2024年初中升學考試九年級數(shù)學專題復習二次函數(shù)的應用

二次函數(shù)的應用29．（2023?赤峰）乒乓球被譽為中國國球．2023年的世界乒乓球錦標賽中，中國隊包攬了五個項目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓練和精準的技術(shù)分析是分不開的．如圖，是乒乓球臺的截面示意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度OA為28.75cm的高度，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分．乒乓球到球臺的豎直高度記為y（單位：cm），乒乓球運行的水平距離記為x（單位：cm），測得如下數(shù)據(jù)：水平距離x/cm0105090130170230豎直高度y/cm28.7533454945330（1）在平面直角坐標系xOy中，描出表格中各組數(shù)值所對應的點（x，y），并畫出表示乒乓球運行軌跡形狀的大致圖象；（2）①當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是49cm，當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是230cm；②求滿足條件的拋物線解析式；（3）技術(shù)分析：如果只上下調(diào)整擊球高度OA，乒乓球的運行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網(wǎng)，又能落在對面球臺上，需要計算出OA的取值范圍，以利于有針對性的訓練．如圖②，乒乓球臺長OB為274cm，球網(wǎng)高CD為15.25cm．現(xiàn)在已經(jīng)計算出乒乓球恰好過網(wǎng)的擊球高度OA的值約為1.27cm．請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度OA的值（乒乓球大小忽略不計）．【答案】（1）畫函數(shù)圖象見解答過程；（2）①49；230；②y＝－0.0025（x－90）2＋49；（3）乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度OA的值為64.39cm．【分析】（1）根據(jù)描點法畫出函數(shù)圖象即可求解；（2）①根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性求得對稱軸以及頂點，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，可得當y＝0時，x＝230；②待定系數(shù)法求解析式即可求解；（3）根據(jù)題意，設(shè)平移后的拋物線的解析式為y＝－0.0025（x－90）2＋49＋h－28.75，當x＝274時，y＝0，代入進行計算即可求解．【解答】解：（1）描出各點，畫出圖象如下：（2）①觀察表格數(shù)據(jù)，可知當x＝50和x＝130時，函數(shù)值相等，∴對稱軸為直線x=50＋130∵拋物線開口向下，∴最高點時，乒乓球與球臺之間的距離是49cm，當y＝0時，x＝230，∴乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是230cm；故答案為：49；230；②設(shè)拋物線解析式為y＝a（x－90）2＋49，將（230，0）代入得，0＝a（230－90）2＋49，解得：a＝－0.0025，∴拋物線解析式為y＝－0.0025（x－90）2＋49；（3）當OA＝28.75時，拋物線的解析式為y＝－0.0025（x－90）2＋49，設(shè)乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度OA的值為h，則平移距離為（h－28.75）cm，∴平移后的拋物線的解析式為y＝－0.0025（x－90）2＋49＋h－28.75，當x＝274時，y＝0，∴－0.0025（274－90）2＋49＋h－28.75＝0，解得：h＝64.39；答：乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度OA的值為64.39cm．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用，畫二次函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30．（2023?內(nèi)蒙古）隨著科技的發(fā)展，掃地機器人（圖1）已廣泛應用于生活中．某公司推出一款新型掃地機器人，經(jīng)統(tǒng)計該產(chǎn)品2022年每個月的銷售情況發(fā)現(xiàn)，每臺的銷售價格隨銷售月份的變化而變化．設(shè)該產(chǎn)品2022年第x（x為整數(shù)）個月每臺的銷售價格為y（單位：元），y與x的函數(shù)關(guān)系如圖2所示（圖中ABC為一折線）．（1）當1≤x≤10時，求每臺的銷售價格y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)該產(chǎn)品2022年第x個月的銷售數(shù)量為m（單位：萬臺），m與x的關(guān)系可以用m=110【答案】（1）當1≤x≤10時，每臺的銷售價格y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－150x＋3000；（2）第5個月的銷售收入最多，最多為3375萬元．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)銷售收入＝每臺的銷售價格×銷售數(shù)量，可求得銷售收入w（萬元）與銷售月份x之間的函數(shù)關(guān)系，再利用函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）當1≤x≤10時，設(shè)每臺的銷售價格y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b（k≠0），∵圖象過A（1，2850），B（10，1500）兩點，∴k＋b=285010k＋b=1500解得k=?150b=3000∴當1≤x≤10時，每臺的銷售價格y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－150x＋3000；（2）設(shè)銷售收入為w萬元，①當1≤x≤10時，w=(?150x＋30000(1∵－15＜0，∴當x＝5時，w最大＝3375（萬元）；②當10＜x≤12時，w＝1500（110x＋1）＝150x∴w隨x的增大而增大，∴當x＝12時，w最大＝150×12＋1500＝3300（萬元）；∵3375＞3300，∴第5個月的銷售收入最多，最多為3375萬元．【點評】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)在銷售問題中的應用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．31．（2023?蘭州）一名運動員在10m高的跳臺進行跳水，身體（看成一點）在空中的運動軌跡是一條拋物線，運動員離水面OB的高度y（m）與離起跳點A的水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，運動員離起跳點A的水平距離為1m時達到最高點，當運動員離起跳點A的水平距離為3m時離水面的距離為7m．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；（2）求運動員從起跳點到入水點的水平距離OB的長．【答案】（1）y＝－x2＋2x＋10；（2）運動員從起跳點到入水點的水平距離OB的長為（11＋【分析】（1）用待定系數(shù)法可得函數(shù)解析式；（2）結(jié)合（1），令y＝0解得x的值即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，拋物線過（0，10）和（3，7），對稱軸為直線x＝1，設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y＝ax2＋bx＋c，∴c=109a＋3b＋c=7解得：a=?1b=2∴y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y＝－x2＋2x＋10；（2）在y＝－x2＋2x＋10中，令y＝0得0＝－x2＋2x＋10，解得x=11＋1或x∴運動員從起跳點到入水點的水平距離OB的長為（11＋【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題解決．二次函數(shù)的應用16．（2023?云南）數(shù)和形是數(shù)學研究客觀物體的兩個方面，數(shù)（代數(shù)）側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性，形（幾何）側(cè)重研究物體形的方面，具有直觀性．數(shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來反映空間形式，也可用形來說明數(shù)量關(guān)系．數(shù)形結(jié)合就是把兩者結(jié)合起來考慮問題，充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢，數(shù)形互化，共同解決問題．同學們，請你結(jié)合所學的數(shù)學解決下列問題．在平面直角坐標系中，若點的橫坐標、縱坐標都為整數(shù)，則稱這樣的點為整點．設(shè)函數(shù)y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實數(shù)a為常數(shù)）的圖象為圖象T．（1）求證：無論a取什么實數(shù)，圖象T與x軸總有公共點；（2）是否存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點中有整點？若存在，求所有整數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)的應用．【分析】（1）分一次函數(shù)和二次函數(shù)分別證明函數(shù)圖象T與x軸總有交點即可；（2）當a=?12時，不符合題意；當a≠12時，由0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，得x=?12或x=4a?42a+1，即x=4a?42a+1=2?62a+1，因a是整數(shù)，故當2a+1是6的因數(shù)時，4a?42a+1是整數(shù)，可得2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2【解答】（1）證明：當a=?12時，函數(shù)表達式為y＝12令y＝0得x=?1∴此時函數(shù)y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實數(shù)a為常數(shù)）的圖象與x軸有交點；當a≠12時，y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4∵Δ＝（9﹣6a）2﹣4（4a+2）（﹣4a+4）＝100a2﹣140a+49＝（10a﹣7）2≥0，∴函數(shù)y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實數(shù)a為常數(shù)）的圖象與x軸有交點；綜上所述，無論a取什么實數(shù)，圖象T與x軸總有公共點；（2）解：存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點中有整點，理由如下：當a=?1當a≠1在y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4中，令y＝0得：0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，解得x=?12或x∵x=4a?42a+1=2?∴當2a+1是6的因數(shù)時，4a?42a+1∴2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，解得a=?72或a＝﹣2或a=?32或a＝﹣1或a＝0或a=12∵a是整數(shù)，∴a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，涉及一次函數(shù)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解整點的意義．二次函數(shù)的應用32．（2023?天津）如圖，要圍一個矩形菜園ABCD，其中一邊AD是墻，且AD的長不能超過26m，其余的三邊AB，BC，CD用籬笆，且這三邊的和為40m，有下列結(jié)論：①AB的長可以為6m；②AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m；③菜園ABCD面積的最大值為200m2．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】設(shè)AD邊長為xm，則AB邊長為長為40?x2m，根據(jù)AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根據(jù)x取值范圍判斷①；根據(jù)矩形的面積＝192．解方程求出x的值可以判斷②；設(shè)矩形菜園的面積為ym2根據(jù)矩形的面積公式列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值可以判斷③．【解答】解：設(shè)AD邊長為xm，則AB邊長為長為40?x2m當AB＝6時，40?x2解得x＝28，∵AD的長不能超過26m，∴x≤26，故①不正確；∵菜園ABCD面積為192m2，∴x?40?x2整理得：x2﹣40x+384＝0，解得x＝24或x＝16，∴AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2，故②正確；設(shè)矩形菜園的面積為ym2，根據(jù)題意得：y＝x?40?x2=?12（x2﹣40x）=?∵?1∴當x＝20時，y有最大值，最大值為200．故③正確．∴正確的有2個，故選：C．【點評】此題主要考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應用，讀懂題意，找到等量關(guān)系準確地列出函數(shù)解析式和方程是解題的關(guān)鍵．二次函數(shù)的應用31．（2023?濱州）某廣場要建一個圓形噴水池，計劃在池中心位置豎直安裝一根部帶有噴水頭的水管，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心的水距離也為3m，那么水管的設(shè)計高度應為94m【答案】94m【分析】利用頂點式求得拋物線的解析式，再令x＝0，求得相應的函數(shù)值，即為所求的答案．【解答】解：由題意可知點（1，3）是拋物線的頂點，∴設(shè)這段拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+3．∵該拋物線過點（3，0），∴0＝a（3﹣1）2+3，解得：a=?∴y=?34（x∵當x＝0時，y=?34×（0﹣1）2+3∴水管的設(shè)計高度應為94m故答案為：94m【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二次函數(shù)的應用27．（2023?宜昌）如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y=?112（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝【答案】10．【分析】令y＝0，得到關(guān)于x的方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】解：令y＝0，則?112（x﹣10）（解得：x＝10或x＝﹣4（不合題意，舍去），∴A（10，0），∴OA＝10．故答案為：10．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和利用點的坐標表示出相應線段的線段是解題的關(guān)鍵．二次函數(shù)的應用20．（2023?溫州）一次足球訓練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當球飛行的水平距離為6m時，球達到最高點，此時球離地面3m．已知球門高OB為2.44m，現(xiàn)以O(shè)為原點建立如圖所示直角坐標系．（1）求拋物線的函數(shù)表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）；（2）對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處？【答案】（1）拋物線的函數(shù)表達式為y=?112（x（2）當時他應該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處．【分析】（1）求出拋物線的頂點坐標為（2，3），設(shè)拋物線為y＝a（x﹣2）2+3，用待定系數(shù)法可得y=?112（x﹣2）2+3；當x＝0時，y=（2）設(shè)小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為y=?112（x﹣2﹣m）2+3，把點（0，2.25）代入得m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知當時他應該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經(jīng)過點O【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，∴拋物線的頂點坐標為（2，3），設(shè)拋物線為y＝a（x﹣2）2+3，把點A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a=?∴拋物線的函數(shù)表達式為y=?112（x當x＝0時，y=?112∴球不能射進球門．（2）設(shè)小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為y=?112（x﹣2﹣m把點（0，2.25）代入得：2.25=?112（0﹣2﹣m解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴當時他應該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題解決．21．（2023?隨州）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟，增加村民收入，某村委會干部帶領(lǐng)村民在網(wǎng)上直播推銷農(nóng)產(chǎn)品，在試銷售的30天中，第x天（1≤x≤30且x為整數(shù)）的售價p（元/千克）與x的函數(shù)關(guān)系式p=mx+n，1≤x＜20，且x為整數(shù)30，20≤x≤30，且x為整數(shù)銷量q（千克）與x的函數(shù)關(guān)系式為q＝x+10，已知第5天售價為50元/千克，第10天售價為40元/千克，設(shè)第（1）m＝﹣2，n＝60；（2）求第x天的銷售額W元與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在試銷售的30天中，銷售額超過1000元的共有多少天？【答案】（1）﹣2，60；（2）W=?2（3）銷售額超過1000元的共有7天．【分析】（1）用待定系數(shù)法可得m，n的值；（2）由銷售額W＝pq，分兩種情況可得答案；（3）分兩種情況，結(jié)合（2）可列出方程解得答案．【解答】解：（1）把（5，50），（10，40）代入p＝mx+n得：5m+n=5010m+n=40解得m=?∴p＝﹣2x+60（1≤x＜20），故答案為：﹣2，60；（2）當1≤x＜20時，W＝pq＝（﹣2x+60）（x+10）＝﹣2x2+40x+600；當20≤x≤30時，W＝pq＝30（x+10）＝30x+300；∴W=?2（3）在W＝﹣2x2+40x+600中，令W＝1000得：﹣2x2+40x+600＝1000，整理得x2﹣20x+200＝0，方程無實數(shù)解；由30x+300＞1000得x＞2313∵x整數(shù)，∴x可取24，25，26，27，28，29，30，∴銷售額超過1000元的共有7天．【點評】本題考查一次函數(shù)，二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．22．（2023?陜西）某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型門，并要求所設(shè)計的拱門的跨度與拱高之積為48m3，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計部門按要求價出了兩個設(shè)計方案．現(xiàn)把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：方案一，拋物線型拱門的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，點N在x軸上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，拋物線型拱門的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，點N′在x軸上，P′E′⊥O′N′，O′E′＝E′N′．要在拱門中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計）．方案一中，矩形框架ABCD的面積記為S1，點A、D在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面積記為S2，點A'，D'在拋物線上，邊B'C'在ON'上．現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當A'B'＝3m時，S2（1）求方案一中拋物線的函數(shù)表達式；（2）在方案一中，當AB＝3m時，求矩形框架ABCD的面積S1并比較S1，S2的大小．【答案】（1）方案一中拋物線的函數(shù)表達式為y=?19x2（2）S1＝18m2；S1＞S2．【分析】（1）由題意知拋物線的頂點P（6，4），設(shè)頂點式用待定系數(shù)法可得方案一中拋物線的函數(shù)表達式為y=?19x2（2）令y＝3可得x＝3或x＝9，故BC＝6（m），S1＝AB?BC＝18（m2）；再比較S1，S2的大小即可．【解答】解：（1）由題意知，方案一中拋物線的頂點P（6，4），設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y＝a（x﹣6）2+4，把O（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+4，解得：a=?∴y=?19（x﹣6）2+4=?1∴方案一中拋物線的函數(shù)表達式為y=?19x2（2）在y=?19x2+43x中，令y＝3得：3=解得x＝3或x＝9，∴BC＝9﹣3＝6（m），∴S1＝AB?BC＝3×6＝18（m2）；∵18＞122，∴S1＞S2．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出函數(shù)關(guān)系式．二次函數(shù)的應用25．（2023?十堰）“端午節(jié)”吃粽子是中國傳統(tǒng)習俗，在“端午節(jié)”來臨前，某超市購進一種品牌粽子，每盒進價是40元，并規(guī)定每盒售價不得少于50元，日銷售量不低于350盒．根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，當每盒售價定為50元時，日銷售量為500盒，每盒售價每提高1元，日銷售量減少10盒．設(shè)每盒售價為x元，日銷售量為p盒．（1）當x＝60時，p＝400；（2）當每盒售價定為多少元時，日銷售利潤W（元）最大？最大利潤是多少？（3）小強說：“當日銷售利潤最大時，日銷售額不是最大．”小紅說：“當日銷售利潤不低于8000元時，每盒售價x的范圍為60≤x≤80．”你認為他們的說法正確嗎？若正確，請說明理由；若不正確，請直接寫出正確的結(jié)論．【答案】（1）400；（2）當每盒售價定為65元時，每天銷售的利潤W（元）最大，最大利潤是8750元；（3）小強正確，理由見解答；小紅錯誤，當日銷售利潤不低于8000元時，60≤x≤65．【分析】（1）根據(jù)每盒售價每提高1元，每天要少賣出10盒，可以得到p與x之間的函數(shù)關(guān)系式，把x＝60代入解析式計算即可；（2）根據(jù)每盒利潤×銷售盒數(shù)＝總利潤可得W關(guān)于x的關(guān)系式，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；（3）根據(jù)題意，在正確的x的范圍中求出日銷售額的最大值，判斷小強是否正確，根據(jù)題意列出不等式，結(jié)合x的范圍求出不等式的解集，判斷小紅是否正確．【解答】解：（1）由題意可得，p＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，即每天的銷售量p（盒）與每盒售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式是p＝﹣10x+1000，當x＝60時，p＝﹣10×60+1000＝400，（x≥50），故答案為：400．（2）由題意可得，W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，由題可知：每盒售價不得少于50元，日銷售量不低于350盒，∴x≥50p≥350即x≥50?10x+1000≥350，解得50≤x∴當x＝65時，W取得最大值，此時W＝8750，答：當每盒售價定為65元時，每天銷售的利潤W（元）最大，最大利潤是8750元；（3）小強：∵50≤x≤65，設(shè)日銷售額為y元，y＝x?p＝x（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1000x＝﹣10（x﹣50）2+25000，當x＝50時，y值最大，此時y＝25000，當x＝65時，W值最大，此時W＝8750，∴小強正確．小紅：當日銷售利潤不低于8000元時，即W≥8000，﹣10（x﹣70）2+9000≥8000，解得：60≤x≤80，∵50≤x≤65，∴當日銷售利潤不低于8000元時，60≤x≤65．故小紅錯誤，當日銷售利潤不低于8000元時，60≤x≤65．【點評】本題以一次函數(shù)為背景考查了一次函數(shù)的實際應用，考查學生對一次函數(shù)和不等式綜合運用的能力，解決問題的關(guān)鍵是弄清題意，求出x的范圍，在有效范圍內(nèi)求最值是本題容易出錯的地方．26．（2023?河北）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戲．某同學借此情境編制了一道數(shù)學題，請解答這道題．如圖，在平面直角坐標系中，一個單位長度代表1m長．嘉嘉在點A（6，1）處將沙包（看成點）拋出，其運動路線為拋物線C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，淇淇恰在點B（0，c）處接住，然后跳起將沙包回傳，其運動路線為拋物線C2：y=?（1）寫出C1的最高點坐標，并求a，c的值；（2）若嘉嘉在x軸上方1m的高度上，且到點A水平距離不超過1m的范圍內(nèi)可以接到沙包，求符合條件的n的整數(shù)值．【答案】（1）C1的最高點坐標為（3，2），a=?19（2）符合條件的n的整數(shù)值為4和5．【分析】（1）將點A坐標代入解析式可求a，即可求解；（2）根據(jù)點A的取值范圍代入解析式可求解．【解答】解：（1）∵拋物線C1：y＝a（x﹣3）2+2，∴C1的最高點坐標為（3，2），∵點A（6，1）在拋物線C1：y＝a（x﹣3）2+2上，∴1＝a（6﹣3）2+2，∴a=?∴拋物線C1：y=?19（x當x＝0時，c＝1；（2）∵嘉嘉在x軸上方1m的高度上，且到點A水平距離不超過1m的范圍內(nèi)可以接到沙包，∴此時，點A的坐標范圍是（5，1）～（7，1），當經(jīng)過（5，1）時，1=?18解得：n=17當經(jīng)過（7，1）時，1=?18解得：n=41∴175≤n∵n為整數(shù)，∴符合條件的n的整數(shù)值為4和5．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用，讀懂題意，掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征是解題的關(guān)鍵．27．（2023?湖北）加強勞動教育，落實五育并舉．孝禮中學在當?shù)卣闹С窒?，建成了一處勞動實踐基地．2023年計劃將其中1000m2的土地全部種植甲乙兩種蔬菜．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：甲種蔬菜種植成本y（單位；元/m2）與其種植面積x（單位：m2）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中200?x?700；乙種蔬菜的種植成本為50元/m2．（1）當x＝500m2時，y＝35元/m2；（2）設(shè)2023年甲乙兩種蔬菜總種植成本為W元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使W最??？（3）學校計劃今后每年在這1000m2土地上，均按（2）中方案種植蔬菜，因技術(shù)改進，預計種植成本逐年下降．若甲種蔬菜種植成本平均每年下降10%，乙種蔬菜種植成本平均每年下降a%，當a為何值時，2025年的總種植成本為28920元？【答案】（1）500；（2）當種植甲種蔬菜的種植面積為400m2，乙種蔬菜的種植面積為600m2時，W最??；（3）當a為20時，2025年的總種植成本為28920元．【分析】（1）當200≤x≤600時，由待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式，當600＜x≤700時，y＝40，再求出當y＝35時y的值，即可得出結(jié)論；（2）當200≤x≤600時，W=120（x﹣400）2+42000，由二次函數(shù)的性質(zhì)得當x＝400時，W有最小值，最小值為42000，再求出當600≤x≤700時，W＝﹣10x+50000，由一次函數(shù)的性質(zhì)得當x＝700時，（3）根據(jù)2025年的總種植成本為28920元，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）當200≤x≤600時，設(shè)甲種蔬菜種植成本y（單位；元/m2）與其種植面積x（單位：m2）的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，把（200，20），（600，40）代入得：200k+b=20600k+b=40解得：k=1∴y=1當600＜x≤700時，y＝40，∴當y＝35時，35=120解得：x＝500，故答案為：500；（2）當200≤x≤600時，W＝x（120x+10）+50（1000﹣x）=120（x∵120∴拋物線開口向上，∴當x＝400時，W有最小值，最小值為42000，此時，1000﹣x＝1000﹣400＝600，當600≤x≤700時，W＝40x+50（1000﹣x）＝﹣10x+50000，∵﹣10＜0，∴當x＝700時，W有最小值為：﹣10×700+50000＝43000，∵42000＜43000，∴當種植甲種蔬菜的種植面積為400m2，乙種蔬菜的種植面積為600m2時，W最小；（3）由（2）可知，甲、乙兩種蔬菜總種植成本為42000元，乙種蔬菜的種植成本為50×600＝30000（元），則甲種蔬菜的種植成本為42000﹣30000＝12000（元），由題意得：12000（1﹣10%）2+30000（1﹣a%）2＝28920，設(shè)a%＝m，整理得：（1﹣m）2＝0.64，解得：m1＝0.2＝20%，m2＝1.8（不符合題意，舍去），∴a%＝20%，∴a＝20，答：當a為20時，2025年的總種植成本為28920元．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用、一元二次方程的應用以及一次函數(shù)的應用等知識，解題的關(guān)鍵：（1）用待定系數(shù)法正確求出一次函數(shù)關(guān)系式；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確求出二次函數(shù)關(guān)系式；（3）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．二次函數(shù)的應用31．（2023?河南）小林同學不僅是一名羽毛球運動愛好者，還喜歡運用數(shù)學知識對羽毛球比賽進行技術(shù)分析，下面是他對擊球線路的分析．如圖，在平面直角坐標系中，點A，C在x軸上，球網(wǎng)AB與y軸的水平距離OA＝3m，CA＝2m，擊球點P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足一次函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.4x+2.8；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣1）2+3.2．（1）求點P的坐標和a的值；（2）小林分析發(fā)現(xiàn)，上面兩種擊球方式均能使球過網(wǎng)．要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計算判斷應選擇哪種擊球方式．【答案】（1）點P的坐標為（0，2.8）；a的值是﹣0.4；（2）選擇吊球方式，球的落地點到C點的距離更近．【分析】（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0可解得點P的坐標為（0，2.8）；把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得a的值是﹣0.4；（2）在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0可得x＝﹣22+1（舍去）或x＝22【解答】解：（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0得y＝2.8，∴點P的坐標為（0，2.8）；把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得：a+3.2＝2.8，解得：a＝﹣0.4，∴a的值是﹣0.4；（2）∵OA＝3m，CA＝2m，∴OC＝5m，∴C（5，0），在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0得x＝﹣22+1（舍去）或x＝22∵|7﹣5|＞|3.82﹣5|，∴選擇吊球方式，球的落地點到C點的距離更近．【點評】本題考查一次函數(shù)，二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出二次函數(shù)解析式，掌握函數(shù)圖象上點坐標的特征．二次函數(shù)的應用10．（2023?湖北）某商店銷售某種商品的進價為每件30元，這種商品在近60天中的日銷售價與日銷售量的相關(guān)信息如下表：時間：第x（天）1≤x≤3031≤x≤60日銷售價（元/件）0.5x+3550日銷售量（件）124﹣2x（1≤x≤60，x為整數(shù)）設(shè)該商品的日銷售利潤為w元．（1）直接寫出w與x的函數(shù)關(guān)系式w=?x（2）該商品在第幾天的日銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？【答案】（1）w=?（2）該商品在第26天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是1296元．【分析】（1）分1≤x≤30和31≤x≤60兩種情況利用“利潤＝每千克的利潤×銷售量”列出函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)（1）解析式，由函數(shù)的性質(zhì)分別求出1≤x≤30的函數(shù)最大值和31≤x≤60的函數(shù)最大值，比較得出結(jié)果．【解答】解：（1）當1≤x≤30時，w＝（0.5x+35﹣30）?（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620，當31≤x≤60時，w＝（50﹣30）?（﹣2x+124）＝﹣40x+2480，∴w與x的函數(shù)關(guān)系式w=?故答案為：w=?（2）當1≤x≤30時，w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296，∵﹣1＜0，∴當x＝26時，w有最大值，最大值為1296；當31≤x≤60時，w＝﹣40x+2480，∵﹣40＜0，∴當x＝31時，w有最大值，最大值為﹣40×31+2480＝1240，∵1296＞1240，∴該商品在第26天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是1296元．【點評】本題考查了二次函數(shù)的實際應用，二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是弄清數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)表達式．二次函數(shù)的應用31．（2023?菏澤）某學校為美化學校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個一面靠墻（墻足夠長）的矩形花園，用一道籬笆把花園分為A，B兩塊（如圖所示），花園里種滿牡丹和芍藥．學校已定購籬笆120米．（1）設(shè)計一個使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；（2）在花園面積最大的條件下，A，B兩塊內(nèi)分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，已知牡丹每株售價25元，芍藥每株售價15元，學校計劃購買費用不超過5萬元，求最多可以購買多少株牡丹？【答案】（1）垂直于墻的邊為20米，平行于墻的邊為60米，花園面積最大為1200平方米；（2）最多可以購買1400株牡丹．【分析】（1）設(shè)垂直于墻的邊為x米，根據(jù)矩形面積公式得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；（2）設(shè)購買牡丹m株，根據(jù)學校計劃購買費用不超過5萬元，列不等式可解得答案．【解答】解：（1）設(shè)垂直于墻的邊為x米，圍成的矩形面積為S平方米，則平行于墻的邊為（120﹣3x）米，根據(jù)題意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，∵﹣3＜0，∴當x＝20時，S取最大值1200，∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60，∴垂直于墻的邊為20米，平行于墻的邊為60米，花園面積最大為1200平方米；（2）設(shè)購買牡丹m株，則購買芍藥1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，∵學校計劃購買費用不超過5萬元，∴25m+15（2400﹣m）≤50000，解得m≤1400，∴最多可以購買1400株牡丹．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．二次函數(shù)的應用16．（2023?南充）某工廠計劃從A，B兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷售，每日產(chǎn)銷x件．已知A產(chǎn)品成本價m元/件（m為常數(shù)，且4≤m≤6，售價8元/件，每日最多產(chǎn)銷500件，同時每日共支付專利費30元；B產(chǎn)品成本價12元/件，售價20元/件，每日最多產(chǎn)銷300件，同時每日支付專利費y元，y（元）與每日產(chǎn)銷x（件）滿足關(guān)系式y(tǒng)＝80+0.01x2．（1）若產(chǎn)銷A，B兩種產(chǎn)品的日利潤分別為w1元，w2元，請分別寫出w1，w2與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（2）分別求出產(chǎn)銷A，B兩種產(chǎn)品的最大日利潤．（A產(chǎn)品的最大日利潤用含m的代數(shù)式表示）（3）為獲得最大日利潤，該工廠應該選擇產(chǎn)銷哪種產(chǎn)品？并說明理由．【利潤＝（售價﹣成本）×產(chǎn)銷數(shù)量﹣專利費】【考點】二次函數(shù)的應用；由實際問題抽象出一元一次不等式組．【分析】（1）根據(jù)利潤＝（售價﹣成本）×產(chǎn)銷數(shù)量﹣專利費即可列出解析式，注意取值范圍．（2）根據(jù)解析式系數(shù)a確定增減性，再結(jié)合x得取值范圍選擇合適的值得出最大值．（3）分類討論當什么情況下A、B利潤一樣，什么情況下A利潤大于B以及什么情況下A利潤小于B即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)題意，得w1＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）．w2＝（20﹣12）x﹣（80+0.01x2）＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）．（2）∵8﹣m＞0，∴w1隨x的增大而增大，又0≤x≤500，∴當x＝500時，w1有最大值，即w最大＝﹣500m+3970（元）．∵w2＝﹣0.01x2+8x﹣80＝﹣0.01（x﹣400）2+1520．又∵﹣0.01＜0．對稱軸x＝400．∴當0≤x≤300時，w2隨x的增大而增大，∴當x＝300時，w2最大＝﹣0.01×（300﹣400）2+1520＝1420（元）．（3）①若w1最大＝w2最大，即﹣500m+3970＝1420，解得m＝5.1，②若w1最大＞w2最大，即﹣500m+3970＞1420，解得m＜5.1，③若w1最大＜w2最大，即﹣500m+3970＜1420，解得m＞5.1．又4≤m≤6，綜上可得，為獲得最大日利潤：當m＝5.1時，選擇A，B產(chǎn)品產(chǎn)銷均可；當4≤m＜5.1時，選擇A種產(chǎn)品產(chǎn)銷；當5.1＜m≤6時，選擇B種產(chǎn)品產(chǎn)銷．答：當A產(chǎn)品成本價為5.1元時，工廠選擇A或B產(chǎn)品產(chǎn)銷日利潤一樣大，當A產(chǎn)品4≤m＜5.1時，工廠選擇A產(chǎn)品產(chǎn)銷日利潤最大，當5.1＜m≤6時，工廠選擇B產(chǎn)品產(chǎn)銷日利潤最大．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，從實際問題中抽象出數(shù)學問題是解題的關(guān)鍵．二次函數(shù)綜合題（共10小題）17．（2023?蘇州）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣6x+8的圖象與x軸分別交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），直線l是對稱軸．點P在函數(shù)圖象上，其橫坐標大于4，連接PA，PB，過點P作PM⊥l，垂足為M，以點M為圓心，作半徑為r的圓，PT與⊙M相切，切點為T．（1）求點A，B的坐標；（2）若以⊙M的切線長PT為邊長的正方形的面積與△PAB的面積相等，且⊙M不經(jīng)過點（3，2），求PM長的取值范圍．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）令y＝0，代入二次函數(shù)y＝x2﹣6x+8中即可求解．（2）利用配方法求出二次函數(shù)的對稱軸，設(shè)出P點坐標，求出M點坐標，連接MT，則MT⊥PT，求出PT2＝PM2﹣MT2＝（m﹣3）2﹣r2，即以切線長PT為邊長的正方形的面積為（m﹣3）2﹣r2，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，求出三角形PAB的面積，進而得出半徑，假設(shè)⊙M經(jīng)過點N（3，2），分兩種情況：①當點M在點N的上方，②當點M在點N的下方，即可求解．【解答】解：（1）令y＝0，則x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∴A（2，0），B（4，0）．答：點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（4，0）．（2）∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，∴對稱軸為x＝3．設(shè)P（m，m2﹣6m+8），∵PM⊥l，∴M（3，m2﹣6m+8），連接MT，則MT⊥PT，∴PT2＝PM2﹣MT2＝（m﹣3）2﹣r2，即以切線長PT為邊長的正方形的面積為（m﹣3）2﹣r2，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，則S△PAB∴（m﹣3）2﹣r2＝m2﹣6m+8，∵r＞0，∴r＝1．假設(shè)⊙M經(jīng)過點N（3，2），則有兩種情況：①如圖，當點M在點N的上方，∴M（3，3），∴m2﹣6m+8＝3，解得m＝5或1，∵m＞4，∴m＝5．②如圖，當點M在點N的下方，∴M（3，1），∴m2﹣6m+8＝1，解得m=3±2∵m＞4，∴m=3+2綜上所述，PM＝m﹣3＝2或2，∴當⊙M不經(jīng)過點N（3，2）時，PM長的取值范圍為：1＜PM＜2或2＜PM＜2或答：PM長的取值范圍為：1＜PM＜2或2＜PM＜2或【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，利用分類討論的思想方法．18．（2023?連云港）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線L1：y＝x2﹣2x﹣3的頂點為P．直線l過點M（0，m）（m≥﹣3），且平行于x軸，與拋物線L1交于A、B兩點（B在A的右側(cè)）．將拋物線L1沿直線l翻折得到拋物線L2，拋物線L2交y軸于點C，頂點為D．（1）當m＝1時，求點D的坐標；（2）連接BC、CD、DB，若△BCD為直角三角形，求此時L2所對應的函數(shù)表達式；（3）在（2）的條件下，若△BCD的面積為3，E、F兩點分別在邊BC、CD上運動，且EF＝CD，以EF為一邊作正方形EFGH，連接CG，寫出CG長度的最小值，并簡要說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】本題考查二次函數(shù)的對稱的相關(guān)知識，直角三角形的三個角為直角的情況分析，不同情況下的最值問題．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線L1的頂點坐標P（1，﹣4），∵m＝1，點P和點D關(guān)于直線x＝1對稱，∴點D的坐標為（1，6）；（2）∵拋物線L1的頂點P（1，﹣4）與L2的頂點D關(guān)于直線y＝m對稱，∴D（1，2m+4），拋物線L2：y＝﹣（x﹣1）2+（2m+4）＝﹣x2+2x+2m+3，∴當x＝0時，C（0，2m+3），①當∠BCD＝90°時，如圖1，過D作DN⊥y軸于N，∵D（1，2m+4），∴N（0，2m+4），∵C（0，2m+3），∴DN＝NC＝1，∴∠DCN＝45°，∵∠BCD＝90°，∴∠BCM＝45°，∵直線l∥x軸，∴∠BMC＝90°，∴∠CBM＝∠BCM＝45°，BM＝CM，∵m≥﹣3，∴BM＝CM＝（2m+3）﹣m＝m+3，∴B（m+3，m），∵點B在y＝x2﹣2x﹣3的圖象上，∴m＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3，∴m＝0或m＝﹣3，∵當m＝3時，得B（0，﹣3），C（0，﹣3），此時，點B和點C重合，舍去，當m＝0時，符合題意；將m＝0代入L2：y＝﹣x2+2x+2m+3得L2：y＝﹣x2+2x+3，②當∠BDC＝90°，如圖2，過B作BT⊥ND交ND的延長線于T，同理，BT＝DT，∴D（1，2m+4），∴DT＝BT＝（2m+4）﹣m＝m+4，∵DN＝1，∴NT＝DN+DT＝1+（m+4）＝m+5，∴B（m+5，m），∵當B在y＝x2﹣2x﹣3的圖象上，∴m＝（m+5）2﹣2（m+5）﹣3，解得m＝﹣3或m＝﹣4，∵m≥﹣3，∴m＝﹣3，此時，B（2，﹣3），C（0，﹣3）符合題意；將m＝﹣3代入L2：y＝﹣x2+2x+3得，L2：y＝﹣x2+2x﹣3，③易知，當∠DBC＝90°，此種情況不存在；綜上所述，L2所對應的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+2x+3或y＝﹣x2+2x﹣3；（3）如圖3，由（2）知，當∠BDC＝90°時，m＝﹣3，此時，△BCD的面積為1，不合題意舍去，當∠BCD＝90°時，m＝0，此時，△BCD的面積為3，符合題意，由題意得，EF＝FG＝CD=2，取EF的中點Q在Rt△CEF中可求得CQ=12EF=22，在Rt△FGQ當Q，C，G三點共線時，CG取最小值，最小值為10?【點評】本題考查二次函數(shù)的對稱的相關(guān)知識，直角三角形的三個角為直角的情況分析，不同情況下的最值問題．解題的關(guān)鍵是理解對稱的關(guān)鍵，直角三角形的不同情況分析，綜合應用．19．（2023?嘉興、舟山）在二次函數(shù)y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的圖象過點（2，1），則t的值為多少？（2）當0≤x≤3時，y的最小值為﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在這個二次函數(shù)的圖象上，且a＜b＜3．求m的取值范圍．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）將（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3即可得t=3（2）拋物線y＝x2﹣2tx+3對稱軸為x＝t．若0＜t≤3，有t2﹣2t2+3＝﹣2，若t＞3，有9﹣6t+3＝﹣2，解方程并檢驗可得t的值為5；（3）根據(jù)A（m﹣2，a），C（m，a）都在這個二次函數(shù)的圖象上，可得二次函數(shù)y＝x2﹣2tx+3的對稱軸直線x＝t即為直線x=m?2+m2=m﹣1，由t＞0，得m＞1，因m﹣2＜m，知A在對稱軸左側(cè)，C在對稱軸右側(cè)，拋物線y＝x2﹣2tx+3與y軸交點為（0，3），其關(guān)于對稱軸直線x＝m﹣1的對稱點為（2m﹣2，3），由b＜3，知4＜2m﹣2，m＞3；①當A（m﹣2，a），B（4，b）都在對稱軸左側(cè)時，y隨x的增大而減小，有4＜m﹣2，可得m滿足的條件為m＞6；②當A（m﹣2，a）在對稱軸左側(cè)，B（4，b）在對稱軸右側(cè)時，B（4，b）到對稱軸直線x＝m﹣1距離大于A（m﹣2，a）到對稱軸直線x＝m﹣1的距離，故4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），得：m＜4，m【解答】解：（1）將（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：1＝4﹣4t+3，解得：t=3（2）拋物線y＝x2﹣2tx+3對稱軸為x＝t．若0＜t≤3，當x＝t時函數(shù)取最小值，∴t2﹣2t2+3＝﹣2，解得t=5若t＞3，當x＝3時函數(shù)取最小值，∴9﹣6t+3＝﹣2，解得t=7綜上所述，t的值為5；（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在這個二次函數(shù)的圖象上，∴二次函數(shù)y＝x2﹣2tx+3的對稱軸直線x＝t即為直線x=m?2+m2∴t＝m﹣1，∵t＞0，∴m﹣1＞0，解得m＞1，∵m﹣2＜m，∴A在對稱軸左側(cè)，C在對稱軸右側(cè)，在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，∴拋物線y＝x2﹣2tx+3與y軸交點為（0，3），∴（0，3）關(guān)于對稱軸直線x＝m﹣1的對稱點為（2m﹣2，3），∵b＜3，∴4＜2m﹣2，解得m＞3；①當A（m﹣2，a），B（4，b）都在對稱軸左側(cè)時，∵y隨x的增大而減小，且a＜b，∴4＜m﹣2，解得m＞6，此時m滿足的條件為m＞6；②當A（m﹣2，a）在對稱軸左側(cè)，B（4，b）在對稱軸右側(cè)時，∵a＜b，∴B（4，b）到對稱軸直線x＝m﹣1距離大于A（m﹣2，a）到對稱軸直線x＝m﹣1的距離，∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），解得：m＜4，此時m滿足的條件是3＜m＜4，綜上所述，3＜m＜4或m＞6．【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及函數(shù)圖象上點坐標的特征，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應用．20．（2023?煙臺）如圖，拋物線y＝ax2+bx+5與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，AB＝4．拋物線的對稱軸x＝3與經(jīng)過點A的直線y＝kx﹣1交于點D，與x軸交于點E．（1）求直線AD及拋物線的表達式；（2）在拋物線上是否存在點M，使得△ADM是以AD為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為⊙B上一個動點，請求出PC+12【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）根據(jù)對稱軸x＝3，AB＝4，得到點A及B的坐標，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求出點D的坐標，再分兩種情況：①當∠DAM＝90°時，求出直線AM的解析式為y＝﹣x+1，解方程組y=?x+1y=x2?6x+5，即可得到點M的坐標；②當∠ADM＝90°時，求出直線DM的解析式為y=?x+5y=x2（3）在AB上取點F，使BF＝1，連接CF，證得BFPB=PBAB，又∠PBF﹣∠ABP，得到△PBF∽△ABP，推出PF=12PA，進而得到當點C、P、F三點共線時，PC+【解答】（1）解：∵拋物線的對稱軸x＝3，AB＝4，∴A（1，0），B（5，0），將4（1，0）代入直線y＝kx﹣1，得k﹣1＝0，解得k＝1，∴直線AD的解析式為y＝x﹣1；將A（1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，得a+b+5=025a+5b+5=0，解得a=1∴拋物線的解析式為y＝x2﹣6x+5；（2）存在點M，∵直線AD的解析式為y＝x﹣1，拋物線對稱軸x＝3與x軸交于點E，∴當x＝3時，y＝x﹣1＝2，∴D（3，2），①當∠DAM＝90°時，設(shè)直線AM的解析式為y＝﹣x+c，將點A坐標代入，得﹣1+c＝0，解得c＝1，∴直線AM的解析式為y＝﹣x+1，解方程組y=?x+1y=x2?6x+5，得∴點M的坐標為（4，﹣3）；②當∠ADM＝90°時，設(shè)直線DM的解析式為y＝﹣x+d，將D（3，2）代入，得﹣3+d＝2，解得d＝5，∴直線DM的解析式為y＝﹣x+5，解方程組y=?x+5y=x2?6x+5，解得∴點M的坐標為（0，5）或（5，0），綜上，點M的坐標為（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；（3）如圖，在AB上取點F，使BF＝1，連接CF，∵PB＝2，∴BFPB∵PBAB∴BFPB又∵∠PBF＝∠ABP，∴△PBF∽△ABP，∴PFPA=BFPB=∴PC+12PA＝PC+PF≥∴當點C、P．F三點共線時，PC+12PA的值最小，即為線段∵OC＝5，OF＝OB﹣1＝5﹣1＝4，∴CF=O∴PC+12PA的最小值為【點評】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點坐標，正確掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．21．（2023?達州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點P是直線BC上方拋物線上一點，求出△PBC的最大面積及此時點P的坐標；（3）若點M是拋物線對稱軸上一動點，點N為坐標平面內(nèi)一點，是否存在以BC為邊，點B、C、M、N為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．?【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）由△PBC的面積＝S△PHC+S△PHB=12×PH（3）若BC為菱形的邊長，利用菱形的性質(zhì)求解即可．．【解答】解：（1）由題意得，拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），則﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：y＝﹣x+3，故點P作y軸的平行線交CB于點H，設(shè)點P（x，﹣x2+2x+3），則點H（x，﹣x+3），則△PBC的面積＝S△PHC+S△PHB=12×PH×OB=32（﹣x2+2x+x﹣3）=?32即△PBC的面積的最大值為278，此時點P（32，（3）存在，理由：∵B（3，0），C（0，3），∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，∴對稱軸為：x＝1，設(shè)點M（1，t），N（x，y），若BC為菱形的邊長，菱形BCMN，則BC2＝CM2，即18＝12+（t﹣3）2，解得：t1=17+3，t2∵3+1=0+x∴x＝4，y＝t﹣3，∴N1（4，17），N2（4，?17若BC為菱形的邊長，菱形BCNM，則BC2＝BM2，即18＝（3﹣1）2+t2，解得：t3=14，t4=?∵3+x=0+1∴x＝﹣2，y＝3+t，∴N3（﹣2，14+3），N4（﹣2，?即點N的坐標為：（4，?17）或（4，17）或（﹣2，14+3）或（﹣2，【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形和菱形的性質(zhì)、面積的計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．22．（2023?瀘州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+2x+c與坐標軸分別相交于點A，B，C（0，6）三點，其對稱軸為x＝2．（1）求該拋物線的解析式；（2）點F是該拋物線上位于第一象限的一個動點，直線AF分別與y軸，直線BC交于點D，E．①當CD＝CE時，求CD的長；②若△CAD，△CDE，△CEF的面積分別為S1，S2，S3，且滿足S1+S3＝2S2，求點F的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）①求出直線AF的表達式為：y=?12（m﹣6）（x+2），得到點D（0，6﹣m），進而求點E（2m8?m②證明S1【解答】解：（1）由題意得：x=?2解得：a=?1即拋物線的表達式為：y=?12x2+2（2）令y=?12x2+2x+6＝0，則即點A、B的坐標分別為：（﹣2，0）、（6，0）；①設(shè)點F（m，?12m2+2由點A、F得，直線AF的表達式為：y=?12（m﹣6）（x+2）當x＝0時，y=?12（m﹣6）（x+2）＝6﹣m，即點D（0，6﹣則CD＝6﹣6+m＝m，由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：y＝﹣x+6②，聯(lián)立①②得：?12（m﹣6）（x+2）＝﹣解得：x=2m8?m，則點E（2m8?m由點C、E的坐標得，CE=2∵CD＝CE，即m=2解得：m＝0（舍去）或8﹣22，則CD＝m＝8﹣22；②過點E、F分別作x軸的垂線，垂足分別為點M、N，∵△CAD，△CDE，△CEF同高，則其面積比為邊的比，即S1∵OD∥EM∥FN，則ADDE=AO則S1即2x整理得：3xE﹣xF＝2，由①知，xE=2m8?m，xF＝則3×2m8?m解得：m＝±4（舍去負值），經(jīng)檢驗，m＝4是方程的根，則點F（4，6）．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形相似、面積的計算等，有一定的綜合性，難度適中．23．（2023?南充）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；（3）如圖2，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，過點K（1，3）的直線（直線KD除外）與拋物線交于G，H兩點，直線DG，DH分別交x軸于點M，N．試探究EM?EN是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）當BC或BP為對角線時，由中點坐標公式列出等式，即可求解；當BQ為對角線時，同理可解；（3）求出直線GD的表達式為：y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4，得到M（1+4m?1，0），同理可得，EN【解答】解：（1）由題意得，拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，則拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）設(shè)點P的坐標為：（m，﹣m2+2m+3），點Q（x，0），當BC或BP為對角線時，由中點坐標公式得：3＝﹣m2+2m+3，解得：m＝0（舍去）或2，則點P（2，3）；當BQ為對角線時，同理可得：0＝﹣m2+2m+3+3，解得：m＝1±7，則點P的坐標為：（2，3），（1+7，﹣3）或（1?（3）是定值，理由：直線GH過點（1，3），故設(shè)直線GH的表達式為：y＝k（x﹣1）+3，設(shè)點G、H的坐標分別為：（m，﹣m2+2m+3），點N（n，﹣n2+2n+3），聯(lián)立y＝k（x﹣1）+3和y＝﹣x2+2x+3并整理得：x2+（k﹣2）x﹣k＝0，則m+n＝2﹣k，mn＝﹣k，由點G、D的坐標得，直線GD的表達式為：y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4，令y＝0，則x＝1+4m?1，即點M（1則EM＝1﹣1?4同理可得，EN=4則EM?EN=?4【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、根和系數(shù)的關(guān)系等，有一定的綜合性，難度適中．24．（2023?自貢）如圖，拋物線y=?43x2+bx+4與x軸交于A（﹣3，0），B兩點，與y軸交于點（1）求拋物線解析式及B，C兩點坐標；（2）以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D坐標；（3）該拋物線對稱軸上是否存在點E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后即可求出拋物線與x軸和y軸的交點坐標．（2）分三種情況，先確定四邊形的對角線，找到對角線的中點，然后根據(jù)中點坐標公式即可求解．（3）分兩種情況，點E在直線AC上方和下方，利用等角的正切值相等求出線段的長，在轉(zhuǎn)化成點的坐標．【解答】解：（1）把點A的坐標代入解析式得b=?8∴拋物線的解析式為y=?43x2?∴點C的坐標為（0，4），點B的坐標為（1，0）．（2）以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況：①若AC為對角線，設(shè)AC的中點為F，則根據(jù)中點坐標公式可得F的坐標為（?3設(shè)點D的坐標為（a，b），則有1+a=?解得a＝﹣4，b＝4，此時點D的坐標為（﹣4，4），②若以AB為對角線，設(shè)AB的中點為F，則F的坐標為（﹣1，0），設(shè)點D的坐標為（a，b），則有0+a2解得a＝﹣2，b＝﹣4，此時點D的坐標為（﹣2，﹣4），③若以BC為對角線，設(shè)BC的中點為F，則點F的坐標為（12設(shè)點D的坐標為（a，b），則有?3+a2解得a＝4，b＝4，此時點D的坐標為（4，4），綜上所述，點D的坐標為（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4），（3）存在，理由如下：∵tan∠ACO=AO∴∠ACO＜45°，∴E不可能出現(xiàn)在直線AC下方，也不可能在直線AC上，當點E在直線AC上方時，∠ACE＝45°，過點E作EM⊥AC，如圖：根據(jù)點A（﹣3，0）和點C（0，4）可得直線AC的解析式為y=43x+4，設(shè)直線AC∴點H（﹣1，83），HC=∵EH∥y軸，∴∠EHM＝∠HCO，∴tan∠EHM＝tan∠HCO=AO∴EM=34∵∠ACE＝45°，∴EM＝CM，∴HC＝HM+CM，即53=HM+解得HM=20∴EM=5在Rt△EMH中，EH=E解得EH=25∴E的縱坐標為83∴點E的坐標為（﹣1，277【點評】本題綜合考查了二次函數(shù)和幾何圖形的性質(zhì)，充分運用性質(zhì)解題是關(guān)鍵．25．（2023?巴中）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（﹣1，0）和B（0，3），其頂點的橫坐標為1．（1）求拋物線的表達式．（2）若直線x＝m與x軸交于點N，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點M，當m取何值時