高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)講析圓錐曲線與方程

[講稿]2014高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)講析圓錐曲線與方程2014高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)講析:圓錐曲線與方程【專題要點(diǎn)】1(考查圓錐曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等知識(shí)及基本技能、基本方法，常以選擇題與填空題的形式出現(xiàn).2(直線與二次曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的綜合問題:常以壓軸題的形式出現(xiàn)，這類問題視角新穎，常見的性質(zhì)、基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)等被附以新的背景，以考查學(xué)生的應(yīng)變能力和解決問題的靈活程度.3(在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注意對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，強(qiáng)調(diào)探究性、綜合性、應(yīng)用性，注重試題的層次性，堅(jiān)持多角度、多層次的考查，合理調(diào)控綜合程度.4(對(duì)稱問題、軌跡問題、多變量的范圍問題、位置問題及最值問題也是本章的幾個(gè)熱點(diǎn)問題，但從最近幾年的高考試題本看，難度有所降低，有逐步趨向穩(wěn)定的趨勢(shì).【考綱要求】(1)圓錐曲線?了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.?掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì).?了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).?了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.?理解數(shù)形結(jié)合的思想.(2)曲線與方程了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.【知識(shí)縱橫】橢圓定義標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)應(yīng)用定義標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線幾何性質(zhì)應(yīng)用圓錐曲線拋物線定義標(biāo)準(zhǔn)方程與方程幾何性質(zhì)應(yīng)用相交圓錐曲線的弦直線與圓錐曲線位置關(guān)系相切相離求曲線(軌跡)的方程曲線與方程曲線的方程畫方程的曲線求兩曲線的公共點(diǎn)【教法指引】高考試題中，解析幾何試題的分值一般占20,左右，而圓錐曲線的內(nèi)容在試卷中所占比例又一直穩(wěn)定在14,左右，選擇、填空、解答三種題型均有(選擇、填空題主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法的運(yùn)用;以圓錐曲線為載體的解答題設(shè)計(jì)中，重點(diǎn)是求曲線的方程和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系討論，它們是熱中之熱(解答題的題型設(shè)計(jì)主要有三類:(1)圓錐曲線的有關(guān)元素計(jì)算(關(guān)系證明或范圍的確定;(2)涉及與圓錐曲線平移與對(duì)稱變換、最值或位置關(guān)系的問題;(3)求平面曲線(整體或部分)的方程或軌跡(近年來，高考中解析幾何綜合題的難度有所下降(隨著高考的逐步完善，結(jié)合上述考題特點(diǎn)分析，預(yù)測(cè)今后高考的命題趨勢(shì)是:將加強(qiáng)對(duì)于圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)的考查，加強(qiáng)對(duì)于分析和解決問題能力的考查(因此，教學(xué)中要注重對(duì)圓錐曲線定義、性質(zhì)、以及圓錐曲線基本量之間關(guān)系的掌握和靈活應(yīng)用(高考第二階段的復(fù)習(xí)，應(yīng)在繼續(xù)作好知識(shí)結(jié)構(gòu)調(diào)整的同時(shí)，抓好數(shù)學(xué)基本思想、數(shù)學(xué)基本方法的提煉，進(jìn)行專題復(fù)習(xí);做好“五個(gè)轉(zhuǎn)化”，即從單一到綜合、從分割到整體、從記憶到應(yīng)用、從慢速摸仿到快速靈活、從縱向知識(shí)到橫向方法.這一復(fù)習(xí)過程，要充分體現(xiàn)分類指導(dǎo)、分類要求的原則，內(nèi)容的選取一定要有明確的目的性和針對(duì)性，要充分發(fā)揮教師的創(chuàng)造性，更要充分考慮學(xué)生的實(shí)際，要密切注意學(xué)生的信息反饋，防止過分拔高，加重負(fù)擔(dān).因此，在圓錐曲線這一章的復(fù)習(xí)中，設(shè)計(jì)了分類復(fù)習(xí)、分層復(fù)習(xí)、層層遞進(jìn)的復(fù)習(xí)步驟.【典例精析】1.圓錐曲線概念、性質(zhì)類問題3例1.巳知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率為，且上一點(diǎn)到的兩個(gè)GxGG2焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為(223xy【解析】，，，，則所求橢圓方程為.2a,12a,6b,3，,1e,3692例2.(2009江蘇13()如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓AABB,,,xoy121222xy，,,,1(0)ab的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線AB與直線BF相交于點(diǎn)T，線段F12122abOTOT與橢圓的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離M心率為.【解析】考查橢圓的基本性質(zhì)，如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率的計(jì)算等。以及直線的方程xyAB直線的方程為:，,1;12,abxyBF，,1直線的方程為:。二者聯(lián)立解得:1cb,2()acbac，T(,)，acac,,22xyacbac()，，,,,1(0)ab則M(,)在橢圓上，22abacac,,2()22cac()，222，,，,,，,,1,1030,1030cacaee，22()4()acac,,e,,275解得:22xy例3.(2009遼寧，16)。以知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的,,1AP(1,4),412PFPA，動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】9【解析】注意到P點(diǎn)在雙曲線的兩只之間,且雙曲線右焦點(diǎn)為F’(4,0),于是由雙曲線性質(zhì)|PF|,|PF’|,2a,4，而|PA|，|PF’|?|AF’|,5，兩式相加得|PF|，|PA|?9,當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F’三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.點(diǎn)評(píng):在運(yùn)用雙曲線的定義時(shí)，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對(duì)值”，弄清是整條雙曲線，還是雙曲線的一支。例4.(2009福建13).過拋物線2的焦點(diǎn)F作傾斜角為ypxp,,2(0),的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)為8，則________________45p,p【解析】由題意可知過焦點(diǎn)的直線方程為，yx,,22,ypx,22p,2AB,x，x，p聯(lián)立有，根據(jù)，得4p,8,p,2,,，,xpx30,12p4yx,,,,22.與圓錐曲線有關(guān)的軌跡類問題解析幾何主要研究?jī)纱箢悊栴}:一是根據(jù)題設(shè)條件，求出表示平面曲線的方程;二是通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)(求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn).解答軌跡問題時(shí)，若能充分挖掘幾何關(guān)系，則往往可以簡(jiǎn)化解題過程(2222xyx，，，,650xyx，,,,6910例5((1)一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。2xy2(2)雙曲線有動(dòng)點(diǎn)，是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，,,y1FF,P129求的重心的軌跡方程。,PFFM12解析:(1)(法一)設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，設(shè)已知RMxy(,)P圓的圓心分別為、，OO212222OOx將圓方程分別配方得:，，(3)4xy，，,(3)100xy,，,21當(dāng)M與相切時(shí)，有?O||2OMR,，11M當(dāng)與相切時(shí)，有?O||10OMR,,22將??兩式的兩邊分別相加，得，||||12OMOM，,212222即?(3)(3)12xyxy，，，,，,移項(xiàng)再兩邊分別平方得:22?2(3)12xyx，，,，22兩邊再平方得:，341080xy，,,22xy整理得，，,1362722xy所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓。，,136272222(法二)由解法一可得方程，(3)(3)12xyxy，，，,，,O(3,0),由以上方程知，動(dòng)圓圓心到點(diǎn)和的距離和是常數(shù)，所以點(diǎn)O(3,0)12Mxy(,)21O(3,0),的軌跡是焦點(diǎn)為、，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于的橢圓，并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，O(3,0)M1221x焦點(diǎn)在軸上，26c,212a,c,3a,6?，，?，，2?b,,,36927，22xy，,1?圓心軌跡方程為。3627PxyMxy(,),(,)(2)如圖，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)各為，?在已知雙曲線方程中，PM,ab,,3,111c,，,9110?FF(10,0),(10,0),?已知雙曲線兩焦點(diǎn)為，12,PFFy,0?存在，?121,x，,，(10)101x,,xx,3,,13由三角形重心坐標(biāo)公式有，即。,,yy,3y，，00,1,1y,,3,y,0?，?。y,012(3)x2,,,(3)1(0)yy已知點(diǎn)在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有P922即所求重心xyy,,,91(0)M的軌跡方程為:點(diǎn)評(píng):定義法求軌跡方程的一般方法、步驟;“轉(zhuǎn)移法”求軌跡方程的方法。2例6(2009廣東卷理)已知曲線與直線交于兩點(diǎn)和Axy(,)Cyx:,lxy:20,，,AA，且(記曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域CBxy(,)xx,ABLABBBAB(含邊界)為(設(shè)點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)均不重合(DLPABPst(,)(1)若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試求線段的中點(diǎn)的軌跡方程;ABMQPQ51222(2)若曲線與有公共點(diǎn)，試求的最小值(aGxaxyya:240,，,，，,D25152解:(1)聯(lián)立與得，則中點(diǎn)，設(shè)線段的中Q(,)x,,1,x,2y,xABy,x，2PQAB2215，s，t1522點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，又點(diǎn)在曲線上，Cx,,y,s,2x,,t,2y,MP(x,y)2222511122?化簡(jiǎn)可得，又點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且不與點(diǎn)和點(diǎn)2y,,(2x,)y,x,x，PLA822151112重合，則，即，?中點(diǎn)的軌跡方程為,1,2x,,2,,x,y,x,x，BM448215().,,x,44yxBxADox51222(2)曲線Gxaxyya:240,，,，，,，2549722(x,a)，(y,2),r,即圓:，其圓心坐標(biāo)為，半徑EE(a,2)255512220,a,2Gxaxyya:240,，,，，,由圖可知，當(dāng)時(shí)，曲線與點(diǎn)有公共點(diǎn);D2551222a,0Gxaxyya:240,，,，，,當(dāng)時(shí)，要使曲線與點(diǎn)有公共點(diǎn)，只需圓心DE2572|a,2，2||a|7a,,a,0到直線的距離d,,,，得，則的最小值lxy:20,，,552272為.,53.直線和圓錐曲線關(guān)系類問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是高考考查的重中之重，在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn).主要涉及弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、對(duì)稱、參量的取值范圍、求曲線方程等問題.解題中要充分重視韋達(dá)定理和判別式的應(yīng)用，解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點(diǎn)，韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.2ykxk,，,20例7.已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，AB、CCyx:8,F，，，，若，則k,||2||FAFB,12222A.B.C.D.33332的準(zhǔn)線為直【解析一】設(shè)拋物線lx:2,,Cyx:8,ykxk,，,20,2,0線恒過定點(diǎn)P.如圖，，，，，，AB、AMl,BNl,N過分別作于,于,M由,則,點(diǎn)B為AP的||2||FAFB,||2||AMBN,1OB中點(diǎn).連結(jié),則,||||OBAF,？,||||OBBF2點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,故點(diǎn)的坐標(biāo)為B1B22022,,故選D(1,22)？,,k1(2)3,,【解析二】設(shè)，A(x,y),B(x,y)1122y,k(x，2),2222，，得xx,4。kx，(4k,8)x，4k,0,122y,8x,FA,x，2,FB,xx,2x，2根據(jù)焦半徑公式，，，得。，2||2||FAFB,121222ykxk,，,20k,求得，將其代入中得，故選D。B(1,22)，，，，322xy例8以知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)，,,,1(0)abFcFcc(,0)(,0)(0),,和1222ab2aFAFBFAFB//,2,的直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，且E(,0)AB,1212c(1)求橢圓的離心率;(2)求直線AB的斜率;(3)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線上有一點(diǎn)在FBAFC,Hmnm(,)(0),21n的外接圓上，求的值m本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力.2a,cEFFB11c22,,,FA2FB,(I)解:由//且，得，從而FAFB12122aEFFA2211，ccc322整理，得，故離心率ac,3e,,a32222222(II)解:由(I)得bacc,,,2，所以橢圓的方程可寫為236xyc，,2,,aykx,,設(shè)直線AB的方程為，即.ykxc,,(3),,c,,ykxc,,(3),AxyBxy(,),(,)由已知設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組,1122222236xyc，,,222222消去y整理，得.(23)182760，,，,,kxkcxkcc3322,,,,,,,48(13)0ckk，得依題意，33218kcxx，,而?12223，k22c276kcc,xx,?12223，k由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以xcx，,32?122292kcc,92kcc，聯(lián)立??解得，x,x,212223，k23，k2將代入?中，解得.xx,k,,1233c(III)解法一:由(II)可知xx,,0,1222當(dāng)時(shí)，得，由已知得.k,,Ac(0,2)Cc(0,2),322c,,線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸AFycx,,,，1,,222,,22ccc,,,,,,2的交點(diǎn)是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.,AFCx,，,，yc,01,,,,,,222,,,,,,直線的方程為，于是點(diǎn)H(m，n)的坐標(biāo)滿足方程組FByxc,,2()25,22,mc,cc9,,2,mn,，,3,,n22,,，由解得故