北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊專題2.4一元一次不等式(組)的應(yīng)用【八大題型】(原卷版+解析)

專題2.4一元一次不等式(組)的應(yīng)用【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1工程問題】 1【題型2銷售問題】 2【題型3行程問題】 3【題型4得分問題】 4【題型5古代問題】 5【題型6方案問題】 6【題型7數(shù)字問題】 7【題型8幾何圖形問題】 8【題型1工程問題】【例1】（2023春·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期末）2022年9月28日上午，伴隨著盾構(gòu)機隆隆轟鳴聲，南寧市軌道交通4號線“五象火車站一清平坡站”區(qū)間盾構(gòu)順利始發(fā)，標志著4號線續(xù)建工程正式進入?yún)^(qū)間據(jù)進施工階段，待此次工程建設(shè)完工后，將實現(xiàn)4號線全線貫通運營，目前，地鐵4號線續(xù)建工程正在有序進行施工，工地現(xiàn)有大量的泥土需要運輸，某車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛滿載運輸一次可以運輸110噸泥土．(1)求該車隊有載重量8噸、10噸的卡車各多少輛？(2)隨著工程的進展，該車隊需要一次運輸泥土不低于163噸，為了完成任務(wù)，該車隊準備再購進這兩種卡車共6輛，則最多購進載重量為8噸的卡車多少輛？【變式1-1】（2023春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）為了改善山東的交通，我省修建了魯南高鐵，其中魯南高鐵臨沂段已于2019年11月26日開通運營．開通后的魯南高鐵臨沂到日照段比運行的鐵路線全長縮短了40千米，運行時間為30分鐘，某次臨沂到日照火車需要150分鐘，平均速度是開通后的高鐵的725(1)求臨沂段高鐵臨沂段鐵路全長各為多少千米？(2)已知修建臨沂段高鐵時，有甲、乙兩個工程隊同時施工，甲每天施工1.4千米，乙每天施工1千米，計劃40天完成，施工5天后，工程指揮部要求甲工程隊提高工效，以確保整個工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程隊后期每天至少施工多少千米？【變式1-2】（2023春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）政府計劃為某村修建一條長為1000米的公路，由甲、乙兩個工程隊負責施工．已知若甲工程隊獨立施工5天后，乙工程隊再加入，兩工程隊聯(lián)合施工8天后，還剩30米的工程．甲工程隊工作2天比乙工程隊工作3天少施工20米．(1)求甲、乙兩工程隊每天各施工多少米？(2)現(xiàn)計劃由兩工程隊聯(lián)合施工完成該工程，兩工程隊聯(lián)合施工4天后，因甲隊有事，剩下的部分由乙工程隊獨立完成，若要在12天內(nèi)完成該項工程，則乙工程隊每天至少應(yīng)再多施工多少米？【變式1-3】（2023春·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期末）我市張壩桂圓林景區(qū)公園是瀘州人民的城市花園之一，為了給大家創(chuàng)建更優(yōu)美的休閑環(huán)境，市園林局利用景區(qū)濱江路臨水區(qū)恰好位于長江流域的資源建造一個露天游泳池，工程需要運送大量的沙土．“興瀘”公司有載重量分別為8噸和10噸的A、B兩種卡車共12輛，這12輛卡車每次能運送沙土110噸．(1)這12輛A、B兩種卡車各有多少輛？(2)因計劃改變，需要每次運送沙土至少165噸，為按時完成任務(wù)，“興瀘”公司還需要外租6輛A、B兩種卡車（每種車至少一輛），請寫出租用方案．【題型2銷售問題】【例2】（2023春·福建寧德·八年級?？计谥校┠承＝M織師生研學(xué)，若單獨租用45座的客車若干輛，則剛好坐滿；若單獨租用60座的客車．則可以少租一輛，且余30個空位．(1)求該校參加春游的人數(shù)；(2)該校決定這次春游同時租用這兩種車，其中60座客車比45座客車多租一輛，這樣比單獨租用一輛節(jié)省租金．已知45座客車每輛租金250元，60座客車每輛租金為300元．請你幫助設(shè)計本次春游所需車輛的租金．．【變式2-1】（2023春·福建漳州·八年級?？计谥校轫憫?yīng)陽光體育運動的號召，學(xué)校決定從體育用品商店購買一批籃球和足球，按標價若購買2個籃球和3個足球需600元，若購買3個籃球和1個足球需550元．(1)求籃球、足球每個分別是多少元？(2)由于購買數(shù)量較多，商店決定給予一定的優(yōu)惠，籃球每個優(yōu)惠20%，足球每個優(yōu)惠10【變式2-2】（2023春·云南楚雄·八年級統(tǒng)考期末）隨著“云品入滬”工程的深入實施，為云南特色農(nóng)產(chǎn)品(簡稱云品)開拓了廣闊市場．某農(nóng)戶要將規(guī)格相同的80件云品運往A，B兩蔬菜產(chǎn)銷對接基地，各地的運費如表所示：銷售地A地B地運費(元/件)206(1)若運往A，B兩地的總運費為760元，分別求出運往A、B兩地云品的件數(shù)；(2)若此農(nóng)戶運往兩地的總運費不超過800元，求最多可運往A地的云品的件數(shù)．【變式2-3】（2023春·云南臨滄·八年級統(tǒng)考期末）2023年五一假期期間，全國各地的游客大量涌入云南，頗具云南特色的裝飾物品備受游客青睞．某特色飾品店的王老板立即購進兩類特色飾品進行售賣．已知王老板用310元可以購進4件A類飾品和5件B類飾品；用540元可以購進6件A類飾品和10件B類飾品．(1)求A、B兩類飾品的進貨單價．(2)已知A類飾品的銷售單價為50元，B類飾品的銷售單價為35元．若王老板購進A、B兩類飾品共100件，進貨總費用不超過3220元，且銷售總額超過3785元，王老板有幾種進貨方案？哪種方案的總利潤最高？總利潤最高是多少錢？【題型3行程問題】【例3】（2023春·吉林四平·八年級統(tǒng)考期末）星期天，小明騎自行車去姥姥家，速度為每小時12km【變式3-1】（2023春·安徽·八年級統(tǒng)考期中）某車間有3個小組計劃在10天內(nèi)生產(chǎn)500件產(chǎn)品(每天每個小組生產(chǎn)量相同)，按原先的生產(chǎn)速度，不能完成任務(wù)，如果每個小組每天比原先多生產(chǎn)1件產(chǎn)品，就能提前完成任務(wù)，請問每個小組原先每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品．(結(jié)果取整數(shù))【變式3-2】（2023春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）某核酸檢測點開始檢測時，已經(jīng)有a名居民在排隊等候檢測．檢測開始后，仍有居民繼續(xù)前來排隊檢測，設(shè)居民按m人/分鐘的速度增加，每個窗口的檢測速度為n人/分鐘．若開放一個檢測窗口，則需要25分鐘將排隊等候檢測的居民全部檢測完畢；若同時開放兩個檢測窗口，則需要10分鐘將排隊等候檢測的居民全部檢測完畢．(1)若a=100，求m和n的值；(2)根據(jù)（1）的結(jié)果猜想m與n的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如果要在5分鐘內(nèi)將排隊等候檢測的居民全部檢測完畢，以便后來的居民能隨到隨檢，則至少要同時開放幾個檢測窗口？【變式3-3】（2023春·重慶永川·八年級統(tǒng)考期末）甲、乙兩人共同設(shè)計了一條從A地到B地，B地到C地，C地到D地的路線．某一天上午10點，甲騎自行車從A地出發(fā)，沿該路線勻速行駛40千米后恰好到達B地，到達B地的時間是當天中午12點，在B地原地休息30分鐘后，以原來的速度沿該路線勻速行駛40千米后恰好到達C地，到達C地后立即以原來的速度按原行駛路線勻速行駛返回A地．在甲出發(fā)x小時后，乙開小汽車從A地出發(fā)，沿該路線勻速行駛直接到達C地，到達C地后立即沿該路線勻速行駛5千米恰好到達D地，在D地休息y小時后，立即以原來的速度按原行駛路線勻速行駛返回A地．已知在行駛的過程中，乙的速度是甲的3倍．(1)求甲、乙兩人行駛的速度；(2)在甲從B地到C地的行駛過程中，若乙與甲第一次相遇，且相遇地點不與B地和C地重合，求x的取值范圍；(3)當x=3時，甲、乙兩人能否在B地與C地之間（不包括B地與C地）相遇2次？如果能，請求出y的取值范圍，如果不能，請說明理由．【題型4得分問題】【例4】（2023春·吉林長春·八年級校聯(lián)考期末）一次智力測驗，共設(shè)20道選擇題，評分標準為：對1題得a分，答錯或不答1題扣b分.下表記錄了2名參賽學(xué)生的得分情況.參賽學(xué)生答對題數(shù)答錯或不答題數(shù)得分甲18288乙101040（1）若參賽學(xué)生小亮只答對了16道選擇題，則小亮的得分是多少？（2）參賽學(xué)生至少要答（

）道題，總分才不會低于60分.【變式4-1】（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校┠炒沃R競賽共有20道題，答對一題得10分，答錯或不答均扣5分，小玉得分超過95分，他至少要答對道題．【變式4-2】（2023春·山西臨汾·八年級校聯(lián)考期中）某電視臺組織學(xué)習(xí)黨史知識競賽，共設(shè)20道選擇題，各題分值相同，答對一題得5分，可以選擇不答，下表記錄的是3名參賽者的得分情況．參賽者答對題數(shù)不答題數(shù)答錯題數(shù)得分A190194B181191C182094（1）由表格知，不答一題得______分，答錯一題扣______分．（2）某參賽者D答錯題數(shù)比不答題數(shù)的2倍多1題，最后得分為64分，他答對幾道題？（3）在前10道題中，參賽者E答對8題，1題放棄不答，1題答錯，則后面10題中，至少要答對幾題才有可能使最后得分不低于79分？為什么？【變式4-3】（2014秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期中）在我市舉行的中學(xué)生安全知識競賽中共有20道題．每一題答對得5分，答錯或不答都扣3分．（1）小李考了60分，那么小李答對了多少道題？（2）小王獲得二等獎（75～85分），請你算算小王答對了幾道題？【題型5古代問題】【例5】（2023·湖南長沙·?？既＃┪覈鴤鹘y(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩．問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子．問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)以上譯文，提出以下兩個問題：(1)求每頭牛、羊各值多少兩銀子？(2)若某商人準備用50兩銀子買牛和羊共20只，要求羊的數(shù)目不超過牛的數(shù)目的兩倍，且銀兩可以有剩余，請問商人有幾種購買方法？列出所有可能的購買方案．【變式5-1】（2023秋·四川綿陽·八年級校聯(lián)考開學(xué)考試）圍棋，起源于中國，古代稱為“弈”，是棋類鼻祖，圍棋距今已有4000多年的歷史．中國象棋也是中華民族的文化瑰寶，它源遠流長，趣味濃厚，基本規(guī)則簡明易懂．某學(xué)校為活躍學(xué)生課余生活，欲購買一批象棋和圍棋．已知購買4副象棋和4副圍棋共需220元，購買5副象棋和3副圍棋共需215元．(1)求象棋和圍棋的單價；(2)學(xué)校準備購買象棋和圍棋總共120副，圍棋的數(shù)量不少于40副，且不多于象棋數(shù)量，總費用可以是3500元嗎？【變式5-2】（2023春·福建龍巖·八年級?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十二兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了12兩（袋子重量忽略不計）．問：（1）黃金、白銀每枚各重多少兩？（2）現(xiàn)有一袋黃金和白銀共重759兩，總數(shù)不超過25枚．請你算算黃金、白銀各有多少枚？【變式5-3】（2023春·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”譯文：有若干只雞與兔在同一個籠子里，從上面數(shù)有35個頭，從下面數(shù)有94只腳，問籠中各有幾只雞和幾只兔？根據(jù)以上譯文，回答以下問題：(1)籠中雞、兔各有多少只？(2)若還是94只腳，但不知道頭多少個，籠中雞兔至少30只且不超過32只．雞每只值80元，兔每只值60元，問這籠雞兔最多值多少元？最少值多少元？【題型6方案問題】【例6】（2023春·陜西西安·八年級統(tǒng)考期末）在疫情期間，某物業(yè)公司為醫(yī)護人員購買男、女兩種型號防護服，已知3件男型防護服與4件女型防護服的費用相同，5件男型防護服與4件女型防護服共需1600元．(1)求男、女兩種型號防護服的單價；(2)已知男醫(yī)護人員比女醫(yī)護人員多4人，且醫(yī)護人員總數(shù)至少22人，物業(yè)公司經(jīng)理計劃用5000元購買兩種型號防護服，則有幾種購買方案？怎樣購買才能使所需費用最低？【變式6-1】（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）全球賴氏的精神家園、中原“根親文化”的示范性工—古賴國文化園坐落在河南省三大歷史名鎮(zhèn)之一的息縣包信鎮(zhèn)，近些年世界各地賴氏宗親都會到河南息縣參加賴氏祭祖活動．為使活動更有意義，舉辦方?jīng)Q定購買甲、乙兩種品牌的文化衫，已知購買4件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需230元；購買8件甲品牌文化衫和6件乙品牌文化衫需530元．（1）求甲、乙兩種品牌文化衫的單價；（2）根據(jù)需要，舉辦方?jīng)Q定購買兩種品牌的文化衫共2000件，且甲品牌文化衫的件數(shù)超過乙品牌文化衫件數(shù)的2倍．請你設(shè)計出最省錢的購買方案，并說明理由．【變式6-2】（2023春·吉林長春·八年級?？计谥校榱吮３稚攀称胶?，建議合理控制學(xué)生的肉類攝入量．學(xué)校午餐有A，B兩種套餐，小明發(fā)現(xiàn)1份A套餐和1份B套餐共含肉類145克，2份A套餐和3份B套餐共含肉類350克．套餐主食（克）肉類（克）其他（克）A150x165B140y160(1)求表格中x，y的值；(2)如果在一周里，學(xué)生午餐主食攝入總量不得超過720克，那么某同學(xué)在一周里可以選擇A，B套餐各幾天？寫出所有的方案．（說明：一周按5天計算，每餐只選一種套餐．）【變式6-3】（2023春·河北石家莊·八年級?？计谀?022年2月4日，北京冬奧會開幕式盛大隆重，冰墩墩和雪容融也受到世界人民的喜愛．某班計劃團購這兩種紀念品，已知購買1個冰墩墩和4個雪容融需540元，購買5個冰墩墩和2個雪容融需900元．(1)求1個冰墩墩和1個雪容融的價格分別為多少元？(2)該班計劃購買冰墩墩和雪容融共40個，其中雪容融的數(shù)量不超過冰墩墩數(shù)量的4倍，且總費用不超過4400元，問共有幾種購買方案？【題型7數(shù)字問題】【例7】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）閱讀理解：對任意一個兩位數(shù)ab，如果滿足個位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個兩位數(shù)為“互異數(shù)”．將一個“互異數(shù)”的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后得到一個新的兩位數(shù)，把這個新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記為fab例如：ab=12，對調(diào)個位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)21，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為21+12=33，和與11的商為33÷11=3，所以f問題呈現(xiàn)：填空：①下列兩位數(shù)：30，31，33中，“互異數(shù)”為______．②計算：f23=______，數(shù)學(xué)思考：如果一個“互異數(shù)”b的十位數(shù)字是k，個位數(shù)字是2k+1，且fb=11問題解決：如果一個“互異數(shù)”m的十位數(shù)字是x，個位數(shù)字是x?4，另一個“互異數(shù)”n的十位數(shù)字是x?5，個位數(shù)字是2，且滿足fm?fn【變式7-1】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）一個兩位數(shù)，其十位上數(shù)字與個位上數(shù)字之和等于9，且十位上數(shù)字與個位上數(shù)字都不為0．若將其十位上數(shù)字與個位上數(shù)字調(diào)換，所得新數(shù)小于原來數(shù)的12【變式7-2】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）將1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這個10個自然數(shù)填到圖中的10個格子里，每個格子中只填一個數(shù)，使得田字形的4個格子中所填數(shù)字之和都等于m．則m的最大值是（

）A．23 B．24 C．25 D．26【變式7-3】（2023春·重慶榮昌·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：一個四位自然數(shù)各位數(shù)字不同且不為0，若它滿足千位數(shù)字與個位數(shù)字之和等于百位數(shù)字與十位數(shù)字之和，我們稱這個四位自然數(shù)為“雙城數(shù)”．比如8631，各位數(shù)字均不為0且不相同，8+1＝6+3，所以8631是“雙城數(shù)”．(1)請判斷5724，6532是否是“雙城數(shù)”，并寫出判斷過程；(2)一個“雙城數(shù)”A千位數(shù)字為2，百位數(shù)字為m，個位數(shù)字為n，若A的各位數(shù)字之和恰為7的倍數(shù)，求所有滿足題意的“雙城數(shù)”【題型8幾何圖形問題】【例8】（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期末）王聰和張明分別要把兩塊邊長都為60cm的正方形薄鋼片制作成兩個無蓋的長方形盒子(不計粘合部分)．（1）王聰首先在薄鋼片的四個角截去邊長為10cm的四個相同的小正方形(如圖①)，然后把四邊折合粘在一起，便得到甲種盒子，則甲種盒子的底面邊長為cm．（2）張明截去兩角后(如圖②)，沿虛線折合粘在一起，便得到乙種盒子(如圖③)．已知乙種盒子底面的長AB是寬BC的2倍，求乙種盒子底面的長和寬．（3）現(xiàn)將一定量的水注入甲種盒子，當甲種盒子注水高度至少為多少時，再倒入乙種盒子后可以將乙種盒子注滿．【變式8-1】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，“開心”農(nóng)場準備用50m的護欄圍成一塊靠墻的長方形花園，設(shè)長方形花園的長為am，寬為(1)寫出用b表示a的式子a=______．當a=20時，求b的值；(2)受場地條件的限制，a的取值范圍為18≤a≤26，求b的取值范圍．【變式8-2】（2023秋·天津河北·八年級統(tǒng)考期中）如圖1所示，在一個長方形廣場的四角都設(shè)計一塊半徑相同的四分之一圓形的花壇．若廣場的長為m米，寬為n米，圓形的半徑為r米．（1）列式表示廣場空地的面積．（2）若廣場的長為300米，寬為200米，圓形的半徑為30米，求廣場空地的面積（計算結(jié)果保留π）．（3）如圖2所示，在（2）的條件下，若在廣場的中間再建一個半徑為R的圓形花壇，使廣場的空地面積不少于廣場總面積的23，求R【變式8-3】（2023春·江蘇淮安·八年級校考期末）將長為6，寬為a（a大于3且小于6）的長方形紙片按如圖①所示的方式折疊并壓平，剪下一個邊長等于長方形寬的正方形，稱為第一次操作；再把剩下的長方形按如圖②所示的方式折疊并壓平，剪下邊長等于此時長方形寬的正方形，稱為第二次操作；如此反復(fù)操作下去…若在第n次操作后，剩下的長方形恰為正方形，則操作終止．當n=3時，a的值為．

專題2.4一元一次不等式(組)的應(yīng)用【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1工程問題】 1【題型2銷售問題】 5【題型3行程問題】 9【題型4得分問題】 12【題型5古代問題】 15【題型6方案問題】 19【題型7數(shù)字問題】 24【題型8幾何圖形問題】 28【題型1工程問題】【例1】（2023春·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期末）2022年9月28日上午，伴隨著盾構(gòu)機隆隆轟鳴聲，南寧市軌道交通4號線“五象火車站一清平坡站”區(qū)間盾構(gòu)順利始發(fā)，標志著4號線續(xù)建工程正式進入?yún)^(qū)間據(jù)進施工階段，待此次工程建設(shè)完工后，將實現(xiàn)4號線全線貫通運營，目前，地鐵4號線續(xù)建工程正在有序進行施工，工地現(xiàn)有大量的泥土需要運輸，某車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛滿載運輸一次可以運輸110噸泥土．(1)求該車隊有載重量8噸、10噸的卡車各多少輛？(2)隨著工程的進展，該車隊需要一次運輸泥土不低于163噸，為了完成任務(wù)，該車隊準備再購進這兩種卡車共6輛，則最多購進載重量為8噸的卡車多少輛？【答案】(1)該車隊有載重量為8噸的卡車5輛，載重量為10噸的卡車7輛；(2)3輛．【分析】（1）設(shè)該車隊有載重量為8噸的卡車x輛，載重量為10噸的卡車y輛，根據(jù)“該車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛滿載運輸一次可以運輸110噸泥土”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)再次購進載重量為8噸的卡車m輛，則再次購進載重量為10噸的卡車6?m輛，根據(jù)該車隊需要一次運輸泥土不低于163噸，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)該車隊有載重量為8噸的卡車x輛，載重量為10噸的卡車y輛，根據(jù)題意得：x+y=128x+10y=110解得：x=5y=7答：該車隊有載重量為8噸的卡車5輛，載重量為10噸的卡車7輛；（2）解：設(shè)再次購進載重量為8噸的卡車m輛，則再次購進載重量為10噸的卡車6?m輛，根據(jù)題意得：110+8m+10(6?m)≥163，解得：m≤7又∵m為正整數(shù)，∴m的最大值為3．答：最多購進載重量為8噸的卡車3輛．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【變式1-1】（2023春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）為了改善山東的交通，我省修建了魯南高鐵，其中魯南高鐵臨沂段已于2019年11月26日開通運營．開通后的魯南高鐵臨沂到日照段比運行的鐵路線全長縮短了40千米，運行時間為30分鐘，某次臨沂到日照火車需要150分鐘，平均速度是開通后的高鐵的725(1)求臨沂段高鐵臨沂段鐵路全長各為多少千米？(2)已知修建臨沂段高鐵時，有甲、乙兩個工程隊同時施工，甲每天施工1.4千米，乙每天施工1千米，計劃40天完成，施工5天后，工程指揮部要求甲工程隊提高工效，以確保整個工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程隊后期每天至少施工多少千米？【答案】(1)臨沂段高鐵全長為100千米，臨沂段鐵路全長為140千米；(2)甲工程隊后期每天至少施工74【分析】（1）設(shè)高鐵的平均速度為x千米/分鐘，則臨沂到日照火車的平均速度為725x千米/分鐘，根據(jù)“路程=速度（2）設(shè)甲工程隊后期每天施工x千米，根據(jù)“確保整個工程提早3天以上（含3天）完成”列不等式，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)高鐵的平均速度為x千米/分鐘，則臨沂到日照火車的平均速度為725由題意得：150×7解得x=10則30×103=100答：臨沂段高鐵全長為100千米，臨沂段鐵路全長為140千米；（2）設(shè)甲工程隊后期每天施工x千米，由題意得：1.4×5+40?5?3解得：x≥7答：甲工程隊后期每天至少施工74【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，正確建立方程和不等式是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）政府計劃為某村修建一條長為1000米的公路，由甲、乙兩個工程隊負責施工．已知若甲工程隊獨立施工5天后，乙工程隊再加入，兩工程隊聯(lián)合施工8天后，還剩30米的工程．甲工程隊工作2天比乙工程隊工作3天少施工20米．(1)求甲、乙兩工程隊每天各施工多少米？(2)現(xiàn)計劃由兩工程隊聯(lián)合施工完成該工程，兩工程隊聯(lián)合施工4天后，因甲隊有事，剩下的部分由乙工程隊獨立完成，若要在12天內(nèi)完成該項工程，則乙工程隊每天至少應(yīng)再多施工多少米？【答案】(1)甲、乙兩工程隊每天各施工50米和40米(2)乙工程隊每天至少應(yīng)再多施工40米【分析】（1）設(shè)甲、乙兩工程隊每天各施工x米和y米，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可求解；（2）設(shè)乙工程隊每天應(yīng)再多施工a米，根據(jù)題意列出不等式，可求解；【詳解】（1）解：設(shè)甲、乙兩工程隊每天各施工x米和y米，由題意得：5x+8x+y解得：x=50y=40答：甲、乙兩工程隊每天各施工50米和40米．（2）解：設(shè)乙工程隊每天應(yīng)再多施工a米，由題意得：450+40解得a≥40，答：乙工程隊每天至少應(yīng)再多施工40米．【點睛】本題考查了二元一次方程組與一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意并列出方程組或不等式是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期末）我市張壩桂圓林景區(qū)公園是瀘州人民的城市花園之一，為了給大家創(chuàng)建更優(yōu)美的休閑環(huán)境，市園林局利用景區(qū)濱江路臨水區(qū)恰好位于長江流域的資源建造一個露天游泳池，工程需要運送大量的沙土．“興瀘”公司有載重量分別為8噸和10噸的A、B兩種卡車共12輛，這12輛卡車每次能運送沙土110噸．(1)這12輛A、B兩種卡車各有多少輛？(2)因計劃改變，需要每次運送沙土至少165噸，為按時完成任務(wù)，“興瀘”公司還需要外租6輛A、B兩種卡車（每種車至少一輛），請寫出租用方案．【答案】(1)A種卡車有5輛，B種卡車有7輛(2)共有2種租用方案，方案1：租用A種卡車1輛，B種卡車5輛；方案2：租用A種卡車2輛，B種卡車4輛【分析】（1）設(shè)A種卡車有x輛，B種卡車有y輛，根據(jù)“8噸和10噸的A、B兩種卡車共12輛，且這12輛卡車每次能運送沙土110噸”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)租用A種卡車m輛，則租用B種卡車（6-m）輛，根據(jù)每次運送沙土至少165噸，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為正整數(shù)，即可得出各租用方案．（1）解：設(shè)A種卡車有x輛，B種卡車有y輛，由題意得：x+y=128x+10y=110解得：x=5y=7答：A種卡車有5輛，B種卡車有7輛．（2）設(shè)租用A種卡車m輛，則租用B種卡車（6-m）輛，依題意得：110+8m+10（6-m）≥165，解得：m≤52又∵m為正整數(shù)，∴m可以為1，2，∴共有2種租用方案，方案1：租用A種卡車1輛，B種卡車5輛；方案2：租用A種卡車2輛，B種卡車4輛．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【題型2銷售問題】【例2】（2023春·福建寧德·八年級校考期中）某校組織師生研學(xué)，若單獨租用45座的客車若干輛，則剛好坐滿；若單獨租用60座的客車．則可以少租一輛，且余30個空位．(1)求該校參加春游的人數(shù)；(2)該校決定這次春游同時租用這兩種車，其中60座客車比45座客車多租一輛，這樣比單獨租用一輛節(jié)省租金．已知45座客車每輛租金250元，60座客車每輛租金為300元．請你幫助設(shè)計本次春游所需車輛的租金．．【答案】(1)270人(2)1400元【分析】（1）先設(shè)租用45座客車x輛，利用人數(shù)不變，可列出一元一次方程，求出車的輛數(shù)，再乘以45就是人數(shù)．（2）可根據(jù)租用兩種汽車時，租用45座客車的費用+租用60座客車的費用<單獨租用一種客車的費用，依此可列出不等式組，求出租用車輛的大致范圍，然后根據(jù)60座客車比45座客車多租1輛，來判斷出兩種車各有多少輛進而求出租金的費用．【詳解】（1）解：設(shè)租用x輛45座的客車，依題意得45x=60(x?1)?30，解得x=6．6×45=270人．答：該校參加春游的人數(shù)為270人．（2）解：設(shè)租用y輛45座的客車，依題意得45y+60(y+1)≥270250y+300(y+1)<6×250解不等式組得2≤y<24所以該校租用2輛45座的客車，3輛60座的客車．2×250+3×300=1400元．答：按這種方案需要租金1400元．【點睛】本題考查了一元一次方程和一元一次不等式組的實際應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，關(guān)鍵知道60座客車比45座客車多租1輛，租金比單獨一種客車要節(jié)省，進而找到所求的量的等量關(guān)系．【變式2-1】（2023春·福建漳州·八年級?？计谥校轫憫?yīng)陽光體育運動的號召，學(xué)校決定從體育用品商店購買一批籃球和足球，按標價若購買2個籃球和3個足球需600元，若購買3個籃球和1個足球需550元．(1)求籃球、足球每個分別是多少元？(2)由于購買數(shù)量較多，商店決定給予一定的優(yōu)惠，籃球每個優(yōu)惠20%，足球每個優(yōu)惠10【答案】(1)籃球、足球每個分別是150元，100元(2)購買籃球至多是30個【分析】（1）設(shè)籃球、足球每個分別是x元，y元，根據(jù)購買2個籃球和3個足球需600元，若購買3個籃球和1個足球需550元列出方程組求解即可；（2）設(shè)購買籃球m個，則購買足球40?m個，根據(jù)購買費用不超過4500元列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)籃球、足球每個分別是x元，y元，由題意得，2x+3y=6003x+y=550解得x=150y=100∴籃球、足球每個分別是150元，100元；（2）解：設(shè)購買籃球m個，則購買足球40?m個，由題意得，150×1?20解得m≤30，∴m的最大值為30，∴購買籃球至多是30個．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，正確理解題意列出方程組和不等式是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·云南楚雄·八年級統(tǒng)考期末）隨著“云品入滬”工程的深入實施，為云南特色農(nóng)產(chǎn)品(簡稱云品)開拓了廣闊市場．某農(nóng)戶要將規(guī)格相同的80件云品運往A，B兩蔬菜產(chǎn)銷對接基地，各地的運費如表所示：銷售地A地B地運費(元/件)206(1)若運往A，B兩地的總運費為760元，分別求出運往A、B兩地云品的件數(shù)；(2)若此農(nóng)戶運往兩地的總運費不超過800元，求最多可運往A地的云品的件數(shù)．【答案】(1)運往A地20件，運往B地的蔬菜為60件(2)最多可運往A地的云品的件數(shù)為22件【分析】（1）根據(jù)總運費等于760，列方程求解；（2）根據(jù)總運費不超過800，列不等式求解．【詳解】（1）設(shè)運往A地x件，則運往B地的蔬菜為(80?x)件，由題意得：20x+6(80?x)=760，解得：x=20，∴80?x=60，∴運往A地20件，運往B地的蔬菜為60件；（2）設(shè)運往A地x件，則運往B地的蔬菜為(80?x)件，由題意得：20x+6(80?x)≤800，解得：x≤226∴x的最大整數(shù)解為22，∴最多可運往A地的云品的件數(shù)為22件．【點睛】本題考查了一元一次方程（不等式）的應(yīng)用，理解題意列方程或不等式是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·云南臨滄·八年級統(tǒng)考期末）2023年五一假期期間，全國各地的游客大量涌入云南，頗具云南特色的裝飾物品備受游客青睞．某特色飾品店的王老板立即購進兩類特色飾品進行售賣．已知王老板用310元可以購進4件A類飾品和5件B類飾品；用540元可以購進6件A類飾品和10件B類飾品．(1)求A、B兩類飾品的進貨單價．(2)已知A類飾品的銷售單價為50元，B類飾品的銷售單價為35元．若王老板購進A、B兩類飾品共100件，進貨總費用不超過3220元，且銷售總額超過3785元，王老板有幾種進貨方案？哪種方案的總利潤最高？總利潤最高是多少錢？【答案】(1)A類飾品的進貨單價為40元，B類飾品的進貨單價為30元(2)王老板有三種進貨方案，其中A類飾品進22件，則B類飾品進78件時總利潤最高，總利潤最高為610元【分析】（1）設(shè)A類飾品的進貨單價為x元，B類飾品的進貨單價為y元，根據(jù)題意列二元一次方程組求解，即可得到答案；（2）設(shè)A類飾品進m件，則B類飾品進100?m件，總利潤為w元，根據(jù)題意列一元一次不等式組求解，得出m的整數(shù)解，再分別代入計算求出利潤進行比較，即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)A類飾品的進貨單價為x元，B類飾品的進貨單價為y元，由題意可得：4x+5y=3106x+10y=540解得x=40y=30答：A類飾品的進貨單價為40元，B類飾品的進貨單價為30元；（2）解：設(shè)A類飾品進m件，則B類飾品進100?m件，總利潤為w元，由題意可得：40m+30100?m解得：19<m≤22，由題意可知，m為整數(shù)，∴m可取20、21、22，∴王老板有3種進貨方案，分別為：方案①：A類飾品進20件，則B類飾品進80件，此時w=50?40方案②：A類飾品進21件，則B類飾品進79件，此時w=50?40方案③：A類飾品進22件，則B類飾品進78件，此時w=50?40綜上所述，王老板有三種進貨方案，其中A類飾品進22件，則B類飾品進78件時，總利潤最高，總利潤最高為610元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運算，根據(jù)題意正確列出二元一次方程組和一元一次不等式組是解題關(guān)鍵．【題型3行程問題】【例3】（2023春·吉林四平·八年級統(tǒng)考期末）星期天，小明騎自行車去姥姥家，速度為每小時12km【答案】小明的爸爸至少以48km【分析】先設(shè)小明爸爸的速度為xkm【詳解】解：設(shè)小明爸爸的速度為xkm2060解得x≥48．故小明的爸爸至少以48km【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式，關(guān)鍵在于弄清題意，找出不等關(guān)系：小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程．【變式3-1】（2023春·安徽·八年級統(tǒng)考期中）某車間有3個小組計劃在10天內(nèi)生產(chǎn)500件產(chǎn)品(每天每個小組生產(chǎn)量相同)，按原先的生產(chǎn)速度，不能完成任務(wù)，如果每個小組每天比原先多生產(chǎn)1件產(chǎn)品，就能提前完成任務(wù)，請問每個小組原先每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品．(結(jié)果取整數(shù))【答案】16件【分析】首先設(shè)小組原先生產(chǎn)x件產(chǎn)品，根據(jù)“不能完成任務(wù)”“提前完成任務(wù)”列出不等式組，解不等式組，根據(jù)x是整數(shù)可得出x的值．【詳解】解：設(shè)每個小組原先每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品，3×10?x<5003×10(x+1)>500解得473因為x整數(shù)，所以x=16．【點睛】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用．【變式3-2】（2023春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）某核酸檢測點開始檢測時，已經(jīng)有a名居民在排隊等候檢測．檢測開始后，仍有居民繼續(xù)前來排隊檢測，設(shè)居民按m人/分鐘的速度增加，每個窗口的檢測速度為n人/分鐘．若開放一個檢測窗口，則需要25分鐘將排隊等候檢測的居民全部檢測完畢；若同時開放兩個檢測窗口，則需要10分鐘將排隊等候檢測的居民全部檢測完畢．(1)若a=100，求m和n的值；(2)根據(jù)（1）的結(jié)果猜想m與n的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如果要在5分鐘內(nèi)將排隊等候檢測的居民全部檢測完畢，以便后來的居民能隨到隨檢，則至少要同時開放幾個檢測窗口？【答案】(1)m=2(2)n=3m，理由見解析(3)至少要同時開放4個檢測窗口【分析】（1）根據(jù)等量關(guān)系：居民總數(shù)=所有窗口檢測總?cè)藬?shù)，列方程計算即可；（2）當a為任意值時，根據(jù)等量關(guān)系：居民總數(shù)=所有窗口檢測總?cè)藬?shù)，列方程計算即可；（3）設(shè)開放x個窗口，根據(jù)不等關(guān)系：5分鐘總居民人數(shù)≤x個窗口5分鐘檢測人數(shù)，列不等式求解即可．【詳解】（1）解：若a=100，由題意得：100解得：m=2n=6（2）解：n=3m，理由如下：由題意得：a由①?②得：（3）解：設(shè)開放x個窗口，由題意得：a+5m≤5xn，由（2）可得a=25n?25m=50m，∴50m+5m≤5x?3m，∵m>0，∴解得：x≥∴至少要同時開放4個檢測窗口．【點睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的等量關(guān)系和不等關(guān)系式：居民總數(shù)=所有窗口檢測總數(shù)．難點是需要考慮的變量比較多．【變式3-3】（2023春·重慶永川·八年級統(tǒng)考期末）甲、乙兩人共同設(shè)計了一條從A地到B地，B地到C地，C地到D地的路線．某一天上午10點，甲騎自行車從A地出發(fā)，沿該路線勻速行駛40千米后恰好到達B地，到達B地的時間是當天中午12點，在B地原地休息30分鐘后，以原來的速度沿該路線勻速行駛40千米后恰好到達C地，到達C地后立即以原來的速度按原行駛路線勻速行駛返回A地．在甲出發(fā)x小時后，乙開小汽車從A地出發(fā)，沿該路線勻速行駛直接到達C地，到達C地后立即沿該路線勻速行駛5千米恰好到達D地，在D地休息y小時后，立即以原來的速度按原行駛路線勻速行駛返回A地．已知在行駛的過程中，乙的速度是甲的3倍．(1)求甲、乙兩人行駛的速度；(2)在甲從B地到C地的行駛過程中，若乙與甲第一次相遇，且相遇地點不與B地和C地重合，求x的取值范圍；(3)當x=3時，甲、乙兩人能否在B地與C地之間（不包括B地與C地）相遇2次？如果能，請求出y的取值范圍，如果不能，請說明理由．【答案】(1)甲行駛的速度是20千米/時，乙行駛的速度是60千米/時(2)11(3)當x=3時，甲、乙兩人能在B地與C地之間（不包括B地與C地）相遇2次，所求y的取值范圍是0≤y<【分析】（1）根據(jù)甲的路程和時間求出速度，從而得到乙的速度；（2）根據(jù)題意列出不等式組，解之可得x的范圍；（3）分若乙與甲第二次相遇時還在甲從B地到C地的行駛過程中，若乙與甲第二次相遇時是在甲從C地返回B地的行駛過程中，兩種情況，列出不等式組，根據(jù)解集即可得解．【詳解】（1）解：由題意，知甲從A地到B地用了2小時，行程是40千米，∴甲行駛的速度是402=20∵乙的速度是甲的3倍，∴乙行駛的速度是20×3=60（千米/時）．答：甲行駛的速度是20千米/時，乙行駛的速度是60千米/時．（2）由題意，得x+40解之，得116答：所求x的取值范圍是116（3）∵116∴由（2）可知，當x=3時，在甲從B地到C地的行駛過程中，乙與甲第一次相遇．

若乙與甲第二次相遇時還在甲從B地到C地的行駛過程中，則3+8060+5若乙與甲第二次相遇時是在甲從C地返回B地的行駛過程中，則有3+80解之，得0≤y<4答：當x=3時，甲、乙兩人能在B地與C地之間（不包括B地與C地）相遇2次，所求y的取值范圍是0≤y<4【點睛】本題考查了一元一次不等式組的實際應(yīng)用，題中條件較多，要仔細理解題干，抽象出不等式組．【題型4得分問題】【例4】（2023春·吉林長春·八年級校聯(lián)考期末）一次智力測驗，共設(shè)20道選擇題，評分標準為：對1題得a分，答錯或不答1題扣b分.下表記錄了2名參賽學(xué)生的得分情況.參賽學(xué)生答對題數(shù)答錯或不答題數(shù)得分甲18288乙101040（1）若參賽學(xué)生小亮只答對了16道選擇題，則小亮的得分是多少？（2）參賽學(xué)生至少要答（

）道題，總分才不會低于60分.【答案】（1）小亮的得分是76分.;（2）14.【分析】根據(jù)題意，有18a?2b=8810a?10b=40設(shè)小明答對x道題，根據(jù)總分不低于60分列出一元一次不等式即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，有18a?2b=88解這個方程組，得：a=516×5?(20?16)=76答：小亮的得分是76分.（2）設(shè)小明答對x道題，根據(jù)題意可得5x-2（20-2-x）≥60解得：x≥1357因為x是整數(shù)，所以x所取最小值為14，【點睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用及二元一次方程組的應(yīng)用，找出關(guān)系式列出式子是解題的關(guān)鍵.【變式4-1】（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校┠炒沃R競賽共有20道題，答對一題得10分，答錯或不答均扣5分，小玉得分超過95分，他至少要答對道題．【答案】14【分析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的不等式，從而可以求得x的取值范圍，由于x是整數(shù)，從而可以解答本題．【詳解】解：設(shè)小玉答對了x道題，10x?5解得，x>13∴小玉至少答對14道，故答案為：14．【點睛】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的一元一次不等式．【變式4-2】（2023春·山西臨汾·八年級校聯(lián)考期中）某電視臺組織學(xué)習(xí)黨史知識競賽，共設(shè)20道選擇題，各題分值相同，答對一題得5分，可以選擇不答，下表記錄的是3名參賽者的得分情況．參賽者答對題數(shù)不答題數(shù)答錯題數(shù)得分A190194B181191C182094（1）由表格知，不答一題得______分，答錯一題扣______分．（2）某參賽者D答錯題數(shù)比不答題數(shù)的2倍多1題，最后得分為64分，他答對幾道題？（3）在前10道題中，參賽者E答對8題，1題放棄不答，1題答錯，則后面10題中，至少要答對幾題才有可能使最后得分不低于79分？為什么？【答案】（1）2，1；（2）13道；（3）6道，理由見解析【分析】（1）根據(jù)C和A的數(shù)據(jù)求解即可；（2）設(shè)該選手不答題數(shù)為x，列出方程求解即可；（3）設(shè)后10道題答對y道題，列出不等式計算即可；【詳解】解：（1）由C可知，不答一題的得分為：94?18×5÷2=由A可知，答錯一題的得分為：94?19×5÷1=故答案是：2，1；（2）設(shè)該選手不答題數(shù)為x，∴則答錯題數(shù)為2x+1，∴答對題數(shù)為20?x?2x+1∴519?3x解得：x=2，∴答對題數(shù)=19?3×2=13；（3）前10道題得分為：5×8+2?1=40+2?1=41分，設(shè)后10道題答對y道題，則，5y+210?y解得：y≥6，∴至少要答對6題才有可能使最后得分不低于79分．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，準確計算是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2014秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期中）在我市舉行的中學(xué)生安全知識競賽中共有20道題．每一題答對得5分，答錯或不答都扣3分．（1）小李考了60分，那么小李答對了多少道題？（2）小王獲得二等獎（75～85分），請你算算小王答對了幾道題？【答案】（1）小李答對了16道題；（2）小王答對了17道題或18道題．【詳解】試題分析：（1）設(shè)小李答對了x道題，則有（20﹣x）道題答錯或不答，根據(jù)答對題目的得分減去答錯或不答題目的扣分是60分，即可得到一個關(guān)于x的方程，解方程即可；（2）先設(shè)小王答對了y道題，根據(jù)二等獎在75分～85分之間，列出不等式組，求出y的取值范圍，再根據(jù)y只能取正整數(shù)，即可．試題解析：（1）設(shè)小李答對了x道題．依題意得5x﹣3（20﹣x）=60．解得x=15．答：小李答對了16道題；（2）設(shè)小王答對了y道題，依題意得：{5y?3(20?y)≥75解得：1358≤y≤145∵y是正整數(shù)，∴y=17或18，答：小王答對了17道題或18道題．考點：1.一元一次不等式組的應(yīng)用2.一元一次方程的應(yīng)用．【題型5古代問題】【例5】（2023·湖南長沙·?？既＃┪覈鴤鹘y(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩．問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子．問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)以上譯文，提出以下兩個問題：(1)求每頭牛、羊各值多少兩銀子？(2)若某商人準備用50兩銀子買牛和羊共20只，要求羊的數(shù)目不超過牛的數(shù)目的兩倍，且銀兩可以有剩余，請問商人有幾種購買方法？列出所有可能的購買方案．【答案】(1)每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子．(2)共有4種購買方法，方案1：購買10頭牛，10只羊；方案2：購買9頭牛，11只羊；方案3：購買8頭牛，12只羊；方案4：購買7頭牛，13只羊．【分析】（1）設(shè)每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，根據(jù)“5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買m頭牛，則購買(20?m)只羊，利用羊的數(shù)目不超過牛的數(shù)目的兩倍，且銀兩可以有剩余，列出關(guān)于m的不等式組，結(jié)合m為正整數(shù)，即可得出各購買方案．【詳解】（1）解：設(shè)每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，依題意得：5x+2y=192x+5y=16解得：x=3y=2答：每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子；（2）解：設(shè)購買m頭牛，則購買(20?m)只羊，依題意得：20?m≤2m3m+2(20?m)≤50解得：203∵m為整數(shù)，∴有4種方案：①購買7頭牛，購買13只羊；②購買8頭牛，購買12只羊；③購買9頭牛，購買11只羊；④購買10頭牛，購買10只羊．【點睛】本題考查了二元一次方程組及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細審題，將實際問題轉(zhuǎn)化為方程思想求解．【變式5-1】（2023秋·四川綿陽·八年級校聯(lián)考開學(xué)考試）圍棋，起源于中國，古代稱為“弈”，是棋類鼻祖，圍棋距今已有4000多年的歷史．中國象棋也是中華民族的文化瑰寶，它源遠流長，趣味濃厚，基本規(guī)則簡明易懂．某學(xué)校為活躍學(xué)生課余生活，欲購買一批象棋和圍棋．已知購買4副象棋和4副圍棋共需220元，購買5副象棋和3副圍棋共需215元．(1)求象棋和圍棋的單價；(2)學(xué)校準備購買象棋和圍棋總共120副，圍棋的數(shù)量不少于40副，且不多于象棋數(shù)量，總費用可以是3500元嗎？【答案】(1)象棋的單價是25元，圍棋的單價是30元(2)總費用不能是3500元【分析】（1）設(shè)象棋單價是x元，圍棋的單價是y元，根據(jù)購買4副象棋和4副圍棋共需220元，購買5副象棋和3副圍棋共需215元列出方程組，解之即可；（2）設(shè)購買象棋m副，根據(jù)圍棋的數(shù)量不少于40副，且不多于象棋數(shù)量，列出不等式組，求出m的范圍，再根據(jù)總費用為3500元列出方程，解之，結(jié)合m的范圍即可判斷．【詳解】（1）解：設(shè)象棋單價是x元，圍棋的單價是y元，根據(jù)題意得4x+4y=2205x+3y=215解得x=25y=30答：象棋的單價是25元，圍棋的單價是30元．（2）設(shè)購買象棋m副，則購買圍棋120?m副，由題意得120?m≥40120?m≤m解得：0≤m≤80，令25m+30120?m解得m=20，不符合60≤m≤80，∴總費用不能是3500元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式以及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程（組）與不等式是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·福建龍巖·八年級?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十二兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了12兩（袋子重量忽略不計）．問：（1）黃金、白銀每枚各重多少兩？（2）現(xiàn)有一袋黃金和白銀共重759兩，總數(shù)不超過25枚．請你算算黃金、白銀各有多少枚？【答案】（1）每枚黃金重33兩，每枚白銀重27兩；（2）黃金有14枚，白銀有11枚【分析】（1）設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意，找到等量關(guān)系列方程、解方程即可．（2）設(shè)黃金有m枚，白銀有n枚，然后根據(jù)題意列出方程和不等式求解即可.【詳解】解：設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，由題意得：9x=11y(10y+x)?(8x+y)=12解得x=33y=27答：每枚黃金重33兩，每枚白銀重27兩；（2）設(shè)黃金有m枚，白銀有n枚，由題意得：33m+27n=759整理得m=759?27n∵m、n都是整數(shù)，∴23?9∴n=11或n=22，當n=22時，m=5不合題意，∴當n=11時，m=14，∴黃金有14枚，白銀有11枚，答：黃金有14枚，白銀有11枚.【點睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次方程和一元一次不等式的結(jié)合應(yīng)用，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”譯文：有若干只雞與兔在同一個籠子里，從上面數(shù)有35個頭，從下面數(shù)有94只腳，問籠中各有幾只雞和幾只兔？根據(jù)以上譯文，回答以下問題：(1)籠中雞、兔各有多少只？(2)若還是94只腳，但不知道頭多少個，籠中雞兔至少30只且不超過32只．雞每只值80元，兔每只值60元，問這籠雞兔最多值多少元？最少值多少元？【答案】(1)籠中雞有23只，兔有12只(2)這籠雞兔最多值2260元，最少值2060元【分析】（1）設(shè)籠中有x只雞，y只兔，根據(jù)上有35個頭、下有94只腳，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)籠中有m只雞，則兔有94?2m4【詳解】（1）解：（1）設(shè)籠中雞有x只，兔有y只，依題意得：x+y=352x+4y=94解得：x=23y=12答：籠中雞有23只，兔有12只；（2）設(shè)籠中雞有m只，則兔有94?2m4依題意得：m+94?2m解得：13≤m≤17.∵m為整數(shù)∴m=13、14、15、16、17①當m=13時，94?2m這籠雞兔共值80×13+60×17=2060（元）②當m=14時，94?2m此種情況不符合題意③當m=15時，94?2m這籠雞兔共值80×15+60×16=2160（元）④當m=16時，94?2m此種情況不符合題意⑤當m=17時，94?2m這籠雞兔共值80×17+60×15=2260（元）綜上所述，當m=13，m=15，m=17，符合實際意義答：這籠雞兔最多值2260元，最少值2060元.【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系列出方程不等式是解題的關(guān)鍵．【題型6方案問題】【例6】（2023春·陜西西安·八年級統(tǒng)考期末）在疫情期間，某物業(yè)公司為醫(yī)護人員購買男、女兩種型號防護服，已知3件男型防護服與4件女型防護服的費用相同，5件男型防護服與4件女型防護服共需1600元．(1)求男、女兩種型號防護服的單價；(2)已知男醫(yī)護人員比女醫(yī)護人員多4人，且醫(yī)護人員總數(shù)至少22人，物業(yè)公司經(jīng)理計劃用5000元購買兩種型號防護服，則有幾種購買方案？怎樣購買才能使所需費用最低？【答案】(1)男、女兩種型號防護服的單價分別為200元、150元(2)有4種購買方案：方案1：購買女種型號防護服9件，男種型號防護服13件；方案2：購買女種型號防護服10件，男種型號防護服14件；方案3∶購買女種型號防護服11件，男種型號防護服15件；方案4∶購買女種型號防護服12件，男種型號防護服16件；方案1：購買女種型號防護服9件，男種型號防護服13件所需費用低為3950元【分析】（1）設(shè)男、女兩種型號防護服的單價分別為x元、y元，根據(jù)3件男型防護服與4件女型防護服的費用相同，5件男型防護服與4件女型防護服共需1600元，列出方程組進行求解即可；（2）設(shè)購買女種型號防護服a件，則購買男種型號防護服a+4件，根據(jù)題意列出不等式組，求出a的正整數(shù)解，即可得出方案，求出每種方案的費用，進行比較即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)男、女兩種型號防護服的單價分別為x元、y元，由題意可得3x=4y,解得x=200,答：男、女兩種型號防護服的單價分別為200元、150元．（2）設(shè)購買女種型號防護服a件，則購買男種型號防護服a+4件，由題意可得a+解得9≤a≤12．∵a為整數(shù)：a=9、a+4=13、∴有4種購買方案：方案1：購買女種型號防護服9件，男種型號防護服13件．費用為：9×150+13×200=3950（元）；方案2：購買女種型號防護服10件，男種型號防護服14件．費用為：10×150+14×200=4300（元）；方案3：購買女種型號防護服11件，男種型號防護服15件．費用為：11×150+15×200=4650（元）；方案4：購買女種型號防護服12件，男種型號防護服16件．費用為：12×150+16×200=5000（元）∵3950<4300<4650<5000，∴方案1：購買女種型號防護服9件，男種型號防護服13件所需費用低為3950元．【點睛】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的實際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，正確的列出方程組和一元一次不等式組．【變式6-1】（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）全球賴氏的精神家園、中原“根親文化”的示范性工—古賴國文化園坐落在河南省三大歷史名鎮(zhèn)之一的息縣包信鎮(zhèn)，近些年世界各地賴氏宗親都會到河南息縣參加賴氏祭祖活動．為使活動更有意義，舉辦方?jīng)Q定購買甲、乙兩種品牌的文化衫，已知購買4件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需230元；購買8件甲品牌文化衫和6件乙品牌文化衫需530元．（1）求甲、乙兩種品牌文化衫的單價；（2）根據(jù)需要，舉辦方?jīng)Q定購買兩種品牌的文化衫共2000件，且甲品牌文化衫的件數(shù)超過乙品牌文化衫件數(shù)的2倍．請你設(shè)計出最省錢的購買方案，并說明理由．【答案】（1）甲種品牌文化衫的單價為40元，乙種品牌文化衫的單價為35元；（2）購買甲品牌文化衫1334件，乙品牌文化衫666件時，最省錢，見解析【分析】（1）設(shè)甲種品牌文化衫的單價為x元，乙種品牌文化衫的單價為y元，由題意：購買4件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需230元；購買8件甲品牌文化衫和6件乙品牌文化衫需530元．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設(shè)購買甲品牌文化衫m(xù)件，則購買乙品牌文化衫（2000﹣m）件，由題意：決定購買兩種品牌的文化衫共2000件，且甲品牌文化衫的件數(shù)超過乙品牌文化衫件數(shù)的2倍．列出一元一次不等式，解不等式，進而求解．【詳解】解：（1）設(shè)甲種品牌文化衫的單價為x元，乙種品牌文化衫的單價為y元，由題意得：4x+2y=2308x+6y=530解得：x=40y=35答：甲種品牌文化衫的單價為40元，乙種品牌文化衫的單價為35元；（2）設(shè)購買甲品牌文化衫m(xù)件，則購買乙品牌文化衫（2000﹣m）件，由題意得：m＞2（2000﹣m），解得：m＞13331∵甲品牌文化衫的單價大于乙品牌文化衫的單價，∴購買甲品牌文化衫的件數(shù)越少，越省錢，∴當m＝1334時，最省錢，此時2000﹣m＝666，答：購買甲品牌文化衫1334件，乙品牌文化衫666件時，最省錢．【點睛】此題考查二元一次方程的應(yīng)用和不等式的應(yīng)用，難度一般，找準關(guān)系式是關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·吉林長春·八年級?？计谥校榱吮３稚攀称胶?，建議合理控制學(xué)生的肉類攝入量．學(xué)校午餐有A，B兩種套餐，小明發(fā)現(xiàn)1份A套餐和1份B套餐共含肉類145克，2份A套餐和3份B套餐共含肉類350克．套餐主食（克）肉類（克）其他（克）A150x165B140y160(1)求表格中x，y的值；(2)如果在一周里，學(xué)生午餐主食攝入總量不得超過720克，那么某同學(xué)在一周里可以選擇A，B套餐各幾天？寫出所有的方案．（說明：一周按5天計算，每餐只選一種套餐．）【答案】(1)x=85(2)共有3種方案：A套餐0天，B套餐5天；A套餐1天，B套餐4天；A套餐2天，B套餐3天．【分析】（1）根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)選擇A套餐m天，則B套餐5?m天，根據(jù)題意列出一元一次不等式求解即可．【詳解】（1）根據(jù)題意可得，x+y=145解得x=85y=60（2）設(shè)選擇A套餐m天，則B套餐5?m天，根據(jù)題意可得，150m+140解得m≤2∵m為正整數(shù)，∴m的值可以為0，1，2∴共有3種方案：A套餐0天，B套餐5天；A套餐1天，B套餐4天；A套餐2天，B套餐3天．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系．【變式6-3】（2023春·河北石家莊·八年級校考期末）2022年2月4日，北京冬奧會開幕式盛大隆重，冰墩墩和雪容融也受到世界人民的喜愛．某班計劃團購這兩種紀念品，已知購買1個冰墩墩和4個雪容融需540元，購買5個冰墩墩和2個雪容融需900元．(1)求1個冰墩墩和1個雪容融的價格分別為多少元？(2)該班計劃購買冰墩墩和雪容融共40個，其中雪容融的數(shù)量不超過冰墩墩數(shù)量的4倍，且總費用不超過4400元，問共有幾種購買方案？【答案】(1)1個冰墩墩的價格為140元，1個雪容融的價格為100元(2)共有三種購買方案【分析】（1）設(shè)1個冰墩墩的價格為x元，1個雪容融的價格為y元，利用總價＝單價×數(shù)量，根據(jù)：購買1個冰墩墩和4個雪容融需540元，購買5個冰墩墩和2個雪容融需900元，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買a個冰墩墩，則購買40?a個雪容融，利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合總價不超過4400元，雪容融的數(shù)量不超過冰墩墩數(shù)量的4倍，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式式，解之即可得出a的取值范圍，再取其中的整數(shù)值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)1個冰墩墩的價格為x元，1個雪容融的價格為y元，根據(jù)題意，得：x+4y=5405x+2y=900解得：x=140y=100答：1個冰墩墩的價格為140元，1個雪容融的價格為100元；（2）設(shè)購買冰墩墩a個，則購買雪容融40?a個，根據(jù)題意，得：140a+10040?a解得：8≤a≤10，∵a為整數(shù)，∴a=8，9或10，∴共有三種購買方案．【點睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．【題型7數(shù)字問題】【例7】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）閱讀理解：對任意一個兩位數(shù)ab，如果滿足個位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個兩位數(shù)為“互異數(shù)”．將一個“互異數(shù)”的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后得到一個新的兩位數(shù)，把這個新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記為fab例如：ab=12，對調(diào)個位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)21，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為21+12=33，和與11的商為33÷11=3，所以f問題呈現(xiàn)：填空：①下列兩位數(shù)：30，31，33中，“互異數(shù)”為______．②計算：f23=______，數(shù)學(xué)思考：如果一個“互異數(shù)”b的十位數(shù)字是k，個位數(shù)字是2k+1，且fb=11問題解決：如果一個“互異數(shù)”m的十位數(shù)字是x，個位數(shù)字是x?4，另一個“互異數(shù)”n的十位數(shù)字是x?5，個位數(shù)字是2，且滿足fm?fn【答案】問題呈現(xiàn)①：31；②：5，m+n；數(shù)學(xué)思考：38；問題解決：6或8【分析】問題呈現(xiàn)：①由“互異數(shù)”定義可得；②根據(jù)定義計算即可；數(shù)學(xué)思考：由fmn=m+n得到k+2k+1=11，可求問題解決：根據(jù)題意列出不等式，求出5<x<9，且x為正整數(shù)，即可求出x的值．【詳解】解：問題呈現(xiàn)：①∵對任意一個兩位數(shù)ab，如果滿足個位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個兩位數(shù)為“互異數(shù)”，∴為“互異數(shù)”的是31，故答案為：31；②f23=23+32故答案為：5，m+n；數(shù)學(xué)思考：∵fmn=m+n，∴k+2k+1解得k=3，∴b=10×3+2×3+1問題解決：∵fm∴x+x?4?解得x<9，∵x?4>0,x?5>0，∴x>5，∴5<x<9，且x為正整數(shù)，∴x=6，7,8，當x=6時，m=62,n=12；當x=7時，m=73,n=22（不合題意，舍去）；當x=8時，m=84,n=32，綜上，x為6或8．【點睛】此題考查了新定義下的實數(shù)計算，一元一次不等式的應(yīng)用，解一元一次方程，能理解“互異數(shù)”定義是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）一個兩位數(shù)，其十位上數(shù)字與個位上數(shù)字之和等于9，且十位上數(shù)字與個位上數(shù)字都不為0．若將其十位上數(shù)字與個位上數(shù)字調(diào)換，所得新數(shù)小于原來數(shù)的12【答案】72或81【分析】設(shè)這個數(shù)十位上數(shù)字是x，則其個位上數(shù)字是9?x，這個數(shù)可表示為：10x+(9?x)；將十位上數(shù)字與個位上數(shù)字對調(diào)后所得新數(shù)可表示為：10(9?x)+x．依題意，得10(9?x)+x<12[【詳解】解：設(shè)這個數(shù)十位上數(shù)字是x，則其個位上數(shù)字是9?x，這個數(shù)可表示為：10x+(9?x)；將十位上數(shù)字與個位上數(shù)字對調(diào)后所得新數(shù)可表示為：10(9?x)+x．依題意，得10(9?x)+x<12[解這個不等式，得x>19∵十位上數(shù)字與個位上數(shù)字都不為0，∴x<9∴x整的整數(shù)值為5、6、7、8當x=5時，9?x=4，這個數(shù)為54，對調(diào)后所得數(shù)為45，45>1當x=6時，9?x=3，這個數(shù)是63，對調(diào)后所得數(shù)字為36，36>1當x=7時，9-x=2，這個數(shù)為72，十位上數(shù)字與個位上數(shù)字對調(diào)后所得數(shù)為27，27＜12當x=8時，9?x=1，這個數(shù)為81，十位上數(shù)字與個位上數(shù)字對調(diào)后所得數(shù)為18，18＜12∴這個兩位數(shù)是72或81．【點睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．【變式7-2】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）將1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這個10個自然數(shù)填到圖中的10個格子里，每個格子中只填一個數(shù)，使得田字形的4個格子中所填數(shù)字之和都等于m．則m的最大值是（

）A．23 B．24 C．25 D．26【答案】B【分析】圖形中有3個“田”字形，其中重疊的有兩個小格，設(shè)對應(yīng)的數(shù)為a、b，則a與b均被加了兩次，根據(jù)“田”字形的4個格子中所填數(shù)字之和都等于m，其總和為3m，根據(jù)3個“田”字形所填數(shù)的總和為1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+a+b=55+a+b，列出不等式，求整數(shù)解即可．【詳解】解：設(shè)每個“田”字格四個數(shù)的和為m，共12個數(shù)的和為3m，有兩數(shù)重復(fù)，設(shè)這兩數(shù)分別為a，b，所以3個“田”字形所填數(shù)的總和為：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+a+b=55+a+b，則有3m=55+a+b，要m最大，必須a、b最大，而a+b最大值為9+10=19，則3m≤55+9+10，則m≤242則m最大整數(shù)值為24．故選B．【點睛】本題考查了規(guī)律型-數(shù)字的變化類，一元一次不等式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出關(guān)系式1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+a+b=55+a+b=3m．【變式7-3】（2023春·重慶榮昌·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：一個四位自然數(shù)各位數(shù)字不同且不為0，若它滿足千位數(shù)字與個位數(shù)字之和等于百位數(shù)字與十位數(shù)字之和，我們稱這個四位自然數(shù)為“雙城數(shù)”．比如8631，各位數(shù)字均不為0且不相同，8+1＝6+3，所以8631是“雙城數(shù)”．(1)請判斷5724，6532是否是“雙城數(shù)”，并寫出判斷過程；(2)一個“雙城數(shù)”A千位數(shù)字為2，百位數(shù)字為m，個位數(shù)字為n，若A的各位數(shù)字之和恰為7的倍數(shù)，求所有滿足題意的“雙城數(shù)”【答案】(1)5724，6532都是“雙城數(shù)”(2)2165、2345、2435、2615【分析】（1）根據(jù)“雙城數(shù)”的定義判斷即可；（2）根據(jù)“雙城數(shù)”的定義可確定該“雙城數(shù)”十位數(shù)字為2+n?m．再結(jié)合題意可知2+m+2+n?m+n=7k（k為正整數(shù)），由“雙城數(shù)”的定義可知n=1或3≤n≤9且為整數(shù)，在分類討論列出等式和不等式，即可求出答案．【詳解】（1）∵5724各位數(shù)字不同且不為0，5+4=7+2=9，∴5724是“雙城數(shù)”；∵6532各位數(shù)字不同且不為0，6+2=5+3=8，∴6532是“雙城數(shù)”；（2）由題意可知該“雙城數(shù)”十位數(shù)字為2+n?m．∵A的各位數(shù)字之和恰為7的倍數(shù)，∴2+