圖形的變化（平移 軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)）-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

考向30圖形的變化（平移軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)）

【真題再現(xiàn)】

1.（2022.山東棗莊.統(tǒng)考中考真題）如圖,將MBC先向右平移1個(gè)單位,再繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。,得到AATTC,

A.（4,0）B.（2,-2）C.（4,-1）D.（2,-3）

2.（2022?海南?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A（0,3）、B（l,0）,將線段AB平移得到線段。C,若ZABC=90。,BC=2AB,

則點(diǎn)。的坐標(biāo)是（）

C.(5,6)D.(6,5)

3.（2022?湖北黃石?統(tǒng)考中考真題）下面四幅圖是我國一些博物館的標(biāo)志，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形

的是（）

4.（2022?四川廣安.統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABC。的邊長為2,點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)￡、F分別

為邊AD、OC的中點(diǎn)，則PE+P尸的最小值是（）

A.2B.√3C.1.5D.√5

5.（2022.湖南益陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知"BC中，NCAB=20。，NABC=30。，將“BC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

6.（2022?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在RtABC中，ZAeB=90。,ZA=30。,BC=2,將√U3C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到4A'8'C,其中點(diǎn)A與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)8'與點(diǎn)8是對(duì)應(yīng)點(diǎn).若點(diǎn)8'恰好落在AB邊上，則點(diǎn)4到直線A'C的

距離等于（）

A.B.2√3C.3D.2

7.（2022?江蘇南通統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABC。中，AB=4,A3=3,點(diǎn)￡在折線Beo上運(yùn)動(dòng)，將AE繞點(diǎn)4

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AF,旋轉(zhuǎn)角等于NBAC,連接CF.

BB

(備用圖)

(1)當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，作/?ZJ,AC,垂足為仞，求證ΛΛ∕=AB;

(2)當(dāng)AE=3正時(shí)，求b的長；

(3)連接。尸，點(diǎn)E從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。的過程中，試探究。產(chǎn)的最小值.

8.(2022?遼寧阜新?統(tǒng)考中考真題)已知，四邊形ABCO是正方形，,QM繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)(OE<AB),NEDF=90。,

DE=DF,連接AE,CF.

(1)如圖1,求證：7ADEmKDF；

(2)直線AE與CF相交于點(diǎn)G.

①如圖2,8〃_1,47于點(diǎn)例，BNLCF于點(diǎn)、N,求證：四邊形BMGN是正方形；

②如圖3,連接8G,若AB=4,DE=2,直接寫出在，。所旋轉(zhuǎn)的過程中，線段BG長度的最小值.

【考點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)I：對(duì)稱圖形

1.軸對(duì)稱、軸對(duì)稱圖形

(1)軸對(duì)稱:把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折過去,如果它能與另一個(gè)圖形重合,那么稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱.兩個(gè)圖

形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(即兩個(gè)圖形重合時(shí)互相重合的點(diǎn))叫做對(duì)稱點(diǎn).

（2）軸對(duì)稱圖形:如果一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)折,對(duì)折的兩部分是完全重合的,那么就稱這樣的圖形為軸對(duì)稱圖形,這

條直線稱為對(duì)稱軸.對(duì)稱軸一定為直線.

（3）軸對(duì)稱圖形變換的特征:不改變圖形的形狀和大小,只改變圖形的位置.新舊圖形具有對(duì)稱性.

2.中心對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形

（1）中心對(duì)稱:把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。,如果它能與另一個(gè)圖形重合,那么這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱,該點(diǎn)叫做

對(duì)稱中心.

（2）中心對(duì)稱圖形:一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后能與自身重合,這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形,該點(diǎn)叫做對(duì)稱中心.

知識(shí)點(diǎn)2：平移與旋轉(zhuǎn)

1.圖形的平移

（1）定義：在平面內(nèi),將某個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離,這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移.

（2）特征：①平移后,對(duì)應(yīng)線段相等且平行,對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等.

②平移后，對(duì)應(yīng)角相等且對(duì)應(yīng)角的兩邊分別平行,方向相同.

③平移不改變圖形的形狀和大小,只改變圖形的位置,平移后新舊兩圖形全等.

2.圖形的旋轉(zhuǎn)

（1）定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn).這個(gè)定點(diǎn)稱為旋

轉(zhuǎn)中心,轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角.

（2）特征：圖形旋轉(zhuǎn)過程中,圖形上每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同角度：注意每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中

心的連線所成的角度都是旋轉(zhuǎn)角,旋轉(zhuǎn)角都相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.

【題型探究】

題型一：平移的性質(zhì)

9.（2023?浙江舟山??？家荒＃┤鐖D，將ΛBC沿BC方向平移3c?m得到一若ABC的周長為16CM,則四邊形

ABFz）的周長為（）

A.18cmB.20cmC.22cmD.24cm

10.（2022.河北廊坊?統(tǒng)考二模）如圖，兩張完全相同的正六邊形紙片（邊長為2?）重合在一起，下面一張保持不動(dòng),

將上面一張紙片六邊形A'8'C'Q'S/沿水平方向向左平移。個(gè)單位長度，則上面正六邊形紙片面積與折線

A'-B-C掃過的面積（陰影部分面積）之比是（）

11.（2022?廣東佛山?佛山市南海區(qū)石門實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？既＃┤鐖D，在?BC中，AB=4,AC=3,BC=SM：ABC

沿著點(diǎn)A到點(diǎn)C的方向平移到一比五的位置，圖中陰影部分面積為4,則平移的距離為（）

A.3-√6B.?/eC.3+√6D.2√6

題型二：軸對(duì)稱的性質(zhì)

12.（2022?河北邯鄲??？既＃┤鐖D,矩形ABC。沿E尸折疊后，若NoE尸=70。，則Nl的度數(shù)是（）

C.40°D.35°

13.（2022?福建泉州??？既＃┤鐖D①，有一個(gè)長方形紙條ABC￡）,AB//CD,AD//BC.如圖②，將長方形ABCQ

沿EF折疊，ED與BF交于點(diǎn)G,如圖③，將四邊形CnGF沿G尸向上折疊，DG與EF交于點(diǎn)、H,若NGEF=I6°,

則NfWF的度數(shù)為（）

14.（2022?重慶南岸??？寄M預(yù)測）如圖，在正方形ABC。中，E是BC邊上的一點(diǎn)，BE=2,EC=4,將正方形

邊AB沿AE折疊到AF,延長EF交。C于G,連接AG.現(xiàn)在有如下四個(gè)結(jié)論：①NE4G=45。；②FG=FC；

③/C〃AG；④ScFC=3.6.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

C.3D.4

題型三：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

15.（2023?安徽合肥?合肥市第四十五中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，RtZVlBC中，ZACB=90。，NBAC=60。，點(diǎn)。是邊BC

上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,連接CE,若AC=1,則CE的長的最小值為

（）

12

A.?B.-C.1D.√2

16.（2023?吉林長春.長春市解放大路學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，在ABC中，AB<AC,將ABC以點(diǎn)A為中心逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到VAr）E,點(diǎn)。在BC邊上，DE交AC于點(diǎn)F.下列結(jié)論：（T）ΛAFE^ΛDFC；②ZM平分N8f>E;

③NCDF=NBAD,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A

E

A.OB.1C.2D.3

17.(2023?廣東東莞?東莞市東華初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測)如圖，尸為等腰直角ABC外一點(diǎn)，把BP繞點(diǎn)8順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。到BP',使點(diǎn)P'在ABC內(nèi)；已知NAP'8=135。，連接P'C,P'4,若尸C=5PA,則PA:P'B=()

A.k√6B.Ir2√6C.k√3D.1：26

題型四：平移的幾何變換綜合

18.(2022?陜西西安??？既?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線》=-/+云+。與X軸交于A、B兩點(diǎn)，與Y軸

交于點(diǎn)C.已知A(3,0),該拋物線的對(duì)稱軸為直線X=L

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式：

(2)求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；

(3)將線段BC平移，使得平移后線段的一個(gè)端點(diǎn)在這條拋物線上，另一個(gè)端點(diǎn)在X軸上，若將點(diǎn)B、C平移后的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)。、E,求以8、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形面積的最大值.

19.(2021糊北襄陽?統(tǒng)考二模)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=加+桁-3與直線y=》+3交于點(diǎn)人(肛0)

和點(diǎn)8(2,〃)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求"?，"的值及拋物線的解析式；

(2)在圖1中，把AoC向上平移m個(gè)單位長度，始終保持點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸在第二象限拋物線上，點(diǎn)C,。的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)分別為M,N,若直線AB與PMN的邊有兩個(gè)交點(diǎn)，求機(jī)的取值范圍；

(3)如圖2,在拋物線上是否存在點(diǎn)Q(不與點(diǎn)C重合)，使QAB和的面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

題型五：軸對(duì)稱的幾何變換綜合

31

20.(2023?浙江金華?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，直線y=]X+3與X軸、y軸交于點(diǎn)4、C,拋物線y=-5x?+?r+c經(jīng)

過點(diǎn)A、C,與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)是8,點(diǎn)尸是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)如圖1,求當(dāng)。尸+PB的值最小時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2,過點(diǎn)尸作PB的垂線交》軸于點(diǎn)。，是否存在點(diǎn)P,使以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)C相似？若存

在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

21.(2022?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考三模)綜合與實(shí)踐

在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“三角形紙片的折疊、旋轉(zhuǎn)''為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，探究與角的度數(shù)、線段長

度有關(guān)的問題.

操作探究：

將三角形紙片ABC(/BAC=90。)進(jìn)行如下操作:

(1)第一步:如圖①,折疊三角形紙片ABC使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,得到折痕DE,然后展開鋪平,則ZDEC=

度，BO與C3的數(shù)量關(guān)系為；

⑵第二步：如圖②，將DEC繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到./)FG,點(diǎn)E、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)RG,直線GF與邊

AC交于點(diǎn)M(點(diǎn)M不與點(diǎn)A重合)，與邊AB交于點(diǎn)、N,試寫出M/與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)拓展延伸：

在，DEC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)直線GF經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),如圖③所示,若AB=6,AC=8,則AM的長為.

題型六：旋轉(zhuǎn)的幾何變換綜合

22.(2023.北京.首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒?在等邊ABC中，點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為4)上一點(diǎn)(不與A、

。重合)，連接EB、EC.

備用圖

(1)將線段仍繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至E尸，使點(diǎn)F落在54的延長線上，在圖1中補(bǔ)全圖形：

①求/CE/的度數(shù)；

②探究線段AC,AE,A尸之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(2)將線段EC繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中與邊AB交于點(diǎn)H,連接CH,若AB=5,當(dāng)AE=BH時(shí),請(qǐng)直接寫出CH+CE

的最小值.

23.(2023?江蘇無錫?江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒?在RlAABC中，ZACfi=90o,AB=5,BC=3,將

ABC繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到aA8C',其中點(diǎn)A,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)H,C.

A'A'

A

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)A落在AC的延長線上時(shí)，則AA的長為

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)C'落在Ag的延長線上時(shí),連接CC',交A'及于點(diǎn)求的長;

（3）如圖3,連接44'，CC',直線CC'交Av于點(diǎn)￡>,若他=2,連接OE.在旋轉(zhuǎn)過程中，DE是否存在最小值？

若存在，請(qǐng)直接寫出OE的最小值：若不存在，請(qǐng)說明理由.

【必刷好題】

一、單選題

24.（2023?廣東廣州?執(zhí)信中學(xué)?？家荒＃┫铝袌D形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

25.（2023?河南周口?校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OAB為等腰三角形，OA=A8=5,點(diǎn)8到X軸的

距離為4.若將，OA3繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到當(dāng)點(diǎn)B'恰好落在丫軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（）

'2#I10、

A.(√5,2√5)---,--C.(2,4)D.(3,5)

33

26.（2023?山東泰安??？家荒＃┤鐖D，已知等邊ABC的邊長為4,P、Q、R分別為邊Xfi、BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)，則

PR+QR的最小值是（）

O

R

A.2√2B.2C.2√3D.3√2

27.（2023?廣東廣州?執(zhí)信中學(xué)校考一模）如圖，等腰RtZ?ABC中，ZABC=90°,BA=BC,將BC繞點(diǎn)B順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)6（0<6<90。），得到成，連結(jié)”,過點(diǎn)A作A//CP交CP的延長線于點(diǎn)”，連結(jié)AP,則4477的度數(shù)（)

A.30oB.450C.60°D.隨若6的變化而變化

28.（2023?安徽池州?校聯(lián)考一模）如圖，在RtA43C中，ZACB=9Qo,BC=6,N3=30。，動(dòng)點(diǎn)M,N分別在邊

AB,BC上則CM+MN的最小值是（)

A.2√3B.2√6C.6D.3百

29.（2022?安徽合肥?校聯(lián)考三模）如圖,A5C中，ABAC=30°,ZACB=90°,且VABCSV鉆乙'，連接CC將

CC'沿CF方向平移至EB',連接8￡,若CC=娓,則BE的長為（)

A

C.√3D.2

30.（2022?黑龍江哈爾濱??？级＃┤鐖D，在ABC中，/8=60。，AB=4,BC=6,將4?C向右平移得到J5E尸,

再將DEF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E、C重合，則平移的距離和旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)分別為（）

A.1,30oB.4,30oC.2,60oD.4,60°

31.（2023?河南駐馬店?駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形ABSE五的

邊AB在X軸正半軸上，頂點(diǎn)尸在），軸正半軸上，ΛB=2.將正六邊形ABCOEF繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。,

經(jīng)過第2022次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）.

A.（—3,—2石）B.（―2,—2Λ∕5）C.（一3,-3）D.（—2,—3）

4

o

32.（2023?安徽淮北?淮北一中校聯(lián)考一模）如圖，在RtZiABC中，ZABC=90fsinZACB=-,BC=5f點(diǎn)。是

斜邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，將線段3。繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)60。至跳，連接CE,DE,則CE的最小值是（）

A

D

B

A.B.2√5-√15C.2√5D.√15-√5

二、填空題

33.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考一模）如圖，反比例函數(shù)y='的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,將線段（M沿X軸向右平移至。A',反比

X

例函數(shù)y=：（%>o）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A.若線段OA掃過的面積為2,則k的值為

34.（2023?廣東佛山??？家荒＃┤鐖D，將,ABC沿Be邊上的中線AO平移到A9C的位置，已知ASC的面積為

25cm2,陰影部分三角形的面積為9cn√,若4V=1,則AT）的值為.

35.（2023?廣東佛山??？家荒＃┤鐖D，在邊長為6的正方形A8C。中，CF=BE=2,連接AE,BF交于點(diǎn)G,C,

P關(guān)于BF對(duì)稱,連接BP、"，并把"延長交BA的延長線于點(diǎn)。，以下四個(gè)結(jié)論:①/QFB=NQBF；②EG=典;

5

4

@sinZQBP=-.@Smi!lKECFC=SSbge,其中正確的是.（填序號(hào)）

36.（2023?河南安陽?統(tǒng)考一模）如圖，將AoB按如圖方式放在平面直角坐標(biāo)系中，其中NQAB=90。，ZB=30°,

頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（T,。），將,AOB繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AOATT,則點(diǎn)"的坐標(biāo)為.

37.（2023?河南南陽?校聯(lián)考一模）在ABC中，NACB=90。，AB=5,tanZBAC=I,把ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到^A'5'C,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,若4AA'C為直角三角形，連接AB',則線段48'的長為.

38.（2023?陜西西安?高新一中?？寄M預(yù)測）如圖，在一ABC中，XACB=120°,AC=BC=2√i線段A3上有一動(dòng)

點(diǎn)。，連接OC,將。C繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段CE,連接DEAF,在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過程中，D、E兩點(diǎn)

到AC的距離之和為.

三、解答題

39.(2021?浙江嘉興?統(tǒng)考一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,2)在反比例函數(shù)y=B(x>O)的圖象上.連

結(jié)。4,作AB_Ly軸于點(diǎn)8.

(1)直接寫出人的值；

(2)將沿V軸向上平移”個(gè)單位長度，得到DEF,OA的對(duì)應(yīng)邊是OE.當(dāng)OE的中點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象

上時(shí)，求。的值.

40.(2021?江蘇蘇州??？家荒?如圖，在直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，直線y=-2x+2分別與y軸、X軸交于A點(diǎn)、8點(diǎn)，

四邊形Aoco是矩形，且點(diǎn)C在X軸正半軸上，連接BD,ABlBD于B點(diǎn)，反比例函數(shù)y=?^(χ>0)經(jīng)過點(diǎn)￡),

(1)求8點(diǎn)的坐標(biāo)及上的值；

(2)若將AABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)8、點(diǎn)。分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)5'、點(diǎn)D0,再將,ABzD'向右平移”個(gè)單位，若平移

后點(diǎn)8'在反比例函數(shù)圖像上，求”的值.

41.(2023?陜西西安?陜西師大附中?？既?問題探究

(1)如圖1,等腰直角ABC,NBAC=90。，點(diǎn)。是一A3C內(nèi)的一點(diǎn)，且AO=C。，BD=BA.過點(diǎn)。作AC的垂

線/,以/為對(duì)稱軸，作AABO關(guān)于/的軸對(duì)稱圖形4CEO,連接BE.求NOBC的度數(shù).

問題解決

(2)如圖2,有一個(gè)三角形空地ABC.經(jīng)測量，AC=500米，ZB=45o,ZACB=30。，現(xiàn)要在ABC的邊AC右

AJ-I3

側(cè)擴(kuò)建三角形區(qū)域4OC,DHVAC,垂足為“，且滿足NADC=45。，籌.請(qǐng)利用所學(xué)知識(shí)，求四邊形ABCO

CH2

的面積.

42.(2022?黑龍江?統(tǒng)考三模)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-χ2+?r+c與X軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,OA-OC=4.

(1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

(2)點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，若BD+8的值最小，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為,此時(shí)ABCD的面積為；

(3)P是第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PMLx軸于點(diǎn)例，與直線AC交于點(diǎn)M當(dāng)線段RV的長度最大時(shí)，求

此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(4)在(3)的條件下，當(dāng)線段PN的長度最大時(shí)，在直線4C上是否存在點(diǎn)。，使VPQN是等腰三角形？若存在，請(qǐng)

直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(b4cιc—b~'

注：二次函數(shù)丫=++法+。("0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為一二,一.

2a4?

43.(2023?江蘇蘇州?蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校校考模擬預(yù)測)如圖，銳角：ΛBC中NA的平分線交BC于點(diǎn)E,交,ABC

的外接圓于點(diǎn)。、邊BC的中點(diǎn)為

D

⑴求證：MD垂直BC；

(2)若AC=5,BC=6,AB=I,求繪的值；

AD

(3)作NACB的平分線交A。于點(diǎn)P,若將線段MP繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180。后，點(diǎn)P恰好與ABC外接圓上的點(diǎn)P'重合,

則tanNBAC=.

44.(2023?湖北孝感??？家荒?在中，ZBAC=90°,AB=AC,線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AD(A。不

與AC重合)，旋轉(zhuǎn)角記為α,/D4C的平分線AE與射線30相交于點(diǎn)E,連接EC.

圖①圖②

(1)如圖①，當(dāng)α=20。時(shí)，NAEB的度數(shù)是.

(2)如圖②，當(dāng)0。<1<90。時(shí)，求證：BD+2CE=>∣2AE:

⑶當(dāng)0。<2<180。，A￡=2CE時(shí)，請(qǐng)直接寫出tanZBCE的值.

45.(2023?湖北孝感?統(tǒng)考一模)如圖1,在RtZ?43C中，ZA=90。，點(diǎn)￡>,E分別為A3,AC的中點(diǎn)，連接DE.將

YADE繞點(diǎn)、A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0o<σ<90o),連接80并延長與直線CE交于點(diǎn)F.

圖2圖3

(1)若48=AC,將V4)E繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，則線段8。與CE的數(shù)量關(guān)系是；

(2)若AC=姑B(λ≠D,將VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則(1)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)就圖3所示的情

況加以證明；若不成立，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論，并說明理由；

(3)若AB=6,AC=8,將VADE旋轉(zhuǎn)至Ao工BO時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí)CF的長.

46.(2023?山西太原?山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒?閱讀材料，解決問題

折疊、旋轉(zhuǎn)是我們常見的兩種圖形變化方式如圖1,在RtZXABC中，NBAC=90。,A8=AC,點(diǎn)。，E在邊BC上,

NzME=45。，若80=3,CE=I,求OE的長.

EE

圖3

小明發(fā)現(xiàn)，如果將aABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，得至IJZ?ACF,連接EF（如圖2）.使條件集中在AFCE中,

可求得FE（即OE）的長，具體作法為：作Ar>_LAF,且AF=A￡>,連接CF、EF,可證.ACF絲ABD,再結(jié)合

已知中ND4E=45。，可證一AEF空A￡D,FE=DE,接著在Rt△尸CE中利用勾股定理即可求得正的長，即ED

的長.

（1）請(qǐng)你回答：'與aAED全等的條件是（填“SSS”、“￡45”、“AM”、"A45”或“小廣中的一個(gè)）,

Z）E的長為

（2）如圖3,正方形ABa）中，點(diǎn)尸為Co延長線上一點(diǎn)，將A"*沿"翻折至AAEP位置，延長EP交直線BC于

點(diǎn)F.

①求證：BF=EF;

RF

②連接8E交AP于點(diǎn)0,連接Cc）（如圖4）,請(qǐng)你直接寫出票的值.

參考答案:

1.C

【分析】根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將AABC先向右平移1個(gè)單位，再繞P點(diǎn)順時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)90。,得到AAEC,即可得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)&的坐標(biāo).

【詳解】作出旋轉(zhuǎn)后的圖形如下：

???夕點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,-1）,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變換-旋轉(zhuǎn)、平移，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

2.D

【分析】先過點(diǎn)C做出X軸垂線段CE根據(jù)相似三角形找出點(diǎn)。的坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性

質(zhì)計(jì)算出對(duì)應(yīng)。點(diǎn)的坐標(biāo).

?.'ZABC=90°

/.ZABO+NCBE=90。

??/CBE+BCE=90。

:CABO?BCE

在ΔA3O和ΔBCE中，

∫ZABO=ZBCE

[ZAOB=ZBEC=90°

：.ΔABO^ABCEf

.ABAOOB_1

^~BC~~BE~~EC~2

則3E=2AO=6,EC=2OB=2

?；點(diǎn)C是由點(diǎn)B向右平移6個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到，

.?.點(diǎn)D同樣是由點(diǎn)A向右平移6個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到，

：點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,3),

點(diǎn)。坐標(biāo)為(6,5),選項(xiàng)D符合題意，

故答案選D

【點(diǎn)睛】本題考查了圖象的平移、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的判定與性質(zhì)

找出圖象左右、上下平移的距離是解題的關(guān)鍵.

3.A

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義解答即可.

【詳解】解：A：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

B：不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C：不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D：不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形：在同一平面內(nèi)，一

個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形；中心對(duì)稱圖形：在同一平面

內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形和原圖完全重合，那么這個(gè)圖形就

叫做中心圖形.

4.A

【分析】取AB中點(diǎn)G點(diǎn),根據(jù)菱形的性質(zhì)可知E點(diǎn)、G點(diǎn)關(guān)于對(duì)角線AC對(duì)稱，即有PE=PG,

則當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF=PG+PF最小，再證明四邊形AGEO是平行四邊形，即

可求得FG=AD.

【詳解】解：取AB中點(diǎn)G點(diǎn)，連接PG,如圖，

四邊形ABC。是菱形，且功長為2,

：.AD=DC=AB=BC=I,

點(diǎn)、G點(diǎn)分別為A。、AB的中點(diǎn)，

根據(jù)菱形的性質(zhì)可知點(diǎn)E、點(diǎn)G關(guān)于對(duì)角線AC軸對(duì)稱,

：.PE=PG,

J.PE+PF=PG+PF,

即可知當(dāng)G、P,尸三點(diǎn)共線時(shí)，PE+P尸=PG+P尸最小，且為線段尸G,

如下圖，G、尸、F三點(diǎn)共線，連接FG,

???F點(diǎn)是QC中點(diǎn)，G點(diǎn)為AB中點(diǎn)，

.,.OF=IOC=LAB=AG,

22

；在菱形ABCz)中，DC//AB,

：.DF//AG,

四邊形AGFD是平行四邊形，

.,.FG=AD=2,

故PE+PF的最小值為2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，找到E

點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

5.B

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC=B'C',NCA夕=/CAB=20。，ZAB,C,=ZABC=30°,

再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50。，通過推理證明對(duì)①②③④四個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：①：AABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50。得到AAQC,

IBC=BC故①正確；

②；ZXABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°,

ΛZBΛB,=50o.

：NCAB=20。，

ZB'AC^ZBAB'-∕CAB=30°.

?.?NAQC'=/ABC=30。，

∕AB'C'=ZB'AC.

C.AC∕∕C'B'.故②正確；

③在ZkBAB'中，AB=AB',NBAB'=50°,

：.NAB，B=NABB'=g(180°-50°)=65°.

二NBBC=ZAB'B+ZΛB,C=65o+30o=95°.

.?.C跟與B夕不垂直.故③不正確；

④在AACC中，

AC=AC',NeAC'=50。，

/.ZACC=?(I800-500)=65o.

ΛZABB'^ZACC'.故④正確.

.?.①②④這三個(gè)結(jié)論正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，圖形的旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與

大小，還考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí).熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】如圖，過A作AQ^A藝于Q,求解AB=4,AC=24,結(jié)合旋轉(zhuǎn)：證明

?B?A?C60?,BCB?,7ACB?90?,可得aBBT為等邊三角形，求解？A心60?,

再應(yīng)用銳角三角函數(shù)可得答案.

【詳解】解：如圖，過A作AQΛA肥于。，

由ZACB=90。,ZA=30。,BC=2,

?AS=4,AC√ΛB2-BC2?2√3,

結(jié)合旋轉(zhuǎn)：

\?B7Λ?C60?,BC8直？ACB?90?,

?V38%為等邊三角形，

\?BCBii60靶ACB=30?,

??A?60?,

n

?AQ=ACgSin60?2√3??3.

??.A到AC的距離為3.

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三

角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)

鍵.

7.(1)見詳解

⑵G或√I5

(3)1

【分析】(I)證明AA3E=.4W/即可得證.

(2)分情況討論，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，借助.ΛBEM4WF,在戊VC妒中求解；當(dāng)點(diǎn)E在

CO上時(shí)，過點(diǎn)E作EGL48于點(diǎn)G,F”_L4C于點(diǎn)H,借助AGE三AH廠并利用勾股定理

求解即可.

(3)分別討論當(dāng)點(diǎn)E在BC和Co上時(shí)，點(diǎn)尸所在位置不同，。尸的最小值也不同，綜合比

較取最小即可.

(1)

如圖所示，

由題意可知，NAMF=N8=90,NBAC=NEAF,

.?.ABAE=AMAF,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知：AE=AF,

在，ABE和.AME中，

ZB=ZAMF

?ZBAE=ZMAF,

AE=AF

:.ABE=..AMF,

.-.AM=AB.

(2)

當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，

在RtABE中，AB=4,AE=3√2，

則BE=>JAE2-AB2=√2，

在RtABC<V,AB=A,BC=3,

貝IJAC=√AB2+BC2=5,

由(1)可得，MF=BE=血,

在RtVeMF中,MF=亞,CM=AC-AM=5-4=?,

則CF=^MF2+CM2=6，

當(dāng)點(diǎn)E在CZ）上時(shí)，如圖，

過點(diǎn)E作EG,AB于點(diǎn)G,尸〃，AC于點(diǎn)H,

同（1）可得,AGE=A"/,

:.FH=EG=BC=3,AH=AG=3,HC=2,

由勾股定理得CF=√32+22=√13；

故CF的長為百或舊.

（3）

如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，過點(diǎn)D作DHLFM于點(diǎn)H,

由（1）知，ZAMF=90",

故點(diǎn)尸在射線M尸上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)”重合時(shí)，的值最小.

在,CM/與CD4中，

（ZCMJ=ZADC

[AMCJ=ZACD'

..RtXMJ-Rt,CDA,

.CMMJCJ

''~CD~~AD~^C,

OJ=CQ-CZ=U=U,

44

在，CM/與DHJ中，

JNCMJ=NDHJ

INCJM=ZDJH'

:.RtCMJ-RtDHJ,

C旦

-

-川

D

5

-

即4

-

H

-

4

X

DH=

;

小值費(fèi)

尸的最

故。

圖1

到線

數(shù)，得

e的度

/5A

旋轉(zhuǎn)

時(shí)針

點(diǎn)A順

Ao繞

線段

時(shí)，將

CO上

在線段

點(diǎn)E

，當(dāng)

所示

如圖2

FR,

DK上

AR,

。QJ_

。作

,過點(diǎn)

尸R

,連接

段AR

,

RAF

E=N

ZDA

可知，

由題意

E中,

7AD

ARF與

在&

AR

AD=

RAF

E=Z

?ZDA

F

AF

AE=

,

ARF

DE^

,?.A

,

=90

ADE

b=Z

.'ZAR