2021年湖北省武漢市中考數(shù)學(xué)真題試卷（解析版）

2021年湖北省武漢市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個正確答案，請

在答題卡上將正確答案的標(biāo)號涂黑.

1.實數(shù)3的相反數(shù)是（）

A.3B.-3C.AD.-A

33

【分析】直接利用相反數(shù)的定義分析得出答案.

【解答】解：實數(shù)3的相反數(shù)是：-3.

故選:B.

2.下列事件中是必然事件的是（）

A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上

B.隨意翻到一本書的某頁，這一頁的頁碼是偶數(shù)

C.打開電視機，正在播放廣告

D.從兩個班級中任選三名學(xué)生，至少有兩名學(xué)生來自同一個班級

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

【解答】解：A、拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，是隨機事件；

B,隨意翻到一本書的某頁，是隨機事件；

C、打開電視機，是隨機事件；

D,從兩個班級中任選三名學(xué)生，是必然事件；

故選：D.

3.下列圖形都是由一個圓和兩個相等的半圓組合而成的，其中既是軸對稱圖形又是中心對

【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合,

那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心；如果一個圖形沿一條直線折

疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進

行分析即可.

【解答】解：A.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；

B.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

C.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

D.是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：A.

4.計算（-J）3的結(jié)果是（）

A.-a6B.擊C.-a5D.a5

【分析】根據(jù)基的乘方的運算法則計算可得.

【解答】解：（-J）3=54,

故選：A.

5.如圖是由4個相同的小正方體組成的幾何體，它的主視圖是（）

正面

【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中.

【解答】解：從正面看易得有兩層，底層三個正方形.

故選：C.

6.學(xué)校招募運動會廣播員，從兩名男生和兩名女生共四名候選人中隨機選取兩人，則兩人

恰好是一男一女的概率是（）

A.AB.Ac.2D.3

3234

【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，抽取的兩人恰好是一男一女的結(jié)果有8種,

再由概率公式求解即可.

【解答】解：畫樹狀圖如圖：

開始

男男女女

/NZNZNZN

男女女男女女男男女男男女

共有12種等可能的結(jié)果，抽取的兩人恰好是一男一女的結(jié)果有8種，

???兩人恰好是一男一女的概率為方-=旦，

123

故選：C.

7.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有共買物，人出八，盈三，不足四.問人數(shù)、

物價各幾何？”意思是：現(xiàn)有幾個人共買一件物品，每人出8錢；每人出7錢，還差4

錢.問人數(shù)，物價是y錢，則下列方程正確的是（）

A.8（x-3）=7（A+4）B.8x+3=7x-4

cy-3=y+4Dy+3=y-4

-'~s~~T~

【分析】根據(jù)人數(shù)=總錢數(shù)+每人所出錢數(shù)，得出等式即可.

【解答】解：設(shè)物價是y錢，根據(jù)題意可得：

y+3_y-5

故選：D.

8.一輛快車和一輛慢車將一批物資從甲地運往乙地，其中快車送達后立即沿原路返回，且

往返速度的大小不變（單位：&加）與慢車行駛時間r（單位：〃）的函數(shù)關(guān)系如圖（）

c.LhD.當(dāng)

323

【分析】根據(jù)圖象得出，慢車的速度為包km/h，快車的速度為包km/h-從而得出快

62

車和慢車對應(yīng)的y與/的函數(shù)關(guān)系式.聯(lián)立兩個函數(shù)關(guān)系式，求解出圖象對應(yīng)兩個交點的

坐標(biāo)，即可得出間隔時間.

【解答】解：根據(jù)圖象可知，慢車的速度為曳km/h。

6

對于快車，由于往返速度大小不變，

因此單程所花時間為2/1,故其速度為曳km/h

8

所以對于慢車，y與/的函數(shù)表達式為y二生t(0(t47).

6

-^-(t-2)(8<t<4)......②，

對于快車，y與，的函數(shù)表達式為y="

q(t-2)44t(6).......③，

聯(lián)立①②，可解得交點橫坐標(biāo)為r=3,

聯(lián)立①③，可解得交點橫坐標(biāo)為r=4.5,

因此，兩車先后兩次相遇的間隔時間是7.5,

故選：B.

9.如圖，AB是的直徑，BC是。。的弦前沿8c翻折交AB于點。，再將統(tǒng)直=5日

設(shè)NABC=a,則a所在的范圍是()

B.22.3°<a<22.7°

D.23.1°<a<23.5°

【分析】如圖，連接ACCDOE.證明NCAB=3a,利用三角形內(nèi)角和定理求出a,可得

結(jié)論.

【解答】解：如圖，連接4CQE.

E

ED=EB,

：.ED=EB,

：.ZEDB=ZEBD=a,

VAC=CD=DE,

:.AD=CD=DE,

：.NDCE=NDEC=NEDB+NEBD=2a,

，ZCAD=ZCDA=ZDCE+ZEBD=3a,

'：AB是直徑，

：.ZACB=90°,

.?./C48+NABC=90°,

；.2a=90°,

/.a=22.5°,

故選：B.

10.已知a,b是方程7-3x-5=0的兩根，則代數(shù)式2a3-6/+廿+76+1的值是()

A.-25B.-24C.35D.36

【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義得到J-34-5=0,h2-3b-5=0,即/=3。+5,

序=3>5,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到。+匕=3,然后整體代入變形后的代數(shù)式即可求得.

【解答】解：???〃，b是方程/-3x-7=0的兩根，

：.a2-4a-5=0,b2-3b-5=3,a+b=3,

."2-44=5,?=7b+5,

.,.2a2-6a2+b&+lb+l

=6a(a2-3a)+2b+5+7b+3

=10。+106+6

=10(〃+Z?)+6

=10X3+6

=36.

故選：D.

二、填空題(共6小題，每小題3分，共18分)下列各題不需要寫出解答過程，請將結(jié)果

直接填寫在答題卡指定的位置.

11.計算J而工的結(jié)果是5.

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答.

【解答】解：.(一5)2=卜4|=5.

12.我國是一個人口資源大國.第七次全國人口普查結(jié)果顯示，北京等五大城市的常住人口

數(shù)如下表，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2189.

城市北京上海廣州重慶成都

常住人口21892487186832052094

數(shù)萬

【分析】將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列，再根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可.

【解答】解：將這組數(shù)據(jù)重新排列為1868,2094,2487,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2189,

故答案為:2189.

13.已知點A(a,yi),B(a+1,”)在反比例函數(shù)y=皿，L(w是常數(shù))的圖象上，且

X

則a的取值范圍是-1.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)分兩種情況進行討論，①當(dāng)點A(myi),B(〃+1,”)

在同一象限時，②當(dāng)點A(myi),B(o+l,”)在不同象限時.

【解答】解：,?乂=，/+i>5,

2口

???反比例函數(shù)>=史/L(加是常數(shù))的圖象在一，在每個象限，

X

①當(dāng)4(〃，了4),B(〃+1,y2)在同一象限，

:丫3<"，

此不等式無解；

②當(dāng)點A(a,)s)、B(?+1,”)在不同象限，

：.a<0,a+5>0,

解得："l<a<6,

故答案為-1<〃<0.

14.如圖，海中有一個小島A.一艘輪船由西向東航行，在8點測得小島A在北偏東60°

方向上，這時測得小島A在北偏東30°方向上.小島A到航線BC的距離是10.4nmile

(我右1.73,結(jié)果用四舍五入法精確到0.1).

【分析】過點A作AEVBD交BD的延長線于點E,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到NBA。

^ZABD,根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AO=A8,根據(jù)正弦的定義求出AE即可.

【解答】解：過點A作AE_LBO交80的延長線于點E,

由題意得，NCB4=60°,

AZABD=30°,ZADE=60°,

：.ZBAD^ZADE-ZABD=30Q,

：.NBAD=NABD,

：.AD=AB=\2nmile,

在RtZxAOE中，sin/AOE=處，

AD

：.AE=AD'sinZADE=6-/3^\0.5(nmile),

故小島A到航線BC的距離是10.4加〃淞，

BDE

15.已知拋物線y=a?+〃R+c(a,b,c是常數(shù))，a+h+c=O.下列四個結(jié)論：

①若拋物線經(jīng)過點(-3,0),則6=2〃；

②若b=c,則方程c^+bx+a=0一定有根x=-2；

③拋物線與x軸一定有兩個不同的公共點；

④點A(xi,yi),B(X2,丁2)在拋物線上，若OVaVc,則當(dāng)xiVx2Vl時，y\>yi-

其中正確的是①②④(填寫序號).

【分析】①由題意可得，拋物線的對稱軸為直線x=a=1+(-3)=7,BPb=2a,即

2a2

①正確；

②若b=c,則二次函數(shù)y=c/+fev+a的對稱軸為直線：x=-上=-則上也=-A,

2c222

解得m=-2,即方程c^+bx+a=O一定有根x=-2；故②正確；

③△=序-4"=(a+c)2-4ac=(a-c)2^0,則當(dāng)a六c時，拋物線與x軸一定有兩

個不同的公共點.故③不正確；

④由題意可知，拋物線開口向上，且￡>1,則當(dāng)x<l時，y隨x的增大而減小，則當(dāng)制

a

<》2<1時，yi>”.故④正確.

【解答】解：；拋物線yuo?+fev+c(a,b,c是常數(shù))，

(1,3)是拋物線與x軸的一個交點.

①?拋物線經(jīng)過點(-3,0),

...拋物線的對稱軸為直線x=5+J3)=.8,

2

一且=-1,即①正確；

2a

②若b=c,則二次函數(shù)y=cx1+bx+a的對稱軸為直線：x=--=-―,

2c6

且二次函數(shù))=(:7+灰+。過點(1,2),

???-l---4-n__-7，

22

.?.jucf+fer+a與x軸的另一個交點為(-6,0)2+bx+a=2一定有根x=-2；故②正確;

③△=/>2-6ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2>0,

拋物線與x軸一定有兩個公共點，

且當(dāng)“Wc時，拋物線與x軸一定有兩個不同的公共點；

④由題意可知，拋物線開口向上，且￡,

(1,7)在對稱軸的左側(cè)，

...當(dāng)x<l時，y隨x的增大而減小，

二當(dāng)xi<%4<1時，>'i>y8-故④正確.

故答案為：①②④.

16.如圖(1),在△ABC中，AB=AC,邊48上的點。從頂點A出發(fā)，向頂點8運動，邊

BC上的點E從頂點B出發(fā)，向頂點C運動，D,設(shè)x=AQ,y=AE+CD(2),圖象過點

(0,2),則圖象最低點的橫坐標(biāo)是6-1.

(1)(2)

【分析】觀察函數(shù)圖象，根據(jù)圖象經(jīng)過點(0,2)即可推出A8和AC的長，構(gòu)造ANBE

g△CA。，當(dāng)A、E、N三點共線時，y取得最小值，利用三角形相似求出此時的x值即

可.

【解答】解：???圖象過點(0,2),

即當(dāng)x=4O=7時，點。與A重合，

止匕時y=AE+CD=AB+AC=2,

:△ABC為等腰直角三角形，

：.AB=AC=\,

過點A作ARL8C于點凡過點B作NBLBC,如圖所示:

A

■:AD=BE,NNBE=NCAD,

：./\NBE/4CAD(SAS),

:.NE=CD,

又???y=AE+CD,

：.y=AE+CD=AE-^NE,

當(dāng)A、E、N三點共線時，如圖所示

AD=BE=x、AC=BN=6,

.??AF=AC?sin45°=返，

2

'又；NBEN=ZFEA,ZNBE=ZAFE

/\NBE^/\AFE

...坦理，即

AFFEV2V3

-X

2---2

解得：x=&-8,

圖象最低點的橫坐標(biāo)為：&-1.

故答案為：V3-1.

三、解答題(共8小題，共72分)下列各題需要在答題卡指定的位置寫出文字說明、證明

過程、演算步驟或畫出圖形.

17.(8分)解不等式組"、'7…請按下列步驟完成解答.

4x+10>x+l.②

(1)解不等式①，得x2-1；

(2)解不等式②，得x>-3；

(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來;

-4-3-2-1012

(4)原不等式組的解集是4-1.

【分析】先解出兩個不等式，然后在數(shù)軸上表示出它們的解集，即可寫出不等式組的解

集.

’2x>x-l,①

【解答】解:

4x+10>x+l.②

(1)解不等式①，得x》-1；

(2)解不等式②，得x>-5；

(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來;

------1-------6--------1------------------1-------1--------1-----?

^4-31-1012

(4)原不等式組的解集是x2-1.

故答案為：x2-1；x>-8.

18.(8分)如圖，AB//CD,/B=ND,3C的延長線分別交于點E,F,求證：ZDEF=

【分析1由平行線的性質(zhì)得到NQCF=NH進而推出NDCF=N。，根據(jù)平行線的判定

得到根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】證明：???A8〃CO,

:?NDCF=NB,

：.ZDCF=ZDf

：.AD//BC,

：.NDEF=NF.

19.(8分)為了解落實國家《關(guān)于全面加強新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》的實施情況,

某校從全體學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生，調(diào)查他們平均每周勞動時間，(單位：人)，8組“5

Wf<7"，C組“7<9"，繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

(1)這次抽樣調(diào)查的樣本容量是100，。組所在扇形的圓心角的大小是108。；

(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整；

(3)該校共有1500名學(xué)生，請你估計該校平均每周勞動時間不少于7〃的學(xué)生人數(shù).

【分析】(1)用。組的人數(shù)+所占百分比計算即可，計算C組的百分比，用C組的百分

數(shù)乘以360°即可得出C組所在扇形的圓心角的大??；

(2)求出B組人數(shù)，畫出條形圖即可；

(3)用C,D兩組的百分數(shù)之和乘以1500即可.

【解答】解：(1)這次抽樣調(diào)查的樣本容量是104-10%=100,

C組所在扇形的圓心角的大小是360°X也=108°,

100

故答案為：100,108°；

(2)8組的人數(shù)=100-15-30-10=45(名),

條形統(tǒng)計圖如圖所示，

(3)1500X30+10=600(名).

100

答:估計該校平均每周勞動時間不少于7/2的學(xué)生人數(shù)為600.

20.(8分)如圖是由小正方形組成的5X7網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，矩形A8CZ)

的四個頂點都是格點.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖

(1)在圖(1)中，先在邊AB上畫點E,使AE=2BE,使■平分矩形ABC。的面積;

BCD的高CG,再在邊AB上畫點

Q)

【分析】(1)如圖取格點T,連接DT交AB于點E,連接BD,取BD的中點F,作直線EF即

可.

(2)取格點E,F,連接EF交格線于P,連接CP交BD于點、G,線段CG即為所求.取格點

連接MNJK交于點J,取BD的中點O,作直線OJ交A8于連接DH點H即為

所求.

【解答】解：(1)如圖，直線EF即為所求.

(2)如圖，線段CG.

⑴

21.(8分)如圖，A8是。0的直徑，C,。是。。上兩點俞的中點，過點C作AO的垂線

(1)求證：”是。0的切線；

(2)若匹=捉，求cos/ABO的值.

DF

E

【分析】(1)連接OC交8。于點G,可證明四邊形ECGC是矩形，可求得NECG=90°,

進而可求CE是00的切線；

(2)連接BC,設(shè)FG=x,0B=r,利用匹■=加，設(shè)。尸=/,。。=利用RtABCG-

DF

為△BFC的性質(zhì)求出CG0G,利用勾股定理求出半徑，進而求解.

【解答】(1)證明：連接0C交8D于點G,

?.?點C是俞的中點，

.?.由圓的對稱性得0C垂直平分BD,

：.ZDGC=90°,

「AB是OO的直徑，

AZADB=90°,

：.NEDB=90°,

VCE±AE,

：.ZE=90°,

，四邊形EDGC是矩形,

；.NECG=90°,

：.CE±OC,

；.CE是。0的切線；

(2)解：連接8C,設(shè)FG=x,

??噌=近，

DF

設(shè)DF=t,DC=4it,

由(1)得，BC=CD=?

"：AB是。。的直徑，

.,.ZACB=90°,

：.NBCG+NFCG=90°,

,：ZDGC=90Q,

：.ZCFB+ZFCG=90°,

:.NBCG=NCFB,

.".RtABCG^RtABFC,

：.BC2=BG'BF,

(^Q/)7=(x+f)(x+2f)

解得X1=53=-互r(不符合題意，

2

?*-CG=VBC4-BG2=V(V6)2-(2t)2=^

：.OG=r-y/2t,

在RtZsOBG中，由勾股定理得OGZ+BbMO^,

/.(r-2+(2r)2=/,

解得r=2返r,

8

BG_2^2V4

cosZABD==

OBM-3-

22.（10分）在“鄉(xiāng)村振興”行動中，某村辦企業(yè)以4,8兩種農(nóng)作物為原料開發(fā)了一種有

機產(chǎn)品.A原料的單價是8原料單價的1.5倍，每盒還需其他成本9元.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):

該產(chǎn)品每盒的售價是60元時，每天可以銷售500盒，每天少銷售10盒.

（1）求每盒產(chǎn)品的成本（成本=原料費+其他成本）；

（2）設(shè)每盒產(chǎn)品的售價是x元（x是整數(shù)），每天的利潤是w元，求w關(guān)于x的函數(shù)解

析式（不需要寫出自變量的取值范圍）；

（3）若每盒產(chǎn)品的售價不超過。元是大于60的常數(shù)，且是整數(shù)），直接寫出每天的

最大利潤.

【分析】（1）根據(jù)題意列方程先求出兩種原料的單價，再根據(jù)成本=原料費+其他成本計

算每盒產(chǎn)品的成本即可；

（2）根據(jù)利潤等于售價減去成本列出函數(shù)關(guān)系式即可；

（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

【解答】解：（1）設(shè)8原料單價為〃，元，則A原料單價為1.5加元，

根據(jù)題意，得駟.-900;爐,

m7.5m

解得力?=3,

，5.5機=4.8,

???每盒產(chǎn)品的成本是：4.5X5+4X3+6=30（元），

答：每盒產(chǎn)品的成本為30元；

（2）根據(jù)題意，Ww=（x-30）［500-10（x-60）］=-10^+1400%-33000,

...卬關(guān)于x的函數(shù)解析式為：w=-10?+1400x-33000；

（3）由（2）知w=-10X7+1400X-33000=-10（x-70）2+16000,

當(dāng)a270時，每天最大利潤為16000元，

當(dāng)60<a<70時，每天的最大利潤為（-10/+1400”-33000）元.

23.（10分）問題提出

如圖（1）,在△ABC和△￡）￡（:中，ZACB=ZDCE=90°,EC=DC,點E在△ABC內(nèi)

部，BF,CF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

問題探究

（1）先將問題特殊化如圖（2）,當(dāng)點D,尸重合時，表示A凡BF；

（2）再探究一般情形如圖（1）,當(dāng)點。，尸不重合時（1）中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展

如圖（3）,在△ABC和△DEC中，ZACB=Z￡）C￡=90°,EC=H）C（k是常數(shù)），點E

在△ABC內(nèi)部，表示線段AF,BF

(1)(2)(3)

【分析】(1)證明△ACOgZXBCE(SAS),則△COE為等腰直角三角形，故。E=EF=

V2CF,進而求解；

(2)由(1)知，AACD^ABCECSAS),再證明ZXBCG絲(AAS),得到△GC尸

為等腰直角三角形，則GF=&C凡即可求解；

(3)證明△BCEs^CAD和△8GCS/X4/C,得到弛=^2=k=匹，則8G=M凡GC

AFACCF

—kFC,進而求解.

【解答】解：(1)如圖(2),VZACD+ZACE=90o,

：.ZBCE=ZACD,

?：BC=AC,EC=DC,

.?.△48絲△BCE(SAS),

：.BE=AD=AF,/EBC=NCAD,

故為等腰直角三角形，

故DE=EF=42CF>

貝IjBF=BD=BE+ED=AF+MCF；

即BF-AF=MCF；

(2)如圖(1),由(1)知,

(1)

:"CAF=NCBE,BE=AF,

過點C作CG1CF交BF于點G,

?：NFCE+NECG=90°,ZECG+ZGCB=90°,

NACF=NGCB,

,:NCAF=NCBE,BC=AC,

:.叢BCG經(jīng)XACF(44S),

：.GC=FC,BG=AF,

故△GCF為等腰直角三角形，則GF=圾，

貝ijBF=BG+GF=AF+MCF,

即BF-AF=&"；

(3)由(2)知，NBCE=NACD,

而8C=fc4C,EC=kDC,

嗜著k,

:.XBCEsXCAD,

：.ZCAD=ZCBE,

過點C作CG±CF交BF于點G,

(3)

由（2）知，NBCG=NACF,

：./\BGC^/\AFC,

??BG=BC=,v_-GC，

AFACCF

貝|JBG=AAF,GC=kFC,

在RtACGF-中，Gy7=7GC2+FC2=V（kFC）3+FC2=Vk2+5,

貝ljBF=BG+GF=kAF+yj卜2+]FC,

即BF-MF=^k3+pFC.

24.（12分）拋物線-1交x軸于A,B兩點（4在8的左邊）.

（1）oACOE的頂點C在y軸的正半軸上，頂點E在y軸右側(cè)的拋物線上；

①如圖（1）,若點C的坐標(biāo)是（0,3）,點E的橫坐標(biāo)是旦，。的坐標(biāo).

2

②如圖（2）,若點。在拋物線上，且。ACQE的面積是12

（2）如圖（3）,F是原點O關(guān)于拋物線頂點的對稱點，不平行），軸的直線/分別交線段

A