2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）重難點(diǎn)14 幾何最值問題4種類型（費(fèi)馬點(diǎn)、胡不歸模型、阿氏圓模型、瓜豆原理）（原卷版）

重難點(diǎn)突破14幾何最值問題4種類型（費(fèi)馬點(diǎn)、胡不歸模型、阿氏圓模型、瓜豆原理）原創(chuàng)精品資源學(xué)科網(wǎng)獨(dú)家享有版權(quán)，侵權(quán)必究！1/146/32題型01費(fèi)馬點(diǎn)【基礎(chǔ)】費(fèi)馬點(diǎn)概念：三角形內(nèi)部滿足到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱為費(fèi)馬點(diǎn).結(jié)論：1）對(duì)于一個(gè)各角不超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120°的點(diǎn)；對(duì)于2)有一個(gè)角超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).（注意：通常涉及費(fèi)馬點(diǎn)的試題中三角形的最大頂角小于120°）【解題思路】運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法，以?ABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出最短長度.結(jié)論證明過程：情況一：當(dāng)△ABC各角不超過120°時(shí)，將?APB繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到?A’P’B則?APB≌?A’P’B∴BP=BP’AP=AP’∠A’P’B=∠APB而∠P’BP=60°則?P’BP為等邊三角形∴∠BPP’=∠P’BP=∠BP’P=60°∵PA+PB+PC=P’A’+PP’+PC≤A’C∴當(dāng)A’、P’、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的最小值為A’C此時(shí)∠BPC=180°-∠BPP’=120°∠APB=∠A’P’B=180°-∠BP’P=120°∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°情況二（僅需理解）：當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角不小于120°時(shí)，延長BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP,PC'=PC，則△APC≌△AP'C'∵∠BAC≥120°∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC（(只有當(dāng)P、A重合時(shí)取等號(hào))）所以，當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn)．【費(fèi)馬點(diǎn)的作法】（當(dāng)△ABC各角不超過120°）作法：1）如圖，分別以?ABC中的AB、AC為邊，作等邊?ADB、等邊?AEC2）連接CD、BE，則?ADC≌?ABE(手拉手模型)3）記CD、BE交點(diǎn)為P，點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn).4）以BC為邊作等邊?BCF，連接AF，必定經(jīng)過點(diǎn)P，且BE=AF=CD.【擴(kuò)展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB，交點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn).圖形結(jié)論等腰三角形①∠APB=∠BPC=∠APC=120°；②△ABP與△ACP全等；③△BCP為等腰三角形；④△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.等邊三角形①AP=BP=CP；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③△ABP、△ACP、△BCP全等；④點(diǎn)P是垂心，是△ABC各邊的高線的交點(diǎn)；⑤點(diǎn)P是△ABC各邊的中線的交點(diǎn)；⑥點(diǎn)P是內(nèi)心，是在三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)；⑦△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.直角三角形①△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°【進(jìn)階】加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費(fèi)馬點(diǎn)問題線段前面系數(shù)都是l，如果現(xiàn)在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1，那么此類題目就叫做“加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)”.【關(guān)鍵】系數(shù)的改變只是影響了旋轉(zhuǎn)角度的改變，依然考的是旋轉(zhuǎn).已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5,△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接PA，PB，PC問題求解圖形作法求PA+PB+PC最小值△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CDEBD長度即為所求,在Rt△BCD中有勾股定理可得BD=BC求PA+PB+2PC最小值△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CDE此時(shí)△PCE為等腰直角三角形，即PE=2PC因此原式=PA+PB+2PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BD長度即為所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF求PA+PB+3PC最小值△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△CDE此時(shí)△PCE為等腰三角形且∠PCE=120°，即PE=3PC，因此原式=PA+PB+3PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BD長度即為所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF求2PA+PB+3PC最小值思路：原式=2（PA+12PB+32PC）

1)將PC邊繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°，然后過點(diǎn)P作PF⊥CE于點(diǎn)F,則PF=32PC;2)12PB利用三角形中位線來處理；3）P過程：△BCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE,然后過點(diǎn)P作PF⊥CE于點(diǎn)F,此時(shí)△PCE為等邊三角形，即PF=32PC，過點(diǎn)F作FG∥DE，則FG=12PB，則當(dāng)A、P、F、G四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，AG長度即為所求,在Rt△ACG中有勾股定理可得AG=CG+AC2=34,原式=2（PA+求2PA+4PB+23PC過程：△ACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE,然后過點(diǎn)P作PF⊥CE于點(diǎn)F,此時(shí)△PCE為等邊三角形，即PF=32PC，過點(diǎn)F作FG∥DE，則FG=12AP，則當(dāng)B、P、F、G四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BG長度即為所求,在Rt△BCG中有勾股定理可得BG=CG+AC2=7.5,原式=4（12備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.【費(fèi)馬點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練】1．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，線段AD上存在一點(diǎn)Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，則PD=．2．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋ME的最小值為．3．（2021·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若AB=AC=7,BC=23，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則PA+PB+PC=；若AB=23,BC=2,AC=4，P為4．（2022下·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AP'C'，則可以構(gòu)造出等邊△APP'，得AP=PP'，CP=CP'，所以PA+PB+PC的值轉(zhuǎn)化為PP'+PB+P'(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP①若PA=3，則點(diǎn)P與點(diǎn)P'②當(dāng)PA=3，PB=5，PC=4時(shí)，求∠AP(2)如圖2，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且∠BAC=90°，AB=6，AC=23，求PA+PB+PC5．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，如圖1，將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP由②可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．(2)如圖4，在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點(diǎn)P為

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/6．（2021上·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校校考期中）背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，當(dāng)∠APB=∠APC=∠CPB=120°時(shí)，則PA+PB+PC取得最小值．(1)如圖2，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時(shí)△ACP'≌△ABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與△ABC的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請(qǐng)同學(xué)們探索以下問題．(2)如圖3，△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在△ABC外側(cè)作等邊三角形△ABB'，連接CB'，求證：(3)如圖4，在RT△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．(4)如圖5，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，且邊長AB=2；求AE+BE+CE的最小值．7．（2022·山東德州·統(tǒng)考一模）若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于120°，則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角均為120°，此時(shí)該點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如圖1，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，此時(shí)∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC的值最?。?1)如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，連接PP'，此時(shí)△ACP'≌△ABP，這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA(2)如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上延長BP，在射線BP上取點(diǎn)D，E，連接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠PAC，求證：BE=PA+PB+PC．(3)如圖4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，點(diǎn)P為直角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP，BP，CP，請(qǐng)直接寫出PA+PB+PC的值．8．（2021·河南鄭州·鄭州外國語中學(xué)?？寄M預(yù)測）閱讀材料：平面幾何中的費(fèi)馬問題是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題．1643年，在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利的私人信件中，費(fèi)馬提出了下面這個(gè)極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請(qǐng)求托里拆利幫忙解答：給定不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)P的位置．托里拆利成功地解決了費(fèi)馬的問題．后來人們就把平面上到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C距離之和最小的點(diǎn)稱為△ABC的費(fèi)馬-托里拆利點(diǎn)，也簡稱為費(fèi)馬點(diǎn)或托里拆利點(diǎn)．問題解決：（1）費(fèi)馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法．如圖1，我們可以將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BDE，連接PD，可得△BPD為等邊三角形，故PD=PB，由旋轉(zhuǎn)可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由可知，PA+PB+PC的最小值與線段的長度相等；（2）如圖2，在直角三角形ABC內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，連接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如圖3，菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=60°，平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)E，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，始終有∠BEC=90°，連接AE、DE，在△ADE內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PD+PE最小，若存在，請(qǐng)直接寫出PA+PD+PE的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．9．（2020·江蘇南通·南通市新橋中學(xué)校考一模）（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°，得到△ADE，連接BD，則∠ABD＝度．（2）【解決問題】①如圖2，在邊長為7的等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面積．②如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若PB＝1，PA＝3，∠BPC＝135°，則PC＝．（3）【拓展應(yīng)用】如圖4是A，B，C三個(gè)村子位置的平面圖，經(jīng)測量AB＝4，BC＝32，∠ABC＝75°，P為△ABC內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練】1．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC．（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）求：（1）PA+PB+PC的最小值；（2）PA+PB+2（3）PA+PB+3（4）2PA+PB+3（5）12（6）2PA+4PB+23（7）4PA+2PB+23（8）3PA+4PB+5PC的最小值題型02胡不歸模型【模型介紹】從前有一位姓胡的小伙外出學(xué)習(xí)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即決定回家.小伙子略懂?dāng)?shù)學(xué)常識(shí)，考慮到“兩點(diǎn)之間線段最短”的知識(shí)，雖然他所在求學(xué)的地方與家之間布滿了砂石，但他還是義無反顧的踏上了歸途.當(dāng)他趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”之后的歲月，小伙子不斷的反思：如果我當(dāng)時(shí)先沿著驛道走一段距離，再通過砂石區(qū)域回家，是否能見到父親最后一面呢？如果可以，他應(yīng)該沿著驛道走多遠(yuǎn)再通過砂石區(qū)域回家呢？這就是流傳千百年的“胡不歸問題.如圖，A是出發(fā)點(diǎn)，B是目的地，直線m是一條驛道，而驛道靠目的地一側(cè)全是砂石，為了選擇合適的路線，假設(shè)通過驛道速度為v1米/秒，通過砂石區(qū)域速度為v2米/秒（v1>v2），小伙子需要在直線m上選取一點(diǎn)C，再折往至B，求點(diǎn)C在何處時(shí)，用時(shí)最短（A→C→B）？由題目可知A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線m上運(yùn)動(dòng)，求tAC+tBC的最小值.t總=tAC+tBC=ACv1+BCv2=1v2BC+v2v1AC，因?yàn)関1，v2為定值，所以只需求BC+v2v1AC的最小值即可，因此需要在圖中構(gòu)造出長度為v2v1AC的替換線段.因?yàn)関1>v2，所以設(shè)v2v【解題關(guān)鍵】在求形如“PA+KPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+KPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型.(若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可).【胡不歸模型專項(xiàng)訓(xùn)練】1．（2023上·四川樂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+DC的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．122．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=?x2+bx+3的圖像與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C(3,0)，若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,?1)，連接PD，則2A．4 B．2+22 C．22 3．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．4．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步驟作圖：①在AC和AB上分別截取AD、AE，使AD=AE．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線AM交BC于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段AF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，則CP+5．（2020·陜西·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，則AM+12BM的最小值為6．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，E重合），則CP+12BP

7．（2023下·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系，A(1,1)，直線l:y=43x+1經(jīng)過B(m,113)，點(diǎn)8．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）拋物線y=ax2+bx+3分別交x軸于點(diǎn)A1,0，B?3,0，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)M為線段OC(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)線段MN，NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請(qǐng)寫出你的理由；(3)在M，N移動(dòng)的過程中，DM＋12MC9．（2022下·重慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD上的兩點(diǎn)，連接BE、CF，并延長交于點(diǎn)G，連接DG，H為CF上一點(diǎn)，連接BH、DH，∠GBH+∠GED=90°(1)如圖1，若H為CF的中點(diǎn)，且AF=2DF，DH=102，求線段(2)如圖2，若BH=BC，過點(diǎn)B作BI⊥CH于點(diǎn)I，求證：BI+2(3)如圖2，在（1）的條件下，P為線段AD（包含端點(diǎn)A、D）上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過點(diǎn)B作BQ⊥CP于點(diǎn)Q，將△BCQ沿BC翻折得△BCM，N為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN，當(dāng)△BCM面積最大時(shí)，直接寫出2210．（2021·四川綿陽·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝12x＋2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱軸是x＝－32且經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)(1)求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，求AP＋2PC的最小值；(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．11．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝33x＋3和直線l2：y＝﹣3x＋b相交于y軸上的點(diǎn)B，且分別交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)C（1）求△ABC的面積；（2）點(diǎn)E坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)F為直線l1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)EF＋CF最小時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出此時(shí)PF＋22OP12．（2019·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=ax2a>0的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，OA=1，經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)y=kx+bk≠0的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方，求ΔACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn)，在(2)的結(jié)論下，求PE+313．（2019·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過點(diǎn)A(1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，與y(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；(3)點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ΔPBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問：AQ+1題型03阿氏圓模型【模型由來】已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”，又稱阿波羅尼斯圓.【模型解讀1】如圖1所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB.連接PA、PB，則當(dāng)PA+kPB的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定?思路：如圖2，在線段OB上截取OC，使OC=k·r（即OCOP=k=OPOB）且∠BOP=∠COP，則可說明△BPO與△PCO相似，即PCPB=k具體步驟：1：連接動(dòng)點(diǎn)至圓心0（將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)分別與圓心相連接），即連接OP、OB；2：計(jì)算連接線段OP、OB長度；3：計(jì)算兩線段長度的比值OP/OB="k"；4：在OB上截取一點(diǎn)C，使得OC/OP=OP/OB構(gòu)建母子型相似：5：連接AC，與圓0交點(diǎn)為P，即AC線段長為PA＋K*PB的最小值．【模型解讀2】如圖點(diǎn)A，B在⊙O上，OA⊥OB,OA=OB=12，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，D在OB上，OD=10，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則2PC+PD的最小值，PC+65PD【詳解】解：如圖1，延長OA到E，使OA=AE，連接PE、OP，∵OA=OP，C為OA中點(diǎn)，∴OPOE=12，OC∵∠COP=∠POE，∴△OCP∽△OPE，∴OPOE∴PE=2PC，∴2PC+PD=PE+PE,即當(dāng)E、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，2PC+PD有最小值，最小值為OE如圖2，延長OB到F，使OF=725，連接PF、OP∵OD=10，OP==OA=12，∴OPOF∵∠DOP=∠POF，∴△ODP∽△OPF，∴OPOF=DPPF=56∴PC+65PD=PC+PF,即當(dāng)C、P、F最小值為OC【模型總結(jié)】對(duì)于阿氏圓而言：當(dāng)系數(shù)k＜1的時(shí)候，一般情況下，考慮向內(nèi)構(gòu)造。當(dāng)系數(shù)k＞1的時(shí)候，一般情況下，考慮向外構(gòu)造?！咀⒁馐马?xiàng)】針對(duì)求PA+kPB的最小值問題時(shí)，當(dāng)軌跡為直線時(shí)，運(yùn)用“胡不歸模型”求解；當(dāng)軌跡為圓形時(shí)，運(yùn)用“阿氏圓模型”求解.【阿氏圓模型專項(xiàng)訓(xùn)練】1．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則13AP＋BP的最小值為（

A．7 B．52 C．4+10 D．2．（2023·陜西咸陽·校考三模）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是OD、OC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=4，P是EF的中點(diǎn)，連接OP、PC、PD，若AC=12,BD=16，則PC+14PD

3．（2022·四川瀘州·四川省瀘縣第一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，AB為⊙O的直徑，AB＝2，點(diǎn)C與點(diǎn)D在AB的同側(cè)，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD＝1，BC＝3，點(diǎn)P是4．（2022上·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4)，B(4,0)，P是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OP=2，連接AP、BP，則BP+12AP5．（2020·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，點(diǎn)C在OA上，且OC=2AC，點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+2DM的最小值為．6．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則2PA＋PB的最小值為．7．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD?12PC8．（2020·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠B=90°,AB=CB=2，以點(diǎn)B為圓心作圓B與AC相切，點(diǎn)P為圓B上任一動(dòng)點(diǎn)，則PA+22PC9．（2018·甘肅天水·校聯(lián)考一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點(diǎn)P是⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD﹣12PC的最大值為10．（2023下·江蘇宿遷·九年級(jí)校考開學(xué)考試）【問題呈現(xiàn)】如圖1，∠AOB=90°，OA=4，OB=5，點(diǎn)P在半徑為2的⊙O上，求12【問題解決】小明是這樣做的：如圖2，在OA上取一點(diǎn)C使得OC=1，這樣可得OCOP=12=OPOA，又因?yàn)椤螩OP=∠POA，所以可得△COP∽△POA又因?yàn)镃P+BP≥CB=OC2+OB【思路點(diǎn)撥】小明通過構(gòu)造相似形（圖3），將12AP轉(zhuǎn)化成CP，再利用“兩點(diǎn)之間線段”最短”求出CP+【嘗試應(yīng)用】如圖4，∠AOB=60°，OA=10，OB=9，點(diǎn)P是半徑為6的⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，求AP+【能力提升】如圖5，∠ABC=120°，BA=BC=8，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)且BD=3CD，連接AD，則△ABD面積的最大值為．11．（2022·廣東惠州·統(tǒng)考一模）如圖1，拋物線y=ax2+bx?4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為?1,0(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使四邊形ABPC的面積為16，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，過點(diǎn)B作BF⊥BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)F，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作⊙C，點(diǎn)Q為⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2412．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點(diǎn)的正方形CDEF（C、D、E、F四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列）可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且CD＝2，連接AF，BD（1）求證：△BDC≌△AFC（2）當(dāng)正方形CDEF有頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，直接寫出BD＋22AD（3）直接寫出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過程中，BD＋22AD13．（2017下·江蘇鹽城·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，拋物線y=ax2+a+3x+3a≠0與x軸交于點(diǎn)A4,0，與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Em,0（0<m<4），過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式：(2)設(shè)△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若C1(3)如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE'，旋轉(zhuǎn)角為α（0°<α<90°），連接E'A、14．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求：①AP+1②2AP+BP，③13④AP+3BP的最小值．15．（2021上·江蘇宿遷·九年級(jí)校考期末）問題提出：如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=4，CA=6（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點(diǎn)D，使CD=1，則CDCP=CPCB=12．又∠PCD=∠BCP所以PD=12PB請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+1（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求13（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，P是CD上一點(diǎn)，求16．（2019·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B（1）求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；（3）如圖2，若P點(diǎn)是半徑為2的⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+12題型04瓜豆原理【模型介紹】在幾何雙動(dòng)點(diǎn)問題中，當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)滿足一定條件時(shí)，這兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律會(huì)出現(xiàn)“種線得線、種圓得圓”的關(guān)聯(lián)性，這種關(guān)聯(lián)性，形象地用中國一句俗語“種瓜得瓜、種豆得豆”來形容，取名為“瓜豆原理”.【條件】瓜豆原理運(yùn)用滿足的三個(gè)條件(“一定兩動(dòng)、定角、定比”)；①有一個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(從動(dòng)點(diǎn))因另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(主動(dòng)點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)而隨之運(yùn)動(dòng)；②兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)所連線組成的夾角是定角;③兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的比值是定值.【模型一】如圖，點(diǎn)O是定點(diǎn)，點(diǎn)A、B是動(dòng)點(diǎn)，∠AOB=α且OBOA證明過程：如下圖，假設(shè)此時(shí)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A’,點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B’,且滿足∠A’OB’=α，OB所以∠AOA’=∠BOB’,OBOA=OB’OA’=k因此△AOA’∽△BOB’∴∠∴點(diǎn)B在運(yùn)動(dòng)過程中，BB’與OB’的夾角始終保持不變，且夾角與∠OAA’相等，所以點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線.∴直線BB’與直線AA’的夾角為α（8字模型自行證明）【模型二】如圖，點(diǎn)O是定點(diǎn)，點(diǎn)A、B是動(dòng)點(diǎn)，∠AOB=α且OBOA證明過程：連接OE，作OC，使得∠EOC=α，在OC上取點(diǎn)F，使得OF=kOE∵∠AOB=∠EOC=α∴∠AOE=∠BOF而OBOA=因此△AOE∽△BOF∴BF=所以點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓.【瓜豆原理專項(xiàng)訓(xùn)練】1．（2017·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，線段AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，AB=4，BC=2，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，連接OD，則OD長的最大值為．2．（2021上·福建福州·八年級(jí)福州三牧中學(xué)?？计谥校┤鐖D，等邊三角形ABC中，AB=4，高線AH=23，D是線段AH上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊向下作等邊三角形BDE，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H的過程中，點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑為線段CM，則線段CM的長為，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H，此時(shí)線段BE的長為．3．（2019·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊ΔEFG，連接CG，則CG的最小值為．4．（2022上·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，A是⊙B上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙B外，已知AB=2，BC=4，△ACD是等邊三角形，則A．43+4 B．4 C．45．（2020·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=﹣12x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P(1，0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)Q'，連接OQ

A．455 B．5 C．526．（2021上·湖南長沙·八年級(jí)長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)