專題3.3 冪函數(shù)【八大題型】（舉一反三）（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

專題3.3冪函數(shù)【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對(duì)冪函數(shù)的概念的理解】 1【題型2求冪函數(shù)的函數(shù)值、解析式】 2【題型3求冪函數(shù)的定義域】 6【題型4求冪函數(shù)的值域】 7【題型5冪函數(shù)的圖象】 9【題型6由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)求參數(shù)】 11【題型7比較冪值的大小】 12【題型8利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式】 14【知識(shí)點(diǎn)1冪函數(shù)的概念】1．冪函數(shù)的概念(1)冪函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)冪函數(shù)的特征：①xα的系數(shù)為1；

②xα的底數(shù)是自變量；

③xα的指數(shù)為常數(shù).

只有同時(shí)滿足這三個(gè)條件，才是冪函數(shù).【題型1對(duì)冪函數(shù)的概念的理解】【例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A．y=x2-1 B．y=【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的定義判斷可得出結(jié)論.【解答過程】由冪函數(shù)的定義可知，B選項(xiàng)中的函數(shù)為冪函數(shù)，ACD選項(xiàng)中的函數(shù)都不是冪函數(shù).故選：B.【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在函數(shù)y=1xA．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的定義即可求解．【解答過程】∵冪函數(shù)y＝xa，∴y=1x2=y=1不是冪函數(shù)，比冪函數(shù)y=x∴冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為1．故選：B.【變式1-2】（2023春·陜西西安·高一?？计谀┮阎瘮?shù)fx=a2-A．-1或2 B．-2或1 C．-1【解題思路】直接根據(jù)冪函數(shù)的定義求解即可．【解答過程】∵fx∴a2∴a=2，或a又a-∴a=-1故選：C．【變式1-3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在函數(shù)①y=1x，②y=x2，③y=2x，④A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的定義可判斷.【解答過程】冪函數(shù)是形如y=xα（α∈R，α為常數(shù)）的函數(shù)，①是α=-1的情形，②是α=2的情形，⑥是α=-12的情形，所以①②⑥都是冪函數(shù)；③故選：C.【題型2求冪函數(shù)的函數(shù)值、解析式】【例2】（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一校考開學(xué)考試）已知冪函數(shù)y=fx的圖象過4,32點(diǎn)，則fA．22 B．4 C．42 D【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y=fx的解析式，再代入已知點(diǎn)求出函數(shù)解析式，再求【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=fx為冪函數(shù)，所以可設(shè)f（x因?yàn)閥=fx所以32=4a所以a=52所以f故選：C.【變式2-1】（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)y=fx的圖象過點(diǎn)2,A．y=2x B．y=x C【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)定義可設(shè)fx=【解答過程】設(shè)冪函數(shù)fx=xα，則f2故選：B.【變式2-2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象過點(diǎn)(4,2)A．-3 B．-13 C．13【解題思路】將點(diǎn)(4,2)代入fx=xα【解答過程】因?yàn)閮绾瘮?shù)fx=x所以4α=2，解得α所以f故選：D.【變式2-3】（2023春·湖北宜昌·高一校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)a3,2在冪函數(shù)fxA．fx=xC．fx=x【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出a，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可求解.【解答過程】∵函數(shù)fx∴a-1=1，即a=2,∴點(diǎn)∴8b=2，即b故選：D.【知識(shí)點(diǎn)2冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)】1．常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)冪函數(shù)圖象定義域RRR值域RR奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上為增函數(shù)，增函數(shù)，減函數(shù)在R上為增函數(shù)在上為增函數(shù)，增函數(shù)，減函數(shù)定點(diǎn)（1,1）溫馨提示：冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)a>0時(shí)，y＝xα是增函數(shù)；當(dāng)α<0時(shí)，y＝xα是減函數(shù)．2．一般冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)一般冪函數(shù)的圖象：①當(dāng)α=1時(shí)，y=x的圖象是一條直線.

②當(dāng)α=0時(shí)，y==1(x≠0)的圖象是一條不包括點(diǎn)(0,1)的直線.

③當(dāng)α為其他值時(shí)，相應(yīng)冪函數(shù)的圖象如下表：（p、q互質(zhì)）p，q都是奇數(shù)p是偶數(shù)，q是奇數(shù)p是奇數(shù)，q是偶數(shù)(2)一般冪函數(shù)的性質(zhì)：通過分析冪函數(shù)的圖象特征，可以得到冪函數(shù)的以下性質(zhì)：

①所有的冪函數(shù)在(0,+)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1).

②α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0,+)上是增函數(shù).

③α<0時(shí)，冪函數(shù)在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+時(shí)，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.

④任何冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸僅相交于原點(diǎn)，或不相交，任何冪函數(shù)的圖象都不過第四象限.

⑤任何兩個(gè)冪函數(shù)的圖象最多有三個(gè)公共點(diǎn).除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一點(diǎn)都不是兩個(gè)冪函數(shù)的公共點(diǎn).3．對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)參考冪函數(shù)的性質(zhì)，探究函數(shù)的性質(zhì).(1)圖象如圖：與直線y=x，y軸無限接近.(2)函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

(3)函數(shù)的值域?yàn)?-,-2]∪[2,+).

(4)奇偶性：，函數(shù)為奇函數(shù).

(5)單調(diào)性：由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在(-,-1)，(1,+)上單調(diào)遞增，在(-1,0)，(0,1)上單調(diào)遞減.【題型3求冪函數(shù)的定義域】【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)定義域?yàn)镽的是（）A．y=x-12 B．y=【解題思路】化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為根式，分別求出四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域得答案．【解答過程】y=x-y=x-y=x1y=x1故選：C．【變式3-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)fx=xA．-∞,+∞C．0,+∞ D．【解題思路】化簡函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于x的不等式組，由此可解得原函數(shù)的定義域.【解答過程】因?yàn)閒x=x-1故函數(shù)fx的定義域?yàn)?,+故選：D.【變式3-2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）5個(gè)冪函數(shù)：①y=x-2；②y=x45；③y=x54A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤【解題思路】分別寫出所給函數(shù)的定義域，然后作出判斷即可.【解答過程】①y=x-②y=x4③y=x5④y=x2⑤y=x-故選：C.【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)α∈-1,12,1,2,3，則使函數(shù)y=A．1或3 B．-1或1 C．-1或3 D．-1、【解題思路】由冪函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)依次驗(yàn)證得解.【解答過程】因?yàn)槎x域?yàn)镽，所以α>0，α又函數(shù)為奇函數(shù)，所以α≠2，則滿足條件的α=1或故選:A.【題型4求冪函數(shù)的值域】【例4】（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象過點(diǎn)A．(-∞,0) B．(0,+∞) C．(-∞,0)∪(0,+∞) D．(-∞,+∞)【解題思路】求出冪函數(shù)的解析式，即可得解.【解答過程】f(x)=xα則函數(shù)f(x)故選：C.【變式4-1】（2022秋·安徽六安·高一校考階段練習(xí)）在下列函數(shù)中，定義域和值域不同的是（

）A．y=x13 B．y=x【解題思路】把冪函數(shù)寫成根式的形式即可求出定義域及值域，逐項(xiàng)分析即可得解.【解答過程】由y=x13=由y=x12=由y=x53=3由y=x23=3故選：D.【變式4-2】（2023秋·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，值域?yàn)?,+∞的是（

A．fx=xC．fx=1【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義域、冪函數(shù)的性質(zhì)、以及基本不等式可直接求得選項(xiàng)中各函數(shù)的值域進(jìn)行判斷即可.【解答過程】由已知f(x)=x值域?yàn)椤選>0，∴fx=f(x)=1x+1因?yàn)槎x域?yàn)閤∈-f(x)=1-1x(x>1)，1故選：C.【變式4-3】（2022秋·廣東廣州·高一校考期末）冪函數(shù)y=fx的圖象過點(diǎn)2,2，則函數(shù)A．-∞,+∞ B．-∞,1【解題思路】設(shè)fx=xa，帶點(diǎn)計(jì)算可得fx=【解答過程】設(shè)fx代入點(diǎn)2,2得∴a∴則y=x-x∴函數(shù)y=x-故選：C.【題型5冪函數(shù)的圖象】【例5】（2023春·福建三明·高二統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P8,4，則該冪函數(shù)的大致圖象是（

A．

B．

C．

D．

【解題思路】設(shè)冪函數(shù)為fx=xα【解答過程】設(shè)冪函數(shù)為fx=xα，則8α=4，所以fx=x23因?yàn)閒-x=故選：C.【變式5-1】（2023·山東臨沂·高一?？计谀┫旅娼o出4個(gè)冪函數(shù)的圖像，則圖像與函數(shù)大致對(duì)應(yīng)的是（

）A．①y=x3，②y=x2B．①y=x2，②y=x1C．①y=x2，②y=x3D．①y=x13，②y=x【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的圖像特征，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證，即可得到答案.【解答過程】函數(shù)y=x3為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽函數(shù)y=x2≥0，且該函數(shù)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y=x12=y=x-故選：A．【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)y=xpq（p,q∈A．p，q均為奇數(shù)，且pB．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且pC．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且pD．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且p【解題思路】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出pq<0；根據(jù)函數(shù)的奇偶性及p，q互質(zhì)可判斷出p為偶數(shù)，q【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=xpq的定義域?yàn)樗詐q<因?yàn)楹瘮?shù)y=xp所以函數(shù)y=xp又p、q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，所以選項(xiàng)D正確，故選：D.【變式5-3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示，圖中的曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象，已知n取±2，±12四個(gè)值，則相應(yīng)于C1，C2，CA．-2，-12，12，2 B．2，1C．-12，-2，2，12 D．2，1【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的特征即可得答案.【解答過程】解：根據(jù)冪函數(shù)y=x當(dāng)n>0時(shí)，n越大，y=xn遞增速度越快，故C1的n當(dāng)n<0時(shí)，n越大，曲線越陡峭，所以曲線C3的n=-12故選:B.【題型6由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)求參數(shù)】【例6】（2023春·廣西玉林·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若冪函數(shù)fx=m2-2mA．-1 B．3 C．-1或3 D．1【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的概念和單調(diào)性可求出結(jié)果.【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)fx=m所以m2-2由m2-2m-當(dāng)m=-1時(shí)，m當(dāng)m=3時(shí)，足m2綜上m=-1故選：A.【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)fx=a2-A．3 B．2 C．1 D．1或2【解題思路】由題意利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答過程】∵冪函數(shù)fx∴a2-則實(shí)數(shù)a=1故選：C.【變式6-2】（2023秋·江蘇無錫·高一?？计谀皀=1”是“冪函數(shù)fx=n2-3A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解.【解答過程】因?yàn)閒x所以n2-3n+3=1即n當(dāng)n=1時(shí)，fx=當(dāng)n=2時(shí)，fx=所以“n=1”是“冪函數(shù)fx=n2故選:C.【變式6-3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)fx=x-m2+2m+3m∈A．-1 B．0 C．1 D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到-m2【解答過程】冪函數(shù)fx=x-m解得-1<m<3當(dāng)m=0時(shí)，f當(dāng)m=1時(shí)，f當(dāng)m=2時(shí)，f故選：C.【題型7比較冪值的大小】【例7】（2023春·遼寧鞍山·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a=3513A．a(chǎn)<b<c B．b<c【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【解答過程】b=35所以由53>35>故選：C.【變式7-1】（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測）設(shè)a=3412A．c<a<C．a(chǎn)<c<【解題思路】易得b=431【解答過程】因?yàn)閍=且0<827<916<1所以82714綜上：c<故選：A.【變式7-2】（2022秋·福建南平·高一統(tǒng)考期中）下列比較大小中正確的是（

）A．320.5<C．(-2.1)37<【解題思路】利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【解答過程】解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閥=x0.5在[0,+∞)對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)閥=x-1在(-∞對(duì)于C選項(xiàng)，y=x37為奇函數(shù)，且在[0,+∞因?yàn)?-2.2)-37所以(-2.1)37<對(duì)于D選項(xiàng)，y=x4又(-12)43=(1故選：C.【變式7-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)f(x)=(m2-4m+4)xm2-m-6，(mA．f(π)<C．f(-3)<f(-1)<【解題思路】由冪函數(shù)的定義即可求f(x)解析式，進(jìn)而可知其奇偶性，并結(jié)合單調(diào)性即可比較f(-3)，f【解答過程】對(duì)任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有({m2-4m∴f(x)=∴f(-1)=f(1)，f(-3)=f故選：A.【題型8利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式】【例8】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若(a+1)-【解題思路】根據(jù)y=x-1【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=x-且在(-∞,0),(0,+∞)上都是單調(diào)遞減函數(shù)，且x>0時(shí)，y故(a+1)-13<(3-2解得23<a<3故a的取值范圍為(-∞【變式8-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知冪函數(shù)fx=(1)求f1(2)若f2a+1>【解題思路】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義得到m=2或m=3，根據(jù)奇偶性即可得到m的值，再計(jì)算（2）根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件可得2a+1<a<0或0<2【解答過程】（1）由m2-5m+7=1當(dāng)m=2時(shí)，f當(dāng)m=3時(shí)，f所以fx=x（2）因?yàn)閒x=x-3的定義域?yàn)?由f2a+1>fa，可得解得a<-1或-所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<-1或-【變式8-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知冪函數(shù)fx=xm2-2m-(1)求m的值；(2)解不等式f1-2【解題思路】（1）先利用冪函數(shù)在0,+∞上是單調(diào)遞減函數(shù)，得到m2-2（2）利用（1）中函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【解答過程】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)fx=xm2-2m-∴m2-因?yàn)楹瘮?shù)在0,+∞上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以m2-2因?yàn)閙∈Z，則m=0，1，當(dāng)m=0時(shí)，m當(dāng)m=1時(shí)，m當(dāng)m=2時(shí)，m故m=1