2015年新課標(biāo)人教a版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）全冊(cè)教案

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

課題：1.1.1變化率問題第課時(shí)總序第

個(gè)教案

課型：新授課編寫時(shí)時(shí)間：一年—月一日?qǐng)?zhí)行時(shí)間:年_月

日

教學(xué)目標(biāo)：批

1.理解平均變化率的概念：注

2.了解平均變化率的幾何意義；

3.會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率。

教學(xué)重點(diǎn):平均變化率的概念、函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率;

教學(xué)難點(diǎn):平均變化率的概念.

教學(xué)用具:多媒體

教學(xué)方法:討論，歸納

教學(xué)過程:

一.創(chuàng)設(shè)情景

為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)，

隨著對(duì)函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類問題的處

理直接相關(guān)：

一、已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù)，求物體在任意時(shí)刻的速度與加速

度等;

二、求曲線的切線；

三、求已知函數(shù)的最大值與最小值；

四、求長(zhǎng)度、面積、體積和重心等。

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（小）

值等問題最一般、最有效的工具。

導(dǎo)數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化的快慢程

度.

二.新課講授

（一）問題提出

問題1氣球膨脹率

我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的

增加，氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？

■氣球的體積廠（單位1）與半徑《單位力⑼之間的函數(shù)關(guān)系是修代）=

3P

■如果將半徑r表示為體積V的函數(shù)，那么F（r）=3——

V4乃

分析：r（r）

⑴當(dāng)V從0增加到1時(shí)，氣球半徑增加了r（l）-r（0）?0.62（加）

氣球的平均膨脹率為"1）一"°）X0.62（而〃）

1—0

⑵當(dāng)V從1增加到2時(shí)，氣球半徑增加了尸⑵-〃⑴。0.16（而）

氣球的平均膨脹率為‘0）一"1）x0.16（M/A）

2—1

可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了.

思考：當(dāng)空氣容量從匕增加到匕時(shí),氣球的平均膨脹率是多少？

仍）-尸（匕）

七一匕

問題2高臺(tái)跳水

在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度雙單位：

⑼與起跳后的時(shí)間，（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系〃⑺=

-4.9/2+6.5/+10.如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速v

度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？

思考計(jì)算：04/M0.5和14/42的平均速度；

在0W/W0.5這段時(shí)間里，

-/?（0.5）-A（0）/、

v=-----------=4.05（w/s）；

0.5-0

在14,42這段時(shí)間里，，==_8.2（m/s）

探究：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在04/V竺這段時(shí)間里的平均速度，并思考以下問題：

49

⑴運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？

⑵你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎？

探究過程：如圖是函數(shù)/?（/）=-4.9/2+6.5/+10的圖像，結(jié)合圖形可知，

嗡=〃（0）,

_仁）-陽）

所以U=-^L------=0（5/加），

65八

雖然運(yùn)動(dòng)員在0WtV后這段時(shí)間里的平均速度為0（$/加）,但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)

員仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

（二）平均變化率概念：

1.上述問題中的變化率可用式子/02）二/區(qū)）表示,稱為函數(shù)人刈從片

x2-x,

到X2的平均變化率

2.若設(shè)Ar=X2-X],曠=/（%2）—/（須）（這里Ax看作是對(duì)于J的一個(gè)“增

量”可用兩+Ar代替冷洞樣△，=切=/（七）-/（王））

3.則平均變化率為電=竺=八少/區(qū)）=/3+—為）

AxAxx2-x{Ax

思考：觀察函數(shù)兀c）的圖象

平均變化率竺=/（”2）-）（再）表示什么？

AxX2-%1

8(-1+?,-2+.),則包=.

Ax

解：-2+Ay=—(―1+Ax)2+(―1+Ax),

.Av_-1+Axf+(-1+Ax)-2_

??——3―/\X

AxAx

例2.求y=f在x=x0附近的平均變化率。

22

22

解：Aj；=（x0+Ar）-x0,所以包=（、°+&）

_x2+2xAx+Ax2-x2

000=2x+Ax

Ar0

所以y=、2在x=x0附近的平均變化率為2x0+Ax

四.課堂練習(xí)

1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s="+3,則在時(shí)間（3,3+A/）中相應(yīng)的平均速度

為.

2.物體按照s（/）=3,+/+4的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，求在4s附近的平均變化率.25+3A/

3.過曲線月（x）=d上兩點(diǎn)尸（1,1）和。（1+Ax,l+△刃作曲線的割線，求出當(dāng)

△x=0.1時(shí)割線的斜率.

五.回顧總結(jié)

1.平均變化率的概念

2.函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率

六.布置作業(yè)

教學(xué)后記：

課題：1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念第一課時(shí)總序第一個(gè)

教案

課型：新授課編寫時(shí)時(shí)間：―年_月_日?qǐng)?zhí)行時(shí)間：一年一月

日

教學(xué)目標(biāo)：批

1.了解瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念；注

2.理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；

3.會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。

教學(xué)重點(diǎn)：瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念、導(dǎo)數(shù)的概念；

教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念.

教學(xué)用具：多媒體

教學(xué)方法：探究，歸納

教學(xué)過程：

一.創(chuàng)設(shè)情景

（―）平均變化率

（二）探究：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在04/4竺這段時(shí)間里的平均速度，并思考以下問題：

49

⑴運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？

⑵你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎？

探究過程：如圖是函數(shù)的）=-4.9/+6.5/+10的圖像，結(jié)合圖形可知，依||）=。（0）,

嘖i（o）

所以v=—------=0（§/加），

65八

雖然運(yùn)動(dòng)員在0wtW而這段時(shí)間里的平均速度為0（s/〃?）,

但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說明用平均速

度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

新課講授

1.瞬時(shí)速度

我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度“運(yùn)動(dòng)員的平均速度不能反映

他在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，那么，如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度呢？比如，/=2時(shí)

的瞬時(shí)速度是多少？考察/=2附近的情況：

4<0時(shí),在［2+4,2］這段時(shí)間內(nèi)4>0時(shí)，在［2,2+4］這段時(shí)間內(nèi)

-力⑵一為(2+&)4.9A?+13,1AZ-力(2+4)—a(2)—4.9△尸一13.14

V——V——

2—(2+A/)—Az(2+4)-2Lt?=

=-13.1=-4.94-13.1

當(dāng)Af=-0.01時(shí),A/=—13.051；當(dāng)位=0.01時(shí)，A/=-13.051；.

當(dāng)小￡=一0.001時(shí)，AZ=-13.0951；.當(dāng)4=0.001時(shí)，AZ=-13.0951；.

當(dāng)AZ=-0.001時(shí),A/=-13.09951,?當(dāng)4=0.001時(shí)，4=73.09951；<

當(dāng)4=-0.0001時(shí),Az=-13.099951；.當(dāng)4=0.0001時(shí)，A/=-13.099951；<

當(dāng)位=-0.00001時(shí)，4=73.099951,*當(dāng)加=0.00001時(shí)，位=-13.099951一

...,■...

思考：當(dāng)趨近于0時(shí)?，平均速度3有什么樣的變化趨勢(shì)?

結(jié)論：當(dāng)△/趨近于0時(shí)，即無論，從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近

于2時(shí)，平均速度工都趨近于一個(gè)確定的值-13.1.

從物理的角度看，時(shí)間間隔無限變小時(shí)，平均速度5就無限趨近于史的瞬時(shí)

速度，因此，運(yùn)動(dòng)員在7=2時(shí)的瞬時(shí)速度是-13.1/M/S

為了表述方便，我們用lim〃（2+4）-〃（2）=—［3］

A/f0△t

表示“當(dāng)/=2,趨近于0時(shí)，平均速度，趨近于定值-13.1”

小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過取極限，從

瞬時(shí)速度的近似值過渡到瞬時(shí)速度的精確值。

2導(dǎo)數(shù)的概念

從函數(shù)y=y（x）在x=x（）處的瞬時(shí)變化率是：

lim/（xo+Ax）-/（xo）^.mV

A”。AxAx

我們稱它為函數(shù)y=/（x）在X=X。出的導(dǎo)數(shù)，記作/（X。）或丁人。，即

/(玉+?)-/(七)

/"(%)=lim

AXTOAx

說明：（1）導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)5）在E。處的瞬時(shí)變化率

(2)Ar=x-x,當(dāng)Ax—>0時(shí)，xrx。，所以/'(%)=lim~

0Ar->0%—X。

三.典例分析

例L（1）求函數(shù)尸3,在產(chǎn)1處的導(dǎo)數(shù).

分析：先求△戶ApyX1+Ax)^f(1)=6AX+(AX)2

再求竺=6+Ac再求lim絲=6

AxAx

解：法一定義法(略)

2222

法二：VI-=lim—3x_-_3—-1=lim3(x_-I)=lim3(x+1)=6

xTX—1IX—1—

(2)求函數(shù)負(fù)x)=-x2+x在x=-l附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

Ay_(l+Ax)2+(-l+Ar)2_3_?

解:

AxAx

,,Ay—(—1+Ax)~+(—1+Ax)—2

/(-1)=lim—=--------------------------------=lim(3-Ax)=3

?-0AxAx&s0

例2.(課本例D將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原

油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第動(dòng)時(shí)，原油的溫度(單位：℃)為

/(x)=x2-7x+15(O<x<8),計(jì)算第2。時(shí)和第6〃時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率,

并說明它們的意義.

解：在第2〃時(shí)和第672時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是/'(2)和/(6)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，V=./(2+Ax)-/(x0)

ArAx

(2+Ar)2-7(2+Ax)+15-(22-7x2+15).

=--------------------------------------------------=/xAx-3

Ax

所以/'(2)=lim"=lim(Ax-3)=-3

A.V->OA,AXTO

同理可得：/'(6)=5

在第2〃時(shí)和第66時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為—3和5,說明在2。附近,

原油溫度大約以39/A的速率下降，在第6。附近，原油溫度大約以5℃/〃的速率

上升.

注：一般地，/(%)反映了原油溫度在時(shí)刻與附近的變化情況.

四.課堂練習(xí)

1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為5=產(chǎn)+3,求質(zhì)點(diǎn)在/=3的瞬時(shí)速度為.

2.求曲線產(chǎn)加)=/在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù).

3.例2中，計(jì)算第3〃時(shí)和第5〃時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義.

五.回顧總結(jié)

1.瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念

2.導(dǎo)數(shù)的概念

六.布置作業(yè)

教學(xué)后記：

課題：1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義第一課時(shí)總序第一個(gè)

教案

課型：新授課編寫時(shí)時(shí)間：―年_月_日?qǐng)?zhí)行時(shí)間：一年一月

日

教學(xué)目標(biāo)：批

1.了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系；注

2.理解曲線的切線的概念；

3.通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題。

教學(xué)重點(diǎn)：曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

教學(xué)用具：多媒體，直尺

教學(xué)方法：培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力與數(shù)形結(jié)合的能力。

教學(xué)過程：

一.創(chuàng)設(shè)情景

(一)平均變化率、割線的斜率

(-)瞬時(shí)速度、導(dǎo)數(shù)

我們知道，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)問x)在處的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù)月㈤在x=x0

附近的變化情況，導(dǎo)數(shù)/'(%)的幾何意義是什么呢？

新課講授

（-）曲線的切線及切線的斜率：如圖1.1-2,當(dāng)月（乙,/（七,））（〃=1,2,3,4）沿著曲

線/（%）趨近于點(diǎn)P（x0,/（x0））時(shí)，割線PP?的變化趨勢(shì)是什么？

我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)匕沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Ax-0時(shí)，割線P匕趨近于確定的位

置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.

問題：⑴割線的斜率尤與切線P7的斜率左有什么關(guān)系？

⑵切線尸7的斜率左為多少？

容易知道，割線PP”的斜率是kn=-0小。）.當(dāng)點(diǎn)Pn沿著曲線無限接近點(diǎn)

X”-X。

P時(shí)，kn無限趨近于切線PT的斜率左，即左=lim/生+.匕〃血）=f'（x0）

AVTOAX

說明：（1）設(shè)切線的傾斜角為a,那么當(dāng)小一0時(shí)，割線PQ的斜率，稱為曲線在點(diǎn)P處

的切線的斜率.

這個(gè)概念：①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法；

②切線斜率的本質(zhì)一函數(shù)在X=/處的導(dǎo)數(shù).

（2）曲線在某點(diǎn)處的切線:1）與該點(diǎn)的位置有關(guān);2）要根據(jù)割線是否有極限位置

來判斷與求解.如有極限，則在此點(diǎn)有切線，且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無

切線;3）曲線的切線，并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可以有多個(gè)，甚至可以無窮多個(gè).

（二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)y+x）在x=*o處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)（x0,/（x。））處的切線的斜率，

即八）;Hm/（%之4r）-=k

°A—。Ax

說明：求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟：

①求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

②求出函數(shù)在點(diǎn)為處的變化率f\x.)=lim./(/+一)一(/)=k，得到曲

-Ax

線在點(diǎn)(x°,/(Xo))的切線的斜率；

③利用點(diǎn)斜式求切線方程.

(二)導(dǎo)函數(shù)：

由函數(shù)y(x)在X=Xo處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，當(dāng)時(shí)，/'(5)是一個(gè)確定的數(shù)，那

么，當(dāng)X變化時(shí)，便是X的一個(gè)函數(shù)，我們叫它為/(X)的導(dǎo)函數(shù).記作：/'(X)或",

即：/“⑴=y=lim/.(廿一)-/(?

AVTOAX

注：在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù).

(三)函數(shù)/(X)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù),/"(X。)、導(dǎo)函數(shù)/'(X)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。

(1)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)/'(X。)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量

之比的極限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)。

(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的，就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)

(3)函數(shù)/(x)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)/(%)就是導(dǎo)函數(shù)/'(x)在x=x0處的函數(shù)值，這也

是求函數(shù)在點(diǎn)與處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。

三.典例分析

例1:(1)求曲線月a)=/+1在點(diǎn)尸(1,2)處的切線方程.

(2)求函數(shù)受3,在點(diǎn)(1,3)處的導(dǎo)數(shù).

22

M八、,,[(l+ZSx)+l]-(l+l)2AX+A?

解：⑴yL-,=lim--------———-------=hm-------------=2,

—Ax-Ax

所以，所求切線的斜率為2,因此，所求的切線方程為歹-2=2(x-l)即

2x-y=0

3x2-3-I23(x2-I2)

(2)因?yàn)閪--=lim^——<=lim3(x+1)=6

IX—11?X—131

所以，所求切線的斜率為6,因此，所求的切線方程為y-3=6(x-1)即

6x-y-3=0

（2）求函數(shù)外）=一'2+》在x=—l附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)

解：包=-（-1+詞2+（-1+詞-2=3…

AxAx

-5=唔=?心:…-2lira(3—Ax)=3

A->0

例2.（課本例2）如圖1.1-3,它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)

線比較平坦，幾乎沒有升降.

(2)當(dāng)f=4時(shí),曲線〃⑺在G處的切線4的斜率”也）＜0,所以,在7=4附近

曲線下降,即函數(shù)％（x）=-4.9x2+6.5x+10在/=）附近單調(diào)遞減.

(3)當(dāng)/=%時(shí)，曲線〃⑺在G處的切線4的斜率〃?2）＜0,所以，在/=4附

近曲線下降,即函數(shù)〃（》）=-4.9爐+6.5》+10在1=，2附近單調(diào)遞減.

從圖1.1-3可以看出，直線4的傾斜程度小于直線4的傾斜程度，這說明曲線在4

附近比在乙附近下降的緩慢.

例3.（課本例3）如圖3.1-4,它表示人體血管中藥物濃度c=/（7）（單位:

〃陪/〃遼）隨時(shí)間/（單位：min）變化的圖象.根據(jù)圖像，估計(jì)/=0.2,0.4,0.6,0.8

時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率（精確到0.1）.

解：血管中某一時(shí)刻藥物濃度的瞬時(shí)變化率，就是藥物濃度/(7)在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù),

從圖像上看，它表示曲線/(7)在此點(diǎn)處的切線的斜率.

如圖1.14,畫出曲線上某點(diǎn)處的切線，利用網(wǎng)格估計(jì)這條切線的斜率，可以得

到此時(shí)刻藥物濃度瞬時(shí)變化率的近似值.

作/=0.8處的切線，并在切線上去兩點(diǎn)，如(0.7,0.91),(1.0,0.48),則它的

0.48-0.91

斜率為:

1.0—0.7

所以/'(0.8)?！?.4

下表給出了藥物濃度瞬時(shí)變化率的估計(jì)值:

四.課堂練習(xí)

1.求曲線y=/(x)=x3在點(diǎn)(1,1)處的切線;

2.求曲線歹=正在點(diǎn)(4,2)處的切線.

五.回顧總結(jié)

1.曲線的切線及切線的斜率；

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

六.布置作業(yè)

教學(xué)后記：

課題：1.2.1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第一課時(shí)總序第一個(gè)教

案

課型：新授課編寫時(shí)時(shí)間：―年_月_日?qǐng)?zhí)行時(shí)間：一年一月

日

教學(xué)目標(biāo)：批

1.使學(xué)生應(yīng)用由定義求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟推導(dǎo)四種常見函數(shù)^=。、y=x、注

.1

y=y=—的導(dǎo)數(shù)公式；

2.掌握并能運(yùn)用這四個(gè)公式正確求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

教學(xué)重點(diǎn)：四種常見函數(shù)》=。、歹=x、y=Y、歹=上的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用。

X

11

教學(xué)難點(diǎn)：四種常見函數(shù)N=c、y=x、y=x\歹=上的導(dǎo)數(shù)公式。

x

教學(xué)用具：多媒體

教學(xué)方法：歸納，類比

教學(xué)過程：

一.創(chuàng)設(shè)情景

我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率，物理意義是運(yùn)

動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度.那么，對(duì)于函數(shù)丁=/（X）,如何求它的導(dǎo)數(shù)呢？

由導(dǎo)數(shù)定義本身，給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法，但由于導(dǎo)數(shù)是用極限來

定義的，所以求導(dǎo)數(shù)總是歸結(jié)到求極限這在運(yùn)算上很麻煩，有時(shí)甚至很困難，

為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這一單元我們將研究比較簡(jiǎn)捷的求導(dǎo)數(shù)

的方法，下面我們求兒個(gè)常用的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

二.新課講授

1.函數(shù)y=/（x）=c的導(dǎo)數(shù)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，因?yàn)榘ㄍ?.）一/（X）?二=0

AxAxAx

所以/=1而包=lim0=0

AXTOArA.V->O

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y=cy=0

y=O表示函數(shù)N=c圖像（圖3.2-1）上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為0.若y=c

表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則_/=0可以解釋為某物體的瞬時(shí)速度始終為0,

即物體一直處于靜止?fàn)顟B(tài).

2.函數(shù)y=/（x）=x的導(dǎo)數(shù)

因?yàn)榻z=/（x+Ax）/（x）=x+Ax—x=]

AxAxAx

所以/=lim^=lim1=1

A》一>O八丫At->o

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y=xy=1

/=1表示函數(shù)^=x圖像（圖3.2-2）上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為1.若y=x

表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則歹'=1可以解釋為某物體做瞬時(shí)速度為I的勻速

運(yùn)動(dòng).

3.函數(shù)_y=/(x)=x2的導(dǎo)數(shù)

Ay_/(x+Ax)-f\x)_(x+Ax)2-x1

因?yàn)?/p>

AxAxAr

x2+2xAx+(Ar)2-x2

=2x+Ar

Ax

所以y'=lim—=lim(2x+Ax)=2x

—A.A.V->O

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

尸X2yf=2x

了=2%表示函數(shù)歹=/圖像(圖323)上點(diǎn)(x,y)處的切線的斜率都為2x,

說明隨著x的變化，切線的斜率也在變化.另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點(diǎn)

的瞬時(shí)變化率來看，表明：當(dāng)x<0時(shí)，隨著x的增加，函數(shù)歹=刀2減少得越

來越慢；當(dāng)x〉0時(shí)，隨著x的增加，函數(shù)歹=》2增加得越來越快.若歹=/表

示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則,=2x可以解釋為某物體做變速運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)刻x

的瞬時(shí)速度為2x.

4.函數(shù)y=f(x)=’的導(dǎo)數(shù)

X

1___j_

因?yàn)榘?/(x+Ax)-/(x)=x+AxX

AxAxAx

_x-(x4-Ax)_1

x(x+Ax)Axx2+x-Ax

所以V=lim絲=lim(--z--------)=--r

As°AxX4-X-ArX

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

1

y=

X

5.函數(shù)y=/(x)=4的導(dǎo)數(shù)

Ay_/(x+Ax)—f(x)_Jx+Ax-y[x

ArArAx

_(Jx+Ar-y/x)(Jx+Ax+Vx)

AY(VX+AY+Vx)

(x+Ax)-x

Ax(J\+Ax+Vx)

所以V=lim電1

lim

Ax->0MAv->0Vx+Ax+Vx

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y=4x

(2)推廣：若y=/(x)=x"(〃e。*),則/"(x)=〃x"T

三.課堂練習(xí)

1.課本P13探究1

2.課本P14探究2

四.回顧總結(jié)

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y=cy=0

y=xy=i

y=x2y=2x

1,1

y=-y=-x2

X

y=4x廠夫

V=/(x)=x"(〃e。*)y-nxn~x

五.布置作業(yè)

教學(xué)后記:

課題：1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則第一課時(shí)總序第一個(gè)教案

課型：新授課編寫時(shí)時(shí)間：一年一月一日?qǐng)?zhí)行時(shí)間：一年一月一日

教學(xué)目標(biāo)：批注

1.熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；

2.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；

3.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

教學(xué)重點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則。

教學(xué)難點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用。

教學(xué)用具：多媒體

教學(xué)方法：歸納，類比，分析總結(jié)

教學(xué)過程：

一.創(chuàng)設(shè)情景

五種常見函數(shù)y=c、y=x,y=x*2,歹=,、y=4的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用。

二.新課講授

(-)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y=cy=0

y=f(x)=x\neQ*)y=nxn~]

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y=f(x)=axy=ax-In<7(<7>0)

y=/(x)=，y=ex

/(x)=log?VW=/(a〉o月々Hl)

/(x)=log“X

xma

,1

/(x)=lnx/?=

X

(二)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

"(x)±g(x)]=/'(x)±g'(x)

2."(x)-g(x)]=/'(x)g(x)±/(x)g(x)

/'(x)g(x)—/(x)g'(x)

3.(g(x)HO)

[g(x)『

⑵推論：[(/(x)]=/(x)

(常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù))

三.典例分析

例L假設(shè)某國(guó)家在20年期間的年均通貨膨脹率為5%,物價(jià)p(單位：元)與時(shí)

間/(單位：年)有如下函數(shù)關(guān)系p(7)=Po(l+5%)',其中p°為7=0時(shí)的物價(jià).假定

某種商品的p0=l，那么在第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格上漲的速度大約是多少(精確

到0.01)?

解：根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表，有p(/)=LO5'lnl.O5

所以),(10)=1.05"In1.05ao.08(元/年)

因此，在第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格約為0.08元/年的速度上漲.

例2.根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)y=x3-2x+3

(2)尸

(3)y=x-sinx-\nx；

(4)

1-lnx

(5)

1+lnx

(6)y=(2x2-5x+l)-ex；

/、sinx-xcosx

(7)y=-----------

cosx+xsinx

解：⑴y=(x3-2x+3)=(x3)-(2x)+(3)=3x2-2,

24_______2&=_Lr_+___\i

(1+Vx)2(1-A/X)22y[x(1+Vx)2(1-Vx)2

1(1+4)2+(1—4)2(1+x)五

-H(If-X(l-X)2

1(1+X)y[x

y=-----------

x(l-x)2

(3)y=(x-sinx-lnx)'=[(x-lnx)-sinx]

=(x-Inx)-sinx+(x?Inx)-(sinx)

=(1-Inx+x?—).sinx4-(x?Inx)?cosx

x

=sinx+Inx-sinx+x-Inx-cosx

y=sinx+Inx-sinx+x-Inx-cosx

/、./X、，x-4x-x\4x)'b4A-x-4vln4l-xln4

(4)y=(—)=----------r2----=-------------------=----------,

4〃(4")2(4、月4V

，l-xln4

y=----------o

/4r

/八?1-lnx.,工2、，?1、，c2

(5)y=Z(-------)x=(-1+--------)=2(--------)=2-------v-----=-----------

1+lnx1+lnx1+lnx(1+Inx)2x(l+lnx)~

.2

y=-------------

x(l+lnx)2

(6)y=(2x2—5x+1),ex+(2x2—5x+1),(cx)

=(4x-5)-ev+(2x2-5x+l)-eJ=(2x2-x-4)-ev,

2x

y=(2x-x-4)-eo

/、.sinx-xcosx..

⑺y=(z------------)

cosx+xsinx

(sinx-xcosx)?(cosx+xsinx)-(sinx-xcosx)?(cosx+xsinx)

一/(cosx+xsi?nx)\2

_(cosx-cosx+xsinx)-(cosx4-xsinx)-(sinx-xcosx)-(-sinx4-sinx4-xcos.

(cosx+xsinx)2

_xsinx-(cosx+xsinx)-(sinx-xcosx)?xcosx

(cosx+xsinx)2

x2X2

2

(cosx+xsinx)2■'(cosx+xsinx)

【點(diǎn)評(píng)】

①求導(dǎo)數(shù)是在定義域內(nèi)實(shí)行的.

②求較復(fù)雜的函數(shù)積、商的導(dǎo)數(shù)，必須細(xì)心、耐心.

例3日常生活中的飲水通常是經(jīng)過凈化的.隨著水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不

斷增加.已知將1噸水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用(單位：元)為

c(x)=5284780Vx<100)

100-x

求凈化到下列純凈度時(shí)，所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率：(1)90%(2)98%

解：凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

,(5284、，_5284'x(100—x)-5284x(100一x)'

,，-100—x-(100-x)2

_0x(100-x)-5284x(-l)_5284

(100-x)2-(100-x)2

(1)因?yàn)閏'(90)=—"84=52.84,所以，純凈度為90%時(shí)，費(fèi)用的瞬時(shí)

(100-90)2

變化率是52.84元/噸.

(2)因?yàn)閏'(98)=—"84=1321,所以，純凈度為98%時(shí);費(fèi)用的瞬時(shí)

(100-90)2

變化率是1321元/噸.

函數(shù)/(x)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點(diǎn)附近變化的快慢.由上述計(jì)算可知，

c(98)=25。(90).它表示純凈度為98%左右時(shí)凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率，大約是純凈度

為90%左右時(shí)凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的25倍.這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費(fèi)

用就越多，而且凈化費(fèi)用增加的速度也越快.

四.課堂練習(xí)

1.課本P18練習(xí)

2.已知曲線C：y=3X4-2X3-9?+4,求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的切線方程:

(y=-12x+8)

五.回顧總結(jié)

(1)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表

(2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

六.布置作業(yè)

教學(xué)后記：

課題：1.2.2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第一課時(shí)總序第一個(gè)

教案

課型：新授課編寫時(shí)時(shí)間：―年_月_日?qǐng)?zhí)行時(shí)間：一年一月

日

教學(xué)目標(biāo)：批

理解并掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.注

教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)

中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)之積.

教學(xué)難點(diǎn)：正確分解復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，做到不漏，不重，熟練，正確.

教學(xué)用具：多媒體

教學(xué)方法：探究

教學(xué)過程：

一.創(chuàng)設(shè)情景

(-)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表

_______M_______導(dǎo)數(shù)

y=cy=o

y=/(x)=x"(〃e。*)y=ax"”

y=sinxy-cosx

y-cosxy=-sinx

y=/(x)=a'y=ax-Ina(a>0)

y=f(x')=exy-ex

/(x)=log。X/(x)=log,,xf(x)=(a>0且a豐1)

xma

,/'(x)=lnx/(x)=1

X

(二)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

L"(X)±g(X)]=/(X)±g'(X)

2."(X>g(X)]=/'(X)g(X)±/(X)g'(X)

./■(x)g(x)-./(x)g(x)

3.

[gM兇

(2)推論：=/1'")

(常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù))

二.新課講授

復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)歹=/(“)和“=g(x),如果通

過變量〃，歹可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)丁=/(〃)和

M=g(X)的復(fù)合函數(shù)，記作丁=./'(g(X))。

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)丁=/(g(X))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)卜=/(")和

U=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為匕'=瑞’?〃；，即N對(duì)X的導(dǎo)數(shù)等于N對(duì)"的導(dǎo)數(shù)

與〃對(duì)X的導(dǎo)數(shù)的乘積.

若y=/(g(x)),則y'=[/(g(x))J=/'(g(x))-g'(x)

三.典例分析

例1(課本例4)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y=(2x+3)2；(2)y=e~0Mx+'；

(3)y-sin(>rx+(p)(其中肛9均為常數(shù)).

解：(1)函數(shù)y=(2x+3)2可以看作函數(shù)y=1和“=2x+3的復(fù)合函數(shù)。

根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有

2

y'x-yt'-u^=(U)\2X+3)=4〃=8x+12。

(2)函數(shù)y="0°5向可以看作函數(shù)y=e"和”=—0.05x+1的復(fù)合函數(shù)。

根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有

￡=￡0.05x+l)'=-0.005e"=-0.005/0°53。

(3)函數(shù)y=sin(乃x+夕)可以看作函數(shù)y=sin〃和〃=不》+夕的復(fù)合函

數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有

歹：=匕;?Ux=(sinw)(71X+0)=7CCOSU=兀COS(〃X+(P)c

例2求歹=sin(tanx2)的導(dǎo)數(shù).

解:y=[sin(tanx2)]=cos(tanx2)-sec2(x2)?2x

=2xcos(tanx2)?sec2(x2)

y=2xcos(tanx2)-sec2(x2)

【點(diǎn)評(píng)】

求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，明確復(fù)合次數(shù)，由

外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo)，直到關(guān)于自變量求導(dǎo)，同時(shí)應(yīng)注意不能遺漏求導(dǎo)環(huán)節(jié)并

及時(shí)化簡(jiǎn)計(jì)算結(jié)果.

x-a

例3求y的導(dǎo)數(shù).

y]x2-lax

1-Jx2-2ax-(x-a)-----J"

-2ax

解:y

x2-2ax

_Q4々2-u~—2.CIX

=---------------=-------------------,y=----------------------

x2-2ax\]x2-lax，-2ax)~(x2-2ax)~

【點(diǎn)評(píng)】本題練習(xí)商的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).求導(dǎo)數(shù)后要予以化簡(jiǎn)整理.

例4求y=sin4x+cos4_r的導(dǎo)數(shù).

【解法一=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2—2sin2cos2x=1——sin22x

131

=1——(1-cos4x)=—+—cos4x.yf=—sin4x.

444

【解法二】y'=(sin4x)/+(cos4x)/=4sin3x(sinx)f+4cos\(cosx),

=4sin3.rcosx+4cos(-sinx)=4sinxcosx(sin2x-cos2x)

=-2sin2xcos2x=—sin4x

【點(diǎn)評(píng)】

解法一是先化簡(jiǎn)變形，簡(jiǎn)化求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，要注意變形準(zhǔn)確.解法二是利用

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，應(yīng)注意不漏步.

例5曲線y=x(x+1)(2-x)有兩條平行于直線歹=工的切線，求此二

切線之間的距離.

【解】y——x3+x2+2xy'=-31+2x+2

令y'=1即3x2—2x—1=0,解得x=—；或x=1.

114

于是切點(diǎn)為P(l,2),Q-——),

327

過點(diǎn)P的切線方程為，y-2=x-1BPx—y+1=0.

顯然兩切線間的距離等于點(diǎn)。到此切線的距離，故所求距離為

,114,,

---—11

327

V2

四.課堂練習(xí)

1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=sinx3+sin33x；(2)

sin2%,.,,,?、

y=~~~-；(3)log?(x-2)

2x-l

2.求ln(2/+3x+l)的導(dǎo)數(shù)

五.回顧總結(jié)

六.布置作業(yè)

教學(xué)后記:

課題：131函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(第1課時(shí))第一課時(shí)總序第一個(gè)

教案

課型：新授課編寫時(shí)時(shí)間：―年_月_日?qǐng)?zhí)行時(shí)間：一年一月

日

教學(xué)目標(biāo)：批

1.了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；注

2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)?般不

超過三次。

教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)

區(qū)間。

教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)

區(qū)間。

教學(xué)用具：多媒體

教學(xué)方法：引導(dǎo)學(xué)生自我探究。