導數(shù)高考題(大題)

5/22導數(shù)高考題（非常實用）一、導數(shù)的基本應用（一）研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值基本思路：定義域→→疑似極值點→→單調(diào)區(qū)間→→極值→→最值基本方法： 一般通法：利用導函數(shù)研究法 特殊方法：（1）二次函數(shù)分析法；（2）單調(diào)性定義法第一組本組題旨在強化對函數(shù)定義域的關(guān)注，以及求導運算和分類討論的能力與技巧【例題】（2009江西理17/22）設(shè)函數(shù). 求（1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）略.解：函數(shù)定義域為，,由,得.因為當時或時,；當時,；所以的單調(diào)增區(qū)間是:；單調(diào)減區(qū)間是:.【例題】（2008北京理18/22）已知函數(shù)，求導函數(shù)，并確定的單調(diào)區(qū)間．解：．令，得．當，即時，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減．當，即時，的變化情況如下表：0當，即時，的變化情況如下表：0所以，時，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，函數(shù)在和上單調(diào)遞減．時，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

第二組本組題旨在強化對導函數(shù)零點進行分類討論的意識、能力和技巧【例題】（2009北京文18/22）設(shè)函數(shù).（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點.解：∵,當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)沒有極值點.當時，由，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴此時是的極大值點，是的極小值點.點評：此題是2010屆文科考試說明的樣題，題目考查了對導函數(shù)零點進行分類的能力，旨在幫助學生鞏固研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法.【例題】（2009天津理20/22）已知函數(shù)其中.（II）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.以下分兩種情況討論.（1）＞，則＜.當變化時，的變化情況如下表：f'(x)+0—0+f(x)↗極大值↘極小值↗即,∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，依題意知，∴或.又，所以切線方程為，或，即，或.點評：本題第一問是函數(shù)求極值的逆向設(shè)問，解題方法本質(zhì)仍然是求含參數(shù)的函數(shù)的極值，難度不大；本題第二問是求曲線切線的逆向設(shè)問，解題過程進一步強化了對切點的需求.【例題】（2009四川文20/22）已知函數(shù)的圖象在與軸交點處的切線方程是.（I）求函數(shù)的解析式；（II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時對應的自變量的值.解：（I）由已知,切點為(2,0),故有,即 ……①又，由已知得……②聯(lián)立①②，解得.所以函數(shù)的解析式為（II）因為 令當函數(shù)有極值時，方程有實數(shù)解.則，得.①當時，有實數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故無極值②當時，有兩個實數(shù)根情況如下表：+0-0+↗極大值↘極小值↗所以在時，函數(shù)有極值；當時，有極大值；當時，有極小值；點評：本題第一問是求曲線切線的逆向設(shè)問，解題過程進一步強化了對切點的需求.本題第二問是函數(shù)求極值的逆向設(shè)問，解題方法本質(zhì)仍然是求含參數(shù)的函數(shù)的極值，難度不大.★【例題】（2008全國Ⅱ文21/22）設(shè)，函數(shù)．（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點，求的值；（Ⅱ）若函數(shù)，在處取得最大值，求的取值范圍．解：（Ⅰ）．因為是函數(shù)的極值點，所以，即，因此．經(jīng)驗證，當時，是函數(shù)的極值點．（Ⅱ） 由題設(shè)，．當在區(qū)間上的最大值為時，，即．故得反之，當時，對任意，，而，故在區(qū)間上的最大值為．綜上，的取值范圍為．點評：本題是求函數(shù)最值的逆向問題，答案所用的解法是一種比較特殊的方法，具有一定的思維難度.本題若用一般方法，則可求出g(0)=0，將問題轉(zhuǎn)化為g(x)≤0的恒成立問題，此種解法的計算量將有所加大.★【例題】（2009陜西理20/22）已知函數(shù)，其中（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若的最小值為1，求a的取值范圍.解:（Ⅱ）∵∴ ①當時，在區(qū)間∴的單調(diào)增區(qū)間為②當時，由∴（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）①知，所以.當時，由（Ⅱ）②知，在處取得最小值所以，不成立.綜上可知，若得最小值為1，則a的取值范圍是點評：本題第三問是求函數(shù)最值的逆向問題，解題時根據(jù)單調(diào)性研究的分類標準，將驗證參數(shù)取值范圍是否成立，是計算量較小，但不容易發(fā)現(xiàn)的方法.本題若用一般方法，則可將問題轉(zhuǎn)化為f(x)≥1的恒成立問題，此種解法的計算量將有所加大.（三）導數(shù)的幾何意義（2008海南寧夏文21/22）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）證明：曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.解：（Ⅰ）方程可化為，當時，；又，于是，解得，故（Ⅱ）設(shè)為曲線上任一點，由知曲線在點處的切線方程為，即令，得，從而得切線與直線的交點坐標為；令，得，從而得切線與直線的交點坐標為；所以點處的切線與直線所圍成的三角形面積為；故曲線上任一點處的切線與直線所圍成的三角形面積為定值6.二、導數(shù)應用的變式與轉(zhuǎn)化（一）函數(shù)的零點存在與分布問題問題設(shè)置：根據(jù)函數(shù)零點或方程實數(shù)根的個數(shù)求參數(shù)取值范圍基本方法： 通性通法：函數(shù)最值控制法特殊方法：（1）二次函數(shù)判別式法；（2）零點存在性定理第一組 二次函數(shù)本組題旨在加深對二次函數(shù)零點存在性與分布問題的認識；本題旨在提升對函數(shù)與方程關(guān)系問題的認識水平；研究二次函數(shù)零點分布問題時，除了判別式法以外，應補充極值（最值）控制法，為三次函數(shù)零點分布研究做方法上的鋪墊.【例題】（2009江西文17/22）設(shè)函數(shù)．（1）略；（2）若方程有且僅有一個實根，求的取值范圍.解：因為當時,;當時,;當時,;所以當時,取極大值;當時,取極小值;故當或時,方程僅有一個實根.解得或.點評：本題是零點問題的方程形式，用函數(shù)最值控制法解答，屬于本類問題的原型題.【例題】（2009廣東文21/21）已知二次函數(shù)的導函數(shù)的圖像與直線平行，且在=－1處取得最小值m－1(m).設(shè)函數(shù)（1）若曲線上的點P到點Q(0,2)的距離的最小值為,求m的值；（2）如何取值時,函數(shù)存在零點,并求出零點.解：（1）設(shè)，則；又的圖像與直線平行，解得又在取極小值，∴，解得，解得；所以，設(shè)，則,解得；（2）由，得當時，方程有一解，函數(shù)有一零點；當時，方程有二解，若，，有兩個零點；若，，有兩個零點；當時，方程有一解，即,有一零點點評：本題第一問是涉及均值定理的最值問題，題目計算量中等，思維難度不大；第二問涉及到的函數(shù)為二次函數(shù)，故而用含參二次方程的根系關(guān)系研究根的分布問題，是本部分的原型問題和重點問題.【例題】（2009重慶文19/21）已知為偶函數(shù)，曲線過點，．（Ⅰ）求曲線有斜率為0的切線，求實數(shù)的取值范圍；（2）略解:由偶函數(shù)性質(zhì)得，，即，解得又曲線過點,得有∵從而,曲線有斜率為0的切線，故有實數(shù)解.即有實數(shù)解.∵此時有解得 ∴實數(shù)的取值范圍:點評：本題是以導數(shù)幾何意義為載體的，研究二次函數(shù)零點的分布的問題，注意問題的轉(zhuǎn)化.【例題】(07廣東文21/21)已知a是實數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點，求a的取值范圍.解：若,,顯然函數(shù)在上沒有零點.若，令,解得①當時,恰有一個零點在上;②當，即時，在上也恰有一個零點.③當在上有兩個零點時,則或解得或，綜上，所求實數(shù)的取值范圍是或.點評：本題以二次函數(shù)為載體，設(shè)定在區(qū)間范圍上的零點存在性問題，解答時依零點個數(shù)進行分類討論，涉及到含參二次方程根的分布研究、零點存在性定理.是原型問題和重點題.【例題】（2009浙江文21/22）已知函數(shù)．（I）若函數(shù)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是，求的值；（II）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍．解:（Ⅰ）由題意得 又，解得，或（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，等價于 導函數(shù)在既能取到大于0的實數(shù)，又能取到小于0的實數(shù) 即函數(shù)在上存在零點，根據(jù)零點存在定理，有 ，即： 整理得：，解得

第二組 三次函數(shù)本組題旨在加深對二次函數(shù)零點存在性與分布問題的認識；本題旨在提升對函數(shù)與方程關(guān)系問題的認識水平；本組題旨在加深對二次函數(shù)、三次函數(shù)零點分布問題的認識，進而深化對導數(shù)方法、極值、最值的理解.【例題】（2009陜西文20/22）已知函數(shù)（I）求的單調(diào)區(qū)間；（II）若在處取得極值，直線y=m與的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍.解：（1）當時，對，有所以的單調(diào)增區(qū)間為當時，由解得或，由解得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）因為在處取得極大值，所以所以由解得.由（1）中的單調(diào)性可知，在處取得極大值1，在處取得極小值-3.因為直線與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，所以的取值范圍是.點評：本題是三次函數(shù)零點存在性問題的典型變式題，涉及圖象交點向函數(shù)零點的轉(zhuǎn)化關(guān)系；本題最終將問題轉(zhuǎn)化為研究三次函數(shù)根的分布，采用極值（最值）控制法；在這里應結(jié)合上面例題進一步揭示研究二次方程與三次方程實根分布問題在方法上的本質(zhì)關(guān)系，以便進一步加深對函數(shù)極值（最值）的認識和對利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì).

【例題】（2007全國II理22/22）已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)，若過點可作曲線的三條切線，證明：解：（1）的導數(shù)．曲線在點處的切線方程為：，即．（2）如果有一條切線過點，則存在，使．若過點可作曲線的三條切線，則方程有三個相異的實數(shù)根．記，則．當變化時，變化情況：0g'(x)00g(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)由的單調(diào)性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數(shù)根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根．綜上所述，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數(shù)根，則即．點評：本題是前一個問題的延伸，其以導數(shù)幾何意義為載體；本題最終將問題轉(zhuǎn)化為研究三次函數(shù)根的分布，采用極值（最值）控制法；在這里應結(jié)合上面例題進一步揭示研究二次方程與三次方程實根分布問題在方法上的本質(zhì)關(guān)系，以便進一步加深對函數(shù)極值（最值）的認識和對利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì).（二）不等式恒成立與存在解問題問題設(shè)置：當不等關(guān)系在某個區(qū)間范圍內(nèi)恒成立或存在解為條件，求參數(shù)的取值范圍基本思路：轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值與參數(shù)之間的不等關(guān)系問題基本方法： 通性通法：變量分離法、變量轉(zhuǎn)換、最值控制法特殊方法：二次函數(shù)判別式法、二次函數(shù)根的分布研究【例題】（2009江西文17/22）設(shè)函數(shù)．（1）對于任意實數(shù)，恒成立，求的最大值；（2）略解：,因為,,即恒成立,所以,得，即的最大值為點評：本題是二次函數(shù)在實數(shù)集上的恒成立問題，因其條件特殊，故用特殊方法求解.【例題】（2008安徽文20/22）設(shè)函數(shù)為實數(shù).（Ⅰ）略；（Ⅱ）若對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍.解：法一（變量轉(zhuǎn)換，最值控制法）：對任意都成立.即對任意都成立設(shè)，則對任意，為單調(diào)遞增函數(shù)所以對任意，恒成立的充分必要條件是.即，，于是的取值范圍是法二（變量分離法）：由題設(shè)知：對任意都成立，即對任意都成立.于是對任意都成立，即.解得的取值范圍是.點評：變量分離法可以任何一個變量分離出來，例如本題也可以求出二次方程的根，這樣就是將變量x分離出來了，但過程較復雜，不宜在此處選用.【例題】（2008山東文21/22）設(shè)函數(shù)，已知和為的極值點．（Ⅱ）討論的單調(diào)性；（Ⅲ）設(shè)，試比較與的大?。猓海á颍┮驗椋?，所以，令，解得，，．因為當時，；當時，．所以在和上是單調(diào)遞增的；在和上是單調(diào)遞減的．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，故，令，則．令，得，因為時，，所以在上單調(diào)遞減．故時，；因為時，，所以在上單調(diào)遞增．故時，．所以對任意，恒有，又，因此，故對任意，恒有．點評：本題是恒成立問題的一個變式應用.（2007湖北理20/21）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：f(x)≥g(x)，其中x>0．解：（Ⅰ）設(shè)與在公共點處的切線相同．，，由題意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，則．于是當，即時，；當，即時，．故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為．（Ⅱ）設(shè)，則．故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是．故當時，有，即當時，．點評：本題以曲線的切線問題的載體，在第一問中考查了函數(shù)最值的求法；第二問是恒成立問題的應用.（三）“零點存在與分布問題”與“恒成立、存在解問題”之間的關(guān)系研究對象的本質(zhì)相同，因此解題方向一致：函數(shù)的極值或最值控制是解決這兩類問題的通性通法，針對特殊類型的函數(shù)，如二次函數(shù)，又都可以用相應的函數(shù)性質(zhì)進行研究；研究對象的載體不同，因此解題方法不同：前者是函數(shù)與其所對應的方程之間關(guān)系的問題，后者是函數(shù)與其所對應的不等式之間關(guān)系的問題；（3）原型問題是根本，轉(zhuǎn)化命題是關(guān)鍵：二者都可以進一步衍生出其他形式的問題，因此往往需要先將題目所涉及的問題轉(zhuǎn)化為原型問題，然后利用通性通法加以解決，在轉(zhuǎn)化過程中應注意命題的等價性.【例題】（2009天津文21/22）設(shè)函數(shù)（Ⅰ）略；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅲ）已知函數(shù)有三個互不相同的零點0，，且.若對任意的，恒成立，求m的取值范圍.解：（2），令，得到因為，當x變化時，的變化情況如下表：+0-0+極小值極大值在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù).函數(shù)在處取得極大值，且=函數(shù)在處取得極小值，且=（3）解：由題設(shè)，所以方程=0由兩個相異的實根，故，且，解得因為若，而，不合題意若則對任意的有則又，所以函數(shù)在的最小值為0，于是對任意的，恒成立的充要條件是,解得綜上，m的取值范圍是四、其它形式的問題【例題】（2008陜西文22/22）設(shè)函數(shù)其中實數(shù)．（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當函數(shù)與的圖象只有一個公共點且存在最小值時，記 的最小值為，求的值域；（Ⅲ）若與在區(qū)間內(nèi)均為增函數(shù)，求的取值范圍．解：（Ⅰ），又，當時，；當時，，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)．（Ⅱ）由題意知，即恰有一根（含重根）．≤，即≤≤，又，．當時，才存在最小值，．，∴.∴的值域為．（Ⅲ）當時，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．由題意得，解得≥；當時，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．由題意得，解得≤；綜上可知，實數(shù)的取值范圍為．【例題】（2008湖南文21/2