2021年山東省濱州市中考數學試卷

2021年山東省濱州市中考數學試卷一、選擇題：本大題共12個小題，在每小題的四個選項中只有一個是正確的，請把正確的選項選出來，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。每小題涂對得3分，滿分36分.1．（3分）在數軸上，點A表示﹣2．若從點A出發(fā)，沿數軸的正方向移動4個單位長度到達點B，則點B表示的數是（）A．﹣6 B．﹣4 C．2 D．42．（3分）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則點C到直線AB的距離為（）A．3 B．4 C．5 D．2.43．（3分）下列計算中，正確的是（）A．2a+3a＝5a2 B．a2?a3＝a6 C．2a?3a＝6a2 D．（a2）3＝a84．（3分）如圖，在?ABCD中，BE平分∠ABC交DC于點E．若∠A＝60°，則∠DEB的大小為（）A．130° B．125° C．120° D．115°5．（3分）如圖所示的幾何體是由幾個相同的小正方體組合而成的，其俯視圖為（）A． B． C． D．6．（3分）把不等式組中每個不等式的解集在同一條數軸上表示出來，正確的為（）A． B． C． D．7．（3分）下列一元二次方程中，無實數根的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+3x+2＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2+2x+3＝08．（3分）在四張反面無差別的卡片上，其正面分別印有線段、等邊三角形、平行四邊形和正六邊形．現將四張卡片的正面朝下放置，混合均勻后從中隨機抽取兩張，則抽到的卡片正面圖形都是軸對稱圖形的概率為（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的直徑．若CD＝10，弦AC＝6，則cos∠ABC的值為（）A． B． C． D．10．（3分）對于二次函數y＝x2﹣6x+21，有以下結論：①當x＞5時，y隨x的增大而增大；②當x＝6時，y有最小值3；③圖象與x軸有兩個交點；④圖象是由拋物線y＝x2向左平移6個單位長度，再向上平移3個單位長度得到的．其中結論正確的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．411．（3分）如圖，在△OAB中，∠BOA＝45°，點C為邊AB上一點，且BC＝2AC．如果函數y＝（x＞0）的圖象經過點B和點C，那么用下列坐標表示的點，在直線BC上的是（）A．（﹣2019，674） B．（﹣2020，675） C．（2021，﹣669） D．（2022，﹣670）12．（3分）在銳角△ABC中，分別以AB和AC為斜邊向△ABC的外側作等腰Rt△ABM和等腰Rt△ACN，點D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，連接MD、MF、FE、FN．根據題意小明同學畫出草圖（如圖所示），并得出下列結論：①MD＝FE，②∠DMF＝∠EFN，③FM⊥FN，④S△CEF＝S四邊形ABFE，其中結論正確的個數為（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，滿分24分.13．（4分）若代數式有意義，則x的取值范圍為．14．（4分）如圖，在△ABC中，點D是邊BC上的一點．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，則∠C的大小為．15．（4分）計算：+﹣|π0﹣|﹣（）﹣1＝．16．（4分）某芭蕾舞團新進一批女演員，她們的身高及其對應人數情況如表所示：身高（cm）163164165166168人數12311那么，這批女演員身高的方差為．17．（4分）若點A（﹣1，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）都在反比例函數y＝（k為常數）的圖象上，則y1、y2、y3的大小關系為．18．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若點P是△ABC內一點，則PA+PB+PC的最小值為．三、解答題：本大題共6個小題，滿分60分.解答時請寫出必要的演推過程.19．（8分）計算：（﹣）÷．20．（9分）某商品原來每件的售價為60元，經過兩次降價后每件的售價為48.6元，并且每次降價的百分率相同．（1）求該商品每次降價的百分率；（2）若該商品每件的進價為40元，計劃通過以上兩次降價的方式，將庫存的該商品20件全部售出，并且確保兩次降價銷售的總利潤不少于200元，那么第一次降價至少售出多少件后，方可進行第二次降價？21．（9分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，BE∥AC，AE∥BD．（1）求證：四邊形AOBE是菱形；（2）若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面積．22．（10分）甲、乙兩車沿同一條筆直的道路勻速同向行駛，車速分別為20米/秒和25米/秒．現甲車在乙車前500米處，設x秒后兩車相距y米，根據要求解答以下問題：（1）當x＝50（秒）時，兩車相距多少米？當x＝150（秒）時呢？（2）求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）在給出的平面直角坐標系中，請直接畫出（2）中所求函數的圖象．23．（10分）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，直線DE與⊙O相切于點D，割線AC⊥DE于點E且交⊙O于點F，連接DF．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）求證：DF2＝EF?AB．24．（14分）如下列圖形所示，在平面直角坐標系中，一個三角板的直角頂點與原點O重合，在其繞原點O旋轉的過程中，兩直角邊所在直線分別與拋物線y＝x2相交于點A、B（點A在點B的左側）．（1）如圖1，若點A、B的橫坐標分別為﹣3、，求線段AB中點P的坐標；（2）如圖2，若點B的橫坐標為4，求線段AB中點P的坐標；（3）如圖3，若線段AB中點P的坐標為（x，y），求y關于x的函數解析式；（4）若線段AB中點P的縱坐標為6，求線段AB的長．

2021年山東省濱州市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，在每小題的四個選項中只有一個是正確的，請把正確的選項選出來，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。每小題涂對得3分，滿分36分.1．（3分）在數軸上，點A表示﹣2．若從點A出發(fā)，沿數軸的正方向移動4個單位長度到達點B，則點B表示的數是（）A．﹣6 B．﹣4 C．2 D．4【分析】根據數軸的特點，可知從點A出發(fā)，沿數軸的正方向移動4個單位長度到達點B，則點B表示的數為﹣2+4，然后計算即可．【解答】解：由題意可得，點B表示的數為﹣2+4＝2，故選：C．【點評】本題考查數軸，解答本題的關鍵是明確數軸的特點，點向左平移表示的數值變小，向右平移表示的數值變大．2．（3分）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則點C到直線AB的距離為（）A．3 B．4 C．5 D．2.4【分析】根據題意畫出圖形，然后作CD⊥AB于點D，根據勾股定理可以求得AB的長，然后根據面積法，可以求得CD的長．【解答】解：作CD⊥AB于點D，如右圖所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵，∴，解得CD＝2.4，故選：D．【點評】本題考查勾股定理、三角形的面積，解答本題的關鍵是明確題意，畫出相應的圖形，利用勾股定理和面積法解答．3．（3分）下列計算中，正確的是（）A．2a+3a＝5a2 B．a2?a3＝a6 C．2a?3a＝6a2 D．（a2）3＝a8【分析】根據單項式加單項式和合并同類項的方法可以判斷A，根據同底數冪的乘法可以判斷B，根據單項式乘單項式可以判斷C，根據冪的乘方可以判斷D．【解答】解：2a+3a＝5a，故選項A不符合題意；a2?a3＝a5，故選項B不符合題意；2a?3a＝6a2，故選項C符合題意；（a2）3＝a6，故選項D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查合并同類項、同底數冪的乘法、單項式乘單項式、積的乘方，解答本題的關鍵是明確它們各自的計算方法，計算出正確的結果．4．（3分）如圖，在?ABCD中，BE平分∠ABC交DC于點E．若∠A＝60°，則∠DEB的大小為（）A．130° B．125° C．120° D．115°【分析】根據平行四邊形的性質，可以得到AD∥BC，DC∥AB，然后即可得到∠A+∠ABC＝180°，∠ABE+∠DEB＝180°，再根據∠A＝60°，BE平分∠ABC，即可得到∠DEB的度數．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，DC∥AB，∴∠A+∠ABC＝180°，∠ABE+∠DEB＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝120°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝60°，∴∠DEB＝120°，故選：C．【點評】本題考查平行四邊形的性質、平行線的性質、角平分線的定義，利用數形結合的思想解答是解答本題的關鍵．5．（3分）如圖所示的幾何體是由幾個相同的小正方體組合而成的，其俯視圖為（）A． B． C． D．【分析】根據題目中的立體圖形，可以直接作出它的俯視圖，從而可以解答本題．【解答】解：由圖可得，俯視圖為：，故選：B．【點評】本題考查簡單組合體的三視圖，解答本題的關鍵是畫出它的俯視圖．6．（3分）把不等式組中每個不等式的解集在同一條數軸上表示出來，正確的為（）A． B． C． D．【分析】先解出不等式組中的每一個不等式的解集，然后即可寫出不等式組的解集，再在數軸上表示出每一個不等式的解集即可．【解答】解：，解不等式①，得：x＞﹣6，解不等式②，得：x≤13，故原不等式組的解集是﹣6＜x≤13，其解集在數軸上表示如下：，故選：B．【點評】本題考查解一元一次不等式組、在數軸上表示不等式組的解集，解答本題的關鍵是明確解一元一次不等式組的方法，會在數軸上表示不等式組的解集．7．（3分）下列一元二次方程中，無實數根的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+3x+2＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2+2x+3＝0【分析】計算出各個選項中的Δ的值，然后根據Δ＞0有兩個不等式的實數根，Δ＝0有兩個相等實數根，Δ＜0無實數根判斷即可．【解答】解：在x2﹣2x﹣3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，即該方程有兩個不等實數根，故選項A不符合題意；在x2+3x+2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1＞0，即該方程有兩個不等實數根，故選項B不符合題意；在x2﹣2x+1＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，即該方程有兩個相等實數根，故選項C不符合題意；在x2+2x+3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，即該方程無實數根，故選項D符合題意；故選：D．【點評】本題考查根的判別式，解答本題的關鍵是明確Δ＞0有兩個不等式的實數根，Δ＝0有兩個相等實數根，Δ＜0無實數根．8．（3分）在四張反面無差別的卡片上，其正面分別印有線段、等邊三角形、平行四邊形和正六邊形．現將四張卡片的正面朝下放置，混合均勻后從中隨機抽取兩張，則抽到的卡片正面圖形都是軸對稱圖形的概率為（）A． B． C． D．【分析】根據題目中給出的圖形，可以寫出是否軸對稱圖形，然后根據題意，可以畫出相應的樹狀圖，從而可以得到抽到的卡片正面圖形都是軸對稱圖形的概率．【解答】解：由題意可得，線段是軸對稱圖形，等邊三角形是軸對稱圖形，平行四邊形不是軸對稱圖形，正六邊形是軸對稱圖形，設線段、等邊三角形、平行四邊形和正六邊形分別用字母A、B、C、D表示，樹狀圖如下圖所示：由上可得，一共有12種可能性，其中抽到的卡片正面圖形都是軸對稱圖形的有6種，∴抽到的卡片正面圖形都是軸對稱圖形的概率是＝，故選：A．【點評】本題考查概率公式、軸對稱圖形、樹狀圖與列表法，解答本題的關鍵是寫出題目中的圖形是否為軸對稱圖形，畫出相應的樹狀圖．9．（3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的直徑．若CD＝10，弦AC＝6，則cos∠ABC的值為（）A． B． C． D．【分析】連接AD，根據直徑所對的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據同弧所對的圓周角相等，可以得到∠ABC＝∠ADC，從而可以得到cos∠ABC的值．【解答】解：連接AD，如右圖所示，∵CD是⊙O的直徑，CD＝10，弦AC＝6，∴∠DAC＝90°，∴AD＝＝＝＝＝8，∴cos∠ADC＝＝＝，∵∠ABC＝∠ADC，∴cos∠ABC的值為，故選：A．【點評】本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數、勾股定理，解答本題的關鍵是求出cos∠ADC的值，利用數形結合的思想解答．10．（3分）對于二次函數y＝x2﹣6x+21，有以下結論：①當x＞5時，y隨x的增大而增大；②當x＝6時，y有最小值3；③圖象與x軸有兩個交點；④圖象是由拋物線y＝x2向左平移6個單位長度，再向上平移3個單位長度得到的．其中結論正確的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】將題目中的函數解析式化為頂點式，然后根據二次函數的性質，可以判斷各個小題中的結論是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：∵二次函數y＝x2﹣6x+21＝（x﹣6）2+3，∴該函數的對稱軸為直線x＝6，函數圖象開口向上，當5＜x＜6時，y隨x的增大而減小，當x＞6時，y隨x的增大而增大，故①不符合題意；當x＝6時，y有最小值3，故②符合題意；當y＝0時，無實數根，即圖象與x軸無交點，故③不符合題意；圖象是由拋物線y＝x2向右平移6個單位長度，再向上平移3個單位長度得到的，故④不符合題意；故正確的是②，正確的個數是1，故選：A．【點評】本題考查二次函數的性質、二次函數圖象與幾何變換，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．11．（3分）如圖，在△OAB中，∠BOA＝45°，點C為邊AB上一點，且BC＝2AC．如果函數y＝（x＞0）的圖象經過點B和點C，那么用下列坐標表示的點，在直線BC上的是（）A．（﹣2019，674） B．（﹣2020，675） C．（2021，﹣669） D．（2022，﹣670）【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特征，求出B、C點的坐標，再寫出BC解析式，再判斷點在BC上．【解答】解：作BD⊥OA，CE⊥OA，∵∠BOA＝45°，∴BD＝OD，設B（a，a），∴，∴a＝3或a＝﹣3（舍去），∴BD＝OD＝3，B（3，3），∵BC＝2AC．∴AB＝3AC，∵BD⊥OA，CE⊥OA，∴BD∥CE，.∴△ABD∽△ACE∵＝3，∴，∴CE＝1，∵圖象經過點C，∴，∴x＝9，C（9，1）設BC的解析式為y＝kx+b，，解得，∴x+4，當x＝﹣2019時，y＝677，當x＝﹣2020時，y＝677，當x＝2021時，y＝﹣669，當x＝2022時，y＝﹣670，故選：D．【點評】本題考查反比例函數圖象上的點的性質，能求出BC的解析式是解題的關鍵．12．（3分）在銳角△ABC中，分別以AB和AC為斜邊向△ABC的外側作等腰Rt△ABM和等腰Rt△ACN，點D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，連接MD、MF、FE、FN．根據題意小明同學畫出草圖（如圖所示），并得出下列結論：①MD＝FE，②∠DMF＝∠EFN，③FM⊥FN，④S△CEF＝S四邊形ABFE，其中結論正確的個數為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半和三角形中位線定理判斷結論①，連接DF，EN，通過SAS定理證明△MDF≌△FEN判斷結論②，利用全等三角形的性質結合平行四邊形的判定和性質判斷結論③，利用相似三角形的判定和性質判定結論④．【解答】解：∵D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，且△ABM是等腰直角三角形，∴DM＝，EF＝，EF∥AB，∠MDB＝90°，∴DM＝EF，∠FEC＝∠BAC，故結論①正確；連接DF，EN，∵D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，且△ACN是等腰直角三角形，∴EN＝，DF＝，DF∥AC，∠NEC＝90°，∴EN＝DF，∠BDF＝∠BAC，∠BDF＝∠FEC，∴∠BDF+∠MDB＝∠FEC+∠NEC，∴∠MDF＝∠FEN，在△MDF和△FEN中，∴△MDF≌△FEN（SAS），∴∠DMF＝∠EFN，故結論②正確；∵EF∥AB，DF∥AC，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴∠DFE＝∠BAC，又∵△MDF≌△FEN，∴∠DFM＝∠ENF，∴∠EFN+∠DFM＝∠EFN+∠ENF＝180°﹣∠FEN＝180°﹣（∠FEC+∠NEC）＝180°﹣（∠BAC+90°）＝90°﹣∠BAC，∴∠MFN＝∠DFE+∠EFN+∠DFM＝∠BAC+90°﹣∠BAC＝90°，∴MF⊥FN，故結論③正確；∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，∴，∴S△CEF＝S四邊形ABFE，故結論④錯誤，∴正確的結論為①②③，共3個，故選：B．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，三角形中位線定理，題目難度適中，有一定的綜合性，適當添加輔助線構造全等三角形是解題關鍵．二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，滿分24分.13．（4分）若代數式有意義，則x的取值范圍為x＞3．【分析】二次根式中被開方數的取值范圍：二次根式中的被開方數是非負數．【解答】解：∵代數式有意義，∴x﹣3＞0，∴x＞3，∴x的取值范圍是x＞3，故答案為：x＞3．【點評】本題主要考查了二次根式有意義的條件，如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數為非負數外，還必須保證分母不為零．14．（4分）如圖，在△ABC中，點D是邊BC上的一點．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，則∠C的大小為34°．【分析】根據等腰三角形的性質和三角形內角和，可以先計算出∠ADB的度數，然后再根據AD＝DC，∠ADB＝∠C+∠DAC，即可得到∠C的度數．【解答】解：∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，∵∠BAD＝44°，∴∠ADB＝＝68°，∵AD＝DC，∠ADB＝∠C+∠DAC，∴∠C＝∠DAC＝∠ADB＝34°，故答案為：34°．【點評】本題考查等腰三角形的性質、三角形內角和定理，利用數形結合的思想解答是解答本題的關鍵．15．（4分）計算：+﹣|π0﹣|﹣（）﹣1＝3．【分析】根據算術平方根、立方根、零指數冪、絕對值和負整數指數冪可以解答本題．【解答】解：+﹣|π0﹣|﹣（）﹣1＝4+2﹣|1﹣|﹣3＝4+2﹣（﹣1）﹣3＝4+2﹣+1﹣3＝3，故答案為：3．【點評】本題考查算術平方根、立方根、零指數冪、絕對值和負整數指數冪，解答本題的關鍵是明確它們各自的計算方法．16．（4分）某芭蕾舞團新進一批女演員，她們的身高及其對應人數情況如表所示：身高（cm）163164165166168人數12311那么，這批女演員身高的方差為2cm2．【分析】根據表格中的數據，可以先求出平均數，然后根據方差的計算方法代入數據計算即可．【解答】解：＝＝165（cm），s2＝×[（163﹣165）2×1+（164﹣165）2×2+（165﹣165）2×3+（166﹣165）2×1+（168﹣165）2×1]＝2（cm2），故答案為：2cm2．【點評】本題考查方差，解答本題的關鍵是求出數據的平均數，明確方差的計算方法s2＝．17．（4分）若點A（﹣1，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）都在反比例函數y＝（k為常數）的圖象上，則y1、y2、y3的大小關系為y2＜y1＜y3．【分析】根據反比例函數的性質和k2+1＞0，可以得到反比例函數y＝的圖象所在的象限和在每個象限內的增減性，然后即可判斷y1、y2、y3的大小關系．【解答】解：∵反比例函數y＝（k為常數），k2+1＞0，∴該函數圖象在第一、三象限，在每個象限內y隨x的增大而減小，∵點A（﹣1，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）都在反比例函數y＝（k為常數）的圖象上，﹣1＜﹣，點A、B在第三象限，點C在第一象限，∴y2＜y1＜y3，故答案為：y2＜y1＜y3．【點評】本題考查反比例函數的性質，解答本題的關鍵是明確反比例函數的性質，會用反比例函數的性質判斷函數值的大小關系，注意第三象限內點的縱坐標始終小于第一象限內點的縱坐標．18．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若點P是△ABC內一點，則PA+PB+PC的最小值為．【分析】根據題意，首先以點A為旋轉中心，順時針旋轉△APB到△AP′B′，旋轉角是60°，作出圖形，然后根據旋轉的性質和全等三角形的性質、等邊三角形的性質，可以得到PA+PB+PC＝PP′+P′B′+PC，再根據兩點之間線段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根據勾股定理可以求得CB′的值，從而可以解答本題．【解答】解：以點A為旋轉中心，順時針旋轉△APB到△AP′B′，旋轉角是60°，連接BB′、PP′，如圖所示，則∠PAP′＝60°，AP＝AP′，PB＝P′B′，∴△APP′是等邊三角形，∴AP＝PP′，∴PA+PB+PC＝PP′+P′B′+PC，∵PP′+P′B′+PC≥CB′，∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，∵∠BAC＝30°，∠BAB′＝60°，AB＝2，∴∠CAB′＝90°，AB′＝2，AC＝AB?cos∠BAC＝2×cos30°＝2×＝，∴CB′＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查全等三角形的性質、旋轉的性質、等邊三角形的性質、最短路徑問題、勾股定理，解答本題的關鍵是作出合適的輔助線，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的數學思想是數形結合的思想．三、解答題：本大題共6個小題，滿分60分.解答時請寫出必要的演推過程.19．（8分）計算：（﹣）÷．【分析】先將括號內的式子通分，然后將括號外的除法轉化為乘法，再約分即可．【解答】解：（﹣）÷＝[﹣]?＝?＝＝＝﹣＝﹣．【點評】本題考查分式的混合運算，解答本題的關鍵是明確異分母分式減法和分式除法的運算法則和運算順序．20．（9分）某商品原來每件的售價為60元，經過兩次降價后每件的售價為48.6元，并且每次降價的百分率相同．（1）求該商品每次降價的百分率；（2）若該商品每件的進價為40元，計劃通過以上兩次降價的方式，將庫存的該商品20件全部售出，并且確保兩次降價銷售的總利潤不少于200元，那么第一次降價至少售出多少件后，方可進行第二次降價？【分析】（1）根據某商品原來每件的售價為60元，經過兩次降價后每件的售價為48.6元，并且每次降價的百分率相同，可設每次降價的百分率為x，從而可以列出方程60（1﹣x）2＝48.6，然后求解即可；（2）根據題意和（1）中的結果，可以列出相應的不等式，然后即可求得第一次降價出售的件數的取值范圍，再根據件數為整數，即可得到第一次降價至少售出多少件后，方可進行第二次降價．【解答】解：（1）設該商品每次降價的百分率為x，60（1﹣x）2＝48.6，解得x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），答：該商品每次降價的百分率是10%；（2）設第一次降價售出a件，則第二次降價售出（20﹣a）件，由題意可得，[60（1﹣10%）﹣40]a+（48.6﹣40）×（20﹣a）≥200，解得a≥5，∵a為整數，∴a的最小值是6，答：第一次降價至少售出6件后，方可進行第二次降價．【點評】本題考查一元二次方程的應用、一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出等量關系和不等關系，列出相應的方程和不等式，第一問是典型的的下降率問題，是中考?？碱}型．21．（9分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，BE∥AC，AE∥BD．（1）求證：四邊形AOBE是菱形；（2）若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面積．【分析】（1）根據BE∥AC，AE∥BD，可以得到四邊形AOBE是平行四邊形，然后根據矩形的性質，可以得到OA＝OB，由菱形的定義可以得到結論成立；（2）根據∠AOB＝60°，AC＝4，可以求得菱形AOBE邊OA上的高，然后根據菱形的面積＝底×高，代入數據計算即可．【解答】（1）證明：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AOBE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OA＝OB，∴四邊形AOBE是菱形；（2）解：作BF⊥OA于點F，∵四邊形ABCD是矩形，AC＝4，∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OA＝OB＝2，∵∠AOB＝60°，∴BF＝OB?sin∠AOB＝2×＝，∴菱形AOBE的面積是：OA?BF＝2×＝2．【點評】本題考查菱形的判定、矩形的性質，解答本題的關鍵是明確菱形的判定方法，知道菱形的面積＝底×高或者是對角線乘積的一半．22．（10分）甲、乙兩車沿同一條筆直的道路勻速同向行駛，車速分別為20米/秒和25米/秒．現甲車在乙車前500米處，設x秒后兩車相距y米，根據要求解答以下問題：（1）當x＝50（秒）時，兩車相距多少米？當x＝150（秒）時呢？（2）求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）在給出的平面直角坐標系中，請直接畫出（2）中所求函數的圖象．【分析】（1）根據題意，可以先計算出兩車相遇需要的時間，然后即可計算出當x＝50和x＝150時，兩車的距離；（2）先計算出兩車相遇需要的時間，然后根據x的取值范圍不同，寫出相應的函數解析式即可；（3）根據（2）中的函數解析式和兩點確定一次函數的圖象的方法，可以畫出相應的函數圖象．【解答】解：（1）∵500÷（25﹣20）＝500÷5＝100（秒），∴當x＝50時，兩車相距：20×50+500﹣25×50＝1000+500﹣1250＝250（米），當x＝150時，兩車相距：25×150﹣（20×150+500）＝3750﹣（3000+500）＝3750﹣3500＝250（米），答：當x＝50（秒）時，兩車相距250米，當x＝150（秒）時，兩車相距250米；（2）由題意可得，乙車追上甲車用的時間為：500÷（25﹣20）＝500÷5＝100（秒），∴當0≤x≤100時，y＝20x+500﹣25x＝﹣5x+500，當x＞100時，y＝25x﹣（20x+500）＝25x﹣20x﹣500＝5x﹣500，由上可得，y與x的函數關系式是y＝；（3）在函數y＝﹣5x+500中，當x＝0時，y＝﹣5×0+500＝500，當x＝100時，y＝﹣5×100+500＝0，即函數y＝﹣5x+500的圖象過點（0，500），（100，0）；在函數y＝5x﹣500中，當x＝150時，y＝250，當x＝200時，y＝500，即函數y＝5x﹣500的圖象過點（150，250），（200，500），畫出（2）中所求函數的圖象如右圖所示．【點評】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的函數解析式，畫出相應的函數圖象，利用數形結合的思想解答．23．（10分）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，直線DE與⊙O相切于點D，割線AC⊥DE于點E且交⊙O于點F，連接DF．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）求證：DF2＝EF?AB．【分析】（1）連接OD，然后根據切線的性質和平行線的性質，可以得到∠ODA＝∠DAC，再根據OA＝OD，可以得到∠OAD＝∠ODA，從而可以得到∠DAC＝∠OAD，結論得證；（2）方法一：根據相似三角形的判定和性質，可以得到DB?DF＝EF?AB，再根據等弧所對的弦相等，即可證明結論成立．方法二：作OM⊥DF于點M，連接OF、OD，然后根據題目中的條件，可以證明△DEF∽△ODM，然后即可得到，然后進行變形，即可得到結論成立．【解答】（1）證明：連接OD，如右圖1所示，∵直線DE與⊙O相切于點D，AC⊥DE，∴∠ODE＝∠DEA＝90°，∴∠ODE+∠DEA＝180°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠DAC，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠DAC＝∠OAD，∴AD平分∠BAC；（2）方法一：證明：連接BD，如右圖1所示，∵AC⊥DE，垂足為E，AB是⊙O的直徑，∴∠DEF＝∠ADB＝90°，∵∠EFD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DBA＝180°，∴∠EFD＝∠DBA，∴△EFD∽△DBA，∴，∴DB?DF＝EF?AB，由（1）知，AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠DAB，∴DF＝DB，∴DF2＝EF?AB．方法二：作OM⊥DF于點M，連接OF、OD，如右圖2所示，∵OD＝OF，OM⊥DF，∴DM＝MF＝DF，∵∠ODE＝90°，∠DEF＝90°，∴∠ODM+∠EDF＝90°，∠EDF+∠DFE＝90°，∴∠DEF＝∠OMD，又∵∠DEF＝∠OMD，∴△DEF∽△OMD，∴，∴EF?OD＝DF?MD，∵OD＝AB，DM＝DF，∴EF?AB＝DF?DF，∴DF2＝EF?AB．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質、切線的性質、角平分線的定義、平行線的性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答