

m-n_y/6

.?.cos\m,n

|m|-|n|4

又二面角4—AG—A是鈍二面角,

???二面角4—AG-4的余弦值為—逅.

4

20、（TO,—12]

q+d=4

【解題分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為"，根據(jù)題意得＜解方程得％=2,d=2,進(jìn)而得

q+2d=6

〃（2+2〃）

S——n(〃+1),故;7〃恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)〃=3或4時(shí)，,⑺取得最小值-12,

2

進(jìn)而得答案.

【題目詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

5x4

由已知%=q+d=4,S5=5qH■—d=5囚+10d=30.