中考幾何輔助線專題-遇到中點(diǎn)時(shí)的輔助線

中考幾何輔助線專題---遇到中點(diǎn)時(shí)的輔助線等腰底中垂分解題方法技巧等腰三角形中有底邊中點(diǎn)或證是底邊中點(diǎn)時(shí)，常連底邊中線，利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)證題有中點(diǎn)時(shí)，也可過中點(diǎn)作垂線，構(gòu)造垂直平分線，利用垂直平分線上的點(diǎn)和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等證題如圖，在中，AB=AC,取BC中點(diǎn)D，連接AD,則AD是的平分線，又是BC邊上的高和BC邊上的中線，這樣為證明題目增添了很多條件。已知：如圖，在矩形ABCD中，E為CB延長線上一點(diǎn)且AC=CE,F為AE的中點(diǎn)。求證：.如圖，AB=AE,,BC=ED,點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)求證：在你連接BE后，還能得出什么新結(jié)論？請寫出三個(gè)（不要求證明）。練習(xí)1.如圖，在中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，于點(diǎn)N，則MN等于（）ABCD2.已知：如圖，在等腰中，AB=AC,D是BC的中點(diǎn)，過A的直線MN//BC,在直線MN上點(diǎn)A的兩側(cè)分別取點(diǎn)E,F且AE=AF.求證：DE=DF.已知:如圖，在等腰中，AB=AC,D是BC的中點(diǎn)，過A作且AE=AF.求證：斜邊中是一半解題方法技巧直角三角形中，有斜邊中點(diǎn)時(shí)常作斜邊中線；有斜邊的倍分關(guān)系線段時(shí)，也常常作斜邊中線如圖，在Rt中，D為斜邊AB的中點(diǎn)，連接CD，則得CD=AD=BD,從而構(gòu)造出等腰三角形。如圖，在Rt中，AB=2BC,作斜邊AB的中線CD，則得相等的線段AD=BD=CD=BC,從而得到為等邊三角形，為研究等邊三角形，求角的大小提供了條件。例如圖，在Rt中，AB=AC,,O為BC的中點(diǎn)。寫出點(diǎn)O到的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的距離的關(guān)系：（不需證明）如果點(diǎn)M,N分別在線段AB,AC上移動(dòng)，在移動(dòng)中保證AN=BM,請判斷的形狀，并證明你的結(jié)論。練習(xí)1.如圖，在中，BE,CF分別為邊AC,AB的高，D為BC的中點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)。求證：2.已知：中，于E交AC于F,且AD=FC.求證：3.已知：中，于D,M為BC的中點(diǎn)。求證：DM=AB遇中線可倍長解題方法技巧將三角形的中線延長一倍構(gòu)造全等三角形或平行四邊形，即為倍長中線法如圖，AD為的中線，如延長AD至E，使DE=AD.連接BE,則，再連接CE，則四邊形ABEC是平行四邊形，可用平行四邊形的有關(guān)知識證題。將三角形中線上的一部分延長一倍，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形如圖，E為中線AD上一點(diǎn)，如延長AD至F使DF=DE.連接BF,CF,則四邊形BFCE是平行四邊形，可用平行四邊形的有關(guān)知識證題。可以在中線上截取線段與中線上的某一部分線段相等有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍此線段，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形如圖，O為AB中點(diǎn)，若延長CO至D使OD=CO,則(),四邊形ADBC為平行四邊形。已知：如圖，AD為的中線，AE=EF.求證：BF=AC已知：如圖，在中，，M為AB的中點(diǎn)，P,Q分別在AC,BC上，且于M,求證：PQ2=AP2+BQ2已知：如圖，的邊BC的中點(diǎn)為N,過A的任一直線于D,于E.求證：NE=ND.練習(xí)1.已知：AD為的中線，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，連接BF交AD于E.求證：2.已知：在中，AD為中線，并且,.求證：AB=2AD3.已知：如圖，中，過AB的中點(diǎn)F作,垂足為E,交CA的延長線于點(diǎn)D.若EF=3，BE=4,,求證：DF:FE的值。同中垂構(gòu)全等解題方法技巧有三角形中線時(shí)，可過中線所在的邊的兩端點(diǎn)向中線作垂線，構(gòu)造全等三角形如圖，AN為的中線，若作的延長線于D，作于E,則有.例已知：如圖，在中，于E交BC于F.求證：BF=2FC.練習(xí)1.已知：如圖，在中，BD=DC,BF交AD,AC于E,F,若AF=EF,求證：BE=AC.2.已知：如圖，在中，AD是BC邊上的中線，直線于點(diǎn)F,且交AB于E,交AC于G.求證：兩中點(diǎn)中位線解題方法技巧在進(jìn)行證明時(shí)，有中點(diǎn)可以構(gòu)造中位線，利用三角形，梯形中位線定理來證題。通常有以下幾種情況時(shí)作中位線。有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）中點(diǎn)時(shí)，連接任意兩個(gè)中點(diǎn)可得三角形的中位線如圖，D,E,F分別是的三邊中點(diǎn)，連接DE,EF,FD，利用三角形中位線性質(zhì)得線段之間大小關(guān)系與平行關(guān)系，從而為解決問題提供幫助。有一邊中點(diǎn)，并且已知或求證中涉及線段的倍分關(guān)系時(shí)，常過中點(diǎn)作另一邊的平行線，構(gòu)造三角形的中位線。如圖，在中，若,E為BC邊的中點(diǎn)，則取AC邊中點(diǎn)F,連接EF,DF,利用三角形中位線得到平行關(guān)系。連接圓心與弦的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形的中位線如圖，C為中弦AB的中點(diǎn)，作直徑AD，連接OC,DB,則OC//BD且OC=BD，從而為證題創(chuàng)造平行條件與線段的倍，半關(guān)系。有一腰中點(diǎn)，可另取另一腰中點(diǎn)，利用梯形中位線有關(guān)性質(zhì)證明如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,F為CD的中點(diǎn)，取AB的中點(diǎn)E,連接EF，則EF//AD//BC,EF=(AD+BC)已知：如圖，E,F分別為四邊形ABCD對角線的中點(diǎn)，AB>CD.求證：EF>(AB-CD)如圖，在四邊形ABCD中，E,F并分別是AD,BC的中點(diǎn)，G,H分別是對角線BD,AC的中點(diǎn)。求證：EF與GH互相平分。如圖，在四邊形ABCD中，一組對邊AB=CD,另一組對邊ADBC.分別取AD,BC的中點(diǎn)M,N,連接MN，則AB與MN的關(guān)系是（）A.AB=MNB.AB>MNC.AB<MND.上述三種情況都有可能練習(xí)1.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=a，BE//AC,DE交AC的延長線于F點(diǎn)，交BE于E點(diǎn)。求證：DF=FE(2)若AC=2CF，求BE的長。2.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn)，BA,CD的延長線分別交EF的延長線于M,N.求證：.3.已知：如圖，五邊形ABCDE中，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)。求證：BF=EF。腰中平造全等解題方法技巧過梯形一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線，把梯形問題轉(zhuǎn)化成平行四邊形的問題來解決如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,E為CD的中點(diǎn)，如過E作GF//AB交BC于F，交AD的延長線于G。這樣就把梯形ABCD割補(bǔ)成平行四邊形了，可利用平行四邊形的性質(zhì)證題。例已知：如圖，梯形ABCD中，AD//BC,EF為中位線。求證：梯形ABCD練習(xí)1.已知：如圖，梯形ABCD中，AD//BC,E為DC的中點(diǎn)求證：S=梯形ABCD2.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,E為AB的中點(diǎn)，EF//DC交BC于點(diǎn)F.求EF的長。延頂中有全等解題方法技巧在梯形中，有一腰中點(diǎn)時(shí)，連接一頂點(diǎn)與此中點(diǎn)并延長與一底的延長線相交，把梯形問題轉(zhuǎn)化成三角形問題來解決如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,E為CD的中點(diǎn)，如連接AE，并延長與BC的延長線交于點(diǎn)N.這樣相當(dāng)于把梯形ABCD割補(bǔ)成，可利用三角形的有關(guān)定理證題。例已知：如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,AB>DC,M為AD的中點(diǎn)，且。求證：BM平分，CM平分且AB+CD=BC練習(xí)已知：梯形ABCD中，AD//BC,AB=AD+BC,M為CD的中點(diǎn)求證：BM平分底中現(xiàn)平腰見解題方法技巧有底的中點(diǎn)時(shí)，常過此點(diǎn)引兩腰的平行線，把梯形問題轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形問題來解決如圖，已知梯形ABCD中，AD//BC,E為AD的中點(diǎn)，如過E作EF//AB,EN//CD,分別交BC于F,N,則得到,這樣可以利用平行四邊形和三角形的有關(guān)性質(zhì)證題。例已知：在梯形ABCD中，AB//CD,AB>CD,,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)求證：練習(xí)1.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,E,F分別是AD,BC的中點(diǎn)，且.求2.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC,P,Q分別為AD,BC的中點(diǎn)。求證：第九節(jié)對角線頂中線解題方法技巧在梯形中，有對角線中點(diǎn)時(shí)，常把一頂點(diǎn)和對角線中點(diǎn)連接，并延長與一底相交，把梯形問題轉(zhuǎn)化成三角形問題來解決如圖，已知梯形ABCD中，AD//BC,E為AC的中點(diǎn)，如連接DE,并延長交BC于N.例已知：如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,E,F分別是AC,BD的中點(diǎn)。求證：EF//AB,且練習(xí)1.如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,中位線EF與對角線AC,BD交于M,N兩點(diǎn)，若EF=18cm,MN=8cm,則AB的長等于（）A.10cmB.13cmC.20cmD.26cm2.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,,點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)。求證：OD//AB弧弦中心中連解題方法技巧連經(jīng)過弧中點(diǎn)的半徑，可以利用垂徑定理得推論證題如圖，=，連接AC,OB,則有,且OB垂直平分AC，從而能為證題創(chuàng)造垂直和線段中點(diǎn)的條件。連等弧對的弦，根據(jù)圓心角，弧，弦，弦心距關(guān)系定理證題如圖，B為的中點(diǎn)，連接AB,BC,則有AB=CB,從而為證題創(chuàng)造線段相等條件。連等弧對的圓心角（或圓周角）利用圓心角，弧，弦，弦心距關(guān)系定理及同?。ɑ虻然。┧鶎A心角與圓周角關(guān)系定理的推論證題如圖，連接OA,OB,OC,AD,BD,CD從而為證明角相等（或倍，半關(guān)系）創(chuàng)造條件連接圓心與弦的中點(diǎn)，利用垂徑定理得推論可得到垂直條件如圖，點(diǎn)C是弦AB的中點(diǎn)，連接OC,則有練習(xí)1.如圖所示，是等邊三角形ABC的外接圓，的半徑為2，則等邊三角形ABC的邊長為（）B.C.D.2.如圖，