2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 8-6-2 第一課時(shí)　直線與平面垂直的判定 課件（68張）

第一課時(shí)直線與平面垂直的判定新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.從相關(guān)定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與平面的垂直關(guān)系數(shù)學(xué)抽象2.歸納出直線與平面垂直的判定定理邏輯推理3.了解直線與平面所成角直觀想象知識梳理·讀教材01題型突破·析典例02知能演練·扣課標(biāo)03目錄CONTENTS01知識梳理·讀教材?

?木工要檢查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）檢查兩次，如圖.如果兩次檢查時(shí)，曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合，便可以判定木棒與板面垂直.問題

（1）用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎？（2）上述問題說明了直線與平面垂直的條件是什么？

?

?

?知識點(diǎn)一

直線與平面垂直1.定義：如果直線l與平面α內(nèi)的

任意一條?直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作

l⊥α

?.任意一條l⊥α

2.相關(guān)概念垂線直線l叫做平面α的垂線垂面平面α叫做直線l的垂面垂足直線與平面唯一的公共點(diǎn)垂線段過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，該點(diǎn)與垂足間的線段點(diǎn)到平面的距離垂線段的長度3.性質(zhì)：過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平面垂直？提示：不一定.如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，在棱AB上任取一點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥AD交CD于點(diǎn)F，則這樣的直線能作出無數(shù)條，顯然AB垂直于平面ABCD內(nèi)的無數(shù)條直線，但AB?平面ABCD，故直線AB與平面ABCD不垂直.不僅如此，因?yàn)锳1B1∥AB，所以直線A1B1也垂直于平面ABCD內(nèi)的無數(shù)條直線，但是直線A1B1∥平面ABCD.知識點(diǎn)二直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條

相交?直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言m?α，n?α，

m∩n

?＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α圖形語言?

?相交m∩n

提醒

（1）判定定理的條件中，“平面內(nèi)的兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語，此處強(qiáng)調(diào)相交，若兩條直線不相交（即平行），即使直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線也不能判斷直線與平面垂直；（2）要判斷一條已知直線和一個(gè)平面是否垂直，只需要在該平面內(nèi)找出兩條相交直線與已知直線垂直即可.至于這兩條直線是否與已知直線有交點(diǎn)，這是無關(guān)緊要的.知識點(diǎn)三直線與平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線l與一個(gè)平面α

相交?，但不與這個(gè)平面

垂直?，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線?

??

?斜足斜線和平面的

交點(diǎn)A

?叫做斜足射影過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引

垂線

?，過

垂足O

?和

斜足A

?的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影相交垂直交點(diǎn)A

垂線PO

垂足O

斜足A

有關(guān)概念對應(yīng)圖形直線與平面所成的角定義：平面的一條

斜線?和它在平面上的

射影?所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是

90°

?；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是

0°

??

?取值范圍

0°≤θ≤90°

?斜線射影90°

0°

0°≤θ≤90°

提醒

（1）斜線上不同于斜足的點(diǎn)P的選取是任意的；（2）斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段.?

?1.直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能（

）A.平行B.相交C.異面D.垂直解析：因?yàn)閘⊥α，所以l垂直于平面α內(nèi)的每一條直線，又m?α，所以l⊥m，所以直線l與m不可能平行.2.若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于（

）A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC解析：由線面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故選C.3.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于

?；AB1與平面ADD1A1所成的角等于

?；AB1與平面DCC1D1所成的角等于

?.

解析：∠B1AB為AB1與平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1與平面DCC1D1平行，即所成的角為0°.答案：45°

45°

0°02題型突破·析典例?

?題型一線面垂直概念的理解【例1】下列命題中正確的是

?（填序號）.

①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直；④過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條.解析

當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與平面α垂直，所以①不正確；當(dāng)l與α不垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以②不正確，③正確；過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知平面，所以④正確.答案③④通性通法1.直線和平面垂直的定義是描述性定義，對直線的任意性要注意理解.實(shí)際上，“任何一條”與“所有”表達(dá)相同的含義.當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，該直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何直線.由此可知，如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直.2.由定義可得線面垂直?線線垂直，即若a⊥α，b?α，則a⊥b.?

?設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（

）A.若l⊥m，m⊥α，則l∥αB.若l⊥α，l∥m，則m⊥αC.若l∥α，m?α，則l∥mD.若l∥α，m∥α，則l∥m解析：對于A，l∥α或l?α，故A錯(cuò)誤；對于B，因l⊥α，則l垂直α內(nèi)任意一條直線，又l∥m，由異面直線所成角的定義知，m與平面α內(nèi)任意一條直線所成的角都是90°，即m⊥α，故B正確；對于C，也有可能是l，m異面，故C錯(cuò)誤；對于D，l，m還可能相交或異面，故D錯(cuò)誤.題型二直線與平面垂直的判定【例2】如圖所示，Rt△ABC所在的平面外一點(diǎn)S，SA＝SB＝SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn).求證：直線SD⊥平面ABC.證明

∵SA＝SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC.如圖，連接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，∴△ADS≌△BDS，∴∠ADS＝∠BDS，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.?

?（變條件，變設(shè)問）在本例中，若AB＝BC，其他條件不變，則BD與平面SAC的位置關(guān)系是什么？解：∵AB＝BC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC.又由例題知SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線，故BD⊥平面SAC.通性通法證明線面垂直的方法（1）由線線垂直證明線面垂直：①定義法（不常用）；②判定定理（最常用），要著力尋找平面內(nèi)的兩條相交直線（有時(shí)需要作輔助線），使它們與所給直線垂直.（2）平行轉(zhuǎn)化法（利用推論）：①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.?

?如圖，AB為☉O的直徑，PA垂直于☉O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足.（1）求證：AN⊥平面PBM；證明：（1）∵AB為☉O的直徑，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM?平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，PA，AM?平面PAM，∴BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM?平面PBM，∴AN⊥平面PBM.（2）若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.證明：（2）由（1）知AN⊥平面PBM，又PB?平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ?平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.題型三直線與平面所成的角【例3】如圖所示，在Rt△BMC中，斜邊BM＝5，它在平面ABC上的射影AB長為4，∠MBC＝60°，求MC與平面CAB所成角的正弦值.

通性通法求斜線與平面所成角的步驟（1）作圖：作（或找）出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計(jì)算；（2）證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角；（3）計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算.?

?如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1DCB1所成的角.解：連接BC1，設(shè)BC1與B1C相交于點(diǎn)O，連接A1O.設(shè)正方體的棱長為a.因?yàn)锳1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B?平面BCC1B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.又因?yàn)锽C1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C?平面A1DCB1，所以BC1⊥平面A1DCB1，所以A1O為斜線A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O為A1B和平面A1DCB1所成的角.

所以∠BA1O＝30°，所以直線A1B和平面A1DCB1所成的角為30°.?

?1.已知直線m，b，c和平面α，下列條件中，能使m⊥α的是（）A.m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB.m⊥b，b∥αC.m∩b＝A，b⊥αD.m∥b，b⊥α解析：m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，則m與α可能平行或m?α，故A錯(cuò)誤；m⊥b，b∥α，則m與α可能平行或相交或m?α，故B錯(cuò)誤；m∩b＝A，b⊥α，則m與α可能平行或相交或m?α，故C錯(cuò)誤；由線線平行及線面垂直的判定知選項(xiàng)D正確.故選D.2.如圖，α∩β＝l，點(diǎn)A，C∈α，點(diǎn)B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關(guān)系是（

）A.異面B.平行C.垂直D.不能確定解析：因?yàn)锽A⊥α，α∩β＝l，l?α，所以BA⊥l.同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，則l⊥平面ABC.因?yàn)锳C?平面ABC，l⊥AC.故選C.3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，則圖中共有直角三角形的個(gè)數(shù)為

?.

解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4個(gè)直角三角形.答案：44.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，求AC1與平面ABCD所成角的正弦值.

03知能演練·扣課標(biāo)?

?1.已知平面α和α外的一條直線l，下列說法不正確的是（

）A.若l垂直于α內(nèi)的兩條平行線，則l⊥αB.若l平行于α內(nèi)的一條直線，則l∥αC.若l垂直于α內(nèi)的兩條相交直線，則l⊥αD.若l平行于α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α解析：根據(jù)線面垂直的判定定理可知，直線需垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，故A錯(cuò)誤，C正確；根據(jù)線面平行的判斷定理可知，平面外的直線平行于平面內(nèi)的一條直線，即可證明線面平行，若直線l平行于α內(nèi)的無數(shù)條直線，也可說明線面平行，故B、D正確.故選A.2.若一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面面積的2倍，則該圓錐的母線與其底面所成的角的大小為（

）

A.3πB.2πC.π

4.如圖，P為△ABC所在平面α外一點(diǎn)，PB⊥平面α，PC⊥AC，則△ABC的形狀為（

）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定解析：由PB⊥平面α，AC?平面α，得PB⊥AC.又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC.因?yàn)锽C?平面PBC，所以AC⊥BC.所以△ABC為直角三角形.故選B.5.（多選）如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在該正方體中（

）A.BF∥CDB.DG⊥BHC.CH與BG成60°角D.BE與平面ABCD所成角為45°解析：由正方體的平面展開圖還原正方體如圖所示，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，BF與CD異面垂直，所以A錯(cuò)誤；DG⊥CH，而CH為BH在平面DCGH上的射影，所以DG⊥BH，所以B正確；連接AH，由AB∥GH，AB＝GH，可得四邊形ABGH為平行四邊形，則AH∥BG，所以∠AHC或其補(bǔ)角為異面直線CH與BG所成的角，連接AC，可得△AHC為等邊三角形，得CH與BG成60°角，所以C正確；因?yàn)锳E⊥平面ABCD，所以∠EBA為BE與平面ABCD所成角，為45°，所以D正確；故選B、C、D.6.（多選）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D為PB的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（

）A.BC⊥平面PABB.AD⊥PCC.AD⊥平面PBCD.PB⊥平面ADC解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判斷正確；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D為PB的中點(diǎn)，∴AD⊥PB，從而AD⊥平面PBC，故C判斷正確；∵PC?平面PBC，∴AD⊥PC，故B判斷正確；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB與CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判斷不正確.

答案：30°8.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，正方形ABCD的面積為16，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為

?.

9.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是

?.

解析：如圖，連接AC，AB1，B1C，∵正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1與AC交于點(diǎn)C，∴

BD1⊥平面B1AC，又知點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P為B1C上任何一點(diǎn)時(shí)，均有AP⊥BD1.答案：線段B1C10.如圖所示，四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.（1）求證：AC⊥平面BDE；解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD，DE?平面BED，BD∩DE＝D，∴AC⊥平面BDE.（2）求AE與平面BDE所成角的大小.解：（2）設(shè)AC∩BD＝O，連接EO，如圖所示.

11.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，則頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的（

）A.內(nèi)心B.重心C.外心D.垂心解析：如圖，設(shè)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為O，連接OA，OB，OC.

∵三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，∴PA＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故頂點(diǎn)P在底面的射影為底面三角形的外心.12.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2BC，E為DC的中點(diǎn)，沿AE將△ADE折起，在折起過程中，下列說法正確的有（

）①DE⊥平面ACD；②CD⊥平面BED；③BD⊥平面ACD；④AD⊥平面BED.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析：∵在矩形ABCD中，AB＝2BC，E為DC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EQ2⊥AB交AB于點(diǎn)Q2，∴在折起過程中，點(diǎn)D在平面ABCE上的射影點(diǎn)D'在圖中線段Q1Q2上.∵D'E與AC所成角不能為直角，∴DE不會垂直于平面ACD，故①錯(cuò)誤.只有點(diǎn)D的射影位于Q2位置時(shí)，即平面AED與平面AEB重合時(shí)，才有BE⊥CD，∴在折起過程中CD與平面BED不垂直，故②錯(cuò)誤.∵BD'與AC所成角不能為直角，∴BD不能垂直于平面ACD，故③錯(cuò)誤.∵AD⊥DE，并且在折起過程中，有AD'⊥BE，∴存在一個(gè)位置使AD⊥BE，又BE∩DE＝E，∴在折起過程中有AD⊥平面BED，故④正確.故選A.13.（多選）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A.EF⊥BB1B.EF⊥平面BDD1B1C.EF與C1D所成的角為45°D.EF∥平面A1B1C1D1解析：連接A1B，A1C1，A1D，則E為A1B的中點(diǎn).對于A，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，∵E，F(xiàn)分別為A1B，BC1的中點(diǎn)，∴EF∥A