北航2022抽象代數(shù)試卷與答案

第第頁(yè)北航2022抽象代數(shù)試卷與答案班號(hào)學(xué)號(hào)姓名成果

《抽象代數(shù)》期末考試卷

考前須知：

1、請(qǐng)大家認(rèn)真審題

2、千萬(wàn)不能違反考場(chǎng)紀(jì)律題目：

一、判斷題〔每題2分，共20分〕

()1、設(shè)*是集合*上的二元運(yùn)算，假設(shè)a*是可約的，那么a是可逆的。()2、任何階大于1的群沒(méi)有零元。()3、任何群都與一個(gè)變換群同構(gòu)。

()4、奇數(shù)階的有限群中必存在偶數(shù)個(gè)階為2的元素。()5、素?cái)?shù)階群必為循環(huán)群。

()6、*2+5是GF(7)上的不可約多項(xiàng)式。()7、環(huán)的抱負(fù)構(gòu)成其子環(huán)。

()8、有補(bǔ)格中任何元素必有唯一的補(bǔ)元。()9、格保序映射必為格同態(tài)映射。

()10、設(shè)AS，那么P(A)，是格P(S)，的子格。

二、填空題〔10分〕

1、設(shè)〈G，*〉為群，a，bG且a的階為n，那么b1ab的階為。2、設(shè)〈G，*〉為群且a∈G。假設(shè)k∈I且a的階為n，那么ak的階為_(kāi)n/(n,k)_；

并且ak=e當(dāng)且僅當(dāng)3、域的特征為_(kāi)__________；有限域的階必為_(kāi)________。4、GF〔3〕上的二次不可約首1多項(xiàng)式有222

5、設(shè)D是I+上的整除關(guān)系，即對(duì)任意的a，b∈I+，aDb當(dāng)且僅當(dāng)a|b。對(duì)任意a，b∈I+，那么a*b=__(a,b)__，ab=__[a,b]__。

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三、計(jì)算題〔40分，每題8分〕

1、試求群N11—{0}，11的全部子群。解：

全部子群是：{1},11

{1,3,4,5,9},11{1,10},11

N11—{0}，11

2、試求群N7，+7的全部自同態(tài)。

解：設(shè)f為群N7，+7的自同態(tài)，那么：

f(*)=f(1)+7f(*-1)=f(1)+7f(1)+7f(*-2)=…=*f(1)mod7

3、設(shè)有置換：

12345P,Q

34512

試求P2和QP。解：

1234521453

1234512345

P2,QP45321

51234

4、試求群N7—{0}，7的2階子群H，并求N7—{0}，7關(guān)于H的商群。解：

N7—{0}，7的2階子群H={1,6},7N7—{0}，7關(guān)于H的商群為：G/H={1，6},{2，5},{3，4}

5、給定域N2，+2，2上的多項(xiàng)式a(*)=*4+*2+*+1，b(*)=*4+*3+1，試判斷a(*)和b(*)是否為不可約多項(xiàng)式，并說(shuō)明理由。解：a(*)為是可約多項(xiàng)式。由于a(*)=(*+1)(*3+*2+1)。

b(*)為不可約多項(xiàng)式。

假設(shè)b(*)為可約多項(xiàng)式，那么必能整除次數(shù)小于或等于2的不可約多項(xiàng)式。

而N2，+2，2上的次數(shù)小于或等于2的的不可約多項(xiàng)式只有：*，*+1，*2+*+1，它們均不能整除b(*)，所以b(*)為不可約多項(xiàng)式。

四、證明題〔30分〕

1、設(shè)〈G，*〉是群，令

C(G)={*∈G|假設(shè)y∈G，那么**y=y**}〔8分〕

證明：i)C(G)是G的子群；

ii)C(G)是G的不變子群。

證明：i)〔a〕對(duì)任意a∈G，因e*a=a*e，eC(G),即C(G)。(b)假設(shè)yC(G),那么對(duì)于任意aG：yaay，

故yaya1y1ay1a1y1aay1，y1C(G)。

(c)假設(shè)*,yC(G)，那么對(duì)于任意aG：*aa*且yaay，

因此(*y)a*(ya)*(ay)(*a)y(a*)ya(*y)，故*yC(G)。ii)對(duì)于aG,hC(G),aha

1

haa1hC(G)，故C(G)G。

2、證明：無(wú)限循環(huán)群G有且只有兩個(gè)生成元?！?分〕證明：

先證存在性：

設(shè)無(wú)限循環(huán)群G=(a)，那么G={an|n∈I}。

因G是群，那么必存在a-1∈G，且(a-1)=(a)=G。

假設(shè)a=a-1，那么a2=e，此時(shí)G=(a)={a,e}與G為無(wú)限群沖突！所以存在兩個(gè)不同的生成元a和a-1。

再證唯一性：

假設(shè)b也是G的生成元，那么(b)=G，b∈G。

∴a=bi且b=aj，∴b=aj=(bi)j=bij∴bij-1=e

假設(shè)ij-1≠0，那么G的階ij-1,這與G為無(wú)限群沖突！因此，必有ij-1=0，那么(i,j)=(1,1)或〔-1，-1〕，所以，b=a或b=a-1。

綜上所述，無(wú)限循環(huán)群有且只有兩個(gè)生成元。

3、設(shè)L，*，是格，證明：a(b*c)(ab)*(ac)。〔6分〕解：

∵aab且aac，∴a(ab)*(ac)

∵(b*c)b(ab)且(b*c)b(ac)，∴(b*c)(ab)*(ac)∴a(b*c)(ab)*(ac)

4、證明：有理數(shù)域〈Q，＋，〉的自同構(gòu)映射只有一個(gè)。〔8分〕證明：設(shè)f為有理數(shù)域〈Q，＋，〉的自同構(gòu)映射，

因f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)，故f(0)=0。

因f(1)=f(11)=f(1)f(1)且f(1)≠0，故f(1)=1。

由f(1)=f(1/m+1/m+…+1/m)=mf(1/m)=1，得f(1/m)=1/m，而正有理數(shù)可以表示為p/q〔p0,q0均為整數(shù)〕，那么

f(p/q)=f(1/q+1/q+…+1/q)=pf(1/q)=p/q，負(fù)有理數(shù)可以表示為-p/q〔p0,q0均為整數(shù)〕，

由f(0)=f(p/q+(-p/q))=f(p/q)+f(-p/q)=0，得f(-p/q)=-f(p/q)=-p/q。因此，對(duì)任意有理數(shù)*：f(*)=*。

綜上所述，有理數(shù)域的自同構(gòu)映射只有一個(gè)，即為恒等映射。

班號(hào)學(xué)號(hào)姓名成果

《抽象代數(shù)》期末考試卷

考前須知：

1、請(qǐng)大家認(rèn)真審題

2、千萬(wàn)不能違反考場(chǎng)紀(jì)律題目：

一、判斷題〔每題2分，共20分〕

()1、設(shè)*是集合*上的二元運(yùn)算，假設(shè)a*是可約的，那么a是可逆的。()2、任何階大于1的群沒(méi)有零元。()3、任何群都與一個(gè)變換群同構(gòu)。

()4、奇數(shù)階的有限群中必存在偶數(shù)個(gè)階為2的元素。()5、素?cái)?shù)階群必為循環(huán)群。

()6、*2+5是GF(7)上的不可約多項(xiàng)式。()7、環(huán)的抱負(fù)構(gòu)成其子環(huán)。

()8、有補(bǔ)格中任何元素必有唯一的補(bǔ)元。()9、格保序映射必為格同態(tài)映射。

()10、設(shè)AS，那么P(A)，是格P(S)，的子格。

二、填空題〔10分〕

1、設(shè)〈G，*〉為群，a，bG且a的階為n，那么b1ab的階為。2、設(shè)〈G，*〉為群且a∈G。假設(shè)k∈I且a的階為n，那么ak的階為_(kāi)n/(n,k)_；

并且ak=e當(dāng)且僅當(dāng)3、域的特征為_(kāi)__________；有限域的階必為_(kāi)________。4、GF〔3〕上的二次不可約首1多項(xiàng)式有222

5、設(shè)D是I+上的整除關(guān)系，即對(duì)任意的a，b∈I+，aDb當(dāng)且僅當(dāng)a|b。對(duì)任意a，b∈