2021年四川省遂寧市中考數(shù)學(xué)試卷（含解析版）

2021年四川省遂寧市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求。）1．（4分）﹣2021的絕對值是（）A．﹣2021 B．2021 C．±2021 D．2．（4分）下列計算中，正確的是（）A．（a+3）2＝a2+9 B．a(chǎn)8÷a4＝a2 C．2（a﹣b）＝2a﹣b D．a(chǎn)2+a2＝2a23．（4分）如圖所示的幾何體是由6個完全相同的小正方體搭成，其主視圖是（）A． B． C． D．4．（4分）國家統(tǒng)計局2021年5月11日公布了第七次全國人口普查結(jié)果，全國總?cè)丝诩s14.1億人，將14.1億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．14.1×108 B．1.41×108 C．1.41×109 D．0.141×10105．（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為（）A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm26．（4分）下列說法正確的是（）A．角平分線上的點到角兩邊的距離相等 B．平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 C．在代數(shù)式，2x，，985，+2b，+y中，，，+2b是分式 D．若一組數(shù)據(jù)2、3、x、1、5的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是47．（4分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．8．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，點E為BC上一點，把△CDE沿DE翻折，點C恰好落在AB邊上的F處，則CE的長是（）A．1 B． C． D．9．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為點F，若⊙O的半徑為4，∠CDF＝15°，則陰影部分的面積為（）A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．20π﹣2410．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，則這四個根的和為2．其中正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）11．（4分）若|a﹣2|+＝0，則ab＝．12．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直線DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點D，則△ABD的周長是．13．（4分）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組滿足x﹣y＞0，則a的取值范圍是．14．（4分）下面圖形都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去，第個圖形共有210個小球．15．（4分）如圖，正方形ABCD中，點E是CD邊上一點，連結(jié)BE，以BE為對角線作正方形BGEF，邊EF與正方形ABCD的對角線BD相交于點H，連結(jié)AF，有以下五個結(jié)論：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH?BD；⑤若CE：DE＝1：3，則BH：DH＝17：16．你認為其中正確是．（填寫序號）三、計算或解答題（本大題共10個小題，共90分）16．（7分）計算：（﹣）﹣1+tan60°﹣|2﹣|+（π﹣3）0﹣．（7分）先化簡，再求值：÷（+m+3），其中m是已知兩邊分別為2和3的三角形的第三邊長，且m是整數(shù)．18．（8分）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O的直線EF與BA、DC的延長線分別交于點E、F．（1）求證：AE＝CF；（2）請再添加一個條件，使四邊形BFDE是菱形，并說明理由．19．（9分）我市于2021年5月22﹣23日在遂寧觀音湖舉行了“龍舟賽”，吸引了全國各地選手參加．現(xiàn)對某校初中1000名學(xué)生就“比賽規(guī)則”的了解程度進行了抽樣調(diào)查（參與調(diào)查的同學(xué)只能選擇其中一項），并將調(diào)查結(jié)果繪制出兩幅不完整的統(tǒng)計圖表，請根據(jù)統(tǒng)計圖表回答下列問題：類別頻數(shù)頻率不了解10m了解很少160.32基本了解b很了解4n合計a1（1）根據(jù)以上信息可知：a＝，b＝，m＝，n＝；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）估計該校1000名初中學(xué)生中“基本了解”的人數(shù)約有人；（4）“很了解”的4名學(xué)生是三男一女，現(xiàn)從這4人中隨機抽取兩人去參加全市舉辦的“龍舟賽”知識競賽，請用畫樹狀圖或列表的方法說明，抽到兩名學(xué)生均為男生和抽到一男一女的概率是否相同．20．（9分）已知平面直角坐標系中，點P（x0，y0）和直線Ax+By+C＝0（其中A，B不全為0），則點P到直線Ax+By+C＝0的距離d可用公式d＝來計算．例如：求點P（1，2）到直線y＝2x+1的距離，因為直線y＝2x+1可化為2x﹣y+1＝0，其中A＝2，B＝﹣1，C＝1，所以點P（1，2）到直線y＝2x+1的距離為：d＝＝＝＝．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）求點M（0，3）到直線y＝x+9的距離；（2）在（1）的條件下，⊙M的半徑r＝4，判斷⊙M與直線y＝x+9的位置關(guān)系，若相交，設(shè)其弦長為n，求n的值；若不相交，說明理由．21．（9分）某服裝店以每件30元的價格購進一批T恤，如果以每件40元出售，那么一個月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗，銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10件，設(shè)T恤的銷售單價提高x元．（1）服裝店希望一個月內(nèi)銷售該種T恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減少庫存，問T恤的銷售單價應(yīng)提高多少元？（2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，該服裝店一個月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？22．（9分）小明周末與父母一起到遂寧濕地公園進行數(shù)學(xué)實踐活動，在A處看到B、C處各有一棵被湖水隔開的銀杏樹，他在A處測得B在北偏西45°方向，C在北偏東30°方向，他從A處走了20米到達B處，又在B處測得C在北偏東60°方向．（1）求∠C的度數(shù)；（2）求兩棵銀杏樹B、C之間的距離（結(jié)果保留根號）．23．（10分）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y2＝（m≠0）的圖象交于點A（1，2）和B（﹣2，a），與y軸交于點M．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）在y軸上取一點N，當(dāng)△AMN的面積為3時，求點N的坐標；（3）將直線y1向下平移2個單位后得到直線y3，當(dāng)函數(shù)值y1＞y2＞y3時，求x的取值范圍．24．（10分）如圖，⊙O的半徑為1，點A是⊙O的直徑BD延長線上的一點，C為⊙O上的一點，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求證：直線AC是⊙O的切線；（2）求△ABC的面積；（3）點E在上運動（不與B、D重合），過點C作CE的垂線，與EB的延長線交于點F．①當(dāng)點E運動到與點C關(guān)于直徑BD對稱時，求CF的長；②當(dāng)點E運動到什么位置時，CF取到最大值，并求出此時CF的長．25．（12分）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B（﹣3，0）兩點，與y軸交于C（0，﹣3），對稱軸為直線x＝﹣1，直線y＝﹣2x+m經(jīng)過點A，且與y軸交于點D，與拋物線交于點E，與對稱軸交于點F．（1）求拋物線的解析式和m的值；（2）在y軸上是否存在點P，使得以D、E、P為頂點的三角形與△AOD相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由；（3）直線y＝1上有M、N兩點（M在N的左側(cè)），且MN＝2，若將線段MN在直線y＝1上平移，當(dāng)它移動到某一位置時，四邊形MEFN的周長會達到最小，請求出周長的最小值（結(jié)果保留根號）．

2021年四川省遂寧市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求。）1．（4分）﹣2021的絕對值是（）A．﹣2021 B．2021 C．±2021 D．【分析】根據(jù)絕對值的代數(shù)意義即可求解．【解答】解：﹣2021的絕對值是2021，故選：B．【點評】本題考查了絕對值的代數(shù)意義，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，這是解題的關(guān)鍵．2．（4分）下列計算中，正確的是（）A．（a+3）2＝a2+9 B．a(chǎn)8÷a4＝a2 C．2（a﹣b）＝2a﹣b D．a(chǎn)2+a2＝2a2【分析】根據(jù)完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，乘法分配律，合并同類項解答即可．【解答】解：A選項，原式＝a2+6a+9，故該選項不符合題意；B選項，原式＝a4，故該選項不符合題意；C選項，原式＝2a﹣2b，故該選項不符合題意；D選項，原式＝2a2，故該選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，乘法分配律，合并同類項，注意完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點．3．（4分）如圖所示的幾何體是由6個完全相同的小正方體搭成，其主視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)簡單組合體的三視圖的意義畫出相應(yīng)的圖形即可．【解答】解：該組合體的三視圖如圖，故選：D．【點評】本題考查簡單組合體的三視圖，理解視圖的意義是正確判斷的前提．4．（4分）國家統(tǒng)計局2021年5月11日公布了第七次全國人口普查結(jié)果，全國總?cè)丝诩s14.1億人，將14.1億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．14.1×108 B．1.41×108 C．1.41×109 D．0.141×1010【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．【解答】解：14.1億＝1410000000＝1.41×109．故選：C．【點評】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關(guān)鍵．5．（4分）如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為（）A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2【分析】由DE都是中點，可得DE是△ABC的中位線，則DE∥BC，則△ADE∽△ABC，且相似比是1：2，則△ADE的面積和△ABC的面積比是1：4，則△ADE的面積：四邊形BDEC的面積＝1：3，結(jié)合已知條件，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，∴DE∥BC，且＝，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE的面積：△ABC的面積＝1：4，∴△ADE的面積：四邊形BDEC的面積＝1：3，∵△ADE的面積是3cm2，∴四邊形BDEC的面積是9cm2，故選：B．【點評】本題主要考查三角形中位線的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，結(jié)合背景圖形，找到已知和所求面積的關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．（4分）下列說法正確的是（）A．角平分線上的點到角兩邊的距離相等 B．平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 C．在代數(shù)式，2x，，985，+2b，+y中，，，+2b是分式 D．若一組數(shù)據(jù)2、3、x、1、5的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)，平行四邊形特點、分式定義、中位數(shù)定義即可判斷．【解答】解：A、根據(jù)角平分線性質(zhì)可得：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，故正確，符合題意．B、平行四邊形不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形，故錯誤，不符合題意．C、代數(shù)式，2x，，985，+2b，+y中，，+2b是分式，故錯誤，不符合題意．D、一組數(shù)據(jù)2、3、x、1、5的平均數(shù)是3，則x＝4，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3，故錯誤，不符合題意．故選：A．【點評】本題考查角平分線性質(zhì)，平行四邊形特點、分式定義、中位數(shù)定義等知識，關(guān)鍵在于掌握其定義或者性質(zhì)．7．（4分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】分別求出每一個不等式的解集，繼而可得答案．【解答】解：解不等式2﹣x＞0，得：x＜2，解不等式≥﹣1，得：x≥﹣1，不等式組的解集為﹣1≤x＜2，在數(shù)軸上表示為：故選：C．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．8．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，點E為BC上一點，把△CDE沿DE翻折，點C恰好落在AB邊上的F處，則CE的長是（）A．1 B． C． D．【分析】設(shè)CE＝x，則BE＝3﹣x由折疊性質(zhì)可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝5，求出AF＝4，BF＝AB﹣AF＝1，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（3﹣x）2+12＝x2，即可求解．【解答】解：設(shè)CE＝x，則BE＝3﹣x．由折疊性質(zhì)可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝5．在Rt△DAF中，AD＝3，DF＝5．∴AF＝4．∴BF＝AB﹣AF＝1．在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2．即（3﹣x）2+12＝x2．解得x＝．故選：D．【點評】本題考查了矩形，熟練掌握矩形的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為點F，若⊙O的半徑為4，∠CDF＝15°，則陰影部分的面積為（）A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．20π﹣24【分析】連接AD，OE，先通過直徑所對是圓周角是直角，證出∠CDF＝∠DAC，從而得出∠BAC＝2∠DAC＝30°，再通過S陰影＝S扇形OAE﹣S△AOE計算即可．【解答】解：連接AD，OE∵AB為直徑，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDF＝90°，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∴∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠CDF＝∠DAC，∵∠CDF＝15°，∴∠DAC＝15°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°，∴∠AOE＝120°，作OH⊥AE于H，在Rt△AOH中，OA＝4，∴OH＝sin30°×OA＝2，AH＝cos30°×OA＝6，∴AE＝2AH＝12，∴S陰影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝＝16．故選：A．【點評】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及扇形的面積計算等知識，求出扇形的圓心角度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．10．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個根，則這四個根的和為2．其中正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】由二次函數(shù)圖象性質(zhì)知，開口向下，則a＜0．再結(jié)合對稱軸＞0，得b＞0．據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸正半軸相交得c＞0．由于二次函數(shù)圖象與x軸交于不同兩點，則b2﹣4ac＞0．【解答】解：①二次函數(shù)圖象性質(zhì)知，開口向下，則a＜0．再結(jié)合對稱軸＞0，得b＞0．據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸正半軸相交得c＞0．∴abc＜0．①錯．②二次函數(shù)圖象與x軸交于不同兩點，則b2﹣4ac＞0．∴b2＞4ac．②錯．③∵，∴b＝﹣2a．又當(dāng)x＝﹣1時，y＜0．即a﹣b+c＜0．∴2a﹣2b+2c＜0．∴﹣3b+2c＜0．2c＜3b．∴③正確．④要使a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，只需a+b+c＞m（am+b）+c成立．即當(dāng)x＝1時的y值大于當(dāng)x＝m時的y值成立．由于x＝1時函數(shù)有最大值，所以上述式子成立．∴④正確．⑤將x軸下方二次函數(shù)圖象翻折到x軸上方，則與直線y＝1有四個交點即可．由二次函數(shù)圖象的軸對稱性知：關(guān)于對稱軸對稱的兩個根的和為2，四個根的和為4．故⑤錯．綜上：③④正確，故選：A．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象性質(zhì)，較為綜合．需要對二次函數(shù)各項系數(shù)對圖象的決定作用理解透徹，同時需要理解二次函數(shù)與方程的關(guān)系．會用數(shù)形結(jié)合的思想去解題．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）11．（4分）若|a﹣2|+＝0，則ab＝﹣4．【分析】直接利用非負數(shù)的性質(zhì)得出a，b的值，進而得出答案．【解答】解：∵|a﹣2|+＝0，∴a﹣2＝0，a+b＝0，解得：a＝2，b＝﹣2，故ab＝2×（﹣2）＝﹣4．故答案為：﹣4．【點評】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，正確得出a，b的值是解題關(guān)鍵．12．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直線DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點D，則△ABD的周長是12．【分析】依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得DB＝DC．△ABD周長轉(zhuǎn)化為AB+AC即可求解．【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC．∴C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝12．∴△ABD的周長是12．故答案為：12．【點評】本題主要考查中垂線性質(zhì)：中垂線上一點到線段兩端點距離相等．將所求周長轉(zhuǎn)化為AB+AC的和即可．13．（4分）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組滿足x﹣y＞0，則a的取值范圍是a＞1．【分析】根據(jù)方程組的特點，用第一個方程減第二個方程，即可得到x﹣y＝3a﹣3，再根據(jù)x﹣y＞0，即可得到3a﹣3＞0，從而可以求得a的取值范圍．【解答】解：，①﹣②，得x﹣y＝3a﹣3，∵x﹣y＞0，∴3a﹣3＞0，解得a＞1，故答案為：a＞1．【點評】本題考查解一元一次不等式、二元一次方程組的解，解答本題的關(guān)鍵是明確利用加減消元法得到x﹣y的值．14．（4分）下面圖形都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去，第20個圖形共有210個小球．【分析】觀察圖形，找出圖形變化的規(guī)律即可．【解答】解：第1個圖中有1個小球，第2個圖中有3個小球，3＝1+2，第3個圖中有6個小球，6＝1+2+3，第4個圖中有10個小球，10＝1+2+3+4，……照此規(guī)律，第n個圖中有1+2+3+……+n＝個小球，當(dāng)時，解之得：n1＝20，n2＝﹣21（舍），故答案為：20．【點評】本題考查了規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形并找到小球個數(shù)的規(guī)律．15．（4分）如圖，正方形ABCD中，點E是CD邊上一點，連結(jié)BE，以BE為對角線作正方形BGEF，邊EF與正方形ABCD的對角線BD相交于點H，連結(jié)AF，有以下五個結(jié)論：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH?BD；⑤若CE：DE＝1：3，則BH：DH＝17：16．你認為其中正確是①②③④．（填寫序號）【分析】①由∠ABD＝∠FBE＝45°，可知∠ABF＝∠DBE；②根據(jù)△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，可得，從而得到△ABF∽△DBE；③由②相似知：∠FAB＝∠EDB＝45°，可得AF⊥BD；④由∠BEH＝∠EDB，∠EBH＝∠DBE可證△BEH∽△BDE，根據(jù)對應(yīng)邊成比例即可；⑤若CE：DE＝1：3，設(shè)CE＝x，DE＝3x，則BC＝4x，由勾股定理知BE＝，借助④的證明即可解答．【解答】解：①∵正方形ABCD和正方形BGEF，∴△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，∴∠ABD＝∠FBE＝45°，∴∠ABF＝∠DBE；∴①正確，符合題意；②∵△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，∴，又∵∠ABF＝∠DBE，∴△ABF∽△DBE，∴②正確，符合題意；③∵△ABF∽△DBE，∴∠FAB＝∠EDB＝45°，∴AF⊥BD；∴③正確，符合題意；④∵∠BEH＝∠EDB＝45°，∠EBH＝∠DBE，∴△BEH∽△BDE，∴，∴BE2＝BD×BH，∵BE＝BG，∴2BG2＝BD×BH，∴④正確，符合題意；⑤∵CE：DE＝1：3，∴設(shè)CE＝x，DE＝3x，∴BC＝4x，在Rt△BCE中，由勾股定理知：BE＝，∵BE2＝BD×BH，∴17x2＝×BH，∴，∴DH＝，∴BH：DH＝17：15，∴⑤錯誤，不符合題意；故答案為：①②③④．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．三、計算或解答題（本大題共10個小題，共90分）16．（7分）計算：（﹣）﹣1+tan60°﹣|2﹣|+（π﹣3）0﹣．【分析】直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：原式＝﹣2+﹣（2﹣）+1﹣2＝﹣2+﹣2++1﹣2＝﹣3．【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．17．（7分）先化簡，再求值：÷（+m+3），其中m是已知兩邊分別為2和3的三角形的第三邊長，且m是整數(shù)．【分析】根據(jù)分式的運算法則進行化簡，然后將m的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝÷[+]＝÷＝÷＝?＝，∵m是已知兩邊分別為2和3的三角形的第三邊長，∴3﹣2＜m＜3+2，即1＜m＜5，∵m為整數(shù)，∴m＝2、3、4，由分式有意義的條件可知：m≠0、2、3，∴m＝4，∴原式＝．【點評】本題考查分式的化簡運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則以及分式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型．18．（8分）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O的直線EF與BA、DC的延長線分別交于點E、F．（1）求證：AE＝CF；（2）請再添加一個條件，使四邊形BFDE是菱形，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)OA＝OC，BE∥DF，求得∠E＝∠F，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）連結(jié)BF，DE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OB＝OD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OE＝OF，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，BE∥DF，∴∠E＝∠F，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF；（2）當(dāng)EF⊥BD時，四邊形BFDE是菱形，理由如下：如圖：連結(jié)BF，DE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∵EF⊥BD，∴四邊形BFDE是菱形．【點評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的判定，首先利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造全等條件，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決問題．19．（9分）我市于2021年5月22﹣23日在遂寧觀音湖舉行了“龍舟賽”，吸引了全國各地選手參加．現(xiàn)對某校初中1000名學(xué)生就“比賽規(guī)則”的了解程度進行了抽樣調(diào)查（參與調(diào)查的同學(xué)只能選擇其中一項），并將調(diào)查結(jié)果繪制出兩幅不完整的統(tǒng)計圖表，請根據(jù)統(tǒng)計圖表回答下列問題：類別頻數(shù)頻率不了解10m了解很少160.32基本了解b很了解4n合計a1（1）根據(jù)以上信息可知：a＝50，b＝20，m＝0.2，n＝0.08；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）估計該校1000名初中學(xué)生中“基本了解”的人數(shù)約有400人；（4）“很了解”的4名學(xué)生是三男一女，現(xiàn)從這4人中隨機抽取兩人去參加全市舉辦的“龍舟賽”知識競賽，請用畫樹狀圖或列表的方法說明，抽到兩名學(xué)生均為男生和抽到一男一女的概率是否相同．【分析】（1）由“了解很少”的人數(shù)及其對應(yīng)頻率可得被調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再根據(jù)頻數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)可得b的值，由頻率＝頻數(shù)÷總?cè)藬?shù)可得m、n的值；（2）根據(jù)以上所求結(jié)果即可補全條形圖；（3）總?cè)藬?shù)乘以樣本中“基本了解”人數(shù)所占比例即可；（4）記4名學(xué)生中3名男生分別為A1，A2，A3，一名女生為B，列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到抽到兩名學(xué)生均為男生和抽到一男一女的結(jié)果數(shù)，求出其概率即可得出答案．【解答】解：（1）a＝16÷0.32＝50，b＝50﹣（10+16+4）＝20，m＝10÷50＝0.2，n＝4÷50＝0.08，故答案為：50、20、0.2、0.08；（2）補全條形圖如下：（3）估計該校1000名初中學(xué)生中“基本了解”的人數(shù)約有1000×＝400（人），故答案為：400；（4）記4名學(xué)生中3名男生分別為A1，A2，A3，一名女生為B，列表如下：A1A2A3BA1（A1，A2）（A1，A3）（A1，B）A2（A2，A1）（A2，A3）（A2，B）A3（A3，A1）（A3，A2）（A3，B）B（B，A1）（B，A2）（B，A3）從4人中任取兩人的所有機會均等結(jié)果共有12種，抽到兩名學(xué)生均為男生包含：A1A2、A1A3、A2A1、A2A3、A3A1、A3A2共6種等可能結(jié)果，∴P（抽到兩名學(xué)生均為男生）＝＝，抽到一男一女包含：A1B、A2B、A3B、BA1、BA2、BA3共六種等可能結(jié)果，∴P（抽到一男一女）＝＝，故抽到兩名學(xué)生均為男生和抽到一男一女的概率相同．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了樣本估計總體、扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖．20．（9分）已知平面直角坐標系中，點P（x0，y0）和直線Ax+By+C＝0（其中A，B不全為0），則點P到直線Ax+By+C＝0的距離d可用公式d＝來計算．例如：求點P（1，2）到直線y＝2x+1的距離，因為直線y＝2x+1可化為2x﹣y+1＝0，其中A＝2，B＝﹣1，C＝1，所以點P（1，2）到直線y＝2x+1的距離為：d＝＝＝＝．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）求點M（0，3）到直線y＝x+9的距離；（2）在（1）的條件下，⊙M的半徑r＝4，判斷⊙M與直線y＝x+9的位置關(guān)系，若相交，設(shè)其弦長為n，求n的值；若不相交，說明理由．【分析】（1）直接利用新定義點到直線的距離公式求解，即可得出結(jié)論；（2）利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系，判斷出直線與⊙M相交，再利用垂徑定理得出EF＝2EH，最后用勾股定理求解，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵y＝x+9可變形為x﹣y+9＝0，則其中A＝，B＝﹣1，C＝9，由公式得，點M（0，3）到直線y＝x+9的距離，∴點M到直線y＝x+9的距離為3；（2）如圖，由（1）可知：圓心到直線的距離d＝3，∵圓的半徑r＝4，∴d＜r，∴直線y＝x+9與⊙M相交，兩交點記作E，F(xiàn)，連接EM，過點M作MH⊥EF于H，則EF＝2EH，在Rt△EHM中，EM＝4，MH＝3，根據(jù)勾股定理得，EH＝＝＝，∴弦長n＝EF＝2EH＝2．【點評】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了新定義，點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，理解和運用新定義是解本題的關(guān)鍵．21．（9分）某服裝店以每件30元的價格購進一批T恤，如果以每件40元出售，那么一個月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗，銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10件，設(shè)T恤的銷售單價提高x元．（1）服裝店希望一個月內(nèi)銷售該種T恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減少庫存，問T恤的銷售單價應(yīng)提高多少元？（2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，該服裝店一個月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）設(shè)銷售單價提高x元，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）設(shè)銷售利潤為M元，求得函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：（1）設(shè)T恤的銷售單價提高x元，由題意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，解得：x1＝2或x2＝18，∵要盡可能減少庫存，∴x2＝18不合題意，應(yīng)舍去．∴T恤的銷售單價應(yīng)提高2元，答：T恤的銷售單價應(yīng)提高2元；（2）設(shè)利潤為M元，由題意可得：M＝（x+40﹣30）（300﹣10x），＝﹣10x2+200x+3000，＝﹣10（x﹣10）2+4000，∴當(dāng)x＝10時，M最大值＝4000元，∴銷售單價：40+10＝50（元），答：當(dāng)服裝店將銷售單價定為50元時，得到最大利潤是4000元．【點評】本題考查了二次函數(shù)及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用利潤＝單件利潤×銷售量列出二次函數(shù)解析式．22．（9分）小明周末與父母一起到遂寧濕地公園進行數(shù)學(xué)實踐活動，在A處看到B、C處各有一棵被湖水隔開的銀杏樹，他在A處測得B在北偏西45°方向，C在北偏東30°方向，他從A處走了20米到達B處，又在B處測得C在北偏東60°方向．（1）求∠C的度數(shù)；（2）求兩棵銀杏樹B、C之間的距離（結(jié)果保留根號）．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BDG＝∠EBD＝60°，于是得到∠C＝∠BDG﹣∠CAD＝30°；（2）過點B作BG⊥AD于G．根據(jù)垂直的定義得到∠AGB＝∠BGD＝90°，在Rt△AGB中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AG＝BG＝20×sin45°＝米，解直角三角形得到BD＝＝（米），DG＝＝（米），于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）由題意得BE∥AD，∵BE∥AD且∠EBD＝60°，∴∠BDA＝∠EBD＝60°，∵∠BDA＝∠C+∠CAD且∠CAD＝30°，∴∠C＝∠BDA﹣∠CAD＝30°；（2）過點B作BG⊥AD于G．∵BG⊥AD，∴∠AGB＝∠BGD＝90°，在Rt△AGB中，AB＝20米，∠BAG＝45°，AG＝BG＝20×sin45°＝（米），在Rt△BGD中，∠BDG＝60°，∴BD＝＝（米），DG＝＝（米），∵∠C＝∠CAD＝30°，∴CD＝AD＝AG+DG＝（）（米），∴BC＝BD+CD＝（）米，答：兩棵銀杏樹B、C之間的距離為（）米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)建含特殊角的直角三角形．23．（10分）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y2＝（m≠0）的圖象交于點A（1，2）和B（﹣2，a），與y軸交于點M．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）在y軸上取一點N，當(dāng)△AMN的面積為3時，求點N的坐標；（3）將直線y1向下平移2個單位后得到直線y3，當(dāng)函數(shù)值y1＞y2＞y3時，求x的取值范圍．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）由S△AMN＝MN?|xA|＝3且xA＝1，即可求解；（3）如圖，設(shè)y2與y3的圖像交于C，D兩點，求出C（﹣1，﹣2），D（2，1），再觀察函數(shù)圖象即可求解．【解答】解：（1）∵過點A（1，2），∴m＝1×2＝2，即反比例函數(shù)：，當(dāng)x＝﹣2時，a＝﹣1，即B（﹣2，﹣1），∵y1＝kx+b過A（1，2）和B（﹣2，﹣1），則，解得，∴y1＝x+1；（2）當(dāng)x＝0時，代入y＝x+1中得，y＝1，即M（0，1），∵S△AMN＝MN?|xA|＝3且xA＝1，∴MN＝6，∴N（0，7）或（0，﹣5）；（3）如圖，設(shè)y2與y3的圖像交于C，D兩點，∵y1向下平移兩個單位得y3且y1＝x+1，∴y3＝x﹣1，聯(lián)立，解得或，∴C（﹣1，﹣2），D（2，1），∵y1＞y2＞y3，∴﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2．【點評】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、圖象的平移、面積的計算等，有一定的綜合性，難度不大．24．（10分）如圖，⊙O的半徑為1，點A是⊙O的直徑BD延長線上的一點，C為⊙O上的一點，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求證：直線AC是⊙O的切線；（2）求△ABC的面積；（3）點E在上運動（不與B、D重合），過點C作CE的垂線，與EB的延長線交于點F．①當(dāng)點E運動到與點C關(guān)于直徑BD對稱時，求CF的長；②當(dāng)點E運動到什么位置時，CF取到最大值，并求出此時CF的長．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)求出∠ACD＝30°，∠OCD＝60°，求出∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，則可求出答案；（2）證明△DCO是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出CD＝AD＝OD＝1，作CH⊥BD于點H，則DH＝，由勾股定理求出CH的長，由三角形的面積公式可求出答案；（3）①由垂徑定理可求出CE＝，由直角三角形的性質(zhì)可求出答案；②由銳角三角函數(shù)的定義及直角三角形的性質(zhì)可求出答案．【解答】（1）證明：連接OC，如圖1，∵AD＝CD，∠A＝30°，∴∠ACD＝30°，∴∠CDB＝60°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝60°，∴∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，∵OC是半徑，∴直線AC是⊙O的切線；（2）解：∵∠OCD＝60°，OC＝OD，∴△DCO是等邊三角形，∴CD＝AD＝OD＝1，作CH⊥BD于點H，則DH＝，如圖2，∴CH＝＝＝，∵AB＝AD+BD＝3，∴S△ABC＝＝．（3）①當(dāng)點E運動到與點C關(guān)于直徑AB對稱時，CE⊥AB于點K，如圖3，∵BD為⊙O的直徑，∴CE＝2CK＝，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∵∠CDB＝∠CEB＝60°，∴CF＝CE?tan60°＝＝3，②∵點E在上運動過程中，∠CDB＝∠CEB＝60°，在Rt△ECF中，tan60°＝，∴CF＝CE，∴當(dāng)CE最大時，CF取得最大值，∴當(dāng)CE為直徑，即CE＝2時，CF最大，最大值為2．【點評】本題是圓的綜合題，考查了的切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，直角三角形性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定及直角三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25