2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第1章集合常用邏輯用語(yǔ)不等式第4講一元二次不等式及其解法課件

第四講一元二次不等式及其解法知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知

識(shí)

梳

理知識(shí)點(diǎn)一一元二次不等式的解法1．將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)________零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．2．計(jì)算相應(yīng)的__________.3．當(dāng)______時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根．4．利用二次函數(shù)的圖象與x軸的______確定一元二次不等式的解集．大于判別式Δ≥0交點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二三個(gè)二次之間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象兩相異兩相等沒(méi)有{x|x>x2或x<x1}{x|x∈R且x≠x1}R{x|x1<x<x2}??歸

納

拓

展1．a(chǎn)x2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要條件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．2．a(chǎn)x2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要條件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．注意：在題目中沒(méi)有指明不等式為二次不等式時(shí)，若二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)，應(yīng)先對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況進(jìn)行分析，檢驗(yàn)此時(shí)是否符合條件．3．二次不等式解集的“邊界值”是相應(yīng)二次方程的根．4．一元高次不等式的解法，數(shù)軸穿根法：先因式分解再用穿根法，依據(jù)：從左至右，從上至下，依次穿根，奇過(guò)偶不過(guò)，注意x系數(shù)為正．如(x－1)2(x－2)(x－3)>0在數(shù)軸上標(biāo)根穿線，點(diǎn)1處的線過(guò)而不穿．雙

基

自

測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)不等式(x＋1)(2－x)<0的解集為(－1,2)．(

)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(x1，x2)，則a<0.(

)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.(

)×√×√×題組二走進(jìn)教材2．(必修1P53T1改編)不等式－x2－5x＋6≥0的解集為(

)A．{x|－6≤x≤1} B．{x|2≤x≤3}C．{x|x≥3或x≤2} D．{x|x≥1或x≤－6}[解析]

不等式－x2－5x＋6≥0可化為x2＋5x－6≤0，即(x＋6)(x－1)≤0，解得－6≤x≤1，所以不等式的解集為{x|－6≤x≤1}．A3．(必修1P55T3改編)已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根，且x1＋x2＝5，x1x2＝6，則該一元二次方程是(

)A．x2＋5x＋6＝0 B．x2－5x＋6＝0C．x2－6x＋5＝0 D．x2－6x－5＝0B－145．(必修1P55T2)不等式mx2＋mx＋1>0對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.[0,4)A7．(2019·天津高考)設(shè)x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范圍是_______________.考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究一元二次不等式的解法——多維探究角度1不含參數(shù)的不等式

求下列不等式的解集．(1)x2－4x－5≤0；(2)－x2＋8x<3.(3)0<x2－x－2≤4.[解析]

(1)原不等式可化為(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集為{x|－1≤x≤5}．名師點(diǎn)撥：解一元二次不等式的一般步驟1．化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．2．判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．3．求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有沒(méi)有實(shí)根．4．寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．[引申1]把本例(1)中a<0改為a>0呢？[引申2]若再改為a∈R呢？再增加a＝0情況．名師點(diǎn)撥：含參數(shù)的不等式的求解往往需要分類討論1．若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，若判別式Δ≥0，可先考慮分解因式，再對(duì)根的大小分類討論(分點(diǎn)由x1＝x2確定)；若不易分解因式，可考慮求根公式，以便寫出解集，若Δ<0，則結(jié)合二次函數(shù)圖象寫出解集，若判別式符號(hào)不能確定，則需對(duì)判別式分類討論(分點(diǎn)由Δ＝0確定)．2．若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，然后討論二次項(xiàng)系數(shù)大于零、小于零，以便確定解集形式．3．解簡(jiǎn)單分式不等式是通過(guò)移項(xiàng)、通分化為整式不等式求解，要注意分母不能為零．4．解簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，若底含有參數(shù)，則需對(duì)其是否大于1分類求解，注意對(duì)數(shù)的真數(shù)必須為正．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)(多選題)下列四個(gè)不等式中，解集為?的是(

)A．－x2＋x＋1≤0 B．2x2－3x＋4<0C．x2＋3x＋10≤0 D．x2－2x＋3<0[解析]

根據(jù)函數(shù)的開口方向和根的判別式，即可得出正確的選項(xiàng)．A選項(xiàng)，開口向下，不可能為空集，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，開口向上，Δ＝9－4×2×4＝－23<0，解集為空集，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，開口向上，Δ＝9－4×10＝－31<0，解集為空集，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，開口向上，Δ＝4－4×3＝－8<0，解集為空集，故D選項(xiàng)正確．故選BCD.BCD2．(角度2)解不等式x2－(a＋1)x＋a<0(a∈R)．[解析]

由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，∴x1＝a，x2＝1，①當(dāng)a>1時(shí)，x2－(a＋1)x＋a<0的解集為{x|1<x<a}，②當(dāng)a＝1時(shí)，x2－(a＋1)x＋a<0的解集為?，③當(dāng)a<1時(shí)，x2－(a＋1)x＋a<0的解集為{x|a<x<1}.三個(gè)二次間的關(guān)系——師生共研[分析]

利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．B[分析]

令f(x)＝x2＋ax－2，Δ＝a2＋8>0恒成立，又兩根之積為負(fù)值，所以只要f(1)≥0或f(1)<0且f(5)>0，于是得解；思路二：“正難則反”，求x2＋ax－2≤0在區(qū)間[1,5]上恒成立的a的取值集合，只需f(5)≤0，再求其補(bǔ)集即可；思路三：分離參數(shù)．A[引申]若不等式x2＋ax－2<0在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是____________.(－∞，1)名師點(diǎn)撥：已知不等式的解集，等于知道了與之對(duì)應(yīng)方程的根，此時(shí)利用韋達(dá)定理或判別式即可求出參數(shù)的值或范圍，為簡(jiǎn)化討論注意數(shù)形結(jié)合，如本例(2)中對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(0，－2)．【變式訓(xùn)練】1．若關(guān)于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集為{x|1<x<m}，則實(shí)數(shù)a的值為______，實(shí)數(shù)m的值為______.222．(2023·九江模擬)若關(guān)于x的不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)[解析]

解法一：由函數(shù)f(x)＝x2－4x－2－a圖象的對(duì)稱軸為x＝2.∴不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解?f(4)>0，即a<－2，故選A.解法二：(分離參數(shù)法)不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價(jià)于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)<g(4)＝－2，∴a<－2.故選A.A一元二次不等式恒成立問(wèn)題——師生共研2．在給定某區(qū)間上恒成立(1)當(dāng)x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≥0恒成立，結(jié)合圖象，只需f(x)min≥0即可．(2)當(dāng)x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≤0恒成立，只需f(x)max≤0即可．3．解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是參數(shù)．一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是自變量，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．若不等式(a－3)x2＋2(a－3)x－4<0對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a取值的集合為(

)A．(－∞，3) B．(－1,3)C．[－1,3] D．(－1,3]D2．(2024·山西忻州第一中學(xué)模擬)已知關(guān)于x的不等式x2－4x≥m對(duì)任意的x∈(0,1]恒成立，則有(

)A．m≤－3 B．m≥－3C．－3≤m<0 D．m≥－4[解析]

令f(x)＝x2－4x，x∈(0,1]，∵f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值－3，∴m≤－3，故選A.A3．已知對(duì)于任意的a∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值總大于0，則x的取值范圍是(

)A．{x|1<x<3} B．{x|x<1或x>3}C．{x|1<x<2} D．{x|x<1或x>2}B名師講壇·素養(yǎng)提升一元二次方程根的分布情況設(shè)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的兩根為x1，x2，且x1<x2，相應(yīng)的二次函數(shù)為f(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即為二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，它們的分布情況見下面各表(每種情況對(duì)應(yīng)的均是充要條件)．表一：(兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況)分布情況兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于0(x1<0，x2<0)兩個(gè)正根即兩根都大于0(x1>0，x2>0)一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于0，一個(gè)根大于0(x1<0<x2)大致圖象(a>0)得出的結(jié)論f(0)<0大致圖象(a<0)得出的結(jié)論f(0)>0綜合結(jié)論(不討論a)a·f(0)<0表二：(兩根與k的大小比較)分布情況兩根都小于k即x1<k，x2<k兩根都大于k即x1>k，x2>k一個(gè)根小于k，一個(gè)根大于k即x1<k<x2大致圖象(a>0)得出的結(jié)論f(k)<0大致圖象(a<0)得出的結(jié)論f(k)>0綜合結(jié)論(不討論a)a·f(k)<0表三：(根在區(qū)間上的分布)分布情況兩根都在(m，n)內(nèi)兩根有且僅有一根在(m，n)內(nèi)(圖象有兩種情況，只畫了一種)一根在(m，