【數(shù)學】隨機變量及其數(shù)字特征講義-2023-2024學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第七講：隨機變量分布列及其數(shù)字特征知識點梳理1.求離散型隨機變量的分布列的步驟(1)找：找出隨機變量X的所有可能的取值()(2)求：借助概率的有關知識求出隨機變量X取每一個值的概率()注意應用計數(shù)原理、古典概型等知識(3)列：列出表格并檢驗所求的概率是否滿足分布列的兩條性質.注意：寫出分布列時要注意將化為最簡分式形式，但是在利用檢驗分布列是否正確時可利用化簡前的分式結果.2.離散型隨機變量的分布列的性質①，②3.兩點分布對于只有兩個可能結果的隨機試驗,用表示“成功”,表示“失敗”,定義如果，則，那么的分布列如下所示：014.離散型隨機變量的均值的概念為隨機變量的均值(mean)或數(shù)學期望注意：若離散型隨機變量X的均值為E(X)，Y=aX+b，其中a,b為常數(shù)，則Y也是一個離散型隨機變量，且.

5.離散型隨機變量的方差的概念為隨機變量的方差，有時也記為.稱為隨機變量的標準差.題型一：求離散型隨機變量的分布列題型二：隨機變量分布列的性質題型三：隨機變量的期望題型四：隨機變量的方差題型一：求離散型隨機變量的分布列【典例例題】例1.甲?乙兩所學校之間進行排球比賽，采用五局三勝制(先贏3局的學校獲勝，比賽結束)，約定比賽規(guī)則如下：先進行男生排球比賽，共比賽兩局，后進行女生排球比賽.按照以往比賽經驗，在男生排球此賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為，在女生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為.每局比賽結果相互獨立.（1）求甲校以3：1獲勝的概率；（2）記比賽結束時女生比賽的局數(shù)為，求的概率分布.【變式訓練】1.某校為緩解學生壓力，舉辦了一場趣味運動會，其中有一個項目為籃球定點投籃，比賽分為初賽和復賽．初賽規(guī)則為：每人最多投3次，每次投籃的結果相互獨立．在處每投進一球得3分，在處每投進一球得2分，否則得0分．將學生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定為通過初賽，立即停止投籃，否則應繼續(xù)投籃，直到投完三次為止．現(xiàn)甲先在處投一球，以后都在處投，已知甲同學在處投籃的命中率為，在處投籃的命中率為，求他初賽結束后所得總分的分布列．2.2024年5月12日，2024北京冬奧會和冬殘奧會吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展覽中心．為了慶祝吉祥物在上海的亮相，某商場舉辦了一場贏取吉祥物掛件的“雙人對戰(zhàn)”游戲，游戲規(guī)則如下：參與對戰(zhàn)的雙方每次從裝有3個白球和2個黑球（這5個球的大小、質量均相同，僅顏色不同）的盒子中輪流不放回地摸出1球，摸到最后1個黑球或能判斷出哪一方獲得最后1個黑球時游戲結束，得到最后1個黑球的一方獲勝．設游戲結束時對戰(zhàn)雙方摸球的總次數(shù)為X．(1)求隨機變量X的概率分布；(2)求先摸球的一方獲勝的概率，并判斷這場游戲是否公平．3.第33屆夏季奧林匹克運動會即將于2024年在巴黎舉辦，其中游泳比賽分為預賽、半決賽和決賽三個階段，只有預賽、半決賽都獲勝才有資格進入決賽．已知甲在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，乙在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，丙在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，其中．(1)甲、乙、丙三人中，哪個人進入決賽的可能性更大?(2)如果甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為，求p的值；(3)在（2）的條件下，設甲、乙、丙三人中進入決賽的人數(shù)為，求的分布列．題型二：隨機變量分布列的性質【典例例題】例1.設隨機變量的分布列為.（1）求常數(shù)的值；（2）求；（3）求.【變式訓練】1.若隨機變量的分布列如下表：則（

）A． B． C． D．2.設隨機變量的分布列為，則（

）A． B． C． D．題型三：兩點分布【典例例題】例1.在一次購物抽獎活動中，假設10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品．顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分布列．【變式訓練】1.下列選項中的隨機變量不服從兩點分布的是（

）A．拋擲一枚骰子，所得點數(shù)B．某射擊手射擊一次，擊中目標的次數(shù)C．從裝有除顏色外其余均相同的5個紅球，3個白球的袋中任取1個球，設D．某醫(yī)生做一次手術，手術成功的次數(shù)2.設隨機變量X服從兩點分布，若，則．題型四：隨機變量的期望【典例例題】例1.已知隨機變量X的分布列為X123P且，若，則等于（

）A． B． C． D．例2.2023年12月11日至12日中央經濟工作會議在北京舉行，會議再次強調要提振新能源汽車消費.發(fā)展新能源汽車是我國從“汽車大國”邁向“汽車強國”的必由之路.我國某地一座新能源汽車工廠對線下的成品車要經過多項檢測，檢測合格后方可銷售，其中關鍵的兩項測試分別為碰撞測試和續(xù)航測試，測試的結果只有三種等次：優(yōu)秀、良好、合格，優(yōu)秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，該型號新能源汽車在碰撞測試中結果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為；在續(xù)航測試中結果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為，兩項測試相互獨立，互不影響，該型號新能源汽車兩項測試得分之和記為.(1)求該型號新能源汽車參加兩項測試僅有一次為合格的概率；(2)求離散型隨機變量的分布列與期望.【變式訓練】1.已知隨機變量的分布列是則（

）A． B． C． D．2.民航招飛是指普通高校飛行技術專業(yè)（本科）通過高考招收飛行學生，報名的學生參加預選初檢?體檢鑒定?飛行職業(yè)心理學檢測?背景調查?高考選拔等5項流程，其中前4項流程選拔均通過，則被確認為有效招飛申請，然后參加高考，由招飛院校擇優(yōu)錄取.據(jù)統(tǒng)計，每位報名學生通過前4項流程的概率依次約為.假設學生能否通過這5項流程相互獨立，現(xiàn)有某校高三學生甲?乙?丙三人報名民航招飛.(1)估計每位報名學生被確認為有效招飛申請的概率；(2)求甲?乙?丙三人中恰好有一人被確認為有效招飛申請的概率；(3)根據(jù)甲?乙?丙三人的平時學習成績，預估高考成績能被招飛院校錄取的概率分別為，設甲?乙?丙三人能被招飛院校錄取的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望.3.矮化密植是指應用生物或栽培措施使果樹生長樹冠緊湊的方法，它與常規(guī)的矮小栽培相比有許多優(yōu)勢，如采用這種矮化果樹可以建立比常規(guī)果園定植密度更高的果園，不僅能提高土壤及光能利用率，還能夠獲得更多的早期經濟效益.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)計劃引進A，B兩種矮化果樹，已知A種矮化果樹種植成功率為，成功后每公頃收益7.5萬元；B種矮化果樹種植成功率為，成功后每公頃收益9萬元.假設種植不成功時，種植A，B兩種矮化果樹每公頃均損失1.5萬元，每公頃是否種植成功相互獨立.(1)甲種植戶試種兩種矮化果樹各1公頃，總收益為X萬元，求X的分布列及數(shù)學期望；(2)乙種植戶有良田6公頃，本計劃全部種植A，但是甲勸說乙應該種植兩種矮化果樹各3公頃，請按照總收益的角度分析一下，乙應選擇哪一種方案?題型五：隨機變量的方差【典例例題】例1.為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為45元，其余3個均為15元，求顧客所獲的獎勵額為60元的概率；(2)商場對獎勵總額的預算是30000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請從如下兩種方案中選擇一種，并說明理由.方案一：袋中的4個球由2個標有面值15元和2個標有面值45元的兩種球組成；方案二：袋中的4個球由2個標有面值20元和2個標有面值40元的兩種球組成.【變式訓練】1.為了解顧客對五種款式運動鞋的滿意度，廠家隨機選取了2000名顧客進行回訪，調查結果如表：運動鞋款式ABCDE回訪顧客（人數(shù)）700350300250400滿意度注：1．滿意度是指：某款式運動鞋的回訪顧客中，滿意人數(shù)與總人數(shù)的比值；2．對于每位回訪顧客，只調研一種款式運動鞋的滿意度．假設顧客對各款式運動鞋是否滿意相互獨立，用顧客對某款式運動鞋的滿意度估計對該款式運動鞋滿意的概率．(1)從所有的回訪顧客中隨機抽取1人，求此人是C款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率；(2)從A、E兩種款式運動鞋的回訪顧客中各隨機抽取1人，設其中滿意的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；(3)用“”和“”分別表示對A款運動鞋滿意和不滿意，用“”和“”分別表示對B款運動滿意和不滿意，試比較方差與的大小．（結論不要求證明）1.已知隨機變量的概率分布為，其中是常數(shù)，則（

）A． B． C． D．2.有2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束．(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產品需要費用100元，設X表示總檢測費用（單位：元），求X的分布列．3.第24屆冬季奧林匹克運動會（The

XXIV

OlympicWinterGames），即2024年北京冬季奧運會，于2024年2月4日星期五開幕，2月20日星期日閉幕．北京冬季奧運會設7個大項，15個分項，109個小項．北京賽區(qū)承辦所有的冰上項目；延慶賽區(qū)承辦雪車、雪橇及高山滑雪項目；張家口賽區(qū)的崇禮區(qū)承辦除雪車、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上項目．某運動隊擬派出甲、乙、丙三人去參加自由式滑雪．比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進入決賽．已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為；乙在第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為和；丙在第一輪和第二輪獲勝的概率分別是p和，其中．(1)甲、乙、丙三人中，誰進入決賽的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為，求p的值；(3)在（2）的條件下，設進入決賽的人數(shù)為，求的分布列．4.某城市為了加快“兩型社會”（資源節(jié)約型，環(huán)境友好型）的建設，本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多，自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時免費，超過兩小時的部分每小時收費2元（不足1小時的部分按1小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車騎游（各租一車一次）.設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為，；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為，；兩人租車時間都不會超過四小時.(1)求甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率；(2)設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量X，求X的分布列.5.某校為了普及環(huán)保知識，增強學生的環(huán)保意識，在全校組織了一次有關環(huán)保知識的競賽，經過初賽、復賽，甲、乙兩個代表隊（每隊人）進入了決賽，規(guī)定每人回答一個問題，答對為本隊贏得分，答錯得分，假設甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中人答對的概率分別為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響，用表示乙隊的總得分．（1）求的分布列；（2）求甲、乙兩隊總得分之和等于分且甲隊獲勝的概率．6.為了更好地推廣冰雪體育運動項目，某中學要求每位同學必須在高中三年的每個冬季學期選修滑冰?滑雪?冰壺三類體育課程之一，且不可連續(xù)選修同一類課程，若某生在選修滑冰后，下一次選修滑雪的概率為：在選修滑雪后，下一次選修冰壺的概率為，在選修冰壺后，下一次選修滑冰的概率為.(1)若某生在高一冬季學期選修了滑雪，求他在高三冬季學期選修滑冰的概率：(2)若某生在高一冬季學期選修了滑冰，設該生在高中三個冬季學期中選修滑冰課程的次數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及期望，7.新高考數(shù)學試卷增加了多項選擇題，每小題有A、B、C、D四個選項，原則上至少有2個正確選項，至多有3個正確選項．題目要求：“在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．”其中“部分選對的得部分分”是指：若正確答案有2個選項，則只選1個選項且正確得3分；若正確答案有3個選項，則只選1個選項