【數(shù)學】正態(tài)分布-2023-2024學年高二數(shù)學 人教A版2019選擇性必修第三冊

人教A版2019選修第三冊第七章隨機變量及其分布7.5正態(tài)分布1.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量；2.通過具體實例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特點；3.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義；4.了解3σ原則,會求隨機變量在特殊區(qū)間內(nèi)的概率.教學目標情景導入PART.01情景導入

印在人民幣上的數(shù)學家

高斯是一個偉大的數(shù)學家，一生中的重要貢獻不勝枚舉，德國的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態(tài)分布曲線，這就傳達了一個信息：在高斯的科學貢獻中，對人類文明影響最大的是“正態(tài)分布”．

正態(tài)分布PART.02問題提出

現(xiàn)實中,除了前面已經(jīng)研究過的離散型隨機變量外,還有大量問題中的隨機變量不是離散的，它們的取值往往充滿某個區(qū)間甚至整個實軸,但取一點的概率為0,我們稱這類隨機變量為連續(xù)性隨機變量

,下面我們看一個具體問題。概念講解問題：自動流水線包裝的食鹽，每袋標準質(zhì)量為400g.由于各種不可控的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質(zhì)量與標準質(zhì)量之間或多或少會存在一定的誤差(實際質(zhì)量減去標準質(zhì)量).用X表示這種誤差，則X是一個連續(xù)型隨機變量.檢測人員在一次產(chǎn)品檢驗中，隨機抽取了100袋食鹽，獲得誤差X(單位：g)的觀測值如下：(1)如何描述這100個樣本誤差數(shù)據(jù)的分布?(2)如何構(gòu)建適當?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布?概念講解可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布，如圖所示.其中每個小矩形的面積表示誤差落在相應區(qū)間內(nèi)的頻率，所有小矩形的面積為和為1隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大，讓分組越來越多，組距越來越小，由頻率的穩(wěn)定性可知，頻率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線.概念講解由函數(shù)知識可知，上圖中的鐘形曲線是一個函數(shù).思考1：這個函數(shù)是否存在解析式呢?其中μ∈R，σ>0為參數(shù).顯然，對任意的x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方，可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線，若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X~N(μ,σ2).特別地，當μ=0,σ=1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.f(x)x

μaxbO概念講解思考2：觀察正態(tài)曲線及相應的密度函數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點?由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點:(1)曲線是單峰的，它關于直線x=μ對稱；(2)曲線在x=μ處達到峰值(3)當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.概念講解

概念講解

思考3：

一個正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，這兩個參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響?它們反映正態(tài)分布的哪些特征?歸納小結(jié)σ=0.5012-1-2x-33x=μσ=1σ=2(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交；(3)曲線與x軸之間的面積為1；(4)當μ一定時，σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.

正態(tài)曲線的性質(zhì)：(2)曲線是單峰的，它關于直線x=μ對稱，且曲線在x=μ處取得最大值；(5)參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機變量的分布相對于均值μ的離散程度.在實際問題中，參數(shù)μ，σ可以分別用樣本均值和樣本標準差來估計，故有概念講解1.若X~N(μ，σ2)，則如圖(4)所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積.(4)正態(tài)曲線下的面積規(guī)律：2.正態(tài)曲線下對稱區(qū)域的面積相等，對應的概率也相等-x1-x2

x2

x1

a-a利用“對稱法”求正態(tài)分布下隨機變量在某個區(qū)間的概率概念講解練習：若X～N(1,σ2)，且P(X<0)=a，則(1)P(X>1)=_________；(2)P(X>0)=_________；(3)P(0<X<1)=_______；(4)P(X<2)=_________；(5)P(0<X<2)=_______.012-1-2xy-334μ=10.51-a0.5-a1-a1-2a例題剖析例1.（多選）某次我市高三教學質(zhì)量檢測中，甲、乙、丙三科成績的直方圖如圖所示(由于人數(shù)眾多，成績分布的直方圖可視為正態(tài)分布)，則由如圖曲線可得下列說法中正確的一項是().A.甲科總體的標準差最小B.丙科總體的平均數(shù)最小C.乙科總體的標準差及平均數(shù)都居中D.甲、乙、丙的總體的平均數(shù)相同AD

例題剖析例2.如圖所示是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機變量的期望和方差.

反思感悟歸納總結(jié)例題剖析

例3.李明上學有時坐公交車,有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間,經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到:坐公交車平均用時30min,樣本方差為36;騎自行車平均用時34min,樣本方差為4．假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布．(1)估計X，Y

的分布中的參數(shù)；(2)根據(jù)(1)中的估計結(jié)果，利用信息技術(shù)工具畫出X與Y的分布密度曲線；(3)如果某天有38min可用,李明應選擇哪種交通工具?如果某天只有34min可用，又應該選擇哪種交通工具？請說明理由．例題剖析解:(1)隨機變量X的樣本均值為30,樣本標準差為6;隨機變量Y的樣本均值為34,樣本標準差為2.

用樣本均值估計參數(shù)μ.用樣本標準差估計參數(shù)σ,可以得到X~N(30,62),Y~N(34,22).(2)X和Y的分布密度曲線如圖所示,概念講解所以,如果有38min可用,那么騎自行車不遲到的概率大,應選擇騎自行車;

如果只有34min可用,那么坐公交車不遲到的概率大,應選擇坐公交車.（3）應選擇在給定時間內(nèi)不遲