江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.設(shè)為實(shí)數(shù)，若向量，，且，則的值為（）A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使得，又，，所以，解得，所以的值為.故選：B．2.已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的虛部為i B.C.的共軛復(fù)數(shù) D.為純虛數(shù)〖答案〗D〖解析〗∵，∴z的虛部為1，為純虛數(shù)，，∴正確的結(jié)論是D．故選：D．3.在中，若，，，則（）A.或 B. C. D.或〖答案〗B〖解析〗在中，由正弦定理得，所以，又因?yàn)榍?，，所?故選：B.4.已知中，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗中，，所以.故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.或〖答案〗A〖解析〗依題意，均為銳角，由得，由得，所以，而，所以.故選：A.6.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗易得為增函數(shù)，且，，故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：B．7.在中，，，則的大小為（）A.或 B. C. D.或〖答案〗C〖解析〗由，，等式兩邊平方相加得：，即，故，故或，由，得，得，故，則，故.故選：C.8.在任意四邊形中，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，，，，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖：由，則①，又②，由①+②可得，即，故，設(shè)與夾角為，則，解得.故選：C．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知向量，，且，則（）A. B.C.向量與向量的夾角是 D.向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)橄蛄?，，所以，由得，解得，所以，故A正確；又，所以，故B錯(cuò)誤；設(shè)向量與向量的夾角為，因?yàn)椋?，所以，又，所以，即向量與向量的夾角是，故C正確；向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是，故D正確.故選：ACD.10.下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則或B.若，則C.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為3D.若（，），則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A：令，所以由復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式有，但這與或矛盾，故A選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于B：令，所以，所以，且，所以，故B選項(xiàng)符合題意；對(duì)于C：令，若復(fù)數(shù)滿足，則有（其中），所以，所以，所以，即當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為3，故C選項(xiàng)符合題意；對(duì)于D：令可知，但這與矛盾，故D選項(xiàng)不符合題意.故選：BC．11.下列各式的值為的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對(duì)A，因?yàn)?，故，故，故A正確；對(duì)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC．12.中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形三邊求面積的公式，求其法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現(xiàn)有滿足，且，則（）A.外接圓的半徑為B.若的平分線與交于，則的長(zhǎng)為C.若為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為D.若為的外心，則〖答案〗BD〖解析〗根據(jù)題意由，利用正弦定理可得，不妨設(shè)，利用余弦定理可得，又，可得；又面積為，解得，所以，對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，分別作垂直于，垂足為，如下圖所示：易知的面積為，可得，即B正確；對(duì)于C，若為的中點(diǎn)，易知，如下圖所示：所以可得，可得，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，延長(zhǎng)交外接圓于點(diǎn)，連接；如下圖所示：易知即為直徑，所以可知，；利用投影向量的幾何意義可得，即可得D正確.故選：BD．三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.）13.在中，若，，則的值為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)外接圓半徑為，則由正弦定理可得：.故〖答案〗為：.14.若，則的值為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，所以，解?故〖答案〗為：.15.已知四邊形中，，，是的中點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)，在中，，所以，所以，同理在中，，則，在中，，即，解得.故〖答案〗為：16.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為______．〖答案〗6〖解析〗由，令，作出函數(shù)的草圖如下：當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，由得，易知在之間兩函數(shù)有6個(gè)交點(diǎn)，故零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.故〖答案〗為：6.四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知復(fù)數(shù)滿足，的虛部為2，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求：（1）復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）設(shè)（，），所以，①因?yàn)椋值奶摬繛?，所以，②由①②解得或，所以或，又所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以．（2），因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．18.已知，，，試求：（1）；（2）與的夾角.解：（1）由，可得，則，即，又，，則，則.（2），又，則，故與的夾角為.19.已知直角梯形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，且．（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求．解：（1）設(shè)，因?yàn)?，，，則，，，，在直角梯形中，，且，所以A，為直角，則，即，解得，，所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）如圖：因?yàn)闉榫€段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則，設(shè)，則，所以，，所以，又因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，所以，，則，所以.20.在中，已知，最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為.（1）求的大小；（2）若，求最短邊的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?，所以，即，在中，由余弦定理得，又，?（2）因，故，又因?yàn)?，所以，所以為最小角，為最大角，則為最短邊，為最大邊，由，可得，解得，所以，在中，由正弦定理得，即，得.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），所以函數(shù)的最小正周期.（2）因?yàn)?，所以在上恒成立，即在上恒成立，因，所以，所以，所以?duì)恒成立，令，則，則問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以在上的最大值為，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.22.已知中，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，且①，②，③，④.（1）求的長(zhǎng)；（2）為邊上的一點(diǎn)，若為銳角三角形，求的周長(zhǎng)取值范圍.上面問題的條件，現(xiàn)請(qǐng)你在①，②，③，④中刪除一個(gè)，并將剩下三個(gè)作為條件解答這個(gè)問題，要求〖答案〗存在且唯一.你刪去的條件是_______，請(qǐng)你寫出剩余條件解答本題的過(guò)程.解：（1）刪除條件①：設(shè)，，則，在中，，即，同理在中，，即，聯(lián)立，可得，，即，，故；刪除條件④：設(shè)，則，在中，，同理在中，，因?yàn)椋?，即，解得：，所以；刪除條件②：在中，，所以，解得或，不唯一，不符合題意；刪除條件③：在中，，即，解得或，不唯一，不符合題意.（2）若刪去①：由（1）知，設(shè)，因?yàn)?，則，在中，由正弦定理知，則，，所以的周長(zhǎng)