導(dǎo)數(shù)的計算資料

§1.2導(dǎo)數(shù)的計算§1.2.1幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)：1.使學(xué)生應(yīng)用由定義求導(dǎo)數(shù)的三個步驟推導(dǎo)四種常見函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式;2.掌握并能運(yùn)用這四個公式正確求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).教學(xué)重點(diǎn)：四種常見函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：四種常見函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式.教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情景我們知道,導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率,物理意義是運(yùn)動物體在某一時刻的瞬時速度.那么,對于函數(shù),如何求它的導(dǎo)數(shù)呢？由導(dǎo)數(shù)定義本身,給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法,但由于導(dǎo)數(shù)是用極限來定義的,所以求導(dǎo)數(shù)總是歸結(jié)到求極限這在運(yùn)算上很麻煩,有時甚至很困難,為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù),這一單元我們將研究比較簡捷的求導(dǎo)數(shù)的方法,下面我們求幾個常用的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).二、新課講授1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,因為所以函數(shù)導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像(圖3.2-1)上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為.若表示路程關(guān)于時間的函數(shù),則可以解釋為某物體的瞬時速度始終為,即物體一直處于靜止?fàn)顟B(tài).2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因為所以函數(shù)導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像(圖3.2-2)上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為,若表示路程關(guān)于時間的函數(shù),則可以解釋為某物體做瞬時速度為的勻速運(yùn)動.3.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因為所以函數(shù)導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像(圖3.2-3)上點(diǎn)處的切線的斜率都為,說明隨著的變化,切線的斜率也在變化.另一方面,從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點(diǎn)的瞬時變化率來看,表明:當(dāng)時,隨著的增加,函數(shù)減少得越來越慢;當(dāng)時,隨著的增加,函數(shù)增加得越來越快.若表示路程關(guān)于時間的函數(shù),則可以解釋為某物體做變速運(yùn)動,它在時刻的瞬時速度為.4.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因為所以函數(shù)導(dǎo)數(shù)(三)運(yùn)算法則的證明證明:令.即法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差),即:(范例:(1)求的導(dǎo)數(shù).(2)求的導(dǎo)數(shù).法則2：兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即:指導(dǎo)學(xué)生嘗試法則2的證明:令.因為在點(diǎn)處可導(dǎo),所以它在點(diǎn)處連續(xù),于是當(dāng)時,.從而即說明:1..2.若為常數(shù),則.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)..法則3：兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積,減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積,再除以分母的平方：回顧導(dǎo)數(shù)定義：證明：設(shè)則.因為在點(diǎn)處可導(dǎo),所以在點(diǎn)處連續(xù).于是當(dāng)時,從而即說明:若兩個函數(shù)可導(dǎo),則它們的和、差、積、商(商的分母不為)必可導(dǎo).若兩個函數(shù)均不可導(dǎo),則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).例如:設(shè),,則在處均不可導(dǎo),但它們的和在處可導(dǎo).三、典例分析例1假設(shè)某國家在年期間的年均通貨膨脹率為,物價(單位:元)與時間(單位:年)有如下函數(shù)關(guān)系,其中為時的物價.假定某種商品的,那么在第個年頭,這種商品的價格上漲的速度大約是多少(精確到)?解:根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表,有所以(元/年)因此,在第個年頭,這種商品的價格約為元/年的速度上漲.例2根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)解:(1)。(2)(3)(4)(5)(6)，。(7)點(diǎn)評:①求導(dǎo)數(shù)是在定義域內(nèi)實行的;②求較復(fù)雜的函數(shù)積、商的導(dǎo)數(shù),必須細(xì)心、耐心.例3日常生活中的飲水通常是經(jīng)過凈化的,隨著水純凈度的提高,所需凈化費(fèi)用不斷增加.已知將噸水凈化到純凈度為時所需費(fèi)用(單位:元)為求凈化到下列純凈度時,所需凈化費(fèi)用的瞬時變化率:(1)(2)解:凈化費(fèi)用的瞬時變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)因為所以,純凈度為時,費(fèi)用的瞬時變化率是元/噸(2)因為所以,純凈度為時,費(fèi)用的瞬時變化率是元/噸注:函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點(diǎn)附近變化的快慢.由上述計算可知,.它表示純凈度為左右時凈化費(fèi)用的瞬時變化率,大約是純凈度為左右時凈化費(fèi)用的瞬時變化率的倍.這說明,水的純凈度越高,需要的凈化費(fèi)用就越多,而且凈化費(fèi)用增加的速度也越快.例4求曲線在點(diǎn)的切線方程.分析:先要求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),然后利用導(dǎo)函數(shù)求出曲線在點(diǎn)的切線的斜率,最后應(yīng)用點(diǎn)斜式求出切線的方程.解:斜率切線方程為化簡得故曲線在點(diǎn)的切線方程為類型題:求曲線在點(diǎn)的切線方程.解:略例5試用求導(dǎo)的方法求和.解:略補(bǔ)充例題例1判斷下列求導(dǎo)是否正確,加以改正.解:略例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1);(2).解:略例3求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解:略例4求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1);(2);(3).解:略例5求的導(dǎo)數(shù).解:將函數(shù)變形為’.例6求的導(dǎo)數(shù).解:略注:有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式,但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡,然后進(jìn)行求導(dǎo).有時可以避免使用商的求導(dǎo)法則,減少運(yùn)算量.例7求曲線在點(diǎn)處的切線方程.回顧導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.解:略例8曲線運(yùn)動方程為,求時的速度.回顧導(dǎo)數(shù)的物理意義:瞬時速度是位移函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù):.解:略例9已知拋物線通過點(diǎn),且在點(diǎn)處與直線相切,求的值.四、課堂練習(xí)1.課本P92練習(xí)2.已知曲線,求曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)的切線方程.答案:五、回顧總結(jié)1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表;2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.六、布置作業(yè)§1.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目標(biāo)：理解并掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法:復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)之積.教學(xué)難點(diǎn)：正確分解復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程,做到不漏,不重,熟練,正確.一、創(chuàng)設(shè)情景(一)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表函數(shù)導(dǎo)數(shù)(二)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則1．2．3．推論:(常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù))二、新課講授1.復(fù)合函數(shù)的概念一般地,對于兩個函數(shù)和,如果通過變量,可以表示成的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù),記作.2.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為,即對的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積.若,則三、典例分析例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(2)(3)(其中均為常數(shù))解:(1)函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有=(2)函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有=(3)函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有=例2求的導(dǎo)數(shù).解:點(diǎn)評:求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),關(guān)鍵在于搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu),明確復(fù)合次數(shù),由外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo),直到關(guān)于自變量求導(dǎo),同時應(yīng)注意不能遺漏求導(dǎo)環(huán)節(jié)并及時化簡計算結(jié)果.例3求的導(dǎo)數(shù).解:，點(diǎn)評:本題練習(xí)商的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求導(dǎo)數(shù)后要予以化簡整理.例4求的導(dǎo)數(shù).解法一:解法二:點(diǎn)評:解法一是先化簡變形,簡化求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算,要注意變形準(zhǔn)確.解法二是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù),應(yīng)注意不漏步.例5曲線有兩條平行于直線的切線,求此二切線之間的距離.解:令即解得或于是切點(diǎn)為過點(diǎn)的切線方程為即顯然兩切線間的距離等于點(diǎn)到此切線的距離故所求距離為補(bǔ)充例題例1指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系(1);(2);(3);(4);(5).解:略例2寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)(1);(2).解:略例3求的導(dǎo)數(shù)(P122例1).解:略注意：要求步驟規(guī)范,首先設(shè)中間變量,再對幾個簡單函數(shù)分別求導(dǎo),最后應(yīng)強(qiáng)調(diào)把中間變量換成自變量的函數(shù).復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解——求導(dǎo)——回代.例4求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1);(2);(3);(5);(6);(7).解:略注:這