《應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計》 課件 6 方差分析

方差分析主要用來檢驗(yàn)兩個以上總體均值差異的顯著程度，由此判斷樣本究竟是否抽自具有同一均值的總體，或不同總體間的均值是否有顯著性差異。方差分析對于比較不同生產(chǎn)工藝或設(shè)備條件下產(chǎn)量、質(zhì)量的差異，分析不同計劃方案效果的好壞和比較不同地區(qū)、不同人員有關(guān)的數(shù)量指標(biāo)差異是否顯著，是非常有用的。第六章方差分析§6.1單因素方差分析進(jìn)行方差分析的基本思路是：首先通過試驗(yàn)（試驗(yàn)或調(diào)查），取得不同因素、不同水平條件下被考察的隨機(jī)變量的樣本，然后利用樣本構(gòu)造統(tǒng)計量，檢驗(yàn)不同條件下的幾個不同總體的參數(shù)是否相等，如果參數(shù)相等的假設(shè)成立，則說明因素及水平對該變量影響不顯著，反之則影響顯著。6.1.1問題引入在參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)中，我們經(jīng)常檢驗(yàn)兩個總體分布的均值是否相同，如果有多個總體，則必須兩兩比較檢驗(yàn)，十分繁瑣。而方差分析（ANOVA），可以一次完成對多個總體的均值是否相同的檢驗(yàn)：

(6.1)方差分析是檢驗(yàn)多個總體均值是否相同，本質(zhì)上是研究分類型自變量對數(shù)值型因變量的影響。在分析均值之間是否有差異時，需要借助于方差，也即是數(shù)據(jù)誤差來源的分析，所以叫方差分析。第六章方差分析6.1.11、相關(guān)概念單因素方差分析的基本思想是，用方案之間的方差（服從卡方分布）與所有方案內(nèi)部的方差之和（也服從卡方分布）的比值（服從F分布）與fa

的比較，來判別s個方案的均值是否相同。設(shè)有s個技術(shù)方案，各方案的試驗(yàn)效果如表6.1所示，問怎樣判斷這s個方案的效果是否有顯著區(qū)別？所謂單因素，就是指只有“方案”這個變量（因素）。不同方案，就是“方案”這個變量的不同取值。單因素方差分析的目的，就是一次性地檢驗(yàn)各個方案的均值是否相同

單因素方差分析所使用的統(tǒng)計量，是F統(tǒng)計量。第六章方差分析例1已知在一組給定的條件下種植油菜所得畝產(chǎn)量服從正態(tài)分布。某農(nóng)場欲檢驗(yàn)四塊試驗(yàn)田對油菜畝產(chǎn)量的影響是否不相同（假定已經(jīng)經(jīng)過檢驗(yàn)表明不同試驗(yàn)田下的油菜產(chǎn)量方差相等）。為此，他們對四組初始條件完全相同的油菜種子，在完全相同的其他種植條件下，分別在四塊試驗(yàn)田種植。所得到的畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)如下表。試分析不同試驗(yàn)田下的油菜畝產(chǎn)量是否存在顯著性差異？（a=0.05）第六章方差分析試驗(yàn)田123456試驗(yàn)田1370420450490試驗(yàn)田2490380400390500410試驗(yàn)田3330340400380470試驗(yàn)田4410480400420380410通常，在方差分析中，我們把對試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生影響和起作用的自變量稱為因素。如果方差分析研究的是一個因素對于試驗(yàn)結(jié)果的影響和作用，就稱為單因素方差分析。在本例中，因素就是可能影響油菜畝產(chǎn)量的不同的試驗(yàn)田。因素的不同選擇方案稱之為因素的水平。上例中試驗(yàn)田有4種不同的選擇就說因素有4個水平。因素的水平實(shí)際上就是因素的取值或者是因素的分組，例如，可以在施肥量、光照時間、灌溉時長、商品包裝、質(zhì)量、價格和產(chǎn)地等方面取不同的值或分為不同的組，就表示因素選了不同的水平。方差分析要檢驗(yàn)的問題就是當(dāng)因素選不同的水平時，對結(jié)果有無顯著的影響。若無顯著影響，則隨便選擇哪一種方案都無所謂。否則就要選擇最終油菜畝產(chǎn)量最多的一種試驗(yàn)田方案。第六章方差分析打開數(shù)據(jù)文件“CH6例1試驗(yàn)田”。（1）在數(shù)據(jù)文件“CH6例1試驗(yàn)田”后，點(diǎn)擊：【分析】→【比較平均值】→【單因素ANOVA】，進(jìn)入單因素方差分析模塊。（2）在單因素方差分析模塊主窗口（圖6.1）中，選中左框的變量“畝產(chǎn)量”放入右邊的“因變量列表”框中。（3）選中左框的變量“試驗(yàn)田”，放入右邊的“因子”框中，如圖6.1所示。（4）點(diǎn)擊【確定】，系統(tǒng)輸出結(jié)果，如表6.3所示。

（5）結(jié)果說明：第六章方差分析表6.3方差分析表

平方和df均方F顯著性組之間7112.14332370.7141.012.412組內(nèi)39811.667172341.863

總計46923.81020

6.1.2單因素方差分析的原理1數(shù)學(xué)模型方差分析的基本假定是：每個總體都應(yīng)服從正態(tài)分布；各個總體的方差相同（SPSS操作時s個水平下的總體方差可不等，先進(jìn)行“方差齊性檢驗(yàn)”）；不同水平下的樣本之間是相互獨(dú)立的。現(xiàn)設(shè)單因素A的s個水平下的總體均服從正態(tài)分布，均值分別為：

，與未知，對進(jìn)行估計和檢驗(yàn)，需要重復(fù)試驗(yàn)。為了分析因素A的第i個水平，對進(jìn)行兩次分解。第一次，將分解成兩部分

(6.2)式中為因素A的第i個水平下的總體均值，試驗(yàn)誤差之間相互獨(dú)立且，是因?yàn)?/p>

(6.3)(6.4)(6.5)第六章方差分析6.1.2單因素方差分析的原理第二次，再對進(jìn)行分解，(6.6)式中，，稱為總平均，表示因素A的第i個水平下的總體平均值與總平均的差異，習(xí)慣上將其稱為水平Ai的效應(yīng)。由兩次分解得到單因素方差分析數(shù)學(xué)模型

第六章方差分析2方差分析檢驗(yàn)單因素方差分析的基本思想是，用方案之間的方差（服從卡方分布）與所有方案內(nèi)部的方差之和（也服從卡方分布）的比值（服從F分布），與fa的比較，來判別s個方案的均值是否相同。①求各方案之間的變差SA（用各方案的均值對所有數(shù)據(jù)的總均值的離差平方和來表達(dá)）

(6.8)式中，，，為所有數(shù)據(jù)的總平均值；對應(yīng)于為第i個方案的樣本均值，SA的自由度是s-1。②求所有方案內(nèi)部變差SE（方案i的內(nèi)部變差是該方案的試驗(yàn)數(shù)據(jù)Xij對該方案試驗(yàn)數(shù)據(jù)均值的變差）

(6.9)

SE與誤差項(xiàng)相對應(yīng)，SE的自由度是n-s。

第六章方差分析③計算方案間的方差與所有方案內(nèi)的方差之比

(6.10)若，則，，所以

(6.11)在上面的計算中，如果把Xij換成xij，就得到統(tǒng)計量F對應(yīng)的值f。④做假設(shè)檢驗(yàn)

從臨界值的角度考慮，若，則表明sA較大，的平方和較大，對應(yīng)的總體參數(shù)是的絕對值較大，所以，如果以a的概率（或在a水平上）拒絕H0，即至少有兩個方案之間的平均效果（均值），差異足夠大，方案之內(nèi)的差異相對小。反之，接受H0，即不同方案的效果（均值）沒有顯著差異。從p值法的角度考慮，在SPSS中，F(xiàn)檢驗(yàn)的判別和t檢驗(yàn)的類似，也可以用統(tǒng)計值f的外側(cè)概率p（顯著性概率）與a比較大小，來判別接受還是拒絕H0。而常規(guī)的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)，是用統(tǒng)計值（如等）與統(tǒng)計值的閾值（如等）比較大小，來判別接受還是拒絕。

第六章方差分析而由圖6.2可知，從統(tǒng)計值f與a所決定的閾值的角度看，若，則表明sA較大，的平方和較大，對應(yīng)的的絕對值較大，即。所以拒絕H0。即至少有兩個方案之間的平均效果（均值）的差異足夠大，方案之間的差異相對小。反之，接受H0，即不同方案之間的平均效果（均值）沒有顯著差異。由圖6.2可知，與f的右側(cè)概率p<=a是等價的，這就是SPSS的檢驗(yàn)判別方法。圖6.2單因素方差分析F檢驗(yàn)圖a

1-a

6.1.3單因素方差分析的SPSS操作1不同方案間存在顯著性差異上面的例1中不同試驗(yàn)田方案下的油菜畝產(chǎn)量不存在顯著性差異。所以，接下來就不用再進(jìn)一步分析了，也就是采取哪種試驗(yàn)田方案都可以。但是如果不同試驗(yàn)田方案存在顯著性差異呢？仍以例1為例，增加一列數(shù)據(jù)“畝產(chǎn)量新”，數(shù)據(jù)仍見“CH6例1試驗(yàn)田”。（1）點(diǎn)擊：【分析】→【比較平均值】→【單因素ANOVA】，進(jìn)入單因素方差分析模塊。（2）在單因素方差分析模塊主窗口（圖6.3）中，選中左框的變量“畝產(chǎn)量新”放入右邊的“因變量列表”框中。（3）選中左框的變量“試驗(yàn)田”，放入右邊的“因子”框中。如圖6.3所示。（4）點(diǎn)擊【確定】，系統(tǒng)輸出結(jié)果，如表6.4所示。第六章方差分析表6.4方差分析表

平方和df均方F顯著性組之間136921.667345640.5569.570.001組內(nèi)81078.333174769.314

總計218000.00020

2使用選項(xiàng)兩兩比較在前面的步驟（3）后增加選項(xiàng)操作。（5）點(diǎn)擊【選項(xiàng)】按鈕，系統(tǒng)彈出一個對話框，見圖6.4。在該對話框中， 描述性：選擇需要輸出的統(tǒng)計量。 方差同質(zhì)性檢驗(yàn)：如果選擇，表示要進(jìn)行方差齊次性檢驗(yàn)（Levene檢驗(yàn)），并輸出檢驗(yàn)結(jié)果。這一選擇很重要，關(guān)系到【兩兩比較】窗口如何讀取計算結(jié)果。本例選擇此項(xiàng)。（6）點(diǎn)擊【繼續(xù)】按鈕，在主窗口中點(diǎn)擊【事后多重比較】，見圖6.5。（7）點(diǎn)擊【繼續(xù)】按鈕，返回主窗口（圖6.3）。（8）如果不是任何兩個分別兩兩比較，某兩個比較，或多個分組比較，可以點(diǎn)擊【對比】按鈕，彈出“對比”窗口（見圖6.6）。點(diǎn)擊該窗口中的“多項(xiàng)式”選項(xiàng)，“度”被激活，點(diǎn)擊“度”右邊的小箭頭，出現(xiàn)下拉菜單，有線性、二次項(xiàng)、立方、四次項(xiàng)、五次項(xiàng)的多項(xiàng)式模型，可供選擇，一般選擇“線性”模型。第六章方差分析在“系數(shù)”的方框中，輸人各組均值的系數(shù)，確定所要比較的組均值的組合。例如輸入1，再輸入0，點(diǎn)擊“添加”，再分別輸入0和-1，點(diǎn)擊“添加”，就完成了一個組合(1,0,0,-1)，表示要對照檢驗(yàn)“1=試驗(yàn)田1”的平均畝產(chǎn)量與“4=試驗(yàn)田4”的平均畝產(chǎn)量有無顯著性差異。點(diǎn)擊【下一頁】，再輸入(1,-1,-1,-1)，表示要對照檢驗(yàn)“1=試驗(yàn)田1”的平均畝產(chǎn)量與“2=試驗(yàn)田2”、“3=試驗(yàn)田3”、“4=試驗(yàn)田4”之和的平均畝產(chǎn)量有無顯著性差異。（9）點(diǎn)擊【確定】按鈕，輸出結(jié)果見下面的表格。由于顯著性概率，表示4個組的數(shù)據(jù)都不具有方差齊性。這里的方差同質(zhì)性檢驗(yàn)請參照上一章5.4.2節(jié)的內(nèi)容。由于在前面的檢驗(yàn)中，得知四種試驗(yàn)田方案下的畝產(chǎn)量平均值存在顯著性差異，所以，在進(jìn)行方差同質(zhì)性檢驗(yàn)之后，下面的表6.6給出了兩兩對照的結(jié)果。第六章方差分析表6.5方差同質(zhì)性檢驗(yàn)表Levene統(tǒng)計df1df2顯著性4.717317.0141第六章方差分析

表6.6兩兩多重比較結(jié)果

(I)試驗(yàn)田(J)試驗(yàn)田平均差(I-J)標(biāo)準(zhǔn)錯誤顯著性95%置信區(qū)間

下限值上限LSD(L)試驗(yàn)田１試驗(yàn)田２-152.500*44.578.003-246.55-58.45試驗(yàn)田３48.50046.327.310-49.24146.24試驗(yàn)田４15.83344.578.727-78.22109.89試驗(yàn)田２試驗(yàn)田１152.500*44.578.00358.45246.55試驗(yàn)田３201.000*41.818.000112.77289.23試驗(yàn)田４168.333*39.872.00184.21252.46試驗(yàn)田３試驗(yàn)田１-48.50046.327.310-146.2449.24試驗(yàn)田２-201.000*41.818.000-289.23-112.77試驗(yàn)田４-32.66741.818.445-120.9055.56試驗(yàn)田４試驗(yàn)田１-15.83344.578.727-109.8978.22試驗(yàn)田２-168.333*39.872.001-252.46-84.21試驗(yàn)田３32.66741.818.445-55.56120.90Tamhane試驗(yàn)田１試驗(yàn)田２-152.50049.779.096-328.0423.04試驗(yàn)田３48.50035.575.768-81.38178.38試驗(yàn)田４15.83328.822.996-107.85139.51試驗(yàn)田２試驗(yàn)田１152.50049.779.096-23.04328.04試驗(yàn)田３201.000*49.642.02328.00374.00試驗(yàn)田４168.33345.049.056-4.52341.18試驗(yàn)田３試驗(yàn)田１-48.50035.575.768-178.3881.38試驗(yàn)田２-201.000*49.642.023-374.00-28.00試驗(yàn)田４-32.66728.585.877-140.0774.73試驗(yàn)田４試驗(yàn)田１-15.83328.822.996-139.51107.85試驗(yàn)田２-168.33345.049.056-341.184.52試驗(yàn)田３32.66728.585.877-74.73140.07由于前面已經(jīng)得出了不具有方差齊性的結(jié)論，所以這里應(yīng)當(dāng)讀取Tamhane的檢驗(yàn)結(jié)果。假設(shè)，則由于試驗(yàn)田2和試驗(yàn)田3之間，所以試驗(yàn)田2、3之間存在顯著性差異，該表格用*標(biāo)出了兩兩均值之間是否存在顯著性差異。接下來還可以按不同的組合進(jìn)行單因素方差分析，結(jié)果如表6.7所示。前面在判斷4塊試驗(yàn)田對應(yīng)的總體方差是否齊性時，得出了不具有方差齊性的結(jié)論，那么這里兩兩多重比較，也就是兩個總體間方差的判斷是否還應(yīng)讀取“不假定等方差”的檢驗(yàn)結(jié)果？我們不妨和上一章學(xué)的“獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)”的SPSS結(jié)果做一下對比。第六章方差分析表6.7兩兩多重比較結(jié)果對比對比值標(biāo)準(zhǔn)錯誤tdf顯著性(雙尾)畝產(chǎn)量新假定等方差115.8344.578.35517.7272-953.17a61.123-15.59417.000不假定等方差115.8328.822.5494.803.6072-953.17a57.402-16.60511.833.000a.對比系數(shù)之和不為零。第1個組合方差的Levene檢驗(yàn)p=0.363>a=0.05，所以讀取表6.9中第一行結(jié)果，p=0.566>a=0.05，表示其組合的均值之間沒有顯著性差異，即試驗(yàn)田1和試驗(yàn)田4對油菜畝產(chǎn)量的影響無顯著性差異。結(jié)果的不同反映了SPSS內(nèi)部核心算法的不同。表6.10組統(tǒng)計量

試驗(yàn)田N均值標(biāo)準(zhǔn)差均值的標(biāo)準(zhǔn)誤畝產(chǎn)量新>=217466.47113.63027.559<24432.5050.58025.290表6.9獨(dú)立樣本檢驗(yàn)

方差方程的Levene檢驗(yàn)均值方程的t檢驗(yàn)FSig.tdfSig.(雙側(cè))均值差值標(biāo)準(zhǔn)誤差值差分的95%置信區(qū)間下限上限畝產(chǎn)量新假設(shè)方差相等.930.363.5998.56615.83326.426-45.10676.773假設(shè)方差不相等

.5494.803.60715.83328.822-59.17790.844表6.11獨(dú)立樣本檢驗(yàn)

方差方程的Levene檢驗(yàn)均值方程的t檢驗(yàn)FSig.tdfSig.(雙側(cè))均值差值標(biāo)準(zhǔn)誤差值差分的95%置信區(qū)間下限上限畝產(chǎn)量新假設(shè)方差相等1.703.208.57619.57233.97159.014-89.546157.488假設(shè)方差不相等

.90811.354.38333.97137.405-48.044115.986§6.2無重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析6.2.1問題引入為了理解雙因素方差分析的基本思路，我們先舉一個簡單的例子。例23種教學(xué)法在4個不同的學(xué)校的試驗(yàn)結(jié)果（數(shù)據(jù)見文件“CH6例2教學(xué)法”）如下試分析不同學(xué)校的試驗(yàn)效果是否存在顯著性差異？不同教學(xué)方法之間是否存在顯著性差異？1、雙因素方差分析模塊的SPSS操作示例：讀入數(shù)據(jù)后：（1）點(diǎn)擊：【分析】→【一般線性模型】→【單變量】，進(jìn)入單因素方差分析模塊。第六章方差分析學(xué)校A學(xué)校B學(xué)校C學(xué)校D方法180903020方法290804050方法31001006040§6.2無重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析6.2.1問題引入（2）在單因素方差分析模塊主窗口（圖6.7）中，選中左框的變量“試驗(yàn)結(jié)果”放入右邊的“因變量”框中。（3）選中左框的變量“方法”和“學(xué)校”，放入右邊的“固定因子”框中，如圖6.7所示。（4）點(diǎn)擊窗口右上側(cè)的【模型】①左邊的“指定模型”中的“全因子”（建立全模型，分析所有因素變量的主效應(yīng)和交互效應(yīng)），這是系統(tǒng)的默認(rèn)值。由于本例題是無重復(fù)試驗(yàn)，不存在分析交互效應(yīng)問題，所以不選擇此項(xiàng)（點(diǎn)擊右邊的“定制”選項(xiàng)）。②點(diǎn)擊【定制】（用戶自定義模型），中間的“構(gòu)建項(xiàng)”被激活，同時，左邊的“因子與協(xié)變量”框中的變量也被激活。③選擇所要分析的效應(yīng)：點(diǎn)擊【構(gòu)建項(xiàng)】框中的下拉組合框小箭頭，出現(xiàn)一個下拉菜單見圖6.8。第六章方差分析§6.2無重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析6.2.1問題引入（5）點(diǎn)擊【繼續(xù)】，回到上一個對話窗口。（6）其它選項(xiàng)略。（7）點(diǎn)擊【確定】，輸出結(jié)果，見表6.8所示。第六章方差分析表6.8方差分析結(jié)果因變量:試驗(yàn)結(jié)果

源III類平方和自由度均方F顯著性校正的模型8366.667a51673.33318.825.001截距50700.000150700.000570.375.000方法800.0002400.0004.500.064學(xué)校7566.66732522.22228.375.001錯誤533.333688.889

總計59600.00012

校正后的總變異8900.00011

a.R平方=.940（調(diào)整后的R平方=.890）§6.2無重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析6.2.2無重雙因的算法步驟1、假設(shè)零假設(shè)：備擇假設(shè)：之間不完全相等（至少有兩個不等），或ai不全等于0。之間不完全相等（至少有兩個不等），或bi不全等于0。2、計算（1）算行間變差

(6.12)（2）算列間變差

(6.13)（3）算總誤差平方和

(6.14)（4）算總變差第六章方差分析可以證明，在無交互影響的雙因素模型下，有如下結(jié)論①當(dāng)H0A成立時

(6.16)②當(dāng)成立時

(6.17)（5）計算2個方差之比

(6.18)(6.19)3、做假設(shè)檢驗(yàn)對給定的a查表，若，則拒絕