數(shù)的等差關(guān)系教案

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等差數(shù)列

（一）教學(xué)目標(biāo)

1．學(xué)問與技能:通過實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念；探究并把握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；能在詳細(xì)的問題情境中，發(fā)覺數(shù)列的等差關(guān)系并能用有關(guān)學(xué)問解決相應(yīng)的問題；體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。

2.過程與方法:讓同學(xué)對(duì)日常生活中實(shí)際問題分析，引導(dǎo)同學(xué)通過觀看，推導(dǎo)，歸納抽象出等差數(shù)列的概念；由同學(xué)建立等差數(shù)列模型用相關(guān)學(xué)問解決一些簡(jiǎn)潔的問題，進(jìn)行等差數(shù)列通項(xiàng)公式應(yīng)用的實(shí)踐操作并在操作過程中，通過類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式得到對(duì)等差數(shù)列相應(yīng)問題的討論。

3．情態(tài)與價(jià)值:培育同學(xué)觀看、歸納的力量，培育同學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。

（二）教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解等差數(shù)列的概念及其性質(zhì)，探究并把握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；會(huì)用公式解決一些簡(jiǎn)潔的問題，體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的聯(lián)系。難點(diǎn)：概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想方法。

（三）學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：引導(dǎo)同學(xué)首先從四個(gè)現(xiàn)實(shí)問題（數(shù)數(shù)問題、女子舉重獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置問題、水庫(kù)水位問題、儲(chǔ)蓄問題）概括出數(shù)組特點(diǎn)并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列的特點(diǎn)，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；可以用多種方法對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)。

教學(xué)用具：投影儀

（四）教學(xué)設(shè)想

[創(chuàng)設(shè)情景]

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列。在日常生活中，人口增長(zhǎng)、訓(xùn)練貸款、存款利息等等這些大家以后會(huì)接觸得比較多的實(shí)際計(jì)算問題，都需要用到有關(guān)數(shù)列的學(xué)問來解決。今日我們就先學(xué)習(xí)一類特別的數(shù)列。

[探究討論]

由同學(xué)觀看分析并得出答案：

（放投影片）在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常這樣數(shù)數(shù)，從0開頭，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，____,____,____,____,??

2000年，在澳大利亞悉尼進(jìn)行的奧運(yùn)會(huì)上，女子舉重被正式列為競(jìng)賽項(xiàng)目。該項(xiàng)目共設(shè)置了7個(gè)級(jí)別。其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重組成數(shù)列（單位：kg）：48，53，58，63。

水庫(kù)的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫(kù)的雜魚。假如一個(gè)水庫(kù)的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開頭放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫(kù)每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5

我國(guó)現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計(jì)算下一期的利息。根據(jù)單利計(jì)算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%。那么根據(jù)單利，5年內(nèi)各年末的本利和分別是：

各年末的本利和（單位：元）組成了數(shù)列：10072，10144，10216，10288，10360。

思索：同學(xué)們觀看一下上面的這四個(gè)數(shù)列：0，5，10，15，20，??①

48，53，58，63②

18，15.5，13，10.5，8，5.5③

10072，10144，10216，10288，10

360④

看這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)呢？

（由同學(xué)爭(zhēng)論、分析）

引導(dǎo)同學(xué)觀看相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系，得到：

對(duì)于數(shù)列①，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于5；

對(duì)于數(shù)列②，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于5；

對(duì)于數(shù)列③，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于-2.5；對(duì)于數(shù)列④，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于72；

由同學(xué)歸納和概括出，以上四個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)（即：每個(gè)都具有相鄰兩項(xiàng)差為同一個(gè)常數(shù)的特點(diǎn)）。

[等差數(shù)列的概念]

對(duì)于以上幾組數(shù)列我們稱它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請(qǐng)同學(xué)們依據(jù)我們剛才分析等差數(shù)列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個(gè)定義：

等差數(shù)列：一般地，假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。那么對(duì)于以上四組等差數(shù)列，它們的公差依次是5，5，-2.5，72。

提問：假如在與中間插入一個(gè)數(shù)A，使，A，成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿意什么條件？

由同學(xué)回答：因?yàn)閍，A，b組成了一個(gè)等差數(shù)列，那么由定義可以知道：

A-a=b-A

所以就有

由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)潔的等差數(shù)列，這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)。

不難發(fā)覺，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)。

如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13?中5是3和7的等差中項(xiàng)，1和9的等差中項(xiàng)。9是7和11的等差中項(xiàng)，5和13的等差中項(xiàng)?？磥恚?/p>

則

[等差數(shù)列的通項(xiàng)公式]從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q

對(duì)于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項(xiàng)公式將它們表示出來呢？這是我們接下來要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

⑴、我們是通過討論數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系去寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式的。下面由同學(xué)們依據(jù)通項(xiàng)公式的定義，寫出這四組等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。由同學(xué)經(jīng)過分析寫出通項(xiàng)公式：

①這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是5，第2項(xiàng)是10（=5+5），第3項(xiàng)是15（=5+5+5），第4項(xiàng)是20（=5+5+5+5），

??由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是

②這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是48，第2項(xiàng)是53（=48+5），第3項(xiàng)是58（=48+5×2），第4項(xiàng)是63（=48+5×3

），由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是

③這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是18，第2項(xiàng)是15.5（=18-2.5），第3項(xiàng)是13（=18-2.5×2），第4項(xiàng)是10.5（=18-2.5×3），第5項(xiàng)是8（=18-2.5×4），第6項(xiàng)是

5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是

④這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是10072，第2項(xiàng)是10144（=10172+72），第3項(xiàng)是10216（=10072+72×2）