《應用數理統(tǒng)計》 課件 4 分布與參數估計

§1統(tǒng)計量與統(tǒng)計量的分布4.1.1統(tǒng)計量的定義隨機樣本的不含未知參數的函數稱為統(tǒng)計量。對于正態(tài)總體，統(tǒng)計量通常是用來估計總體的期望和方差的。4.1.2基于標準正態(tài)分布的幾個重要統(tǒng)計量的分布1、分布設是來自正態(tài)總體N(0,1)的一個隨機樣本，則

(4.1)即n個相互獨立的標準正態(tài)分布的隨機變量的平方和服從n個自由度的分布，其圖形見圖4.1。第四章分布與參數估計0第四章分布與參數估計2、分布設X~N(0,1)，Y~，且X與Y相互獨立，則

(4.2)即自由度為n的t分布是由N(0,1)和，見圖4.2。t分布的圖形和正態(tài)分布的圖形有些像，可以證明，當n充分大時，t分布近似于標準正態(tài)分布N(0,1)。第四章分布與參數估計3、F分布設，，則

(4.3)圖形見4.3。第四章分布與參數估計4.1.3基于一般正態(tài)分布的幾個重要統(tǒng)計量的分布設是正態(tài)總體的一個隨機樣本，則樣本均值函數和樣本方差函數滿足如下性質：（1），其中不全為0，則

(4.4)由于樣本彼此之間獨立且和總體的分布一致，而正態(tài)分布的隨機變量之和仍然服從正態(tài)分布，因此樣本的線性函數仍然服從正態(tài)分布，而正態(tài)分布隨機變量Y的數學期望和方差可以通過概率論里數學期望和方差的性質求得。第四章分布與參數估計4.1.3基于一般正態(tài)分布的幾個重要統(tǒng)計量的分布（2）

(4.5)這個結論是為了解決這樣的問題，當總體服從正態(tài)分布時，樣本均值也服從正態(tài)分布，甚至當總體是任意分布時，根據中心極限定理，在大樣本的情況下，也近似服從正態(tài)分布，因此可查正態(tài)分布表來確定落在各個區(qū)間里的概率。第四章分布與參數估計4.1.3基于一般正態(tài)分布的幾個重要統(tǒng)計量的分布（3）

(4.6)這個結論的用處是，通常都用來估計總體的方差，而既然知道了，就可以通過查分布表，求落在某些區(qū)域的概率。（4）

(4.7)此結論的意義在于，當總體為正態(tài)總體時，由于

這樣我們希望用公式將其轉換為標準正態(tài)分布后查標準正態(tài)分布表來求解概率問題，但在實際情況下，總體方差經常是未知的，因此就可以利用這個定理，用樣本方差來代替總體方差，查t分布表來確定T落在一些區(qū)域內的概率。第四章分布與參數估計4.1.3基于一般正態(tài)分布的幾個重要統(tǒng)計量的分布（5）

(4.8)

是容量為的總體X的樣本方差，是容量為的總體Y的樣本方差。此結論的意義在于，當我們需要比較兩個總體的方差時，此時無論是否已知兩個總體的均值，都可以借助這個定理，計算樣本方差，查F分布表來確定上面的F統(tǒng)計量落在一些區(qū)域內的概率。第四章分布與參數估計§2參數估計：點估計許多統(tǒng)計推斷問題都可以歸為以下三類：點估計、區(qū)間估計（前兩者統(tǒng)稱為參數估計）和假設檢驗。這一章我們先來討論參數估計中的點估計和區(qū)間估計。4.2.1SPSS的點估計示例點擊【分析】→【描述統(tǒng)計】→【頻率】，就可以進入到頻次分析模塊。這個模塊上一章我們已經詳細介紹過了，比如可以輸出樣本均值、樣本方差和樣本標準差。這一章，讓我們看看還有什么新的理解。例1某高校從近15年報告會中隨機抽查了32次關于考研或關于就業(yè)的報告會，聽眾人數見數據文件“CH4例1報告會”。求該校報告會的平均聽眾人數。1、頻次分析模塊的SPSS操作示例：（1）在調入數據后，按照前面的介紹，點擊：【分析】→【描述統(tǒng)計】→【頻率】，進入頻率分析模塊。（2）在頻率分析模塊的主窗口中，選擇默認的左下角的“顯示頻率表格”復選框，然后把“聽眾人數”變量送入分析窗口，點擊右上角的【Statistics】按鈕。系統(tǒng)彈出頻率模塊的統(tǒng)計子窗口（圖4.4），選擇“平均值”、“標準偏差”和“方差”。如上一章的圖3.10所示。第四章分布與參數估計§2參數估計：點估計（3）點擊【繼續(xù)】，然后點擊【確定】，系統(tǒng)輸出結果，如表4.1所示。表4.1聽眾人數均值、方差的估計N有效32缺失0平均值173.4063標準偏差7.83647方差61.410第四章分布與參數估計§2參數估計：點估計2、描述統(tǒng)計模塊的SPSS操作示例：（1）在調入數據后，按照前面的介紹，點擊：【分析】→【描述統(tǒng)計】→【描述】，進入描述統(tǒng)計模塊。（2）在此窗口中，用箭頭把“聽眾人數”變量送入分析窗口，點擊右上角的【選項】按鈕。系統(tǒng)彈出描述模塊的統(tǒng)計子窗口，選擇“平均值”、“標準差”和“方差”。如圖4.5所示。（3）點擊【繼續(xù)】，然后點擊【確定】，系統(tǒng)輸出結果，如表4.2所示。表4.2聽眾人數均值、方差的估計值

數字平均值標準偏差方差聽眾人數32173.417.83661.410有效N（成列）32

上面這個例子可以看為把全校所有報告的聽眾人數視為總體，而所面對的數據可以理解為從該校的報告中抽樣的結果，樣本均值和樣本方差可以作為總體均值和總體方差來對待。下面我們從理論上來看什么是點估計。第四章分布與參數估計4.2.2點估計與判斷點估計的優(yōu)劣標準1、點估計的概念設待估計的參數為，例如，總體分布中的均值、方差等，現在從總體中得到一個隨機樣本，如何根據樣本信息估計？記估計的統(tǒng)計量為，是關于樣本的函數，簡記為，我們稱為的估計量。2、統(tǒng)計量的優(yōu)劣標準由樣本觀察值出發(fā)，通過點估計的方法可以獲得若干個的估計值，那么哪個估計值更好一些呢？這就需要有一些恰當的標準來判別。（一）無偏估計根據樣本推得的估計值與真值可能不同，然而，如果有一系列抽樣構成各個估計，很合理地會要求這些估計的期望值與未知參數的真值相等，它的直觀意義是樣本估計值在參數的真值周圍擺動，而無系統(tǒng)誤差。定義1如果成立，則稱估計值為參數的無偏估計。第四章分布與參數估計例2從總體X中抽取樣本，，。試證明及分別是及的無偏估計量。證明：由數學期望和方差的性質，可以證得，是的無偏估計量。而即

其中因此所以，得證。第四章分布與參數估計（二）有效估計定義2設和都是的無偏估計，若它們的樣本容量均為n，而的方差小于的方差，則稱是比有效的估計量。（三）一致估計一般情況下，統(tǒng)計量，但希望當時，。這就是說，希望當樣本容量n無限增大時，估計值在真值附近的概率趨近于1。定義3如果當時，依概率收斂于，即任給，則稱統(tǒng)計量為參數的一致估計。第四章分布與參數估計3、獲得點估計量的極大似然估計法根據從總體X中抽到的樣本，對總體分布中的未知參數θ進行估計。極大似然估計法是要選取這樣的值，當它作為θ的估計值時，使觀察結果出現的可能性最大。一般情況下，可以利用極大似然估計法估計離散型總體的概率函數中的參數θ，和連續(xù)型總體的概率密度函數中的參數θ。定義4設X為離散型隨機變量，有概率函數，為待估參數，則似然函數對每一取定的常數樣本值，L是參數θ的函數，則稱L為樣本的似然函數（如果θ是一個向量，則L是多元函數）。第四章分布與參數估計定義5設X的概率密度是，其中θ是未知參數，可以是一個值，也可以是一個向量，由于樣本的獨立性，則樣本的聯合概率密度函數是定義6如果在處達到最大值，則是θ的極大似然估計值。為了計算方便，只求的最大值。即計算，解出θ的估計值。如果待估計的參數θ是一個向量，即，則解如下的方程組，求出。

第四章分布與參數估計例3某電子管的使用壽命（從開始使用到初次失效為止）服從指數分布，概率密度函數如下

為X的一組樣本觀察值，今抽取一組樣本，其具體數據如下：16,29,50,68,100,130,140,270,280,340,410,450,520,620,190,210,800,1100。問如何求θ的極大似然估計值？解：似然函數求得

由

解得

就是θ的極大似然估計。因此參數θ的估計值為（小時）第四章分布與參數估計§3參數估計：區(qū)間估計4.3.1SPSS的區(qū)間估計示例點擊【分析】→【描述統(tǒng)計】→【頻率】，有時候樣本無法給出足夠正確的結果。前面講到如何用點估計量估計總體均值、方差或一定比例的精確值。問題在于，你怎么能肯定自己的估計完全正確？畢竟，你僅僅依靠一個樣本對總體做出假設，如果這個樣本出問題怎么辦？本節(jié)將介紹另一種估計總體統(tǒng)計量的方法：一種考慮了不確定性的方法。例4仍以例1的樣本值為例，根據隨機選取出來的32場報告會的聽眾人數數據，估計覆蓋全校多年來500場報告會的平均聽眾人數的95%的置信區(qū)間。數據文件見“CH4例1報告會”。1、頻次分析模塊的SPSS操作示例：（1）在調入數據后，按照前面的介紹，點擊：【分析】→【描述統(tǒng)計】→【探索】，進入探索分析模塊。（2）用箭頭把“聽眾人數”變量，送入“因變量列表”窗口（可同時分析多個變量）。圖4.6中，左下角的輸出小框的默認值是同時輸出統(tǒng)計量和圖形。可以接受它，也可以改變它。本例選擇輸出“統(tǒng)計量”。第四章分布與參數估計§3參數估計：區(qū)間估計4.3.1SPSS的區(qū)間估計示例

（3）點擊右上角的【統(tǒng)計量】按鈕，系統(tǒng)彈出一個窗口（探索：統(tǒng)計），見圖4.7。該窗口的系統(tǒng)默認值，正是輸出均值的95%的置信區(qū)間，我們可以接受它，也可以改變它為99%的置信區(qū)間，或其他百分點的置信區(qū)間。（4）點擊【繼續(xù)】，返回主窗口。點出【確定】，輸出結果，見表4.3。從該表可以讀出，均值的估計值為173.4063（厘米），覆蓋總體均値的95%隨機區(qū)間的一個觀察區(qū)間是(170.5809,176.2316)。從該表格還可以讀出，總體方差和總體標準差的估計值，這對應上一節(jié)講的極大似然估計法。表4.3聽眾人數均值的95%的置信區(qū)間

統(tǒng)計標準錯誤聽眾人數平均值173.40631.38531平均值的95%置信區(qū)間下限值170.5809

上限176.2316

5%截尾平均值173.4236

中位數174.0000

方差61.410

標準偏差7.83647

偏度-.081.414峰度-.201.809第四章分布與參數估計§3參數估計：區(qū)間估計4.3.2區(qū)間估計的理論分析用點估計來估計總體參數，即使是無偏、有效的估計量，也會由于樣本的隨機性，從一個樣本算得估計量的值偏離所要估計的參數真值。而且，即使真正相等,由于參數值本身是未知的，也無從肯定這種相等。到底二者相差多少呢？這個問題換一種提法就是，根據估計量的分布，在一定的可靠程度下，指出被估計的總體參數所在的可能數值范圍。這就是參數的區(qū)間估計問題。區(qū)間估計的具體做法是，找兩個統(tǒng)計量使其中，一般取0.05或0.01，則稱隨機區(qū)間為的的置信區(qū)間。百分數稱為置信度或置信水平。第四章分布與參數估計§3參數估計：區(qū)間估計（一）正態(tài)總體均值的區(qū)間估計1、方差已知，對總體均值進行區(qū)間估計例5假設某節(jié)能燈燈泡的壽命服從正態(tài)分布,從中抽取了10個進行壽命試驗,得數據如下（單位：小時）：1050、1100、1080、1120、1200、1250、1040、1130、1300、1200，試找出平均壽命區(qū)間（=0.05）。解：設樣本來自正態(tài)總體，則

選取含有已知變量最多的統(tǒng)計量來對未知參數進行區(qū)間估計，由于正態(tài)總體的方差已知，則根據式(4.5)第四章分布與參數估計查表可求得，使得

觀察上式，我們可以通過左側括號中的運算，求得的一個置信區(qū)間。那么這里變量是未知的，怎樣查表求得？的下角標有什么含義？在上式左側中，為了求得的區(qū)間范圍，交換一下絕對值運算中分子上兩項的位置

展開絕對值，整理得解得在這個公式里，只有是未知的，怎么辦呢？由公式查表獲得。在本題中=0.05，可查表求得（若=0.01，可查表求得）。又由n=10,，可算出，則進一步計算可得即的置信區(qū)間為(1145.25,1148.75)。第四章分布與參數估計§3參數估計：區(qū)間估計2、用SPSS從x查和從p查x下面我們來看一下怎樣從已知概率用SPSS查表求臨界值，以及怎樣由求概率值。任意打開一個數據文件，在數據窗口中，點擊：【轉換】→【計算變量】，系統(tǒng)彈出“計算變量”窗口，參見圖4.9。在這個窗口的右邊中部，有一個“函數組”框，在這個框中的有很多函數組，從中選出你所需要的函數組，完成相應的計算。例如，可以從隨機變量X的取值邊界x，計算出的概率值。也可以反過來，從概率值p，計算出x的值。這樣，就免去了查表的麻煩。第四章分布與參數估計例如，要計算服從N(0,1)分布的x=1.96的概率值，就在圖4.9的窗口中的“函數組”框中，選中函數組【CDF&與非中心CDF】（累積密度函數）。此時，該窗口右下方的“函數與特殊變量”框中出現大量的可供選擇的“累積概率密度函數”，見圖4.9。在這個“函數與特殊變量”框中選擇【Cdf.Noml】函數，這時，這個框左側的框中出現對這個函數的解釋。用向上的箭頭把這個函數送到上面的“數字表達式”框中。此時，“數字表達式”框中，出現函數CDF.NORMAL(?,?,?)，這兩步操作的結果，見圖4.10。按照中下框里的文字解釋，在“數字表達式”框中把函數CDF.NORMAL(?,?,?)的第一個問號改為1.96（即的值），第二個問號改為0（即標準正態(tài)分布的均值），第三個問號改為1（標準正態(tài)分布的標準差），即改為CDF.NORMAL(1.96,0,1)。第四章分布與參數估計左上角的“目標變量”框中，送入你希望的變量名，例如a、b、aa等，點擊【確定】。數據窗口中就出現變量的值是0.975。也就是。從概率值反求x的點擊方法類似上述過程。例如，假設X服從分布，已知概率值，要計算x的值，就可以按類似于上述的過程點擊。在剛才的窗口中，點擊【重置】，清空剛才的操作。然后，在圖4.9的窗口的“函數組”框中，選中函數組【逆DF】，點擊。此時，該窗口右下方的“函數和特殊變量”框中出現大量的可供選擇的“反概率密度函數”。選中正態(tài)分布的反函數【Idf.Normal】，并用向上的帶頭把這個函數送到上面的“數字表達式”框中。并把該框中的函數IDF.NORMAL(?,?,?)，改為IDF.NORMAL(0.975,0,1)。然后，在左上角的“目標變量”框中，送入你希望的變量名，例如b、ab等。點擊【確定】。數據窗口中就出現變量b的值是1.96。同樣，也可以計算其它分布函數（如t分布）的概率值和反函數的概率值。這樣可以省去查表的工作了。第四章分布與參數估計2、方差未知，對總體均值進行區(qū)間估計例6假定初生嬰兒（男孩）的體重服從正態(tài)分布，隨機抽取12名嬰兒，測體重為3100、2520、3000、3000、3600、3160、3560、3320、2880、2600、3400、2540。試以95%的置信水平估計新生男嬰兒的平均體重區(qū)間（單位：克）。解：設樣本來自正態(tài)總體，由于未知，且

查表可求得，使得

則

即解得所以，在這道題中，設新生男嬰兒體重為X，由于X服從正態(tài)分布，方差未知，因此借助t分布。對a=0.05，因樣本數n=12，則用上面講過的SPSS求值法，或者查自由度為11的t分布表，得。再計算因此，新生男嬰兒的平均體重的95%的置信區(qū)間為

第四章分布與參數估計例7結合上一節(jié)講的SPSS操作的例4，再從公式計算的角度分析一下。根據隨機選取出來的32場報告會的聽眾人數數據，估計覆蓋全校500場報告會的平均聽眾人數的95%的置信區(qū)間。數據文件見“CH4例1報告會”。解：設32場報告會聽眾人數的數據，即樣本來自正態(tài)總體，由于未知，則利用

可求出置信區(qū)間。其中樣本觀察值可由表4.3讀出，，，利用SPSS求出，【轉換】→【計算變量】→【逆DF】→【IDF.T(0.975,31)】，得出，代入區(qū)間的計算公式，四舍五入，保留兩位小數，可得

這樣，我們從理論計算和SPSS軟件操作兩方面都能求出置信區(qū)間了。3.一般總體大樣本下總體均值的區(qū)間估計根據中心極限定理，對于不是正態(tài)分布的一般總體，當樣本容量相當大時，漸近地服從正態(tài)分布，故大樣本情況下,對于一般總體仍可用正態(tài)總體的辦法對總體均值進行較精確的區(qū)間估計。在n=30時,就可把總體看作近似服從正態(tài)分布，當然n越大越好。第四章分布與參數估計（二）未知總體均值，正態(tài)總體方差的區(qū)間估計例8假定初生男嬰兒的體重服從正態(tài)分布,隨機抽取12名嬰兒,測得體重為3100,2520,3000,3000,3600,3160,3560,3320,2880,2600,3400,2540，對嬰兒體重的方差進行區(qū)間估計(a=0.05)。解：設樣本來自正態(tài)總體