新人教版初二數(shù)學(xué)知識點

新人教版初二數(shù)學(xué)知識點編輯:丁婕第十一章一次函數(shù)知識點一:變量與函數(shù)1.常量:在變化過程中，保持不變?nèi)≈档牧拷谐Ａ俊?.變量:在變化過程中，可以不斷變化取值的量叫變量。3.函數(shù):一般地，在一個變化的過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是因變量，y是x的函數(shù)。如果當(dāng)x=a時y=b，那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時的函數(shù)值。4.函數(shù)的圖像:一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖像。知識點二:一次函數(shù)1.概念:若兩個變量x,y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b(k,b為常數(shù),k不為零)的形式,則稱y是x的一次函數(shù)。特別地,當(dāng)b=0時,稱y是x的正比例函數(shù)(正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù))。2.一次函數(shù)的性質(zhì):(1)當(dāng)k,0時,y隨x的增大而增大;(2)當(dāng)k,0時,y隨x的增大而減小;(3)函數(shù)圖象經(jīng)過定點(0，b)。3.正比例函數(shù)的性質(zhì):(1)當(dāng)k,0時,圖象經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大;(2)當(dāng)k,0時,圖象經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小;(3)函數(shù)圖象經(jīng)過定點(0，0)。3.作正比例函數(shù)圖像:對于正比例函數(shù)y=kx,通常取兩個點(0,0),(1,k),兩點的連線就是其圖象(兩點確定一條直線),所以正比例函數(shù)的圖象是一條直線。4.作一次函數(shù)圖像:通常取直線與坐標(biāo)軸的交點來畫它的圖象。在x軸上的交點(-b,k,0),y軸上的交點(0,b)5.一次函數(shù)y=kx+b的圖像的位置與k,b符號的關(guān)系:(1)k，0,b，0時，圖象經(jīng)過第一、二、三象限;(2)k，0,b，0時，圖象經(jīng)過第一、三、四象限;(3)k<0,b，0時，圖象經(jīng)過第一、二、四象限;(4)k<0,b，0時,圖像經(jīng)過第二、三、四象限;1(5)k，0,b=0時，圖象經(jīng)過第一、三象限;(6)k<0,b=0時，圖象經(jīng)過第二、四象限。知識點三:一次函數(shù)與一元一次方程議一議:一元一次方程0.5x+1=0與一次函數(shù)y=0.5x+1有什么聯(lián)系,從”數(shù)”的方面看,當(dāng)一次函數(shù)y=0.5x+1的函數(shù)值為0時,相應(yīng)的自變量的值即為方程0.5x+1=0的解;從“形”的方面看,函數(shù)y=0.5x+1與x軸交點的橫坐標(biāo)即為方程0.5x+1=0的解。第十二章數(shù)據(jù)的描述知識點一:常見的統(tǒng)計圖表1.條形圖，如下:10080604020第一季度第二季度第三季度第四季度特點:?能夠顯示每組中的具體數(shù)據(jù);?易于比較數(shù)據(jù)之間的差別。2.扇形圖，如下:特點:?用扇形的面積表示部分在總體中所占的百分比;?易于顯示每組數(shù)據(jù)相對于總數(shù)的大小。3.折線圖，如下:2403530252015105第一季度第二季度第三季度第四季度特點:易于顯示數(shù)據(jù)的變化趨勢。4.頻數(shù)與頻率:一般我們稱落在不同小組中的數(shù)據(jù)個數(shù)為該組的頻數(shù)，頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比為頻率，頻率反映了各組頻數(shù)的大小在總數(shù)中所占的分量，頻率×100%就是百分比。如下:5.組數(shù)和組距:我們把分成的組的個數(shù)稱為組數(shù)，每一組兩個端點的差稱為組距。此表為頻數(shù)分布表，該表中組數(shù)為8，組距為5。6.如下反映頻數(shù)分布表的統(tǒng)計圖是頻數(shù)分布直方圖:特點:?能夠顯示各組頻數(shù)分布的情況;?易于顯示各組之間頻數(shù)的差別。3知識點二:用圖表描述數(shù)據(jù)1.選擇圖表:當(dāng)我們需要表示每個項目的具體數(shù)目和對比情況時用條形圖，需要反映事物的變化情況時用折線圖，需要反映各部分在總體中所占的比例時應(yīng)用扇形圖。2.用直方圖描述數(shù)據(jù):組距和組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準，要憑借經(jīng)驗和研究的具體問題來決定，通常數(shù)據(jù)越多，分成的組數(shù)也就越多，當(dāng)數(shù)據(jù)在100個以全等三角形知識點一:全等三角形1.概念:能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形。把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角。全等符號“?”，記作:?ABC??DEF。注意:記兩個三角形全等時,要求把對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。2.性質(zhì):全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。尋找對應(yīng)元素的規(guī)律:(1)有公共邊的，公共邊是對應(yīng)邊;(2)有公共角的，公共角是對應(yīng)角;(3)有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角;(4)兩個全等三角形最大的邊是對應(yīng)邊，最小的邊是對應(yīng)邊;(5)兩個全等三角形最大的角是對應(yīng)角，最小的角是對應(yīng)角;(6)對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊;(7)對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角;(8)可根據(jù)全等式找對應(yīng)邊和對應(yīng)角。知識點二:三角形全等的條件三邊對應(yīng)相等,兩三角形全等(SSS);兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等,兩三角形全等(SAS);兩角和它們所夾的邊對應(yīng)相等,兩三角形全等(ASA);兩角和其中一角所對的邊對應(yīng)相等,兩三角形全等(AAS)。直角三角形:斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等,兩三角形全等(HL)。知識點三:角平分線的性質(zhì)性質(zhì)1:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等性質(zhì)2:到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上4第十四章軸對稱知識點一:軸對稱現(xiàn)象1.軸對稱圖形:(1)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。注:對稱軸是一條直線，不是線段或射線。(2)軸對稱圖形至少有一條對稱軸,最多可達無數(shù)條，如:圓。例:?圓的對稱軸是它的直徑(×)直徑是線段,而對稱軸是直線(應(yīng)說圓的對稱軸是過圓心的直線或直徑所在的直線);?角的對稱軸是它的角平分線(×)角平分線是射線而不是直線(應(yīng)說角的對稱軸是角平分線所在的直線);?正方形的對角線是正方形的對稱軸(×)對角線也是線段而不是直線。2.軸對稱:如果兩個圖形沿一條直線折疊后能夠完全重合，那么稱這兩個圖關(guān)于這條直線軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點。(成軸對稱的兩圖形本身可以不是軸對稱圖形)。3.軸對稱圖形與軸對稱的關(guān)系?聯(lián)系:都是沿一條直線折疊后能夠互相重合;當(dāng)把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體時,它是一個軸對稱圖形;?區(qū)別:軸對稱圖形是一個圖形,軸對稱是兩個圖形之間的關(guān)系。4.垂直平分線:經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線。性質(zhì):?線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等;?與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。5.軸對稱性質(zhì):如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連接線段的垂直平分線(同理，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連接線段的垂直平分線);軸對稱圖形對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。知識點二:軸對稱變換1.概念:由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換。成軸對稱的兩個圖形的任何一個可以看作由另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換后得到。2.軸對稱圖形作法:只要作出已知幾何圖形的一些特殊點(如頂點、線段端點等)的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形。例:?畫點A關(guān)于直線L的對應(yīng)點A?:過點A作對稱軸L的垂線，垂足為B;延長AB至A?，使得BA?=AB;點A?就是點A關(guān)于直線L的對應(yīng)點。?畫線段AB關(guān)于L的對應(yīng)線段A?B?:過點A作對稱軸L的垂線AA?，使CA=CA?;過點A作對稱軸L的垂線BB?，使DB=DB?;連接A?B?，A?B?即是關(guān)于直線L的對應(yīng)線段。53.用坐標(biāo)表示軸對稱點(x，y)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(x，-y);關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為(-x，y);關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為(-x，-y)。知識點三:等腰三角形1.概念:有兩邊相等的三角形叫等腰三角形。2.性質(zhì):?等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)?三線合一定理:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(也稱為“三線合一”,它們所在的直線就是等腰三角形的對稱軸)。注意:對于一般的等腰三角形,一定要說清哪邊上的中線、高和哪個角的平分線;等邊三角形有三組三線合一,任意一邊上的中線和高及其所對的角的平分線。3.等腰三角形判定定理:如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”)。知識點四:等邊三角形1.概念:有一種特殊的等腰三角形——三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形。2.性質(zhì):?等邊三角形三個整式知識點一:整式的概念代數(shù)式中的一種有理式:不含除法運算或分數(shù),以及雖有除法運算及分數(shù),但除式或分母中不含變數(shù)者，則稱為整式。(分母中含有字母有除法運算的，那么式子叫做分式)1.單項式:數(shù)與字母的乘積，單個的數(shù)或字母也是單項式(1)單項式的系數(shù):單項式中的數(shù)字因數(shù)及性質(zhì)符號叫做單項式的系數(shù)。(如果一個單項式，只含有數(shù)字因數(shù)，系數(shù)是它本身，次數(shù)是0)。(2)單項式的次數(shù):一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)(非零常數(shù)的次數(shù)為0)。2.多項式6(1)概念:單項式的和叫做多項式。在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數(shù)項。一個多項式有幾項就叫做幾項式。(2)多項式的次數(shù):多項式中，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)。(3)多項式的排列:把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母降冪排列。把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升冪排列。在做多項式的排列的題時注意:(1)由于單項式的項，包括它前面的性質(zhì)符號，因此在排列時，仍需把每一項的性質(zhì)符號看作是這一項的一部分，一起移動。(2)有兩個或兩個以上字母的多項式，排列時，要注意:a.先確認按照哪個字母的指數(shù)來排列。b.確定按這個字母降冪排列，還是升冪排列。3.整式:單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。知識點二:整式的加減運算1.同類項的概念:所含字母相同，并且相同字母的次數(shù)也相同的項叫做同類項，幾個常數(shù)項也叫同類項。(同類項與系數(shù)無關(guān)，與字母排列的順序也無關(guān))。2.合并同類項:把多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項。法則:同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。不能合并的項單獨作為一項，不可遺漏3.整式加減實質(zhì)就是去括號,合并同類項。知識點三:整式的乘法1.同底數(shù)冪的乘法法則:底數(shù)不變指數(shù)相加。am?an=am+n(m、n都是正整數(shù))2.冪的乘方法則:底數(shù)不變，指數(shù)相乘。(am)n,amn(m，n都是正整數(shù))3.積的乘方法則:積的乘方等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。(ab)n,anbn(n是正整數(shù))(abc)n,anbncn(n為正整數(shù))4.單項式與單項式相乘法則:單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。5.單項式與多項式相乘法則:單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。m(a+b+c)=ma+mb+mc6.多項式與多項式相乘法則:多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。77.平方差公式:兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩數(shù)的平方差。(a+b)(a-b)=a,b立方差公式:(a,b)(a-ab+b),a—b立方和公式:(a+b)(a-ab+b),a+b8.完全平方公式:兩數(shù)和的平方，等于這兩數(shù)的平方和，加上這兩數(shù)積的2倍。兩數(shù)差的平方，等于這兩數(shù)的平方和，減去這兩積的2倍。(首方加尾方，乘積兩倍中間放)(a，b),a，2ab，b;(a,b),a,2ab，b2222222233223322完全立方公式:(a+b)?=a?+3a?b+3ab?+b?;(a-b)?=a?-3a?b+3ab?-b?添括號:如果括號前是正號，括到括號里的各項符號不變，如果是負號，則改變符合如:a+b+c=a+(b+c);a—b—c=a,(b+c)。9.同底數(shù)冪相除:底數(shù)不變，指數(shù)相減。任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。10.單項式相除:把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)不變作為商的一個因式。知識點四:因式分解1.概念:把一個多項式化成幾個整式的積的形式的變形叫做把這個多項式因式分解,也叫分解因式。2.注意:(1)分解因式與整式的乘法是一種互逆關(guān)系;(2)分解因式的結(jié)果要以積的形式表示;(3)每個因式都是整式,且每個因式的次數(shù)都必須低于原來的多項式的次數(shù);(4)必須分解到每個多項式不能再分解為止。3.公因式:多項式各項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式。4.正確找出多項式各項公因式的關(guān)鍵是:(1)定系數(shù):公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)(當(dāng)系數(shù)是整數(shù)時)(2)定字母:字母取多項式各項中都含有的相同的字母。(3)定指數(shù):相同字母的指數(shù)取各項中字母的最低次冪。5.提公因式法:如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。步驟:(1)找出公因式;(2)提公因式并確定另一個因式:當(dāng)各項系數(shù)都是整數(shù)時,公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)。注意要確定另一個因式,可用原多項式除以公因式，所得的商即是提8公因式后剩下的一個因式(提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同);(3)把多項式化成兩個因式乘積的形式?？谠E:找準公因式,一次要提凈;全家都搬走,留1把家守;提負要變號,變形看奇偶。注意:當(dāng)多項式第一項系數(shù)是負數(shù)，通常先提出“,”號，使括號圖示如下:ab?cd例如:7x-19x-6因為1—3?72-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，所以7x-19x-6=(7x+2)(x-3)(第十六章分式知識點一:分式1(分式的概念:如果整式A除以整式B,可以表示成A的形式,且除式B中含有字母，那么B稱式子A為分式。其中,A叫分式的分子,B叫分式的分母。B注意:?判斷一個代數(shù)式是否為分式,不能將它變形,不能約分后去判斷,即使它約分后是整9式也不能說它就是整式,約分之前是分式這個式子就是分式。如:x2,x是分式,雖然約分之后等于x是整式,但約分前是分式。?π是常數(shù),所以a/π不是分式而是整式。2(有理式:整式和分式統(tǒng)稱有理式。(整式的分母中不含有字母)3(關(guān)于分式的幾點說明:(1)分式的分母中必須含有未知數(shù);(2)分式是兩個整式相除的商式,對任意一個分式，分母都不為零;(3)分數(shù)線有除號和括號的作用,如:表示(a，b)?(c,d);(4)“分式的值為零”包含兩層意思:一是分式有意義(分母?0)，二是分子的值為零，不要誤解為“只要分子的值為零，分式的值就是零”。4(一般的，對分式A,B都有:?分式有意義?分式無意義?分式的值為0?分式的值大于0?分式的值小于0B?0;B=0;A=0且B?0;分子分母同號;分子分母異號。5(基本性質(zhì):分式的分子和分母同乘以(或除以)同一個不為0的整式，分式值不變。知識點二:分式的乘除法1.分式的乘除法則:分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母;分式除以分式:把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再把所得的冪相除。2.約分:把一個分式的分子和分母的公因式(不為1的數(shù))約去，這種變形稱為約分。注意:?當(dāng)分式的分子分母都是單項式或者是幾個因式乘積的形式時,直接約分;?分式的分子和分母都是多項式時，將分子和分母分解因式再約分。3.最簡分式:一個分式的分子和分母沒有公因式時，這個分式稱為最簡分式。約分時，一般要將一個分式化為最簡分式。知識點三:分式的加減法1.通分:利用分式的基本性質(zhì),把異分母的分式化為同分分母的過程。最簡公分母:取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母，叫做最簡公分母。通分原則:異分母通分時,通常取各分母的最簡公分母作為它們的共同分母。通分步驟:先求出所有分式分母的最簡公分母，再將所有分式的分母變?yōu)樽詈喒帜?，同時各分式按照分母所擴大的倍數(shù),相應(yīng)擴大各自的分子。最簡公分母的確定方法:系數(shù)取各因式系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同字母的最高次冪及10單獨字母的冪的乘積。2.法則:同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減;異分母的分式相加減,先通分,化為同分母的分式,再按同分母分式的加減法法則進行計算。知識點四:分式方程1.概念:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。2.分式方程的解法:?去分母(方程兩邊同乘以最簡公分母，將分式方程化為整式程若遇到互為相反數(shù)時，不要忘了改變符號);?按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值;?驗根。3.分式方程的增根:在方程變形時，有時會產(chǎn)生不適合原方程的根即代入方程后分母的值為,的根，叫做原方程的增根。例題:m取時，方程x會產(chǎn)生增根(或說無解)。(思路)在這里增根就是x=3,但不能直接帶入方程求m,所以要先去分母再將x=3帶入求m第十七章反比例函數(shù)知識點一:反比例函數(shù)1.定義:一般地,形如y,k,x(k為常數(shù),k?0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù),其中x是自變量，y是x的函數(shù),k是比例系數(shù)。若y=k/nx此時比例系數(shù)為:k/n,如y=2/3x的比例系數(shù)為2/3反比例函數(shù)的定義中需要注意什么,(1)常數(shù)k稱為比例系數(shù),k是非零常數(shù);(2)自變量x次數(shù)不是1(是-1),x與y的積是非零常數(shù);(3)除k、x、y三項以外,不含其他項。反比例函數(shù)自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。2.反比例函數(shù)的三種表現(xiàn)形式:(k為常數(shù),k?0)(1)y,k,x(2)xy=k(3)y=kx(即:y等于x的負一次方)3.k的幾何含義:反比例函數(shù)y,k,x(k?0)中比例系數(shù)k的幾何意義,即過雙曲線y,k,x(k?0)上任意一點P作x軸、y軸垂線,設(shè)垂足分別為A、B,則所得矩形OAPB的面積為|k|-1知識點二:反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.圖像:反比例函數(shù)的圖像是雙曲線,雙曲線只能與坐標(biāo)軸無限靠近,永遠不能與坐標(biāo)軸相交。因為在11y=k/x(k?0)中,x不能為0,y也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。2.性質(zhì):當(dāng)k>0時,兩支曲線分別位于第一、三象限勾股定理知識點一:探索勾股定理勾股定理:如果直角三角形兩直角邊分別為a,b，斜邊為c，那么a2+b2=c2,即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。(一個直角三角形,以它的兩直角邊為邊長所作的兩正方形面積之和等于以它的斜邊為邊長所作的正方形的面積)由此圖可證c2=1/2ab*4+(a-b)2=a2+b2。注意:電視機有多少英寸,指的是電視屏幕對角線的長度。知識點二:勾股數(shù)1.勾股定理的逆定理:若三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，則該三角形是直角三角形。在?ABC中,a，b，c為三邊長,其中c為最大邊,若a2+b2=c2,則?ABC為直角三角形;若a2+b2>c2,則?ABC為銳角三角形;?ABC為鈍角三角形。若a2+b2<c2,則2.勾股數(shù):滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)(即能構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù))，稱為勾股數(shù)(勾股數(shù)是正整數(shù))。規(guī)律:一組能構(gòu)成直角三角形的三邊的數(shù),同時擴大或縮小同一倍數(shù)(即同乘以或除以同一個正數(shù)),仍能夠成直角三角形。一組勾股數(shù)的倍數(shù)不一定是勾股數(shù),因為其倍數(shù)可能是小數(shù),只有整數(shù)倍數(shù)才仍是勾股數(shù)。常用勾股數(shù):3,4,5(三四五)6,8,10(3,4,5的兩倍)9,12,15(3,4,5的三倍)5,12,13(5.12記一生)8,15,17(八月十五在一起)7,24,25(企鵝是二百五)勾股數(shù)須知:連續(xù)的勾股數(shù)只有3,4,5連續(xù)的偶數(shù)勾股數(shù)只有6,8,1012第十九章四邊形前提:在同一平面內(nèi)知識點一:平行四邊形1.定義:兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2.表示:四邊形ABCD是平行四邊形,記作“ABCD”,讀作“平行四邊形ABCD”，線段AC、BD就是ABCD的兩條對角線。3.性質(zhì):平行四邊形的對邊相等;對角相等;對角線互相平分。:?平行四邊形面積=底×高(S=ah，a是底，h是高)4.面積公式?平行四邊形面積=兩組鄰邊的積×夾角的正弦值;如用α表示兩邊的夾角，S表示平行四邊形的面積，則S=a*b*sinα5.周長公式:平行四邊形周長=2×(底1+底2)(C=2(a+b))6.平行四邊形是中心對稱圖形,對稱中心是兩條對角線的交點;一般的平行四邊形不是軸對稱圖形，特殊的平行四邊形菱形、長方形、正方形是軸對稱圖形。知識點二:平行四邊形的判定1.判定:(1)用定義判定:具備“兩組對邊分別平行”的條件就可判定四邊形是平行四邊形;(2)判定定理1:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;(3)判定定理2:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;(4)判定定理3:一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(5)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。2.中位線:連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。性質(zhì):三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。3.平行四邊形中常用輔助線的添法:?連結(jié)對角線或平移對角線;?過頂點作對邊的垂線構(gòu)成直角三角形;?連結(jié)對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)成線段平行或中位線;?連結(jié)頂點與對邊上一點的線段并延長該線段，構(gòu)造相似三角形或等面積三角形;?過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等。具體示例:13第一類:連結(jié)對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個全等三角形。例1:如左下圖1，在平行四邊形ABCD中，點E,F在對角線AC上，且請你以F為一個端點，和圖中已標(biāo)明字母的某一點連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只需證明一條線段即可)?連結(jié)BF??證明:連結(jié)DB,DF,設(shè)DB,AC交于點O?四邊形ABCD為平行四邊形???即?四邊形EBFD為平行四邊形?CA圖1A圖2BE第二類:平移對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2如右上圖2，在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，如果，，，那么m的取值范圍是()解:將線段DB沿DC方向平移，使得則有四邊形CDBE為平行四邊形,?在中，即解得故選A?第三類:過一邊兩端點作對邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。，四邊形ABCD為平行四邊形例3已知:如左下圖3求證:證明:過A,D分別作于點E，的延長線于點F?則?四邊形ABCD為平行四邊形?AB?CD且?????14CB圖3FB圖4K第四類:延長一邊中點與頂點連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例4已知:如右上圖4，在正方形ABCD中，E,F分別是CD、DA的中點，BE與CF交于P點，求證:證明:延長CF交BA的延長線于點K?四邊形ABCD為正方形?AB?CD且?又?????AD?220???????則?第五類:延長一邊上一點與一頂點連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例5如左下圖5，在平行四邊形ABCD中，點E為邊CD上任一點，請你在該圖基礎(chǔ)上，適當(dāng)添加輔助線找出兩對相似三角形。解:延長AE與BC的延長線相交于F，則有???11FABB圖5FB圖6D第六類:把對角線交點與一邊中點連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線例6已知:如右上圖6，在平行四邊形ABCD中，13BC,NE15交BD于F，求BF:BD解:連結(jié)AC交BD于點O,連結(jié)ON?四邊形ABCD為平行四邊形???ON?1BF2???3FO3BF2??BC且?BEBFFO綜上所述，平行四邊形中常添加輔助線是:連對角線，平移對角線，延長一邊中點與頂點連線等，這樣可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形(或特殊三角形)、矩形(梯形)等圖形，為證明解決問題創(chuàng)造條件。知識點三:矩形1.定義:有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。2.性質(zhì):(1)一般性質(zhì):具備平行四邊形的所有性質(zhì);(2)特殊性質(zhì):矩形的四個角都是直角;矩形的對角線相等。3.矩形既是軸對稱圖形(對稱軸是任何一組對邊中點的連線)又是中心對稱圖形。4.判定:?定義判定?有三個角是直角的四邊形是矩形?對角線相等的平行四邊形是矩形5.推論:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。知識點四:菱形1.定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形。2.性質(zhì):首先具有平行四邊形的一切性質(zhì)。性質(zhì)1:菱形的四條邊都相等;性質(zhì)2:菱形的兩條對角線互相垂直且平分,并且每一條對角線平分一組對角。補充:?菱形既是軸對稱,對稱軸是兩條對角線所在直線,又是中心對稱圖形;?在60?的菱形中，短對角線等于邊長，長對角線是短對角線的3.面積公式:菱形的面積=底×高=對角線乘積的一半4.菱形的判定?定義判定:一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;?判定定理1:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形;對角線互相垂直平分的四邊形是菱形;?判定定理2:四邊都相等的四邊形是菱形。16知識點五:正方形1.定義:四條邊都相等且四個角都是直角的四邊形叫做正方形，是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。2.性質(zhì)=菱形的性質(zhì)+矩形的性質(zhì)3.判定:?對角線相等的菱形是正方形;?有一個角為直角的菱形是正方形;?對角線互相垂直的矩形是正方形;?一組鄰邊相等的矩形是正方形;?四邊相等，有三個角是直角的四邊形是正方形;?一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形;?四邊均相等，對角線互相垂直平分且相等的平行四邊形是正方形。知識點六:梯形1.定義:一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。平行的兩邊叫做梯形的底邊，其中長邊叫下底，短邊叫上底;不平行的兩邊叫腰;夾在兩底之間的垂線段叫梯形的高。直角梯形:有一個角是直角的梯形;等腰梯形:兩腰相等的梯形。2.等腰梯形的性質(zhì):兩條腰相等;在同一底上的兩個底角相等;兩對角線相等;是軸對稱圖形，對稱軸是上下底中點的連線所在直線。3.梯形的中位線:兩腰中點相連的線叫梯形的中位線(中位線性質(zhì):梯形的中位線平行與兩底并且等于兩底和的一半)4.面積公式:梯形的面積=(上底+下底)×高?2等腰梯形面積公式=中位線×高5.判定:?一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形(一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形);?兩腰相等的梯形是等腰梯形;?同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形;?有一個內(nèi)角是直角的梯形是直角梯形;?對角線相等的梯形是等腰梯形。6.梯形中常用輔助線作法:?過底的頂點作另一底的垂線;?平移一腰(過一頂點作一腰的平行線);?平移對角線(過一頂點作一條對角線的平行線);?延長兩腰交于一點;?取一腰中點，另一腰兩端點連接并延長;?取兩底中點，過一底中點做兩腰的平行線。(1)平移對角線:平移一條對角線，使之經(jīng)過梯形的另一個頂點。17例1如圖，在等腰梯形ABCD中，AB?CD,AC?BD,梯形的高CF為10，求梯形ABCD的面積。分析:由于等腰梯形ABCD的對角線AC?BD且AC=BD，所以我們可以平移一對角線構(gòu)造一等腰直角三角形，通過驗證發(fā)現(xiàn)梯形的面積與這個三角形的面積相等，因此只需求出三角形的面積即可。解:過點C作CE?DB交AB的延長線于點E.?DC?AE;?四邊形CDBE為平行邊形;?DB=CE,DC=BE?梯形ABCD為等腰梯形;?AD=BC,AC=BD;?AC=CE??ADC??CBE即S?ADC=S?CBE;?S梯形ABCD=S?ACE?AC?BD，CE?DB;?AC?CE;??ACE為等腰直角三角形,?CF也為等腰直角三角形ACE斜邊上的中線?CF為高?CF=10，?AE=20?S梯形ABCD=S?ACE=1/2AE×CF=1/2×20×10=100(2)平移一腰或兩腰:平移一腰，使之經(jīng)過梯形的另一個頂點或另條腰的中點;或者同時移動兩腰使它們交于一點。例2如圖，等腰梯形ABCD兩底之差等于一腰的長，那么這個梯形較小的一個)A.9O?B.6O?C.45?D.30?解析:由條件“兩底之差等于一腰的長”，可平移一腰。如圖所示平移DC到AE，AE交BC于E?？芍狟E=BC-AD=AB(又AB=DC=AE(故AB=BE=AE,?ABE是等邊三角形。所以?B=60?.故選B。(3)延長兩腰:將梯形兩腰延長相交構(gòu)造三角形。例3在梯形ABCD中，AD?BC，?ABC=?BCD=60?，AD+BC=30，BD平分?ABC，求梯形周長。解析:延長兩腰相交于點E，如圖，因為?ABC=?BCD=60?，故?E=60?，?BCE為等邊三角形。又BD平分?ABC，所以BD垂直平分CE，所以CD=1/2BC。又AD?BC，故?ADE為等邊三角形。AD=ED=CD.由AD+BC=30,知CD+2CD=30,CD=10。18?梯形的周長為30+AB+CD=30+2CD=50。(4)作梯形的高:過梯上底的兩個端點分別作梯形的高。。解析:如圖，梯形ABCD中，?B=?C=60?，例4已知等腰梯形的一個AD=3cm，AB=DC=4cm，過點A、D分別作AE?BC，DF?BC，垂足分別為E、F，則有?BAE=?CDF=30?，BE=FC=1/2AB=2cm。?BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7(cm).梯形中添加輔助線的方法有很多，同學(xué)們在學(xué)習(xí)的過程中還須活學(xué)活用，也可以以口訣的形式記憶下來:“移動梯形對角線，兩腰之和成一線;平行移動一條腰，兩腰同在“?”現(xiàn);延長兩腰交一點，“?”中有平行線;作出梯形兩高線，矩形顯示在眼前;已知腰上一中線，莫忘作出中位線”。知識點七:重心1.線段的重心就是線段的中點。2.平行四邊形的重心是它的兩條對角線的交點。3.三角形的三條中線交與一點，這一點就是三角形的重心。知識點八:多邊形的內(nèi)角和與外角和1.多邊形的內(nèi)角和定理:n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)?180o,揭示了多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系:當(dāng)邊數(shù)增加1時，內(nèi)角和增加180o2.外角定義:多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角。(n邊形的外角個數(shù)為2n)3.多邊形的外角和:在多邊形的每個頂點處取一個外角，它們的和叫做這個多邊形的外角和(多邊形的外角和不是所有外角的和)。推論:任意多邊形的外角和等于360